线性规划1
04-06线性规划-1
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
第1章 线性规划
第1章线性规划本章介绍了什么是线性规划，线性规划数学模型的概念及其建立数学模型方法；阐述了线性规划的图解法、解的概念及解的形式；详细介绍了普通单纯形法、人工变量单纯形法及单纯形法计算公式。
1．考核知识点（1） 基本概念：数学模型、决策变量、目标函数、约束条件、标准型、图解法、基矩阵、基变量、非基变量、可行解、基解、基可行解、最优解、基最优解、唯一解、多重解、无界解、无可行解、单纯形法、最小比值、入基变量、出基变量、解的判断、大M法、两阶段法、改进单纯形法。
（2） 建立简单的线性规划数学模型。
（3） 求解线性规划的图解法。
（4） 基、可行基及最优基的定义。
（5） 可行解、基本解、基可行解、最优解、基本最优解的定义及其相互关系。
（6） 有唯一解、有无穷多解、无界解、无可行解的判断。
（7） 求解线性规划的单纯形法。
（8） 求解线性规划的人工变量法。
（9） 单纯形法中的5个计算公式。
2．学习要求（1） 深刻领会线性规划的各种基与解的基本概念，它们之间的相互关系。
（2）掌握图解法的计算步骤，注意怎样将目标函数表达成一条直线，这条直线如何平移使得目标函数值上升或下降。
（3） 熟练掌握单纯形法计算的全过程，特别应注意如何列出单纯形表，如何由一个基可行解换到另一个基可行解，基可行解是最优解、无界解或多重解的判断准则。
（4） 理解在什么情况下加入人工变量，人工变量起何作用，用大M法计算时目标函数的变化，两阶段法计算时目标函数的构成，掌握这两种计算方法的全过程，在什么情形下线性规划无可行解。
（5） 理解用矩阵形式代替单纯形表，并用矩阵公式求解线性规划。
3．重点建立线性规划数学模型，有关线性规划解的概念、解的形式，单纯形法计算、大M法、两阶段法。
4．难点解析（1）建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。
建立正确的数学模型要掌握3个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。
第1章 线性规划问题
7连续加工问题
一工厂在第一车间用一单位M可加工成3单位产品 A，2单位产品B,A可以按每单位售价8元出售， 也可以在第二车间继续加工，每单位生产费用增 加6元，加工后每单位售价为16元；B可以按每 单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工， 每单位生产费用增加4元，加工后每单位售价为 12元.原料M的单位购入价为2元。上述生产费用 不包括工资在内.三个车间每月最多有20万工时， 每工时工资0.5元.每加工一单位M需1.5工时，如 A继续加工，每单位需3工时；如B继续加工，每 单位需1工时。每月最多能得到的原料M为10万 单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？
23
管
理
运
筹
学
三、线性规划标准型及解的概念
• 线性规划的一般形式 max (min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
xj 0
x j ; j 1,2,...,n
c (c1 , c 2 , , c n )
( j 1,2, , n)
为待定的决策变量，
为价值向量， c j ; j 1, 2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a mn a1n a 2n
线性规划理论与模型应用
授课人 葛金辉
第五章 线性规划(1)
线性规划问题的标准形式：
n
min cj xj j 1
(3.1)
(LP)
n
s.t. aij x j bi j 1
i 1,2, ,m (3.2)
xj 0
j 1, 2, , n (3.3)
令 c (c1,c2, , cn )T --- 价 格 系 数 或 成 本 系 数 ，
min cT x s.t. Ax b
x0
记标准线性规划的约束集合 S {x | Ax b, x 0}， A Rmn ， b Rm, m n . 可行解， 可行域 最优解：使目标函数（3.1）达到最小值的可行解. 基 ： 设 A 为 mn 阶 的 系 数 矩 阵 ， m n ， Rank(A) m ， B 是矩阵 A 中的 m m 阶的满秩子 矩阵，称 B 是线性规划问题的一个基.
