2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第86—90题(含答案解析)
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ,若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个,即左右两个函数的交点有且仅有三个, 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动,但是有规律的移动,“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的,而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()11x a =-()21x a =- 由32x x+=解得31x =-,43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限,一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >,故a =综上,95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=,点O 为三角形外接圆的圆心,若OA xOB yOC =+ ,则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题,常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=,得23BOC π∠=,不妨如图固定,,O B C 三点,因为ABC ∆是锐角三角形,所以点A 在 'DC上运动,取OB 的中点为'B ()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ,于是作出了',',B C E 三点共线。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第186190题 含解析 精品
感知高考刺金186数列模块2．已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n =∈N ．若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是 ．解：{}n a 是递减数列，从4a 开始，必须满足130t -< 又对1,2,3n =，根据二次函数的性质，需要满足对称轴3522t > 注意还要满足34a a >，即991813t t -+>-， 综上得543t <<感知高考刺金187数列模块3．已知集合21|,*2n n A n n λ-⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若A 中有且仅有3个元素，则实数λ的取值范围是 ．解：令212n n n b n a -=，考查n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，111212352222n n n n n n n b b n n na a -------=-= 当2n =时，110n n n n b b a a --->，即2121b ba a > 当3n ≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减 1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a = 由题意知，A 中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以71162λ<≤ 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量n 取正整数，函数图象是不连续的点。
因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。
这个题目最经典的题根就是“递增数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，则λ的取值范围是 。
”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用10n n a a -->的角度来求解。
感知高考刺金188数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列{}n a 中，121,2a a ==且132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则9a = ． 解：当1k =时，由132112k k k k a a a a +++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及121,2a a ==得4312112a a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，所以3312112a a ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以233320a a --<3a <<，又3*a N ∈，所以33a =，所以45a = 当2k =时，由5231125a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以58a = 当3k =时，由6251128a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以613a = 当4k =时，由72811213a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以721a = 继续下去，可得955a =本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得 ()()12321k k k k k k a a a a a a ++++++=-可以发现12321,k k k k k k a a a a a a ++++++==+，即斐波那契数列．感知高考刺金189数列模块5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值是 ． 解：设n a pn q =+，则()232222n n p q pn q np p q a S pn q n n q +++++=++=++ 故2322p A p q B q C ⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得3B CA -=故13B C B C A B C+-=+-≥-感知高考刺金190数列模块6．已知函数()()[)()[)()11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足()*2m m a f m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -= ．解：()[)()[)()11sin 2,4,422,,*21sin 22,42,442n m n m n m n n m a f n m x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪⎛⎫==∈∈⎨ ⎪⎝⎭⎪-++∈++⎪⎩N N所以42n a n =，412n a n +=+，4221n a n +=+，4322n a n +=++ 故201420062007200820148042S S a a a -=+++=。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第86—90题(含答案解析)
感知高考刺金861．若对任意的[]0,5x ∈，不等式1145m n x x +≤+恒成立，则m 的最大值为 ，n 的最小值为 。
解：当0x =时，1145m nx x +≤≤+恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈时，1114545m n m nx x x +≤≤+⇔≤-≤45m n ⇔≤≤45m n⇔≤ 令()f x =，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦所以11,48515m n ≤-≥-，即11,23m n ≤-≥- 2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾 客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是 。
解：542感知高考刺金871．若I 是椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点三角形12PF F ∆的内心，12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，则PI IM= 。
解法一：设12,PF m PF n ==，则2m n a += 又12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，所以1212PF PF F MF M=所以11211222PF PF PF a aF MF M F Mc c+===+ 因为1F I 也是12PF F ∠的角平分线，所以11PI PF a IMF Mc== 解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为P ，则内心在y 轴上，设()0,I r ，则由()1122222S c b a c r ∆=⋅⋅=+ 得bcr a c=+，所以1PI b r a c a IM r c c -+==-=2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为()f x ，则()max f x = 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第76—80题(含答案解析)
