2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第4章第28讲 三角函数的应用

t(s) h(m)
x 1.函数f x ＝sinx＋2cos 的一个单调 2 3 [2k－ ，k＋ ](k Z) 2 增区间是_______________________ 4 4 2 x 【解析】由于f x ＝sinx＋2cos 2 ＝sinx＋cosx＋1＝ 2sin( x＋ )＋1， 4 3 故易知它在(2k－ ，k＋ )(k Z) 2 4 4 上单调递增．
求解三角函数在给定区间上 的最值时，应注意变量的取值范 围．在求三角函数的最值时，应 通过三角恒等变换先化简再求值 或者利用导数求最值．
【变式练习】 1 sin x cos x 若x [0， )，求y＝ 的值域． 1 sin x cos x
t2 1 【解析】令sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝ ， 2 1 2 t 1 1 2 所以y＝ ＝ (t－1)． 1 t 2 又t＝sinx＋cosx＝ 2sin( x＋ )，且x [0， )， 4 5 所以x＋ [ ， )，所以t (－1，2]， 4 4 4 2 1 所以y (－1， ]． 2
三角函数的应用
【例3】 某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集 训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间 t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．为了 了解变化规律，该队观察若干天后，得到 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
y(米) t(时)
1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0 0 3 6 9 12 15 18 21 24
的最小正周期应不大于区间[n，n＋1](n Z) 10 的长度，即 1，解得 k 10，所以最小 |k| 的正整数k＝32.
求三角函数的周期、值域、单调 区间、对称轴、对称中心等一类与三 角函数性质有关的问题时，需要我们 运用“化一”的方法．首先化简已知 函数式，即一般可考虑将其化为y＝ Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
y＝Asin(t＋ )＋b函数 模型较为合适． 由图可知T＝12， 2 则＝ ＝ . T 6 将点 0,1.0 ， 3,1.4 代入， 2 t 得函数的解析式为y＝ sin ＋1(0 t 24)． 5 6
2 t 4 3由y＝ sin ＋1 (0 t 24)， 5 6 5 t 1 即sin － , 6 2 t 7 则－ ＋2k ＋2k (k Z)， 6 6 6 得－1＋12k t 7＋12k (k Z)． 令k＝0,1, 2，从而得0 t 7或11 t 19 或23 t 24. 所以，应在白天11时～19时进行训练．
2


＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos 6 6 6 －cos2xsin ＋cos2x＋1 6 ＝ 3sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋ )＋1， 6 2 2 所以 f x max ＝2＋1＝3，T＝ ＝ ＝ . | | 2





n＝(1,2cosx)， 设函数 f(x)＝m· n.求 f(x)的最小正周期与单 调递减区间．
【解析】(1)m＝( 3sin2x＋2，cosx)，n＝(1,2cosx)，
所以 f(x)＝m· n＝ 3sin2x＋2＋2cos2x π ＝ 3sin2x＋cos2x＋3＝2sin(2x＋6)＋3， 2π 所以 T＝ 2 ＝π， π π 3π 令 2kπ＋2≤2x＋6≤2kπ＋ 2 (k∈Z) π 2 所以 f(x)的单调递减区间为 kπ＋6≤x≤kπ＋3π(k∈Z)．




求三角函数的最值之前往往要进行 三角恒等变换，将三角函数式化简．在 三角恒等变换中，遇有正、余弦函数的 平方，一般要先考虑降次公式，然后应 用辅助角公式asinx＋bcosx＝
a 2 b 2 sin( x )等公式进行化简或 ＋ 计算．
【变式练习 2】已知向量 m＝( 3sin2x＋2，cosx)，

1 3 2 2 y＝ cos x＋ sinxcosx＋1 2 2 1 3 5 ＝ cos2x＋ sin2x＋ 4 4 4 1 5 ＝ sin(2x＋ )＋ , 2 6 4 3 7 所以ymin＝ , ymax＝ . 4 4
2 3当y＝1＋2cosx＝0，且x [0， ]时，x＝ . 3 2 2 当x [0， )时，y 0，y在[0， )上单调递增； 3 3 2 2 当x ( ， ]时，y 0，y在( ， ]上单调递减． 3 3 2 2 所以，当x＝ 时，ymax＝ ＋ 3; 3 3 当x＝0时，ymin＝0.
(1)求h与θ的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB， 求h与t的函数关系式； (3)填写下列表格： θ 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° h(m) t(s) h(m) 0 5 10 15 20 25 30
【解析】(1)作辅助线如图所示． 因为h＝0.8＋OA＋BC ＝0.8＋4.8＋OBsinα ＝5.6＋4.8sin(θ－90°)， 所以h＝5.6－4.8cosθ(θ≥0)．
2
2.函数y＝(tanx＋ 3)cosx， [0， ))的 (x 2 2 最大值为_____________
【解析】y＝tanxcosx＋ 3cosx ＝sinx＋ 3cosx＝2sin( x＋ )． 3 5 因为0 x ，所以 x＋ ， 2 3 3 6 1 所以 sin( x＋ ) 1，所以ymax＝2. 2 3
【例1】
三角函数的最大值与 最小值