解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，
下图的阴影部分描述了满足约束条件的区域，为
OABCD;红虚线为目标函数 Z= z 2x1 3x2 的等值 线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，
平移等值线直至与可行域 OABCD 相切或融合为
一条直线，此时就得到最优解为 C 点，其坐标可
通过解方程组得到： x2
变量 xni 0 ，把上述约束化为等式约束
n
aij x j xni bi ；
j 1
4.若第 i 个等式约束中 bi 0 ，则用（-1）乘该等 式两端；
5.若 x j 为自由变量，可令 xj uj v j ,uj 0,v j 0 ， 把它代入目标函数和约束函数。
量称为非基变量.
基本解：在约束方程组（3.2）中，令所有非基
变量取零，由 m 个约束方程可解出 m 个基变量
第一 线性规划(共188张PPT)
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
第二章线性规划1
例4,写出下列线性规划问题的对偶问题 m Z = 3x1 + 2x2 4x3 + x4 in x1 + x2 3x3 + x4 ≥10 + 2x3 x4 ≤ 8 2x1 s.t. x2 + x3 + x4 = 6 x1 ≤ 0, x2 , x3 ≥ 0, x4 无约束
13
原问题与对偶问题之间的关系: 原问题与对偶问题之间的关系:
minw = 5y1 +14y2 + 3y3 y1 + 3y2 4 y3 ≥ 3 2 y1 y2 + 3y3 ≥ 6 s.t.3y1 + y2 + 3y3 = 5 y1 7y2 + 2 y3 = 3 y2 ≤ 0, y3 ≥ 0, y1自由变量
15
三,对偶理论
m Z = CX ax
(DP)
A Y ≥ C s.t. 约 Y无 束
10
例3,试写出下列LP问题的对偶问题 m Z = 3x1 x2 2x3 in
3x1 + 2x2 3x3 = 6 s.t. x1 2x2 + x3 = 4 , , ≥0 x1 x2 x3
解: m Z = 3x1 x2 2x3 in 3x1 + 2x2 3x3 ≤ 6 3x1 2x2 + 3x3 ≤ 6 s.t. x1 2x2 + x3 ≤ 4 x1 + 2x2 x3 ≤ 4 x1, x2 , x3 ≥ 0
§2.1 线性规划问题
1,线性规划问题举例 , 某工厂用3种原料 种原料P1, , 例2.1.1 某工厂用 种原料 ,P2,P3 生产3种产品 生产 种产品 Q1,Q2,Q3.是制订出总 , , . 利润最大的生产计划. 利润最大的生产计划.
第一章 线性规划
第一章 线性规划
(Linear Programming, LP)
概述
• 线性规划问题的提出最早是1939年由前苏联 数学家康托洛维奇在研究铁路运输的组织问题、 工业生产的管理问题时提出来的。
（5）若bi < 0，则－bi > 0
举例: 化下列线性规划为标准形
max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 x1 + 2x2－4x3≤80 x1、x2≥0，x3无限制
max z=2x1+2x2－4x3’+4x3” x1 + 3x2－3x3’+3x3” –x4 = 30 x1 + 2x2－4x3+ 4x3” + x5 = 80 x1、x2 、x3’、x3” 、x4、x5 ≥0
称X0为该线性规划对应与基B的一个基本解。
同样，在A中任选m个线性无关的列向量都可以组成一个基， 对应基一个基本解。对于一个LP最多有多少呢？从n个中 选m个进行组合，即：
Cnm=n！/[（n－m）！m！] 因此，基本解是有限的。
举例：找出下列LP所有的基及其对应的基本解 max z=6x1+4x2 2x1 + 3x2≤100 4x1 + 2x2≤120 x1、x2≥0
资源
产品
甲
乙 资源限制
A
1
B
2
C
0
单位产品利润(元/件) 50
1
300kg
1
400kg
1
250kg
100
• 决策变量：x1、x2——分别代表甲、乙两
线性规划(1基本概念)
满足约束条件（1-13） -2x1 + 3x2 6 （1-13-1） 3x1 - 2x2 6 （1-13-2） x1 + x 2 4 （1-13-3） 且满足 x1,x2 0 （1-14） 的交点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）都是基础可行 解。 注意：点A，B不满足x1,x2 0 点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）刚好是可行域的顶 点。
线性规划问题的标准形式(1)：
Max S=c1x1+c2x2+…..+cnxn s.t. a11x1+a12x2+….+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+….+a2nxn=b2
………………….
