高等数学上册D2_1导数概念
总结导数的知识点归纳
总结导数的知识点归纳一、导数的概念1. 导数的定义导数是描述函数在某一点处的变化率的概念。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数表示为f'(x)，即函数f(x)在点x处的导数为f'(x)。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率，它描述了函数在该点附近的变化情况。
2. 函数的可导性函数在某一点可导，意味着该点处函数曲线存在切线，并且切线的斜率存在有限值。
如果函数在某一点处可导，那么该点也称为函数的导数存在的点。
函数在某一点处可导的充分必要条件是该点处函数的左极限和右极限存在且相等。
3. 导数的图像解释函数的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
当函数曲线上升时，导数为正；当函数曲线下降时，导数为负；当函数曲线水平时，导数为零。
函数曲线的凸凹性可以通过导数的正负来判断。
二、导数的性质1. 可导函数与连续函数可导函数必定是连续函数，但是连续函数不一定可导。
可导函数的导数在其定义域内连续，也就是说，可导函数的导数也是连续函数。
2. 导数的四则运算函数的导数满足四则运算的性质。
设函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么它们的和、差、积、商的导数分别为(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f'-g'，(fg)' = f'g + fg'，(f/g)' = (f'g - fg') / g^2。
3. 复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则来求导。
设函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)。
4. 高阶导数函数的导数也可以再求导，得到的导数称为原函数的高阶导数。
高阶导数的符号表示一阶导数的凸凹性。
三、导数的计算方法1. 导数的基本求导法则导数的基本求导法则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数以及反三角函数的导数等。
D2_1导数概念
思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数
有什么区别与联系 ?
区别:
f (x ) 是函数 ,
f ( x0 ) 是数值;
联系:
f ( x) x x f ( x0 ) 0
注意:
f ( x0 ) [ f ( x0 ) ]
？
2. 设
h 0
存在 , 则
lim f ( x0 h) f ( x0 ) h
h
cos x
即
(sin x) cos x (cos x) sin x
类似可证得
例4. 求函数 解:
lim
lim
h 0
的导数.
f ( x h) f ( x ) h
lim
ln( x h) ln x h
h 0
1 h
h 0
x 1
lim
h
h 0
1 x
P86
, 问 a 取何值时,
在
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f (0) lim
sin x 0
x 0
f (0) lim
x0 ax 0 x0
1
x 0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
解法 二
(0) sin x f f (0)
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
f (t )
O
y
t0
t
y f (x)
s
N
T
C
M
x0
两个问题的共性:
O
x
x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
导数知识点概念归纳总结
导数知识点概念归纳总结1. 导数的定义导数的定义是建立在函数的极限概念上的。
设函数y = f(x)，在点x处的导数定义为：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]其中，Δx表示x的增量，当Δx趋于0时，上式的极限存在则称函数在点x处可导，这个极限的值就是函数在点x处的导数。
导数表示了函数在某一点处的变化率，可以理解为函数在这一点处的斜率。
2. 导数的性质导数具有一些基本性质，例如：（1）可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
（2）导数存在的充要条件是函数在该点处有切线。
（3）可导函数在一点的导数等于该点的切线的斜率。
（4）导数具有线性运算性质，即\[ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \]，\[ (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) \]，其中f(x)和g(x)都是可导函数，k是常数。
（5）复合函数的导数公式，如果y = f(u)，u = g(x)，则\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]。
3. 导数的计算方法对于简单的函数，可以通过导数的定义进行计算。
但是对于一些复杂的函数，使用导数的定义进行计算过于繁琐，因此需要借助一些常用的导数公式和方法来进行计算。
（1）常用函数的导数公式常用函数的导数公式包括：- 幂函数的导数：\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]，其中n是常数。
- 指数函数的导数：\[ (a^x)' = a^x \ln a \]，其中a是常数。
- 对数函数的导数：\[ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \]，其中a是常数。
- 三角函数的导数：\[ (\sin x)' = \cos x \]，\[ (\cos x)' = -\sin x \]，\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]。
大学高等数学上册：2-1导数概念
P
0
x
切线的一般定义
设曲线 C 是函数 y f ( x)的图形. 点 P( x0 , f ( x0 ) )在曲线 C 上， 在点P外另取C 上一点Q( x , f (x))，直线PQ 称为曲线C 的割线，
斜率为
k PQ
f (x) x
f (x0 ) x0
y
当点Q 沿曲线 C 趋向于点 P 时,即 x x0，
例如：y | x | 在 x = 0 处无切线．
y
M2
M1
x o
★ 导数作为增加率的解释
当 f x0 0, 为锐角．
f ( x )在 M0 附近是上升的.
