1.1线性规划模型
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1-1LP模型的结构及建模步骤及标准型
b j ; j 1, 2 , 3 , 4 。假设供给总量和需求总量相等，且已知
从仓库 A i 运一个单位产品往 B j 的运价为 c ij 。 问应如何 组织运输才能使总运费最小？
2012年9月8日9时15分
分析
运输问题模型
决策变量：从仓库
x ij ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
重点与难点：如何建立线性
规划问题的数学模型？(建模条 件、步骤及相应的技巧)
教学目标：掌握建模的步骤
和方法，能根据实际背景抽象和 建立适当的线性规划模型。
2012年9月8日9时15分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
单位时耗(小时/吨） 资源设备 Ⅰ
3 2 2 5
Ⅱ
4 1 2 4
每天现有工时
15 5 11
2012年9月8日9时15分
搅拌机
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
例1 资源利用问题
m a x Z 5 x1 4 x 2 3 x1 2 x1 s.t. 2 x1 x , x 1 2 4 x2 15 x2 5 2 x2 11 0
线性规划问题(Linear Programming problem) 研究内容：在一定的人力、财力、资源条件下，
如何合理安排使用，使得效益最高；某项任务确 定后，如何安排人、财、物，使之最省。 线性规划问题的共同点：要求达到某些数量上的
从仓库 A i 运一个单位产品往 B j 的运价为 c ij 。 问应如何 组织运输才能使总运费最小？
2012年9月8日9时15分
分析
运输问题模型
决策变量：从仓库
x ij ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
重点与难点：如何建立线性
规划问题的数学模型？(建模条 件、步骤及相应的技巧)
教学目标：掌握建模的步骤
和方法，能根据实际背景抽象和 建立适当的线性规划模型。
2012年9月8日9时15分
例1 资源利用问题
光华食品厂主要生产葱油饼干（Ⅰ型）和苏打饼干（Ⅱ型）， 销售利润分别为500元/吨和400元/吨。根据销售部门提供的信 息可知，目前这两种饼干在市场上都很畅销，该厂能生产多少， 市场就能卖出多少。但从生产部门得知，有三种关键设备即搅 拌机、成型机、烘箱的生产能力，限制了该厂的饼干生产。该 公司每天生产这两种饼干的量应为多少，可使其利润最大？其 具体数据如表所示：
单位时耗(小时/吨） 资源设备 Ⅰ
3 2 2 5
Ⅱ
4 1 2 4
每天现有工时
15 5 11
2012年9月8日9时15分
搅拌机
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
例1 资源利用问题
m a x Z 5 x1 4 x 2 3 x1 2 x1 s.t. 2 x1 x , x 1 2 4 x2 15 x2 5 2 x2 11 0
线性规划问题(Linear Programming problem) 研究内容：在一定的人力、财力、资源条件下，
如何合理安排使用，使得效益最高；某项任务确 定后，如何安排人、财、物，使之最省。 线性规划问题的共同点：要求达到某些数量上的
第一章 线性规划
(1-8)
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
1.线性规划
其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
第1章 线性规划
投资项目 1 2 3 4 5 6 风险（%） 18 6 10 4 12 8 红利（%） 4 5 9 7 6 8 增长（%） 22 7 12 8 15 8 信用度 4 10 2 10 4 6
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
第1章 线性规划基本性质
1. X1≥0, X2 ≥0 2. 2X1 + 3X2 ≤ 100 3. 4X1 + 2X2 ≤ 120
所有约束条件的的交集为R.
A B R
10 60
现在,问题变为在R内找一点, O 使目标函数值最大.如何找?…
C
20 30 40 50
Ｘ1
§1.2 线性规划的图解法
Ｘ2
（三）目标函数的图形表示 Z = 6X1 + 4X2 将上式改写： X2 ＝－3X1/2 ＋ Z/4 令Z为参量，使其取不同 的值，则得到以－3/2为斜率的 一族平行等值线. 如令: 60, 则经过点(10,0)和(0,15); Z=0, 则经过原点; Z=120,则经过点(20,0)和(0,30);
0.8X1 + X2≥1.6 X1 X2 ≤2 ≤1.4
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
所谓线性规划问题： 就是求一组变量 ( x1 , x2 , , xn ) 的值，它们 在满足一组线性等式或不等式的限制条件下，使某 一线性函数的值达到极大或极小。而线性规划就是 研究并解决这类问题的一门理论和方法。 请问在企业中有哪些问题属于线性规划问题？
§1.2 线性规划的图解法
maxZ = 6X1 + 4X2 2X1 + 3X2 ≤ 100 --① 4X1 + 2X2 ≤ 120 --② X1≥0, X2 ≥0 （一）建立坐标系 （二）约束条件的图形表示
Ｘ2
60 50 40 30 20 10
两个概念:
1.可行解:满足约束条件的点. 2.可行域:全部可行解的集合, 即区域OABCO,用R表示.