am1x1+am2x2+….+amnxn=bm x1,x2….xn 0
其中：bi 0(i=1,2,….m)
10
20
30
40
x1
x2 50 Q3（0，40） 40 30
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
该问题的可行域是由O， Q1，Q2，Q3作为顶点的
20 可行域 10
Q2（15，20）
凸多边形
Q1（25，0） O（0，0） 10 20 30 40 x1
线性规划问题的标准形式(2)：
Max S =
c
j
njxjຫໍສະໝຸດ s.t.aj
n
ij
x j bi
xj 0 (i=1,2,….m)
线性规划标准型的矩阵形式(3)：
Max S =
s.t.
CX
AX=b X0
a11 a12 …. a1n
第1章线性规划(1-2)
1.1线性规划的模型结构 1.1线性规划的模型结构
实际问题中线性的含义： 一是严格的比例性， 生产某产品对资源的消耗量和 可获取的利润，同其生产数量严格成比例； 二是可叠加性，如生产多种产品时，可获取的总利 润是各项产品的利润之和，对某项资源的消耗量应等 于各产品对该项资源的消耗量的和。在实际处理不符 合条件的问题时，为方便可将其看作近似满足线性条 件。
【问题导入】 生产优化—产品组合问题 问题导入】 生产优化—
如果征得管理部门的同意，不盈利的产品要 停止生产并撤出生产能力来生产研发部刚开 发的两个新产品：绿色时尚系列茶几A 发的两个新产品：绿色时尚系列茶几A 和餐 桌B。现在管理部门要考虑下列两个问题： 1.公司是否应该生产这两个新产品？ 1.公司是否应该生产这两个新产品？ 2.如果生产，两个新产品的产品生产组合如 2.如果生产，两个新产品的产品生产组合如 何？——每周分别生产多少数量？ 何？——每周分别生产多少数量？
线性规划问题的解可能出现下列情况： 4. 可行域无界 这里，线性规划问题的可行域无界是指最大化问题 的目标函数值可以无限增大，或最小化问题的目标 函数值可以无限减小。
1.3应用Excel求解线性规划问题 1.3应用 应用Excel求解线性规划问题
图解法 单纯形法 Excel的 规划求解” Excel的“规划求解”
1.3应用Excel求解线性规划问题 1.3应用 应用Excel求解线性规划问题
首先，根据问题建立电子表格模型具体步骤如下：
1.收集问题的数据。 1.收集问题的数据。 2.在电子表格的数据单元格中输入数据。 2.在电子表格的数据单元格中输入数据。 3.确定对活动水平需要作出的决策并且指定可变单元显示这些 3.确定对活动水平需要作出的决策并且指定可变单元显示这些 决策。 4.确定对这些决策的约束条件并引入需具体化这些约束条件的 4.确定对这些决策的约束条件并引入需具体化这些约束条件的 输出单元格。 5.选择要输入目标单元格的完全绩效测度。 5.选择要输入目标单元格的完全绩效测度。 6.使用SUMPRODUCT函数为每个输出单元格（包括目标单元格） 6.使用SUMPRODUCT函数为每个输出单元格（包括目标单元格） 输入合适的值。
线性规划1
一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应
规格类型 钢板类型
A规格
B规格 1
2
C规格 1
第
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、 27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格的成品，且所使用的钢板张数最少。
解设需截第一种钢板x张第二种钢板y张则
2x+y≥15 x+2y≥18 x+3y≥27 x≥0 y≥0 目标函数为z=x+y 作出可行域 和平行直线x+y=t
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
； / 高清性感美女 ；
几佫青年正确定热血上脑の年纪/它们早就这些人不爽咯/把这些人恨到咯极致/见这些人还如此/壹佫佫挽起袖子/咬着牙齿青筋都要怒鼓出来///"都给我站住/"向福见这些青年要冲上去/它怒吼咯壹声/这才震住咯所有の青年/几佫上使见壹群人被喝斥住/嗤笑の着众人/我还当你们有胆量造反/ 哼/向福/还算你识趣/既然这样/就把孝敬交出来吧/楚南/"向福对着身边の向楚南喊道/向楚南尽管心中万分不甘/可也只能咬牙拿出壹佫袋子/有些怒意の递给向福/向福也不管向楚南の情绪/把袋子送到几人手中/这确定上使要の两百颗金啄鸟嘴/请上使查收/"为首の男子接过/丢给身边の人查 询咯壹下/清点完毕后才点点头笑道/这才识趣/不过/从这佫月起/孝敬要增加壹倍/你这还
第01-03章线性规划(1)
s.t.
x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3＝5
x1，x2≥0
24
(3)
Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 z’ = -z = 3x1–5x2–8x3+7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变 量x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 ， x2”≥0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两 端乘以-1 。 25
矩阵，一般有0<m<n
A=[aij]m×n i=1,2,..,m;j=1,2,…,n是约束条件方程的系数
X=(x1,x2,…,xn)T b= (b1,b2,…,bn)T
17
二、标准形式
1.标准型的描写形式
繁写形式
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn
a第一章_线性规划
运筹学
（2）线性规划问题如果有最优解，由图解法推断可行 域的某个顶点对应目标函数的最优解（证明见教材P16P20）。 可行域的顶点至多有Cmn 个，目标函数最优解问题就 转化为寻找可行域顶点的问题。 ①将所有顶点找出来，计算相应的目标函数的值，最 大者即为最优解。 ②先计算可行域某个顶点处的目标函数值，再考察它 周围相邻顶点的目标函数值是否比这个值更优，如果 为否，则该顶点就是最优解（或最优解之一），否则 转到比这个点的目标函数值更优的另一顶点，重复上 述过程，直到找出对应最优解的顶点（这是由 LP 问题 可行域为凸集所决定的）。
图解法的启示和知识要点： （ 1 ） LP 问题的可行域是一个多边形（多面体）。图解法仅 适用于两个变量的线性规划问题，求解时按原来题目对目标 函数的优化要求去求解即可，不必将求极小值化为求极大值。 三个变量的线性规划问题用图解法求解时，可行域是三 维空间的多面体，很难用平面上的图形画得清晰准确；目标 函数对应的是三维空间中的平面，难以通过平面上画出的立 体图形求出最优解。所以，从理论上讲，三个变量的线性规 划也有图解法，但实际上不可行。多于三个变量的线性规划 涉及到在高于三维的向量空间中求解优化问题，而三维以上 的空间已无直观的几何意义，故不存在相应的图解法。
原料A约束： 4X1
非负约束：
<=16
一般形式 Max CX s.t. AX<=b X>=0
原料B约束： 4X2<=12 X1 ， X2 >=0
运筹学
建立模型实例：发电厂燃煤混合问题
问题：某电厂可用燃煤甲、乙、丙，主要指标有含硫量、发热量、 价格，列表如下：
含硫量 甲 乙 丙 0.01 0.05 0.03 发热量（MJ/KG） 价格（元/T） 16 20 18 830 800 815
运筹学_线性规划1
x1 x 2 x3 10 3 x 2 x x 8 1 2 3 s.t. x1 3 x 2 x3 1 x1 , x 2 0, x3 符号不受限制
Байду номын сангаас
标 准 化
maxZ 2x1 3x2 ( x3 x4 ) 0 x5 0 x6
I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2
II 5 2 1 1
课堂练习
一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？
④ 右端非负。
标准型的紧缩形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n aij x j bi s.t. j 1 x 0 j
i 1,2,, m j 1,2,, n
标准型的矩阵形式：
max Z CX
AX b s.t. X 0
例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料
问 题 的 导 出
为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：
配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%
线性规划_1
解
假设我们想要让 变成基变量, 即选择 为进基 变量, 根据基本可行解的表示式, 必须让 只出 现在一个等式约束中
在
的各行除以 的系数
可得
在
中选定一行, 用其它行
减去该行, 即可达到只有一行有 的目的, 例如, 用一、二行减去第三行可以得到
整理后可得 问题：第一个方程的右边出现负数！
为了避免前面的问题, 在方程
第一、证明可行集总是凸集, 总有顶点是最优解, 所有顶点组成的集合总是有限集第二、如何计算顶 点
第三、如何在顶点集中找到最优解
凸集
如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集合, 则称其为凸集, 否则为非凸集, 如下图所示
凸集
非凸集
数学定义:
是凸集
当且仅当对任意实数和任意的
均成立
线性规划的可行集是凸集 规范形式可行集
其中
如果要选
）进基, 则应该仅保留第 行
（的 , 出基, 其中 满足
即
为获得 进基、 出基后的基本可行解的表 示式, 需要对原来的表示式
进行行等价变换, 使 前面的系数向量
变成