f x0 越大,上升越快. 当 f x0 0, 为钝角．
y
M0 M0 M0
o
x
f ( x )在 M0附近是下降的. f x0 越大, 下降越快． f x0 表明了函数 y = f ( x ) 在点 x0处相对于自变量x 变化的
切线的一般定义
设曲线 C 是函数 y f ( x)的图形. 点 P( x0 , f ( x0 ) )在曲线 C 上，
在点P外另取C 上一点Q( x , f (x))，直线PQ 称为曲线C 的割线，
斜率为
k PQ
f (x) x
f (x0 ) x0
y
当点Q 沿曲线 C 趋向于点 P 时,即 x x0， P
自变量增量常记作x x x0，从而x x0 x ( x 可正可负)
函数增量可表示为：y f (x) f (x0) f (x0 x) f (x0)
故等价地有：
f x0
y lim x0 x
lim
x 0
f
x0
x
x
f
导数概念讲解高中数学
导数概念讲解高中数学导数是高中数学中非常重要的概念之一。
它与函数的变化率和切线有着密切的关系，被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
导数的概念可以通过求函数的斜率来理解。
对于给定函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的斜率。
具体而言，导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)]/h其中，lim代表极限运算，h表示自变量x的增量。
这个公式的意义是，在极限情况下，当h趋近于0时，函数f(x)在x点的变化率可以用斜率来近似表示。
通过导数，我们可以研究函数的变化规律。
导数为正表示函数在该点上升，为负表示函数在该点下降，为零表示函数取得极值。
此外，导数还可以帮助我们求解函数的最大值和最小值，以及确定函数的凹凸性。
导数还与切线密切相关。
对于函数f(x)，在给定点x处的导数就是函数曲线在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们可以得到函数曲线在任意点的切线方程。
这一概念在物理学中尤为重要，因为它可以帮助我们理解物体在运动中的速度和加速度。
在实际应用中，导数有着广泛的用途。
例如，在经济学中，通过求函数的导数，我们可以确定生产函数的边际产出率，从而找到最优的生产方案。
在物理学中，导数可以用来描述物体的运动轨迹和力学性质。
在工程学中，导数可以用来优化设计和预测系统的性能。
总之，导数是高中数学中一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们理解函数的变化规律和切线性质，还可以应用于各个领域的实际问题中。
因此，对于学习数学的学生来说，深入理解和掌握导数的概念是至关重要的。
高数同济六版课件D21导数概念
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式
四则运算求导法则
01
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
02
03
04
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
乘法法则
[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x )
ห้องสมุดไป่ตู้除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（g(x)≠0）
弹性分析
弹性是经济学中一个重要概念，表示因变量对自变量变化的 敏感程度。通过求导数，可以计算各种弹性系数，如价格弹 性、收入弹性等，进而分析市场供求关系和经济政策效果。
04 高阶导数概念及计算
高阶导数定义及性质
高阶导数定义
函数f的n阶导数记为f^(n)，表示f的 导数f'的n-1阶导数，其中n为正整数。
三角函数
正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶 导数具有周期性，可通过归纳法得到 通项公式。
泰勒公式与麦克劳林公式简介
泰勒公式
泰勒公式是用多项式逼近复杂函数的一种方法，它将函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，级数 的每一项都与函数在该点的各阶导数有关。
麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特例，它将函数展开成幂级数的形式，级数的每一项都与函数在 x=0处的各阶导数有关。麦克劳林公式在求解一些定积分和级数求和等问题时具有重要应用。
注意事项
在求参数方程的导数时，需要注意参数的变化范围以及导数的存在性。
高数 D2_1导数概念
1
1 ( ) ( x x x
3 x 4
7 4
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例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
lim
h 2 cos( x ) 2
h 0
h lim cos( x ) h 0 2
四、函数的可导性与连续性的关系
五、单侧导数
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t ) f (t0 ) v t t0
而在 时刻的瞬时速度为
自由落体运动
s
f (t0 ) O t0
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1 gt 2 2