感知高考刺金761．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，满足：CO mCA nCB =+u u u r u u u r u u u r ，432m n +=，且CA =u u u r 6CB =u u u r ，则CA CB =u u u r u u u r g。
解法一：2CO mCA CO nCB CO =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r gg ，所以()2241864312R m n m n =+=+=，即R = 所以外接圆的圆心就在边CA 的中点，所以2B π= 所以236CA CB CB ==u u u r u u u r u u u r g解法二：2CO CA mCA nCB CA =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，2CO CB mCA CB nCB =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g所以2448m nCA CB =+u u u r u u u r g ，1836n mCA CB =+u u u r u u u r g又432m n +=，所以36CA CB =u u u r u u u r g 解法三：322223CA n CB CO mCA nCB m ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r取CA 的中点D ，取CB 的三等分点E ，则322n CO mCD CE =+u u u r u u u r u u u r 又3212n m +=，所以,,O D E 三点共线 所以2CDE π∠=，所以2323362CA CB CD CE CD ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 点评：本题是三角形外心与向量融合的典范，常规套路要熟悉。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第361—365题(含答案解析)
感知高考刺金361题设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,22t ⎡⎤=⎣⎦,…,n t n ⎡⎤=⎣⎦同时．．成立．．,则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,所以22t ≤由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<,所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<,故正整数n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ,O 为坐标原点,若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=,则min OQ = ． 解：设()11,A x y ,()22,B x y ,(),Q m n ,直线():11l y k x =++则11MA +,21MB +,1MQ =+ 由112MA MB MQ+=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+,()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+ 所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ感知高考刺金363题如图,已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点,3BD DC =,()*n E n ∈N 为AC 边上一列点,满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+,其中数列{}n a 满足0n a >,11a =,则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =可得1344n n n E D E B E C =+ 又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+,且n n E C E A λ= 故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦即()13131324164n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 因为,n n E B E D 不共线,故()1310416313204n n a a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,两式相除消去λ得132n n a a +=+,又11a =,所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.若设||r PA PB =+,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上. 由圆C 与圆D 有公共点A可得2||5r CD +≥=≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-.从而,1||(63PA PB x x +=≥=-≥.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-.故||(2cos 52cos 3PA PB θ+=≥=-≥. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥. 解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=.由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=.解法6：同解法5,设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=.由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则112u x y =+的取值范围为 ． 解：可行域如图所示,()1,2A ,()4,2B ,()3,1C ,所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点, 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数,又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时,此时x 取得最大值4,同时y 取得最大值2,此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值,要使u 取得最大值,应使x 取得最小值,即点P 应位于线段AB 上,此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =,此时()1,2P 与点A 重合 综上所述,1524u ≤≤。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题含答案解析)
感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为 ．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ， 所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点， 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4， 同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合 综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为 ．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题第356—360题(含答案解析)
感知高考刺金题
已知实数满足关系式，则的最小值是．
解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
由或
所以
点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来
求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做。
虽然答案正好一样，但做法要注意。
解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形。
令，则问题转变为已知，求的最小值。
因为
所以还需要计算定义域，即
所以
解法三：设，则视为的两根
所以
所以或
当且仅当时取得最小值。
感知高考刺金题
已知点为圆与圆的公共点，圆，圆，若，，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为．
解：设，，则，
所以，即
同理
所以是方程的两个实根
所以
所以点的轨迹方程为
所以点到直线的最短距离为
感知高考刺金题
已知向量满足，，则的取值范围是．
解：（一）几何角度
由和可以画图，找到向量模长的几何意义。
解法一：基底法
因为
因为三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。
那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然两个
向量长度已知，适合做基底。
（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就
不会是求最小值了。
）
所以由三点共线，且，可知
所以
解法二：解三角形
设，
则在与中运用余弦定理得