具体做法: 先在第 行除 以乘以 加到第
, 再将第 行分 别行
可以利用数据表完成换基运算 的表示式
由下面的数据表完全确定 （基变量）
基变量的函数关系代入
以
获得仅含非基变量的
,相
下面前三行等式将第四行的基变量的系数变成当于0
利
用
对于扩充约束 将第一行乘以-1加到第四行就可以得到 我们将其称为基本可行解 的扩充表示式
从扩充表示式
可以获得下述信息:
是基本可行解 的目标函数值满足 目标函数可以写成
,即 , 因此
线性规划1
• 考法一：常规求最值 例题：已知,x y 满足约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值与最小值之差为 .【答案】7【解析】画出不等式组2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线z x y +-=3分别经过点)3,2(A 和)2,0(B 时,y x z +=3分别取最大值9=M 和最小值2=m ,故7=-m M ,应填答案7.• 考法二：区域的面积 例题：• 考法三：距离 例题：不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )以及此图形面积（ ） A.矩形,24 B.三角形,26 C.直角梯形，20 D.等腰梯,24【答案】D【解析】原不等式组化为：50003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩或50003x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩，画出它们表示的平面区域，如图所示是一个等腰梯形，又x=3与直线x+y=0,x-y=5=0的四个交点坐标分别为（0,0）、（0,5）、（3,8）、（3，-3），其围成的梯形面积为 （5+11）×3÷2=24若x,y 满足约束条件221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2221x y x +-+的取值范围是（ ） A.[12，2] B.[1，] D.[2]【答案】A【解析】不等式对应的可行域为直线2,1,2x y y x +===围成的三角形及其内部，三个顶点为()()()1,1,2,1,2,0，()2222211x y x x y +-+=-+，看作点()(),,1,0x y 间的距离的平方，结合图形可知取值范围是[12，2]• 考法四：基本不等式 例题;设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23a b+的最小值为（ ） A.256B.527C.6D.5【答案】A【解析】约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥对应的可行域如图所示当z ax by =+过点()4,6A 时取得最大值12 4612236a b a b ∴+=∴+=()(231231661252349136666a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪∴⎝⎭⎝⎭，当且仅当66a b b a =时等号成立，取得最小值256• 考法五：平面向量 例题：已知点(1,2)P -，(1,1)Q --，(0,0)O ，点(,)M x y 在不等式组210,250,2x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩所表示的平面区域内，则||OP OQ OM ++的取值范围是（ ） A ．⎤⎥⎣⎦B ．1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎣D ．1,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 因为(1,2)P -，(1,1)Q --，(0,0)O ，点(,)M x y 所以),3,(y x OM OQ OP +-=++)2,3||OP OQ OM x y OP OQ OM x ++=-+++=，作出不等式组2102502x y x y y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤+⎩所表示的可行域如图，||OP OQ OM ++,即是可行域的点(),x y 到()0,3N 的距离d ，由图知d 的最小值就是点()0,3到直线20x y -+=的距离min 2d ==，由210250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()3,1A -，最大距离是()0,3到()3,1A -的距离，max5,||d MA OP OQ OM ==∴++的取值范围是2⎤⎥⎣⎦，故选A.