X1 ≥0, X2 ≥0
§1.1 线性规划的一般模型
线性规划-讲义-12章
第一章 线性规划 第二章 对偶单纯形法与灵敏度分析 第三章 运输问题 第四章
整数规划
第五章 动态规划
第六章 图论与问题及其数学模型 1.1.1 线性规划问题的数学模型
例1、生产计划问题 I 1 3 0 40 II 2 2 2 50
原材料A 原材料B 台时 利润
例6 max S=2x1+ 4x2 2x1+x2 8
x2
8
-2x1+ x2=2
-2x1+x2 2
x1 , x2 0 无界解(无最优解) 无界解=>可行域无界 <=
6
4
2
0
4
x1
2x1+ x2=8
例7 max S=3x1+2x2 -x1 -x2 1
x1 , x2 0 有解 无可行解 唯一解 无穷多解 无有限最优解 无可行解
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
最优方案是：按方案I-30根, II-10根；III-50根 即只要90根原料--制造100套
运输问题
整数规划
第五章 动态规划
第六章 图论与问题及其数学模型 1.1.1 线性规划问题的数学模型
例1、生产计划问题 I 1 3 0 40 II 2 2 2 50
原材料A 原材料B 台时 利润
例6 max S=2x1+ 4x2 2x1+x2 8
x2
8
-2x1+ x2=2
-2x1+x2 2
x1 , x2 0 无界解(无最优解) 无界解=>可行域无界 <=
6
4
2
0
4
x1
2x1+ x2=8
例7 max S=3x1+2x2 -x1 -x2 1
x1 , x2 0 有解 无可行解 唯一解 无穷多解 无有限最优解 无可行解
(3) 变量 若xj 0, 令 xj = -xjˊ, 其中: xjˊ 0 若xj是无限制变量. 令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0
例 3x1+2x2 8
x1 –4x2 14
x2 0 令x1= x1'- x1 " 3 x1' –3x1 " +2x2 8 x1' - x1 " – 4x2 14 x1' , x1" ,x2 0
2x3 +2x4+ x5=100 3x1+ x2+2x3 +3x5=100
xi 0 (i =1,…,5)，且为整数
最优方案是：按方案I-30根, II-10根；III-50根 即只要90根原料--制造100套
运输问题
1.1 72线性规划问题及其数学模型
可行域
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
4 3 2
最优解
8 0 3 4
x1
无穷多最优解(多重最优解)
即可行域的范围延伸到无 例： max z=x1+x2
穷远，目标函数值可以无 穷大或无穷小。 ≤4 s.t. -2x1+ x2 一般来说，这说明模型有 x1 - x2 ≤2 错，忽略了一些必要的约 束条件。 ≥0, x2≥0 x1 x2
无穷 多个最优解
2.可行域为非封闭的无界区域
x2 x2 x2
z
z
x1 x1
Z
x1
唯一最优解
无穷多个最优解
无界解
3、可行域为空集
x2
空集 x1
无可行解
两个变量的LP问题的解的启示：
(1)可行域非空时，它是有界或无界凸多边形 （凸集） ，顶点个数只有有限个。 (2)求解LP问题时，解的情况有： 唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解。 (3)若可行域非空且有界则必有最优解， 若可行域无界，则可能有最优解，也可能无最优解。 (4)若最优解存在，则最优解或最优解之一一定是 可行域的凸集的某个顶点。 (5)若在两个顶点上同时取到最优解，则这两点的 连线上 任一点都是最优解
由图解法得到的结论：
求解线性规划问题最优解的方法：
确定可行域 = 凸集(凸多边形) 确定可行域顶点 = 求基可行解 寻找最优解， 如果最优解存在，则必在可行域的某一顶点 = 在基可行解中寻找
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点：
只能解决低维问题，对高维无能为力。
1.3 线性规划问题的标准型式
m i nZ
C
j 1
n j1
n
j
Xj
1-1线性规划问题及模型
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
运筹学课程讲义
运筹学课程讲义第一部分 线性规划 第一章 线性规划的基本性质 1.1 线性规划的数学模型一、 线性规划问题的特点胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。
桌子售价50元/个，椅子售价30元/个。
生产桌子和椅子需木工和油漆工两种工种。
生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。
生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。
该厂每月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。
问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？213050m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,50212034212121x x x x x x 例：某工厂生产某一种型号的机床。