解得
又在中，利用三角形两边之和大于等于第三边得，即
所以
（二）代数角度
解法三：换元思想。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题(含答案解析)
感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为 。
解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。
2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为 。
解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为 。
解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题含解析
感知高考刺金961．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC，则c b b c+的最大值为 ，此时内角A 的值为 。
解法一:由21sin 2ABCS bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时，max4c b b c⎛⎫+= ⎪⎝⎭解法二：以BC 为x 轴，BC 中点为原点建系，则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c=当0x =时,1b c=当0x >时,bc=，当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦，1y t=+单调递减，所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =，AC =，则2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。
2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12,构造数列{}na ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()12*n n S a a a n =+++∈N ，则42S =时的概率为 。
解：42S=，需四次中有3次正面，1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线by x a =-于,Q R 两点，交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ∆与ONR∆的面积为12,S S ，当2ab =时，2212S S +的最小值为 。
解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα，()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22Sa b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥当且仅当4πα=时取得最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第216—220题(含答案解析)
感知高考刺金216题已知实数a b c <<,设函数()111f x x a x b x c=++---的两个零点分别为()1212,x x x x <,则下列关系中恒成立的是（ ）（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<<（C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<<解：()111f x x a x b x c=++---的两个零点, 即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点因为()g x 开口向上,()()()g b b a b c =--,又a b c <<,所以()0g b <即函数()g x 的零点一个大于b ,一个小于b ,且()0g a >,()0g c >所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知12a x b x c <<<<,选C感知高考刺金217题已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上,若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上,记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ,则123111k k k -+= ． 解：2:4y x Γ=,设211,4y B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,222,4y C y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以222212121122123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=--- 点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是基于抛物线上的点的设法2,2y y p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,在化简过程中利用好平方差公式,可以使得计算简便。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}maxmax 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-= 综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a ba =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+ 令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第201—205题含解析
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-,所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题,由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-,解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP M P ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===,其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值,即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k =故()4,2P ，2424a PM PN =-=-由24c =，得1e感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ,且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ． 解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-,所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点,12,F F 是其左、右焦点,O 坐标原点，若12PF PF OP +则此双曲线的离心率是 ． 解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a += 所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=,直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点,则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ,所以1d =≥，解得34k ≥-。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)
感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}max max 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥， 可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-=综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a b a =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第86—90题(含答案解析)
感知高考刺金861．若对任意的[]0,5x ∈，不等式1145m n x x +≤+恒成立，则m 的最大值为 ，n 的最小值为 。
解：当0x =时，1145m nx x +≤≤+恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈时，1114545m n m nx x x +≤≤+⇔≤≤45m n ⇔≤≤45m n⇔≤ 令()f x =，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦所以11,48515m n ≤-≥-，即11,23m n ≤-≥- 2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾 客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是 。
