0-1线性规划模型
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运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉 和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代 进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
要求：
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
温州大学城市学院
注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
温州大学城市学院
温州大学城市学院
上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
温州大学城市学院
上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
温州大学城市学院
01-线性规划
线形规划解的概念：最优基本解
目标函数： 1 z 42 x 4 x5 ( f max ) 2 令x 4 c 4 , x5 c5 得通解 2 1 x1 4 3 c 4 3 c5 , x 6 1 c 2 4 2 2 1 x3 4 c 4 c5 3 3 x 4 c 4 , x5 c5
x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1 0 0 8 A 0 2 0 1 0 12 3 4 0 0 1 36
取x1 , x 2 , x3为基本变量，x 4 , x5为 自由变量，从约束方程 解出 2 1 1 2 1 x1 4 x 4 x5，x 2 6 x 4 , x3 4 x 4 x5 3 3 2 3 3 1 目标函数：z 42 x 4 x5 ( f max ) 2
非标准型LP的标准化:约束函数1
1、bi<0: x1 - 2x2 = -1
⇒ -x1 + 2x2 = 1 例：max z = 3x1 + 5x2 s.t x1 ≤8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1, x2 ≥0 为约束不等式左边分别添加松弛变 量x3、x4、x5, 约束变为等式 x1 2x2 3x1 + 4x2 x1, x2 ≥0 + x3 + x4 =8 = 12 （ 1） （ 2） （ 3）
端值的改变量和该变量的改变量成比
例。
可加性假定
每个决策变量对目标函数和约束方
程的影响是独立于其他变量的，目 标函数值是每个决策变量对目标函
数贡献的总和。
连续性假定
线性规划问题中的决策变量应 取连续值。
确定性假定 线性规划问题中的所有参数都是 确定的参数。线性规划问题不包
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
第2章 0-1规划
用自编函数itgm： [r1,r2,ex1,ex2]=itgm(g,a,b,aq,bq) 定出决策变量x1，x2，x3的取值范围： x1：0~3 x2：0~2 x3：0~2
下面用枚举法求解：
k=1; for x1=0:3 for x2=0:2 for x3=0:2 q=[x1 x2 x3]';p=a*q; if p<=b z(k)=f*q; v(k,:)=q'; k=k+1; end end end end [zm,mi]=max(z); x=v(mi,:); zv=[z',v];
解得： ex =1 fv =53
x= 0 1 0 1 0 0 0 0 1
则当x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0， x6=0，x7=0，x8=0，x9=1时，目标函数取 得最小值53。
例2-4 新产品研制，某工厂计划试制4种新产品A1、A2、 A3、A4。现有科研经费40万元，科技人员60名。各新产 品的试制费用、所需科技人员及预期的年利润如表2-1所 示。如果研制产品A2必须先研制产品A1，但产品A1的研 制与产品A2无关。另外该厂想至少研制其中的两种新产 品。问决策者应如何决定研制计划，使该厂获得利润最 大？
表2-6
货物编号i
1
2
3
单位重量（t）
3
4
5
单位价值ci
4
5
6
解：设第i种货物装载件的数量为xi（i=1,2,3），则所述 问题可表为：
max z 4x1 5x2 6x3
s.t.
3x1 4x2 5x3 10
xi
0, xi为整数(i=1,2,3)
f=[4,5,6]; a=[3,4,5]; b=10;
运筹学-9整数规划及0-1变量
学 x1 =0, x7 =1, x8 =0
x1 =0, x7 =0, x8 =1
模 x1 =x7=x8 =0 型 x1 =x7=x8 =1
x1 + x8 =1
x7 + x8 =1
建 (4)开采了A3或A4,就不能开采A5,
立
数 x3 =1, x4 =0, x5 =0
型
x4 1
x3 + x4 1
1，0，1，1
10 防火区只需要1个消防站 11防火区只需要1个消防站
关闭第2消防站，任同样可以负责个
防区的火警。
某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器， 所用的资源为金属板、劳动力和机时见表。 不管每种容器制造的数量是多少,都要支付 一笔固定费用，小号容器是100元,中号容器 是150元,大号容器是200元.现要制定生产计 划,使获得的利润最大?
解：设用 x j = 1 开采 A j 油井. x j = 0 不开采A j油井 目标合适选点，使总利润最大
max Z = 10x1+15x2+25x3+10x4+15x5 +30x6+25x7+30x8+30x9+20x10
s.t.