每台机床上需要 2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴，分别为1根、2根和1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为74m 。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？二、 数学模型的标准型 1. 繁写形式 2. 缩写形式 3. 向量形式 4. 矩阵形式三、 任一模型如何化为标准型？1. 若原模型要求目标函数实现最大化，如何将其化为最小化问题？2. 若原模型中约束条件为不等式，如何化为等式？3. 若原模型中变量x k 是自由变量，如何化为非负变量？4. 若原模型中变量x j 有上下界，如何化为非负变量？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≤+--≥-+----=无约束321321321321321,0,052010651535765max x x x x x x x x x x x x x x x z 令'''3'3''3'331'1,0,,,Z Z x x x x x x x =-≥-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=+-++=+-+-=+-+-+--+-++-=0,,,,,,,5201010651533507765min 7654''3'32'17''3'32'15''3'32'164''3'32'1765''3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z 1. 2图解法该法简单直观，平面作图适于求解二维问题。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
运筹学OperationsResearchppt课件
实际问题 提出
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 1 of 21
LP问题
基本概念
LP问题 数学模型 解的概念
可行解、最优解 基本解、基可行解 基本最优解
基本方法
图解法
原始单纯形法
单纯形法
2
x1
x2
x3
x4
100
2x2 x3 3x5 2x6 x7 100
x1
x3
3x4
2 x6
3x7
4x8
100
x
j
0,
j
1,2，8
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 11 of 21
大M法
人工变量法
对偶单纯形法
两阶段法
对偶理论
进一步讨论
灵敏度分析──参数规划*
在经济管理领域内应用
运输问题（转运问题）
特殊的LP问题
整数规划 多目标LP问题*
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 2 of 21
2024年7月28日星期日 Page 6 of 21
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 1 of 21
LP问题
基本概念
LP问题 数学模型 解的概念
可行解、最优解 基本解、基可行解 基本最优解
基本方法
图解法
原始单纯形法
单纯形法
2
x1
x2
x3
x4
100
2x2 x3 3x5 2x6 x7 100
x1
x3
3x4
2 x6
3x7
4x8
100
x
j
0,
j
1,2，8
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
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大M法
人工变量法
对偶单纯形法
两阶段法
对偶理论
进一步讨论
灵敏度分析──参数规划*
在经济管理领域内应用
运输问题（转运问题）
特殊的LP问题
整数规划 多目标LP问题*
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
Linear Programming
2024年7月28日星期日 Page 2 of 21
2024年7月28日星期日 Page 6 of 21
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
2022年Python数学实验与建模第1章 线性规划
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
5.灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出 来的敏感程度的分析。
实际问题中aij ,bi ,c j是怎么来的？是确定的常数吗？
航空基础学院数学第教12研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
两个问题 （1）如果参数aij ,bi ,c j 中的一个或者几个发生了 变化，现行最优方案会有什么变化？
第三步：根据问题的目标，构造关于决策变量的 一个线性函数，即为目标函数。
航空基础学院数学第教6研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
3.线性规划模型的形式
线性规划模型的一般形式（代数形式）为
max(或min）z c1 x1 c2 x2 cn xn ,
a11 x1 a12 x2
s.t.
第1章 线性规划
约束条件——①生产甲、乙两种机床所花费的加工 时间不能超过 A、B、C 机器每天的最大可用加工时间， 故
2 x1 x2 10, x1 x2 8, x2 7.