解：542感知高考刺金871．若I 是椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点三角形12PF F ∆的内心，12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，则PI IM= 。
解法一：设12,PF m PF n ==，则2m n a += 又12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，所以1212PF PF F MF M=所以11211222PF PF PF a aF MF M F Mc c+===+因为1F I 也是12PF F ∠的角平分线，所以11PI PF a IMF Mc==解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为P ，则内心在y 轴上，设()0,I r ，则由()1122222S c b a c r ∆=⋅⋅=+ 得bcr a c=+，所以1PI b r a c a IM r c c -+==-=2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为()f x ，则()max f x = 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第201—205题(含答案解析)
感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是 ．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a+=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d =≥，解得34k ≥-。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第396—400题(含答案解析)
感知高考刺金396题 已知椭圆22221x y a b +=，12,F F 是椭圆的左、右焦点，,A C 是椭圆上关于x 轴对称的两点，B 为短轴的端点，线段AB 恰好过右焦点，若1AB CF ⊥，则椭圆的离心率e = ． 解：设()0,B b ，()2,0F c ，()2,BF c b =- ，()22,F A BF c b λλλ==- ，()(),,A A x c y c b λλ-=-即,A A x c c y b λλ=+=-，则(),C c c b λλ+ 所以12F C bk c c λλ=+，2F B bk c =-1212F C F B bb k kc c c λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪+⎝⎭2222cb c λ⇒=- 点A 在椭圆上，所以2222222222222211c c c b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=化简得2245a c a e =⇒=感知高考刺金397题【2017新课标卷II,理14】若x,y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，,则z x y =+的最大值为____________。
解：第一步：由约束条件，画出可行域 ，如图 先确定满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，的可行域，作出3条直线，围成一个三角形区域；第二步：把目标函数()0z ax by b =+≠化为a z y xb b =-+，作直线a y x b =-将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，作直线y x =-； 第三步：平移直线a y x b =-，确定目标函数最值把直线y x =-进行平行,确定平移到什么位置截距最大,然后把该点坐标代入z x y =+求最大值.当z 取最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D （1，12），则z x y =+的最大值为23感知高考刺金398题【2017新课标卷II,理14】函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________． 解：()22311cos cos 44f x x x x x =--=-+=2(cos 1x -+,由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1． 点评：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．感知高考刺金399题【2017全国Ⅱ，文8】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是____________。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第91—95题(含答案解析)
感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。
解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。
2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。
解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。
解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。
解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第1—5题(含答案解析)
感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α,垂足为O ．在矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,若点A 在l 上移动,点B 在平面α上移动,则O ,D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ,则E 点的轨迹是球面的一部分,1OE =,DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 种．答案：30种感知高考刺金41． 在平面直角坐标系xOy 中,设定点(),A a a ,P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >,则12x x+≥,分两种情况： （1）当2a ≥时,min AP =,则a（2）当2a <时,min AP =则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =,22y x=-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方, 令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有 种．答案：140种。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题(含答案解析)
感知高考刺金961．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且BC，则c b b c+的最大值为 ，此时内角A 的值为 。
解法一：由21sin 212ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时，max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴，BC 中点为原点建系，则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6A x a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AB =AC所以b c == 当0x =时，1b c= 当0x >时，b c =，当且仅当x =时取等号所以令2b t c ⎡⎤=∈⎣⎦，1y t t=+单调递减，所以当2t =-时，即3x =时，max 4y =此时AB =，AC =，则2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π= 由对称性可知，0x <时也一样。
2．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{}n a ，使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时），记()12*n n S a a a n =+++∈L N ，则42S =时的概率为 。
解：42S =，需四次中有3次正面，1次反面，故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点，过P 引x 轴，y 轴的平行线，分别交直线b y x a=-于,Q R 两点，交y 轴，x 轴于,M N 两点，记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，当2ab =时，2212S S +的最小值为 。
解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα，()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第81—85题(含答案解析)
感知高考刺金811．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB =+，则r = 。
解法一：将5344OC OA OB =+两边平方，得222225915cos 16168r r r r AOB =++∠， 3cos 5AOB ∠=-又圆心到直线2y x =-+的距离为d所以cos2AOB ∠ 所以223215r ⋅-=-，所以r =解法二：由5344OC OA OB =+得53288OC OA OB =+设OC 与AB 交于点M ，则,,A M B 三点共线。