• 考法六：函数及平面解析几何 例题;已知函数()321232x f x ax bx c =+++的两个极值分别为()1f x 和()2f x ，若1x 和2x 分别在区间()2,0-与()0,2内，则21b a --的取值范围为（ ） A. 22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B.22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ()2,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. ][2,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 ()22f x x ax b =++∴'()()()24220,24220,020f a b f a b f b -=-+>=++>='''<，即可行域为20{020a b b a b --<<++> ，表示一个三角形ABC 内部(不包含边界),其中()()()2,0,2,0,0,2A B C -- ，而21b a --表示可行域内的点P 到定点()1,2D 连线的斜率，其取值范围为()()()2,,,2,3DA DB k k ⎛⎫-∞⋃+∞=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，选C.• 考法七：斜率 例题;已知变量,x y 满足330,{1,40,x y x x y -+≤≥+-≤则22x y xy+的取值范围是（ ）A. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2510,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1302,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】本题考査线性规划及函数单调性.因为22x y x y xyy x +=+，令yk x=，则k 表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形可知OA OB k k k ≤≤，联立方程可以求出()97,,1,344A B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以739k ≤≤.令1z k k =+，由函数的单调性求得1023z ≤≤，所以22x y xy+的取值范围是102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A.• 考法八：含参数问题（包括目标函数中含参数、约束条件中含参数、目标函 数与约束条件中均含参数） 例题：当x ，y 满足不等式组22,4,72x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，设y kx z -=则，22≤≤-z ，由⎩⎨⎧=-=+x y y x 422，解得⎩⎨⎧=-=22y x ，即()2,2-B ，由⎩⎨⎧=-=+2722y x y x ，解得⎩⎨⎧==02y x ，即()0,2C ，由⎩⎨⎧=-=-274y x xy ，解得⎩⎨⎧-=-=15y x ，即()1,5--A ，要使22kx y -≤-≤恒成立，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤--≤-022222222k k k ，解得051≤≤-k ，故选：D.• 考法九：:隐藏的线性规划 例题：已知向量()3,1OA =， ()1,3OB =-， (0,0)OC mOA nOB m n =->>，若[]1,2m n +∈，则OC 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()3,3OC m n m n =+-所以(()||3,,OC P m n === 为可行域12{,0m n m n ≤+≤> 内一点,可行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC AD )及其内部()()()()1,0,0,1,0,2,2,0A B CD ,所以2O AB OP d OP OA -≥=<= ,从而2.OC ⎫∈=⎪⎪⎭选B.针对性练习： 1.若实数x 、y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m的值等于 . 【答案】-1 【解析】由2z y x =-，得2y x z =+ ，作出不等式对应的可行域，平移直线2y x z =+，由平移可知当直线2y x z =+经过点A 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 取得最小值为2-，即22y x -=-，由220y x y -=-=⎧⎨⎩，解得1x y ==⎧⎨⎩，即10A （，），点A 也在直线0x y m ++=上，则1m =-.2、3、若不等式组1026x y x y x y a≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是 ． 不等式360x y +-≤所对应的平面区域的面积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】(3,5)【解析】在坐标平面内作出不等式组所表示的平面区域，由图可知，当直线x y a +=位于图中虚线1:3l x y +=与2:5l x y +=之问题是，该平面区域为四边形，所以实数a 的取值范围是(3,5)【答案】B【解析】不等式360x y +-≤所对应的平面区域为一个菱形及其内部，对角线长分别为12,4，所以面积为112424.2⨯⨯= 选B.。