f (t ) f (t0 ) v lim t t0 t t0
x 1
lim
h
h 0
1 x
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
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例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
O
y
切线方程:
法线方程:
O
x0
x
( f ( x0 ) 0 )
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例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
D2-1导数概念
一、导数的定义定义设函数 在点的某个领域内有定)(x f y =0x 义,当自变量 在 处取得增量 (点仍在0x x x ∆+0x ∆x 该领域内)时,相应地函数取得增量y );()(00x f x x f y −∆+=∆若 与 之比当x ∆y ∆0→∆x 时的极限存在,处可导,并称这个极限为函数在点 处)(x f y =0x 则称函数在点)(x f y =0x的导数,记为00),(,0x x x x dx dy x f y ==′′或,)(0x x dx x df =即.)()(lim lim )(000000x x f x x f x y x f y x x x x ∆−∆+=∆∆=′=′→∆→∆=导数定义的其它形式:令,x h ∆=.)()(lim )(0000hx f h x f x f h −+=′→令,0x x x ∆+=.)()(lim )(0000x x x f x f x f x x −−=′→几点说明它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度;(1)(2)就称函数 在开区间 内可导;I )(x f (3)且 及)(a f +′)(b f −′都存在,就称 在闭区间 上可导;)(x f ],[b a 导,0x 点导数是因变量在点处的变化率,)(x f y =I 如果函数 在开区间 内的每点处都可)(x f ),(b a 如果在开区间 内可导,(4),I x ∈∀都对应着的一个确定的导数值,)(x f 个函数叫做原来函数的导函数,)(x f 记作这dx dy x f y ),(,′′或.)(dxx df 注意:(i)(ii)的逼近函数.;)()(00x x x f x f =′=′导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率二、利用定义求导数1. (1));()(x f x x f y −∆+=∆(2);)()(xx f x x f x y ∆−∆+=∆∆(3).lim 0xy y x ∆∆=′→∆按定义求导的基本步骤:求函数的增量求两增量的比值求极限例 1求函数 在 处的导数2x y =1=x ).1(f ′解当x 由1变到x ∆+1时,函数相应的增量为221)1(−∆+=∆x y ,)(22x x ∆+∆=,2x xy ∆+=∆∆所以xy f x ∆∆=′→∆0lim )1(2)2(lim 0=∆+=→∆x x例2求函数)()(为常数C C x f =的导数.解hx f h x f x f h )()(lim )(0−+=′→,0lim 0=−=→hC C h 即.0)(=′C例3设函数,x x f sin )(=求)(sin ′x 及.4)(sin π=′x x 解h x h x x h sin )sin(lim )(sin 0−+=′→22sin )2cos(lim 0h h h x h ⋅+=→,x cos =即.x x cos )(sin =′4)(sin π=′∴x x 4cos π==x x .22=例4解求函数)(为正整数n x y n =的导数.h x h x x n n h n −+=′→)(lim )(0]!2)1([lim 1210−−−→++−+=n n n h h h x n n nx ⋯,1−=n nx 即.1)(−=′n n nx x 更一般地.)()(1R x x ∈=′−µµµµ例如,.x x x 2121)(121==′−111)1()(1−−−−=′=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛x x x .21x −=例5解求函数)10()(≠>=a a a x f x ,的导数.h a a a xh n h x −=′+→0lim )(h a a h h x 1lim 0−=→,a a x ln =即,a a a x x ln )(=′.x x e e =′)(三、导数的几何意义oxy)(x f y =αTx M)(,tan )(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线αα=′=′x f x f x M x f y x f 切线方程为法线方程为).)((000x x x f y y −′=−).()(1000x x x f y y −′−=−例6解求等边双曲线x y 1=在点⎟⎠⎞⎜⎝⎛221,处的切线的斜率,并写出在该点处的由导数的几何意义,得切线斜率为21211==′⎟⎠⎞⎜⎝⎛=′=x x x y k .41212−=−==x x 所求切线方程为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−2142x y 即.044=−+y x 法线方程为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−21412x y 即.01582=+−y x 切线方程和法线方程.四、可导与连续的关系定理如果函数在点 可导,)(x f 0x 则它在点 处0x 连续.证因为函数在点 可导,)(x f 0x 所以).(lim 00x f xy x ′=∆∆→∆于是0,)(0→+′=∆∆ααx f xy(当 ),0→∆x ,)(0x x x f y ∆+∆′=∆α,0])([lim lim 00=∆+∆′=∆→∆→∆x x x f y x x α证毕.故函数 在点连续.)(x f 0x该定理的逆命题不成立. 即函数在某点连续,注:但在该点不一定可导(参见后面例子).。