约束条件——②甲乙两种机床的产量还应该满足非 负约束，即
xi 0, i 1, 2。
航空基础学院数学第教3研页室
数学建模算法与应用
求解数学规划模型的常用软件有 MATLAB、Python、LINGO 等
MATLAB 求解数学规划问题采用两种模式： （1）基于求解器的求解方法 （2）基于问题的求解方法
航空基础学院数学第教14研页室
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
Naval Aeronautical University
02 线性规划模型求解及 应用
航空基础学院数学第教15研页室
数学建模算法与应用
运筹学第一课
产品 甲 资源 设备A 设备 设备B 设备 材料C 材料 材料D 材料 利润（ 件 利润（元/件） 3 2 4 2 40 1 2 5 3 30 2 4 1 5 50 200 200 360 300 乙 丙 现有资源
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
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解得:
x1 12, x2 0, x3 11, x4 5, x5 0, x6 8, x7 0. Z0 36
例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m, 和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m, 问应如何下料,可使所用原料最省.
分析: 每根原料做一套钢架, 下角料：0.9m 用套裁方式
1.1.1 线性规划模型 一、 线性规划问题举例
例1 （生产安排问题）假定某工厂生产甲、乙、丙三种产品， 每种产品都要经过三种不同的工序加工。每一件产品所需要 的加工时间（分钟）和每天对各道工序的加工能力（每天多 少分钟）以及销售各种产品的单位利润如下表所示：
工序 每件产品加工时间（分钟）
甲产品 乙产品 丙产品
星期五 售货员人数要求:
x1 x2 x3 x6 x7 31
星期六 售货员人数要求:
数学时模间型:
所需售货员人数
求 m星in期日Z 星期一
x1
x2
28人
15人
x7
x星1 期二x2 x3 x4 24人x5 28
x星2期三x3
星期四
x4
x525人x6 19人
15
x星3期五x4 x5 x631人x7 24
量如下表所示。
车间
每班进料数（克） 每班产量（个数） 第1种原材料 第2种原材料 A零件 B零件
甲
8
6
7
5
乙
5
9
6
9
丙
3
8
8
4
问这三个车间各应开多少班才能使这种产品的配套数达到最大
解：设x1，x2，x3分别是甲、乙、丙三个车间所开的生产班数
z 产品的配套数
约束条件为： 8x1 5x2 3x3 100 ,6x1 9x2 8x3 200 x1 0，x2 0，x3 0
解 设x1为周一开始休息的人数 ，x2为周二开始休息的人数 ，
x6为周六开始休息的人数 ，x7为周日开始休息的人数 ， Z表示商场的售货员人数 x1 x2 x7 求 min Z x1 x2 x7
约束条件 : xi为星期i日开始休息的人数 ,i 1,2,,7
星期日 售货员人数要求:
最优下料方案： 按方案1下料30根，方案2下料10根， 方案4下料50根， 共需原料90根。
例5 (产品配套问题）假定一个工厂的甲、乙、丙三个车间生产
同一个产品，每件产品包括4个A零件，和3个B零件。这两种
零件由两种不同的原材料制成，而这两种原材料的现有数额
分别为100克和200克。每个生产班的原材料需要量和零件产
x1 x2 x3 x4 x5 28
x2
x3
x4
x5
x6
15
x3 x4 x5 x6 x7 24
s.t
x1 x1
x4 x2
x5 x5
x6 x6
x7 x7
25 19
x1
x2
x3
x6
x7
31
x1 x2 x3 x4 x7 28
xi 0,i 1,2,,7
维生素 单位 甲
乙
丙
丁
每人每天 最低需要量
A
毫克 1000 1500 1750 3250
4000
B
毫克 0.6 0.27 0.68 0.3
1
C
毫克 17.5 7.5
0
30
30
单价（元）
0.8 0.5 0.9 1.5
现在我们希望每天得到的维生素不少于所规定的最低需要 量，问应该如何搭配各种食品才能使所花的费用最少？
下料方案：下料数
长度(根)
2.9m
方案1 方案2 方案3 方案4 方案5
1
2
0
1
0
2.1m 0
0
2
211.5m 31203
合计
7.4m 7.3m 7.2m 7.1m 6.6
下角料 0m 0.1m 0.2m 0.3m 0.8m
下料方案：下料数
长度(根)
方案1 方案2 方案3 方案4 方案5
2.9m 1
5、劳动力安排： 某单位由于工作需要，在不同时间段需要不同 数量的劳动力，在每个劳动力工作日连续工作 8小时的规定下，如何安排劳动力，才能用最少 的劳动力来满足工作的需要。
6、运输问题： 一个公司有若干个 生产单位与销售单位，根据 各生产单位的产量及销售单位的情况，如何制定 调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最少。
s.t
2x3 3x1
2x4 x2
2
x5 x3
100 3x5
100
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0.