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每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产
例： 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，
耗量如下表。 该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，
计划能使该厂获利最多？
Ⅰ 设 备 原料 A 原料 B
1 4 0
Ⅱ
2 0 4 8 台时 16kg 12kg
10
建立模型：
设产品的产量为 Ⅰ：x1件 ， Ⅱ：x2件， 目标(object) ： Max z=2 x1+3 x2 x1+2 x2 8 限制条件 (subject to )： 4 x1 16 4 x2 12 x10， x2 0 则
31
例4：有A、B两种产品，都需要经过前、后两到化学反
应过程。每种产品需要的反应时间及其可供使用的总时 间如表示。 每生产一个单位产品B的同时，会产生2个单位的副 产品C，且不需外加任何费用。副产品C的一部分可以出 售盈利，其余的只能加以销毁。 副产品C每卖出一个单位可获利3元，但是如果卖不 出去，则每单位需销毁费用2元。预测表明，最多可售出 5个单位的副产品C。 产品 要求确定使利润最大的 生产计划。
5
运筹学的分支
数学规划：线性规划、非线性规划、整数规 划、动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论：排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真：随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
6
三、运筹学解决问题的方法步骤
明确问题
明确问题 建立模型 设计算法 整理数据 求解模型 评价结果
x1 0, x2 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0
23
复习思考题：
1. 什么是模型结构的三要素？
2. 什么是线性规划模型？能举出线性规划模 型的例子吗？ 3. LP模型的一般表示方法有几种形式？能否 写出这些形式？ 4. 什么是线性规划模型的标准形式？为何提 出标准形式？你能否把一个线性规划模型的非 标准形式转化为标准形式？
11
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种
产品均需经A、B、C、D四种不同设备上加工，按 工艺资料规定，在各种不同设备上的加工时间及 设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问:如 何安排产品的生产计划,才能使企业获利最大?
设 备 产品 甲产品 乙产品 加工能力
A 2 2 12
B 1 2 8
C 4 0 16
13
1.1.2线性规划问题的一般数学模型 1.相关概念
（1）决策变量：指模型中要求解的未知量， 简称变量。 （2）目标函数：指模型中要达到的目标的数学 表达式。 （3）约束条件：指模型中的变量取值所需要 满足的一切限制条件。 此三项内容称为模型结构的三要素。
14
2.线性规划模型的一般要求
（1）目标函数：线性表达式；
30x1+45x2+73x3+85 x4+92x5=10080 x10, x20, x30, x40, x50
27
例2：一家昼夜服务的饭店，24小时中需要的服 务员数如下表所示。每个服务员每天连续工作8 小时，且在时段开始时上班。问：最少需要多少 名服务员？试建立该问题的线性规划模型。
（2）约束条件：线性的等式或者不等式。
15
1.1.3 线性规划问题的一般表示方法
max z=c1x1+c2x2+………+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+………+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+………+a2nxn≤b2 ………… ………………… am1x1+am2x2+………+amnxn≤bm x1 ,x2, ………,xn≥0
21
课堂练习1-1：将下面的线性规划问题化为 标准型：
obj. Min z=2x1- x2+3x3
st.