D2_1导数概念
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第二章 导数与微分
f ( x0 x) f ( x0 ) 解: ① A lim x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0
x0 f x0 即 f ( x0 ) 存在 f
( x0 ) 右导数 f
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第二章 导数与微分
③ 若函数在区间 I 内每点都可导 (端点处要求相应的 单侧导数存在）, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构 成的新的函数称为导函数. 记作: y ;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 不连续, 一定不可导. 5. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
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d y d f ( x) . ; f ( x ) ; dx dx
f ( x x) f ( x) 即 f ( x) lim x x0
显然:
f ( x0 ) f ( x) x x0
d f ( x0 ) dx
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n x
x 0
x
说明：( x ) x 1 ( 为常数) 例如，( x )
2 x 1 1 11 1 (x ) x 2 x x
高等数学导数概念
高等数学导数概念“嘿，同学们，今天咱们来好好聊聊高等数学导数概念。
”导数啊，它可是高等数学中非常重要的一个概念。
简单来说，导数就是用来描述函数变化率的工具。
就好比说，我们要研究一辆汽车行驶速度的变化情况，导数就能告诉我们在某个时刻它速度变化的快慢。
举个例子吧，假设有个函数f(x)=x²。
那它的导数 f'(x)就是 2x。
这意味着什么呢？当 x 取不同的值时，2x 就告诉我们了函数在那个点处变化的快慢程度。
比如说，当 x=1 时，导数就是 2，这就表示在 x=1 这个点，函数的变化率是 2。
再比如说，我们看一个自由落体运动的例子，物体下落的高度 h 与时间 t 的关系可以用h=1/2gt²来表示，这里的 g 是重力加速度。
那么对这个函数求导，得到的导数就是速度 v=gt，它就告诉我们物体在不同时刻的下落速度。
导数的应用那可太广泛了。
在物理学中，它可以用来分析各种运动的规律；在经济学中，可以帮助我们研究成本和收益的变化情况；在工程学中，对于设计和优化各种系统也起着关键作用。
再比如，我们考虑一个企业的成本函数 C(x)，它表示生产 x 个产品的总成本。
那么导数 C'(x)就表示生产额外一个产品所增加的成本，也就是边际成本。
通过研究边际成本，企业可以做出更合理的生产决策。
导数还有很多重要的性质和定理。
比如，导数为零的点可能是函数的极值点，通过求导我们可以找到函数的最值，这在优化问题中非常重要。
总之，导数是高等数学中一个极其重要的概念，它为我们理解和分析各种函数的行为提供了有力的工具，在各个领域都有着广泛的应用。
同学们一定要好好掌握它，这样才能在后续的学习和实际应用中更加得心应手啊！。
D2_1导数的概念
博学多才的符号大师——莱布尼茨 莱布尼茨（Leibniz)，1646年7月l日出生于德国莱比锡的一个书香门 第。其父亲是莱比锡大学的哲学教授，在莱布尼茨6岁时去世了。莱布尼 茨自幼聪慧好学，童年时代便自学他父亲遗留的藏书，并自学中、小学 课程。1661年，15岁的莱布尼茨进入了莱比锡大学学习法律，17岁获得 学士学位，同年夏季，莱布尼茨前往热奈大学，跟随魏格尔（E.weigel） 系统地学习了欧氏几何，使他开始确信毕达哥拉斯—柏拉图（PythagorasPlato) 的宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体。 1664年，18岁的莱布尼茨获得哲学硕士学位。20岁他在阿尔特道夫获得 博士学位。1672年，他以外交官身份出访巴黎，在那里结识了惠更斯（ Huygens，荷兰人）以及其他许多杰出的学者，从而更加激发了莱布尼茨 对数学的兴趣。在惠更斯的指导下，莱布尼茨系统研究了当时一批著名 数学家的著作。1673 年出访伦敦期间，莱布尼茨又与英国学术界知名学 者建立了联系，从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学研究的前 沿阵地。1676年他定居德国汉诺威，任腓特烈公爵的法律顾问及图书馆 馆长，直到1716年11月4日逝世，长达40年。莱布尼茨曾历任英国皇家学 会会员，巴黎科学院院士，创建了柏林科学院并担任第一任院长。 莱布尼茨的研究兴趣非常广泛。他的学识涉及哲学、历史、语言、数 学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域，在每个领域 中都有杰出的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非 常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。