20x1+25x2+30x3+25x4+40x5 +45x6+35x7+35x8+40x9+25x10 200
+0.93x1010+M(1-y) ‘ Y=0 等价’,而等于没有约束 Y=1 等价’,而等于没有约束
(2) N个约束中选择K个约束的问题
设N个约束可能的约束条件是: f1(x1, x2,…, xn) d1, f2(x1, x2,…, xn) d2, ……………………. fN(x1, x2,…, xn) dN,
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。
运筹学复习11
线性规划一、判断题1.在线性规划的模型中全部变量要求是整数（✗）2.如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
（✓）3.如果一个线性规划问题有可行解，就一定有最优解。
（✗）4.线性规划的基本类型是“max”型问题。
（✗）5.图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。
(✗)6.线性规划问题的可行解集不一定是凸集。
（✗）7.若线性规划问题的可行域无界，则该线性规划问题一定没有最优解。
（✗）8.若线性规划模型的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。
(✓)9.线性规划数学模型中的决策变量必须是非负的。
（✗）10.凡具备优化、限制、选择条件且能将有关条件用关于决策变量的线性表达式表示出来的问题可以考虑用线性规划模型来处理。
（✓）二、选择题1.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ）。
A.数量B.变量C.约束条件D.目标函数2.线性规划模型不包括下列（ D ）要素。
A.目标函数B.约束条件C.决策变量D.状态变量3.下面（ D ）不属于构成线性规划问题的必要条件。
A.有一个待实现的目标B.有若干个可供选择的方案C.所有资源具有一定的约束限制D.明确求目标函数的极大值4.关于线性规划模型，下面（ D ）的叙述正确。
A.约束方程的个数多于一个B.求极大值问题时，约束条件都是小于或等于号C.求极小值问题时，目标函数中变量的系数均为正D.变量的个数一般多于约束方程的个数对偶问题一、判断题1 、任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
(✓)2 、对偶问题的对偶问题一定是原问题。
(✓)3 、如线性规划的原问题存在可行解,则其对偶问题也一定存在可行解。
（✗）4 、如线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。
（✗）5 、若原问题为无界解，则其对偶问题无可行解。
（✓）二、选择题1 、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0 ，则其对偶问题约束条件为（ A ）形式。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
第四节 0-1规划
max S ci xi
i 1 n
ai x i b i 1 xi 0 或 1
n
另例 某公司拟在市东、西、南三区建门市 部，拟议中有七个位置 Ai 可供选择，规定
1、在东区，A1 , A2 , A3 中至多选两个； 2、在西区，A4 , A5 中至少选一个； 3、在南区，A6 , A7 中至少选一个。
若选用Ai ，则设备投资估价 bi 元，每年可 获利 ci 元．三个区投资总额为 B 元，则选择 哪几个位置可使年利润最大？ 解
1 令 xi 0
，选择 Ai ，不选择 Ai
该问题的数学模型为如下的0-1规划问题：
max Z ci xi
i 1 7
7 bi xi B i 1 x1 x2 x3 2 s .t x4 x5 1 x6 x7 1 xi 0或1
求解0-1规划的方法
将变量的可能取值 显枚举法： 的全部组合一一列 举进行计算并比较 找出最优值
将变量的可能取值 隐枚举法： 的部分组合一一列
枚举(穷举)法
举进行计算并比较 找出最优值
例 求解0-1
规划问题
2 x1 3 x2 x3 2 4 x1 x2 +x3 4 x1 x2 1 x , x , x 0或1 1 2 3
x y1 3 y2 5 y3 7 y4 y y y y 1 2 3 4 1 y , y , y , y 0或1 1 2 3 4
（2）若 x1≤5，则 x2≥0，否则 x2≤8;
引入0-1变量y，并设M是充分大的数，则
x1 5 yM x 5 (1 y ) M 1 x 2 yM x 8 (1 y ) M 2 y 0或1
i 1 n
ai x i b i 1 xi 0 或 1
n
另例 某公司拟在市东、西、南三区建门市 部，拟议中有七个位置 Ai 可供选择，规定
1、在东区，A1 , A2 , A3 中至多选两个； 2、在西区，A4 , A5 中至少选一个； 3、在南区，A6 , A7 中至少选一个。
若选用Ai ，则设备投资估价 bi 元，每年可 获利 ci 元．三个区投资总额为 B 元，则选择 哪几个位置可使年利润最大？ 解
1 令 xi 0
，选择 Ai ，不选择 Ai
该问题的数学模型为如下的0-1规划问题：
max Z ci xi
i 1 7
7 bi xi B i 1 x1 x2 x3 2 s .t x4 x5 1 x6 x7 1 xi 0或1
求解0-1规划的方法
将变量的可能取值 显枚举法： 的全部组合一一列 举进行计算并比较 找出最优值
将变量的可能取值 隐枚举法： 的部分组合一一列
枚举(穷举)法
举进行计算并比较 找出最优值
例 求解0-1
规划问题
2 x1 3 x2 x3 2 4 x1 x2 +x3 4 x1 x2 1 x , x , x 0或1 1 2 3
x y1 3 y2 5 y3 7 y4 y y y y 1 2 3 4 1 y , y , y , y 0或1 1 2 3 4
（2）若 x1≤5，则 x2≥0，否则 x2≤8;
引入0-1变量y，并设M是充分大的数，则
x1 5 yM x 5 (1 y ) M 1 x 2 yM x 8 (1 y ) M 2 y 0或1
线性规划模型
研究模型中常数数据变动时解的变化。
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合 称为可行域 ，满足最优目标的解称为最优解 决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约 决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变 量有值 束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000
（1）模型中常数数据不精确
（2）模型中常数数据可能发生变化
价值变动
min z cx s.t. Ax b x0