求下列函数的最值．
1 y＝cos
x＋sinx，x [－ ， ]； 4 4 1 3 2 2 y＝ cos x＋ sinxcosx＋1，x R； 2 2 3 y＝x＋2sinx，x [0， ]．
2
【解析】1 y＝－sin 2 x＋sinx＋1 1 2 5 ＝－(sinx－ ) ＋ . 2 4 2 2 因为x [－ , ]，所以－ sinx ， 4 4 2 2 2 1 2 所以，当sinx＝－ 时，ymin＝ ； 2 2 1 5 当sinx＝ 时，ymax＝ . 2 4





3.设函数f x ＝cos x( 3sin x＋cos x) (其中0 2)．若函数f x 的图象的一 条对称轴为直线x＝ ，那么＝______. 3

【解析】f x ＝cos x( 3sin x＋cos x) ＝ 3sin xcos x＋cos x
2 2 因为＝ ＝ , 又＝t，所以＝ t， 60 30 30 所以h＝5.6－4.整如下：
θ h(m)
t (t 0)．
0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 0.8 1.44 3.2 5.6 8 9.77 10.4 0 0.8 5 1.44 10 3.2 15 5.6 20 8 25 9.77 30 10.4
三角函数，特别是正弦函 数和余弦函数，是现实世界中 许多周期现象的数学模型．注 意在一个周期现象里有多个量 (包括常量与变量)，它们共同 描述同一个周期现象．
【变式练习3】 如图为一个观览车示意图．该观览车圆半 径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈．途中OA与地面垂直．以 OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设B点与 地面距离为h.
2 因为f x 2，即2sin(2x＋
1 即sin(2x＋ ) ， 6 2

6
)＋1 2，

5 所以2k＋ 2x＋ 2k＋ (k Z)， 6 6 6 所以k x k＋ (k Z)． 3 所以使f x 2成立的x的取值范围是 {x | k x k＋ ，k Z}． 3

与辅助角公式有关 的三角函数问题
【例2】 已知函数f x ＝sin(2x＋ )＋sin(2x )＋2cos 2 x. 6 6 1 求f x 的最大值及最小正周期；


2 求使f x 2成立的x的取值范围．
【解析】1因为f x ＝sin(2x＋ )＋sin 6 (2x－ )＋2cos x 6
2 试求最小的正整数k，使得当自变量
x在任意两个整数间(包括整数本身)变化 时，函数f x 至少有一个值是M 与一个 值是m.
kx 【解析】1因为f x ＝sin( )， 5 3 k 0，且x R， 10 所以M＝1，m＝－1，T＝ . |k|
2 设x [n，n＋1]，n Z.依题意，当自变量x 在任意两个整数间变化时，函数f x 至少有 一个最大值，又有一个最小值，则函数f x
2
3 1 1 ＝ sin2 x＋ cos2 x＋ 2 2 2 1 ＝sin(2 x＋ )＋ . 6 2 若函数f x 的图象的一条对称轴为直线 1 x＝ ,则可取 . 3 2

4.已知函数f x ＝sin2x，g x ＝cos(2x＋ )， 6 直线x＝t (t R )与函数f x 、g x 的图象分 别交于M 、N 两点．
(1)试画出散点图； (2)观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ) ＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数 模型，并求出该拟合模型的解析式； (3)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练， 试安排白天内进行训练的具体时间段．
【解析】1 散点图如图．
2 由散点图可知，选择
3 3 ＝ | sin2t－ cos2t | ＝ 3 | sin(2t－ ) | . 2 2 6 5 因为t [0， ]，则2t－ [－ ， ]， 2 6 6 6 所以 MN 的最大值为 3.
kx 5.设三角函数f x ＝sin( ＋ )，k 0. 5 3 1 写出f x 的最大值M，最小值m与最 小正周期T；

1当t＝