牛顿将毕生的精力献身于数学和科学事业，为人类做出 了卓越的贡献，赢得了崇高的社会地位和荣誉。自1669年担 任卢卡斯教授职位后，1672年由于设计、制造了反射望远镜 ，他被选为英国皇家学会的会员。1688年，被推选为国会议 员。1697年，发表了不朽之作《自然哲学的数学原理》。 1699年，任英国造币厂厂长。1703年当选为英国皇家学会会 长，以后连选连任。直至逝世为止。1705年被英国女王封为 爵士，达到了他一生荣誉之巅。1727年3月31日，牛顿在患肺 炎与痛风症后溘然辞世，葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒 冷厅隆重举行。当时参加了牛顿葬礼的伏尔泰（F. M. A. Voltaire）看到英国的大人物都争相抬牛顿的灵柩后感叹说： “英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王”。三年后 诗人波普（A. Pope）在为牛顿所作的墓志铭中写下了这样的 名句： 自然和自然规律隐藏在黑夜里， 上帝说：降生牛顿！ 于是世界就充满光明。
2-1导数概念
x0
x
x
f
x0
或
f
x0
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
★ 导数记号
f x0 ,
y , x x0
dy dx , x x0
df x dx
, x x0
Df x0
★ 导数的几何意义
f ( x0 ) 表示曲线 y = f ( x ) 在点M0 x0, f (x0 )处的切线
P
0
x
切线的一般定义
设曲线 C 是函数 y f ( x)的图形. 点 P( x0 , f ( x0 ) )在曲线 C 上， 在点P外另取C 上一点Q( x , f (x))，直线PQ 称为曲线C 的割线，
斜率为
k PQ
f (x) x
f (x0 ) x0
y
当点Q 沿曲线 C 趋向于点 P 时,即 x x0，
y = f ( x ) 与 x f 1( y)互为反函数，在同一平面直 角坐标系中表示同一条曲线．
习惯上常将 y = f ( x ) 的反函数写作y f 1( x) ，此 时两者在同一平面直角坐标系中的图形关于 y = x 对称．
y 反函数 x f 1( y) 函数 y = f ( x )
y 反函数 y f 1( x)
例如 (-2, 4 ) = N (1, 3) ，( 1, 5 ) = N (3, 2)
说明
★ 导数的等价形式
自变量增量常记作x x x0，从而x x0 x ( x 可正可负)
函数增量可表示为： y f (x) f (x0) f (x0 x) f (x0)
故等价地有：
f x0
f
(x) x
导数知识点
导数知识点导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。
导数的概念由英国数学家牛顿和莱布尼茨提出，并成为微积分的基础。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，通常表示为f'(x)，其中f(x)为函数，x为自变量。
导数的定义可以用极限来表示，即当自变量的增量趋近于0时，函数值的增量与自变量的比值的极限值。
导数可以理解为函数在某点的瞬时变化率。
2. 导数的几何意义导数的几何意义可以通过函数的图像来理解。
在函数图像上，导数就是曲线在某点的切线斜率。
切线可以用来近似描述曲线在某一点的变化情况。
3. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，常见的方法包括：- 使用导数的定义进行计算，即求出函数值的增量与自变量的比值的极限；- 使用基本函数的导数公式，例如常数的导数为0，幂函数的导数为幂次-1乘以系数，指数函数的导数等于自身乘以对数底数等等；- 使用导数的运算法则，例如和、差、积、商及复合函数的求导法则。
4. 导数的性质导数具有一系列重要性质，包括：- 可导函数的连续性：如果一个函数在某点可导，则该点必然连续；- 函数的可加性：若两个函数都在某点可导，则其和、差、积也在该点可导；- 导数与常数乘积：函数与一个常数的积的导数等于该常数乘以函数的导数；- 复合函数的导数：复合函数的导数等于外函数对自变量的导数乘以内函数对外函数的导数。
5. 高阶导数高阶导数是对导数的推广，表示对原函数进行多次求导的结果。
高阶导数可以用f''(x)、f'''(x)等符号表示，其中f''(x)表示二阶导数，f'''(x)表示三阶导数，以此类推。
高阶导数描述了函数变化的更高级特征。
6. 常见函数的导数常见函数的导数有一些常用的规则，例如：- 常数函数的导数为0；- 幂函数的导数为幂次-1乘以系数；- 指数函数的导数等于自身乘以对数底数；- 对数函数的导数等于自变量的倒数；- 三角函数的导数具有特定的公式。
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3 x 4
7 4
例3. 求函数 解: 则
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
lim
h 2 cos( x ) 2
h 0
h lim cos( x ) h 0 2
即
cos x
O
x
定理2. 函数
是 简写为 定理3. 函数
在点 且
可导的充分必要条件
f ( x 0 ) 存在
在点
f ( x0 )
处右 (左) 导数存在 与 f (b)
在点
若函数
必 右 (左) 连续.