11/43
资源总量变动
敏感性分析
max z 60d 30t 20c 8d + 6t + c <=48 4d + 2t + 1.5c <= 20 d + 1.5t + 0.5c <=8 t <= 5
mn
满足约束条件的解称为可行解，所有可行解的集合 称为可行域 ，满足最优目标的解称为最优解 决策变量为整数时，称为整数线性规划
决策变量取0或1时，称为0-1线性规划
7/43
线性规划问题的解
线性规划问题的可行域是一个凸多边形；
线性规划问题如果存在最优解，则最优解必在可行域的
顶点处达到。
单纯形法:
约束条件右端变化一个单位时目标函数变化量，只对紧约 决策变量改变一个单位时目标函数的改变量，只有非基变 量有值 束有值
12/43
敏感性分析
Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 60.00000 0.0 8.000000 30.00000 60.00000 0.0 20.00000 2.500000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 48.00000 INFINITY 2.000000 20.00000 1.333333 8.000000 8.000000 1.000000 3.000000 5.000000 INFINITY 2.000000
0-1规划
The Assignment Problem 指派问题
现实生活之中， 现实生活之中，我们经常遇到指派人员 做某项工作的情况。 做某项工作的情况。指派问题的许多应用都 用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展 进行的工作指派人员的问题。 进行的工作指派人员的问题。其他的一些应 用如为一项任务指派机器、 用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂
二、引入0-1变量的实际问题
1. 投资场所的选定——相互排斥的计划 例 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个 位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定： 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元， 但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润 为最大?
D）可能出现以下情况： ）可能出现以下情况： 每行均有（ ）元素，则在有（ ） ① 每行均有（0）元素，则在有（0）位置构成最 优解中x ； 优解中 ij=1； 所有0元素均有直线覆盖 但记（ ）的个数<m 元素均有直线覆盖， ② 所有 元素均有直线覆盖，但记（0）的个数 个，转⑶。 元素， ③多于两行和两列存在未被直线覆盖的0元素，即 多于两行和两列存在未被直线覆盖的 元素 存在0元素的闭回路 元素的闭回路， 存在 元素的闭回路， 则沿 回路顶点每间隔一个0记 回路顶点每间隔一个 记（ ） ，同时作直线覆盖该列的 元素； 元素；
解题时先引入0-1变量xi (=1,2，…，7)
1, 当Ai点被选用 令 xi = i = 1,2,⋯,7 0, 当Ai点没有被选用 7 于是问题可列成：
目标函数： max z = ∑ ci xi
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
LINDO软件求线性规划、整数规划和0-1规划
LINDO软件简介/求解线性规划问题LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。
由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。
因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。
LINDO/GO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。
也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。
LINDO/GO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。
一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。
整数规划（IP—Integer Programming）问题。
其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。
其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦在10^4量级以上。
虽然LINDO和LINGO 不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。
要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。
下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。
（例子均选自张莹《运筹学基础》）例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。
某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。
整数线性规划及0-1规划
x1(x1 80) 0 x2 (x2 80) 0
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
280x1+250x2+400x3< 60000 end
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
64.000000
-
2.000000
X2
168.000000
-
“gignin3 3”表示“前3个变 量为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记
Max z 2x1 3x2 4x3
IPIP可) 用LINDO直接求解
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－ 1模 型 (IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
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思考题3:
在选课策略问题中如果一个学生在满 足学校有关选课规定条件下,希望毕 业时所学课程获得的学分数尽可能多, 试给出他(她)的一个选课方案.