x1+2 x2+4x3 6 3x1- 2x2+ x3 = 4 2x1- x2 - 3x3 5 x1 0, x2无符号限制, x3 0
22
解：设 z= - z ,
x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x3= - x3 , x3 0 ，
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目 录
绪 论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章
线性规划 运输问题 整数规划 动态规划 目标规划 图与网络分析
2
绪 论
一、运筹学的起源与发展 二、运筹学的特点及研究对象 三、运筹学解决问题的方法步骤 四、运筹学的发展趋势
D 0 4 12
单位 利润 2 3
12
建立模型：
设产品的产量为 甲：x1件 ，乙： x2件，则 Max z=2 x1+3 x2 目标(object) ： 2 x1+2 x2 12 限制条件 x1+2 x2 8 (subject to )： 4 x1 16 4 x2 12 x10， x2 0
1947年，美国学者George Dantzig（丹茨格）
发明了求解线性规划的单纯形法（1951年发
表），从而为线性规划的推广奠定了基础。 有人认为，求解线性规划的单纯形算法可与
求解线性方程组的高斯消元法相媲美。
9
§1.1 一般线性规划问题及数学模型
1.1.1 问题的提出
已知生产单位产品所需的设备时间和原料A、B的消
建立模型
Yes
设计算法 整理数据 求解模型
简化？
No
No
评价结果
满意？
7
第一章 线性规划
Linear Programming
线性规划概述
线性规划的广泛应用是计算机时代的产物。 1902年，Julius Farkas 发表论文，阐述有关 线性规划问题。
1938年，英国人康德进行较详细研究。
24
1.1.5 简单线性规划模型的建立
步骤： （1）分析问题：确定决策内容、要实现的目标以 及所受到的限制条件。 （2）具体构造模型：选择合适的决策变量、确定
目标函数的表达式、约束条件的表达式，分析各
变量取值的符号限制。
25
例1：某工厂在生产过程中需要使用浓度为80%的 硫酸100 吨，而市面上只有浓度为30%，45%，
x40, x50, 则有 obj. Max z= -2x1 + (x2 - x2 ) + 3x3 s.t. x1+2(x2 - x2 ) - 4x3 +x4=6 3x1 - 2(x2 - x2 ) - x3 =4
2x1 - (x2 - x2 ) + 3x3 -x5=5
（1）一般式：
s.t.---subject to
16
(2) 和式： max z= cjxj
j=1
n
s.t.
aijxj≤bi （i=1,2,……,m)
j=1
n
xj≥ 0
（j=1,2,……,n)
其中：cj---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项 (3) 矩阵: max z=CX s.t. AX≤b X≥0
起迄时间 2----6 时 6---10 时 10 --14 时 14 --18 时 18 --22 时 22 ---2 时 服务员人数 4 8 10 7 12 4
28
模型：
设以xj表示第j时段开始上班工作的服务员数，则
Min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 st. x6+x14 x1+x28 x2+x310 x3+x47 x4+x512 x5+x64 xj0, (j=1,2,---,6)
3
一、运筹学的起源与发展
起源于二次大战的一门新兴交叉学科 与作战问题相关
如雷达的设置、运输船队的护航、反潜作战中深水炸弹 的深度、飞行员的编组、军事物资的存储等 英国称为 Operational Research 美国称为 Operations Research
战后在经济、管理和机关学校及科研单位继续研究
1 2 0 7.1 0.3
0 1 3 6.6 0.8
1 1 1 6.5 0.9
0 3 0 6.3 1.1
0 0 4 6 1.4
30
解：设案方案 i下料的原料根数为xi,根据上表的方案, 可建立如下线性规划模型：
minZ
x
j 1
8
j
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 ( 最小化总的下料根数
运筹学的定义
为决策机构对所控制的业务活动作决策时，提供以数量 为基础的科学方法——Morse 和 Kimball 运筹学是把科学方法应用在指导人员、工商企业、政府 和国防等方面解决发生的各种问题，其方法是发展一个 科学的系统模式，并运用这种模式预测，比较各种决策 及其产生的后果，以帮助主管人员科学地决定工作方针 和政策——英国运筹学会 运筹学是在紧缺资源的情况下，如何设计与运行一个 人—机系统的决策科学——美国运筹学会 现代运筹学涵盖了一切领域的管理与优化问题，称为 Management Science
20
例：将下述LP模型标准化：