在开区间 内可导, 且 上可导.
都存在 , 则称 在闭区间 显然: 在闭区间 [a , b] 上可导
内容小结
例7. 问曲线 的切线与直线 解:
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 3
y x 0 ,
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
例1. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
即 例2. 求函数 解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
存在, 则称函数 在点
在点
处可导, 并称此极限为
的导数. 记作:
y x x0 ;
即
y x x0
dy f ( x0 ) ; ; dx x x0 y f ( x0 ) lim x 0 x
d f ( x) dx x x0
运动质点的位置函数 s f (t )
第二章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义
第二章
三、导数的几何意义
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x
例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h
例6. 设
f ( x0 h) f ( x0 h) . 存在, 求极限 lim h 0 2h
Δy , 也称 若 lim Δ x 0 Δ x
在
的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f (x ) ; dx dx d f ( x0 ) 注意: f ( x0 ) f ( x) x x0 dx
是否可按下述方法作: f ( x ) f ( x0 ) hf)( 0f x0) x ( h) 0 0 解: 原式 lim
令 t x0 0h , 则 h
原式 1 f ( x ) 1 f ( x ) f ( x0 ) 0 0 2 2
2(h) 2h
三、 导数的几何意义
平行的切线方程分别为 即
y 1
1
O
1
1 x
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有 在点 x 处可导, 即
其中
故 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续， 但在该点未必可导. 反例:
x 0
y x
y
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
O
x
f (t ) t
s
2. 曲线的切线斜率
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
y
Hale Waihona Puke y f (x)N
T
切线 MT 的斜率
C M O x0
x
x
lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
在 t 0 时刻的瞬时速度
f (t0 ) O t0
f (t ) t
s
f ( t0 )
曲线 C : y f ( x)在 M 点处的切线斜率
y
y f (x)
N
T
f ( x0 )
C M O x0
x
x
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在, 就说函数在点 x0不可导.
sin x 0 f (0) lim 1 x0 x 0 ax 0 a f (0) lim x 0 x 0 在 故 a 1 时 此时
都存在,
备用题
1. 设 存在, 且 求
解: 因为
1 f (1 ( x)) f (1) lim 2 x0 ( x)
1. 导数的实质: 增量比的极限; f ( x0 ) f ( x0 ) a 2. f ( x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
( x ) x ; (sin x) cos x ; (cos x) sin x ; 不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.
(C ) 0 ;
1
1 (ln x) x
思考与练习
1. 函数 在某点 处的导数 与导函数
有什么区别与联系 ?
区别:
f (x) 是函数 , f ( x0 ) 是数值;
f ( x) x x0 f ( x0 )
联系:
注意:
f ( x0 )？f ( x0 ) ] [
曲线 若 在点 的切线斜率为 上升;
y
y f (x)
T
tan f ( x0 )
曲线过
C M x0 O
若
若 若
曲线过
下降;
y
x
切线与 x 轴平行,
称为驻点;
( x0 , y0 ) x0 x
切线与 x 轴垂直 .
曲线在点 处的
O
y
切线方程:
法线方程:
O
x0
x
( f ( x0 ) 0 )
五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点
的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
f ( x0 ) ( f ( x0 ))
即
f ( x0 )
y x
y
例如, f ( x) x 在 x = 0 处有
x a
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
例如， ( x ) ( x ) x
1 2
1 2
（以后将证明）
1 2
2 x 1 1 1 x 11 2 (x ) x x
3 4 )
1
1 ( ) ( x x x
(sin x) cos x (cos x) sin x
类似可证得
例4. 求函数 解:
的导数.
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h 1 lim h 0 h
x 1
lim
h
h 0
1 x
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
二、导数的定义
定义1 . 设函数 若
在点
的某邻域内有定义 ,
y f ( x ) f ( x0 ) x x x0
y f ( x ) f ( x0 ) lim lim x x0 x 0 x x x0
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
f (t0 ) f (t ) t O t0 y y f (x) N
s
C M O x0
T
x
x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
所以
2. 设
在 证：因为 又 所以 即 在
在
处连续, 且
存在， 证明:
处可导.
则有 存在，
处连续, 故
f ( x) f (0) lim x 0 x
在 处可导.
2. 设
存在 , 则 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x ) lim ________ . 0 h 0 h 则 时, 恒有
3. 已知
4. 若
k0
问
是否在
可导?
解:由题设 故 在