选课策略问题②的数学模型
选课策略问题②的数学模型与选课策略问 题①的数学模型的约束条件完全一样; 只是目标函数不同.要求”选课门数少 而学分多”意味着同时要求两个决策目 标:
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
用Matlab函数bintprog求解这个问题时,
与前面求解选课策略问题①时的 A,b,Aeq,beq数据完全一样,只需把f改为
f=-0.1[8 5 5 2 5 2 -1 -1 2];
后,再执行行命令bintprog=(f,A,b,Aeq,beq) 即可得出
最优解 x=[1 1 1 1 1 1 1 0 1], 目标函数最小值 z=-2.8.
所以,混合接力队的最优组合问题的数 学 模型是下列0-1线性规划问题: Min z=j=14i=15cijxij s.t. j=14xij1,i=1,…,5 i=15xij=1,j=1,…,4 xij{0,1},i=1,…,5,j=1,…,4
这类线性规划问题的特点是决策变量只 取值1或0,故称为0-1线性规划问题.
★我们可以证明 此问题恰有两个解.
证:如果我们再把x4=1作为约束条件(表 示为 -x4-1),求得最优解x=[1,1,1,1,1 1,1,0,0],但对应最优目标值已不是6, 而是7.说明,此解与上面二解不同,不 是选课策略问题①的最优解.再注意观 察:上面两个最优解恰有一个分量,第4 分量,同时为0,由此可见(没有第4分量 为1的最优解),选课策略问题①只有上 述两个解.
Min z=j=19xi Max w=5x1+4x2+4x3+3x4+4x5+3x6+2x7+2x8+3x9
具有多个决策目标的规划称为多目标规划, 前面讲的只有一个目标的规划称为单目 标规划.所以,选课策略问题②的数学模 型是满足约束条件⑵-⑽并有双目标 Min z和 Max w 的0-1线性规划.
0-1线性规划模型
在实际优化问题中存在一类所谓的分派 问题,其含义如下:有若干项任务,每项 任务必须有一人且只能有一人承担,每 人也只能承担其中一项,不同人员承担 不同任务的收益(或成本)不同.优化目 标是:怎样分派各项任务使总收益最大 (或总成本最小).
本节通过若干个实际的分派问题,说明 如何建立这类优化问题的数学模型,并 用Matlab求出最优解及对应的目标函数 最优值,同时对结果作一些分析.
A 混合接力队的最优组合问题
• 问题:某学院准备从5名游泳队员中选择4 人组成学院的接力队,参加校运动会的4 100混合泳接力赛.5名队员b1,…,b5的4种 泳姿(蝶,仰,蛙,自由)a1,…,a4的百米平 均成绩cij,i=1,…,5;j=1,…,4如下表所示. 应如何选择4人组成最优的接力队?
Matlab的函数bintprog专门用来求解01线性规划,下面介绍此函数的使用范围 及使用方法,其理论基础从略.
函数bintprog(f,A,b,Aeq,beq)使用范围
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)用来求解 一般的标准型0-1线性规划:
Min z=cTx s.t. Axb,
由屏幕最后显示结果得:
最优解 x14=x21=x32=x43=1,其它xij=0 目标函数最小值 z=253.2"=413"2
即应该选派b1,b2,b3,b4四人组成接力队参 加混合泳接力比赛,并分别游自由泳,蝶 泳,仰泳,和蛙泳.他们的预期成绩(是一 切可能组合中最好成绩)为:4分13秒2.
思考题1:
双目标规划的一种处理方法
把双目标归结为一个单目标,即令 y=z+(1-)w,为闭区间[0,1]中任一 数,并取决策目标为(Max w=Min(-w)) Min y=z-(1-)w
值的大小体现决策者对每个目标的重 视程度,例如,某同学觉得学分数和课程 数是三七开,故把取为0.7,决策目标 为
Min y=0.7z-0.3w =-0.1(8x1+5x2+5x3+2x4+5x5+2x6-x7-x8+2x9)
建立0-1线性规划模型
引入0-1变量xij,若队员bj参加泳姿ai的比 赛队的,记要x求ij=,1应,否满则足记两x个ij=约0.束根条据件组:成接力
① 每人至多入选4种泳姿之一,应有 j=14xij1,i=1,…,5
② 每种泳姿必须有一人入选 i=15xij=1,j=1,…,4
当队员bj入选泳姿ai时,其成绩为cijxij,于 是接力队的成绩可表为z= j=14i=15cijxij,这就是问题的目标函数.