,22CO r AO BO r OM ====，且35AM BM = 所以利用cos cos AMO BMO ∠=-∠得,AM BM ==所以AB =过O 作AB 的垂线交AB 于D，根据圆心到直线的距离为OD =2225r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭解得r =2．从1，2，3，4，5五个数中随机地依次选取三个不同的数，则所取的三个数按照挑选的顺序排列恰能构成等差数列的概率是 ． 解：358215A =感知高考刺金821．已知()y f x =是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x x x m =-+，如果对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是 。
解：()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可。
即8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-2．在同一层楼有一排8间会议室，现要安排4个不同学科的研讨会在这8间研讨室，要求任意两个研讨会不相邻的安排方法有 种．解：45120A =感知高考刺金831．在平行四边形ABCD 中，BH CD ⊥于H ，BH 交AC 于点E ，若3BE =，215AB AC AE AC BE CB AE -+-=，则AE EC= 。
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感知高考刺金86
1．若对任意的[]0,5x ∈，不等
式1145m n x x +
≤+恒成立，则m 的最大值为 ，n 的最小值为 。
解：当0x =
时，1145m n
x x +≤
≤+恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈
时，1114545m n m n
x x x +≤
≤+⇔≤-≤
45m n ⇔
≤≤
45m n
⇔≤ 令()
f x =
，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤
∈-- ⎥⎝⎦
所以
11,48515m n ≤-≥-，即11
,23
m n ≤-≥- 2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾 客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是 。
解：542
感知高考刺金87
1．若I 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>焦点三角形12PF F ∆的内心，12PF F ∆的角平分线交12
F F 于M ，则
PI IM
= 。
解法一：设12,PF m PF n ==，则2m n a += 又12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，所以
1212PF PF F M
F M
=
所以
11211222PF PF PF a a
F M
F M F M
c c
+=
=
=+
因为1F I 也是12PF F ∠的角平分线，所以
11PI PF a IM
F M
c
=
=
解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为P ，则内心在y 轴上，设()0,I r ，则由()11
22222
S c b a c r ∆=⋅⋅=+ 得bc
r a c
=
+，所以1PI b r a c a IM r c c -+==-=
2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为()f x ，则()max f x = 。
解：()()()3
31012111098
x
x x x C f x C --=-=-⋅⋅，单调递减
故()max 119
120
f x =
感知高考刺金88
1．已知12,F F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点，直线l 过
焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，2ABF ∆是以2BAF ∠为直角的等腰直角三角形，则椭圆离心率e = 。
解：设2AF m =，1AF n =，1BF p =
，2BF =
则222224n p m
m n a
p a
m n c +=⎧⎪+=⎪
+=⎪+=⎩
可求得m n ==
所以2
2
2
4c +=
所以(
)
22
3
1
e =
，所以e =
变式：已知12,F F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点，直线l 过焦点1F 与椭圆交于,A B
两点，2ABF ∆是直角三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 。
解：（1）当22
BF A π
∠=
时，
若直线AB 的斜率不存在，则2
2b c a
=，即2210e e +-=
，解得1e = 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()0y k x c k =+≠，代入椭圆方程22
221
x y a b
+=得()()
2222222222220a k b x k a cx a c k a b +++-=
则2222222
1212222222
2,k a c a c k a b x x x x a k b a k b --+==++
由22
BF A π∠=得220AF BF =
所以()()12120c x c x y y --+=
即()()()()212120c x c x k x c x c --+++=
所以()
224244a c b k b -=，所以22440a c b ->，即2222ac b a c >=-
，所以1e >
（2）当22BAF π∠=时，22
22222
1x y a b
x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
有解，即()22
2220a x c b c =-≥ 所以c b ≥
，即e ≥
综上可得，1e
2．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A 中任取一个元素用()1,2,3,4,5i a i =表示，在B 中任取一个元素用()1,2,3,4,5j b j =表示，则所取两数满足
i j a b >的概率为 。
解：123453
555
++++=⋅
感知高考刺金89
1．若等差数列
{}n a 满足22
11010a a +=，则1011
S a a a
=+++ 的最大值为 。
解法一：由2211010a a +=得()2
2
1010910a d a -+=
而101119101045S a a a a d =+++=+ ，所以10925
S
d a =
- 所以2
2
10103105S a a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭整理得关于10a 的方程221010610100525S S a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有实根
所以2
236401002525S S ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭
，解得5050S -≤≤
解法二：
由题可设110,a a θθ
，公差1019a a d -=
=
所以()
()101119101045550sin S a a a a d θθθϕ=+++=+==- 当且仅当()sin 1θϕ-=时，max 50S =
2．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选
择3个点，刚好构成直角三角形的概率是 。
解：直径有5条，故直角三角形有1
8
540C ⋅= 31040401
1203
P C =
==
感知高考刺金90
1．已知在数列{}n a 中，11a =，23a =，对任意*n N ∈，都有232n n n a a +≤+⋅，121n n a a +≥+成立，则数列{}n a 的通项公式为 。
解：
2222131112424242n n n n n n n n
a a a a ++++⎛⎫
≤⋅+⇒-≤⋅- ⎪⎝⎭
若n 是偶数时，12
2
222211111112424242n
n
n n n n n
a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-≤⋅-≤≤-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以21n n a ≤-
若n 是奇数时，1
2
212
1111111242422n n
n n n n a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-≤⋅-≤≤-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
所以21n n a ≤-
综上，对任意*n N ∈，21n n a ≤-
又()()111121121212n n n n n n a a a a a +++≥+⇒+≥+≥≥+= 所以对任意*n N ∈，21n n a ≥- 综上可得21n n a =-，*n N ∈
评注：这是夹逼原理在数列中的应用。
2．为了支持拆迁工作，某镇决定接受一批移民，其中有3户互为亲戚关系，将这3户移民随机安置到5个村民组，则这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率为 。
解：2235335412
512525
C A P ⨯⨯===。