例4 某工厂要做100套钢架,每套用长为2.9m,2.1m, 和1.5m的圆钢各一根,已知原料每根长7.4m, 问应如何下料,可使所用原料最省.
下料方案：下料数
第一章 线性规划 （Linear Programming )
• 运筹学的一个重要分枝 • 研究较早 • 发展较快 • 理论较成熟 • 应用极为广泛
简记为LP
典型的线性规划的在经济管理上的应用举例:
1、合理利用线材问题:
现有一批长度一定的钢管,由于生产的需要, 要求截出不同规格的钢管若干。试问应如何 下料，既满足了生产的需要，又使得使用的 原材料钢管的数量最少。
x1，x2，x3分别是甲、乙、丙三个车间所开的生产班数
z 产品的配套数 车间
目标函数：
每班进料数（克）
每班产量（个数）
第1种原材料 第2种原材料 A零件 B零件
三个车间共生产A零件： 甲
8
乙
5
7 x1 6x2 8x3
丙
3
6
7
5
9
6
9
8
8
4
三个车间共生产B零件
5x1 9x2 4x3
则z min 7x1 6x2 8x3 4
2
0
1
0
2.1m 0
0
2
2
1
1.5m 3
1
2
0
3
合计
7.4m 7.3m 7.2m 7.1m 6.6
下角料 0m 0.1m 0.2m 0.3m 0.8m
解：设xi为按i第种方案下料的原料根 数（i 1,2,3,4,5) Z表示总用料数
数学模型：求 min Z x1 x2 x3 x4 x5
x1 2x2 x4 100
线性
约束条 件
对第三道工序，有 x1 4x2 420
且有 x1 0，x2 0，x3 0 非负性约束条件
问题归结为：求 x1，x2，x3，使之满足以上四个约束条件，
并使z 3x1 2x2 5x3的值最大
例2 （营养搭配问题） 如果有甲、乙、丙、丁四种食品，都含 有不同成分的维生素，其含量和单价如下表所示
解：x1 每天采购甲食品的数量，x2 每天采购乙食品的数量 x3 每天采购丙食品的数量，x4 每天采购丁食品的数量
M 每天采购食品的费用
则有M 0.8x1 0.5x2 0.9x3 1.5x4
决策变量：
x1 每天采购甲食品的数量， x2 每天采购乙食品的数维量生素 单位 甲
乙
丙
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 ）b1
s.t
a21 x1
a22
x2
a2n xn
(或
，或 ）b2
am1x1 am2 x2 amn xn (或 ，或 ）bm
x1 , x2 , xn 0
四、线性规划应用举例
例3 福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：
并使M
0.8x1
0.5x2
0.9x3
1.5
x
的值最小。
4
二、线性规划模型的建立
1、建模的一般步骤：
步骤一：确定决策变量 即用变量取不同的值来表示可供选择的各种不同方案
步骤二：建立目标函数 即找到目标值与决策变量的数量关系
步骤三：确定约束条件 即决策变量所受到的外界条件的制约。 约束条件一般为决策变量的等式或不等式
约束条件：1000 x1 1500 x2 1750 x3 3250 x4 4000 0.6x1 0.27 x2 0.68 x3 0.3x4 1
线性
17.5x1 7.5x2
30 x4 30
x1 0，x2 0，x3 0, x4 0
问题归结为：求 x1，x2，x3，x4 , 使之满足以上约束条件，
a22
x2
a2n xn
(或
，或 ）b2
am1x1 am2 x2 amn xn (或 ，或 ）bm
x1 , x2 , xn 0
约束方程
非负约束
其中aij , bi , c j (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 为已知常数
决策变量
三、线性规划求解：
计算机应 用软件
max（或min ）z c1 x1 c2 x2 cn xn
x1 x2 x3 x4 x5 28
星期一 售货员人数要求:
x2 x3 x4 x5 x6 15
星期二 售货员人数要求:
x3 x4 x5 x6 x7 24
星期三 售货员人数要求:
x1 x4 x5 x6 x7 25
星期四 售货员人数要求:
x1 x2 x5 x6 x7 19
要求：目标函数与约束条件均是线性的， 且目标函数只能是一个。
2、线性规划模型的一般形式：
max（或min ）z c1 x1 c2 x2 cn xn
目标函数
maximum minimum
subject to
a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 ）b1
s.t