2x3-x1-x20.
⑹
另外有 2x5-x1-x20
⑺
x6-x70
⑻
x8-x5 0
⑼
2x9-x1-x20
⑽
所以,选课策略问题①的数学模型就是:只
取值0或1的9个决策变量x1,…,x9,满足 约束条件⑵-⑽,并使目标函数⑴取最小
值的0-1线性规划模型.
选课策略问题①数学模型求解
首先,把约束条件⑵-⑷标准化为
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1] b=[1 1 1 1 1];beq=[1 1 1 1]; Aeq=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;
分可将此约束表示为
x1+x2+x3+x4+x52
⑵
x3+x5+x6+x8+x93
⑶
x4+x6+x7+x92
⑷
其次,某些课有先修课的要求,例如,数据
结构的先修课是计算机编程,这意味着
x4=1蕴涵x7=1,这个条件可表示为x4x7或
x4-x70.
⑸
同理,最优化方法的先修课是微积分和线
性代数的条件可表示为x3x1,x3x2,此二 式可合并为一个不等式
在校运会报名时,发现队员b4的蛙泳 成绩有较大退步,只有115"2;而队员 b5训练努力自由泳有明显进步,达到 57"5.
问组成接力队的方案应作如何调整?
B 选课策略问题
问题:某大学规定,运筹学专业学生毕业时 必须至少修过2门数学课,3门运筹学课 和2门计算机课.这些课的编号及信息如 下表所示.
① 给出毕业时选课门数最少的一个方案. ② 给出毕业时选课门数少而学分多的一
解:执行下列Matlab行命令:
f=[66.8 75.6 87 58.6 57.2 66 66.4 53 78 67.8 84.6 59.4 70 74.2 69.6 57.2 67.4 71 83.8 62.4];
A=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
关于解的唯一性
一般来说,线性规划问题,包括0-1线性 规划问题的解都不是唯一的,例如对选 课策略问题①,我们先求出一个最优解 x=[1,1,0,0,1,1,1,1,0]; 后又在思考题 5-5中求得另外一个最优解 x=[1,1,1,0,0 1,1,0,1],它们对应的最优目标函数值相 等(=6).说明对应选课策略问题①的0-1 线性规划至少有两个的解★,说明它的解 不唯一.
由屏幕最后显示结果得:
最优解 x1=x2=x5=x6=x7=x8=1, x3=x4=x9=0 目标函数最小值 z=6
即应该选修微积分,线性代数,应用统计, 计算机模拟,计算机编程,预测理论等6 门课,最小选课门数是6.
思考题2:
在选课策略问题①中,如果一个学生 因对最优化方法特有兴趣而把此课定 为必选,仍然希望毕业时所学课程门 数尽可能少,试给出他(她)的一个选 课方案.
个方案.
课程 课程名称 学 所属类别
编号
分
1
微积分 5 数学
2 线性代数 4 数学
3 最优化方法 4 数学,运筹
4 数据结构 3 数学,计算
5 应用统计 4 数学,运筹
6 计算机模拟 3 计算,运筹
7 计算机编程 2 计算
8 预测理论 2 运筹
9 数学实验 3 计算,运筹
先修课
微积分,线性代数 计算机编程
首先,(必要的话)改变z中所有系数的符 号把”Max z”化为”Min z”;把””化 为””.
其次,输入具体的f(=c),A,b,Aeq,beq. 最后执行行命令:
[x z]=bintprog(f,A,b,Aeq,beq) 则输出的x即为最优解;z(或-z)即为目 标函数最小(大)值.
混合接力队优化组合问题求解
Aeqx=beq x=0或1
其中,约束条件除若干不等式Axb外,还 有若干等式Aeqx=beq,A,b;Aeq,beq分别 代表二者的系数矩阵及右端向量.若置 A=[],b=[],则不等式全缺省;若置 Aeq=[],beq=[],则等式全缺省.
函数linprog(f,A,b,Aeq,beq)使用方法
cij(秒) b1 b2 b3 b4
a1 a2 a3 a4 a5 66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 69.6 83.8