人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系(第三课时)
人教版九年级数学上册：24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)
（2）∵ BE 是⊙ O 的直径
∴∠ BDE ＝90° ∴∠ ADE ＋∠ CDB ＝ 90°
又∵∠ ABC ＝ 90° ∴∠ ABD ＋∠ CBD ＝ 90°
由（ 1）得 BC＝ CD ∴∠ CDB ＝∠ CBD
∴∠ ADE ＝∠ ABD
19．解：（ 1） AB=AC （或∠ B= ∠C 或 AO 平分∠ BAC 或 AO ⊥ BC）． （2）过 O 作 OE⊥AC 于 E，连接 OD ∵AB 切⊙ O 于 D ∴OD ⊥ AB ∵AB=AC ， AO 是 BC 边上中线 ∴OA 平分∠ BAC 又∵ OD⊥ AB 于 D， OE⊥ AC 于 E ∴OE=OD ∴AC 是⊙ O 的切线
解法二：连结 OB ，如图 (1)
∵PA， PB 切⊙ O 于 A ， B
∴OA ⊥ PA，OB⊥ AB ∴∠ OAP+ ∠OBP=18°0
∴∠ APB+ ∠ AOB=18°0
∵OA=OB
∴∠ OAB= ∠ OBA=2°5
∴∠ AOB=13°0
∴∠ APB=50°
解法三：连结 OP 交 AB 于 C，如图 (2)
P C
B A
O
24． 2． 2 直线和圆的位置关系 (第三课时 )
知识点
1. 切点
2. 切线长 平分两条切线的夹角
3. 三条内角平分线的交点
三边的距离相等
一、选择题
1． B 2． A 3． B 4． A 5． D 6． A 7． D 8． C 二、填空题
9． 64° 10． 14 11． 23° 12．①②③④⑤⑦ 13． 90° 14． 65°或 115 ° 15． 125 ° 三、解答题
包括端点 D ，E）上任一点 P 作⊙ O 的切线 MN 与 AB ，BC 分别交于点 M ，N，若⊙ O 的半
人教版九年级数学上册24.2.2直线与圆的位置关系(第3课时)
根据你的直观判断， 猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什 么关系？
A
∟
⌒⌒
1
O
∟
M
2
P
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
B
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直 线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
１、切线和圆只有一个公共点。
２、切线和圆心的距离等于半径。
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。 ５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、经过切点的直径与切线垂直。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等； 内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° = 35° 2 2 ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
O
2 )1 4 3(
C
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
课时小结
一、切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
二、三角形的内切圆
人教版初中九年级上册数学课件 《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)
A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切 于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F， 若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章 圆
直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之 间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角． 核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的 两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个 圆的外切三角形． 【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点 分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点 为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm， 求△PEF的周长．
24.2.2 课时1 直线和圆的三种位置关系 人教版九年级数学上册课件
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
4.⊙O直径是8，直线l和⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d,则d应满足 （ C） A. d＜8 B. 4＜d＜8 C. 0 ≤d＜4 D. d＞0
移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共
点个数最少时有几个？最多时有几个？
0
2
● ● ●
l
填一填：
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
公共点个数
0个
公共点名称
直线名称
位置关系
1个 切点 切线
公共点个数
相交
2个 交点 割线
问题3 根据上面观察的发现结果，你认为直线与圆的位置关系可 以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸 上画出来.
AB
5
即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
记住：斜边上的高 等于两直角边的乘 积除以斜边.
d
D
所以 (1)当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙C和AB相离.
（2）当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙C和AB相切.
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交.
d
D
dD
变式题: 1.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为 何值时，圆C与线段AB没有公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有 一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？
5．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有 （B ） A.r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)教学设计
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行小组合作学习。我会提出一些问题，如“如何运用直线和圆的位置关系解决实际问题？”让学生在小组内进行讨论和实验。学生可以通过观察、实验、思考，得出结论，并分享自己的心得和体会。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计一些有关直线和圆位置关系的练习题，让学生独立完成。这些练习题包括判断直线和圆的位置关系、求解圆的弦长、圆心角等。在学生解答过程中，我会给予及时的指导和鼓励，帮助学生巩固所学知识。
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课的主要目标是让学生掌握直线和圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况。学生能够运用这些知识解决实际问题，如求解圆的弦长、圆心角等。通过对直线和圆的位置关系的探究，学生能够理解圆的性质，如圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等。此外，学生还能够掌握圆的标准方程和一般方程，并能够进行相应的转化。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
本节课的重难点是让学生理解和掌握直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。具体来说，重难点包括：
1.直线和圆的位置关系的定义和判定。学生需要理解相交、相切和相离三种情况的含义，并能准确判断直线和圆的位置关系。
2.圆的性质的推导和应用。学生需要理解和掌握圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等，并能运用这些性质解决实际问题。
在教学过程中，我发现学生对于直观和实际操作的学习方式较为感兴趣。他们喜欢通过观察、实验来发现问题和解决问题。因此，在教学设计中，我将充分利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，以直观的方式展示直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)
做例题变式75、76页 做自主学习78、79页 做配套100、101页
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2
整理，得x=3 所以，半径OA的长为3cm.
四、当堂检测 巩固新知
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形 结合的思想．
• 学习重点：掌握切线的性质定理和判定定 理及其应用
• 学习难点：切线的性质定理和判定定理， 切线长定理的应用
自学指导
A D
P
·O
E
C B
思考 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
三角形的内切圆、三角形的内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心简称三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 到三边距离相等，都等于内切圆的半径。
三角形的外心与内心的比较
A
O 130°
B
P
50°
切线长概念
在经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比： 切线与切线长
A
O
人教版九年级上册数学作业课件 第二十四章 圆 直线和圆的位置关系 切线长定理
10．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交 于点E，F，则( C ) A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
11．(2020·永州)如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， 线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③ 四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的 个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
15．(黄石中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为 △ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得 BD＝DF，连接CF，BE. (1)求证：DB＝DE； (2)求证：直线CF为⊙O的切线．
解：(1)∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， ∵ ∠ BED ＝ ∠ BAE ＋ ∠ EBA ， ∠ DBE ＝ ∠ EBC ＋ ∠ DBC ， ∠ DBC ＝ ∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE
3．(邵阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是 ⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( D ) A.15° B．30° C．60° D．75°
4．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放 在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的 方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若刻度尺，三角板都与圆相 切且测得PA＝5 cm(点P为切点)，求铁环的半径．
解：(1)由切线长定理可得CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴C△PCD ＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝12，则PA的长为6
24.2.2直线和圆的位置关系(3)(17张)
C
A
B
I
D
M
N
r
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
．
o
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个定点的距离。
三角形外接圆
三角形内切圆
．
o
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
A
A
B
B
C
C
例3 如图 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
A
O
P
P
A
B
A
O
P
P
A
切 线 长
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的 长叫做切线长.
A
O
P
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
O
P
B
如何证明 PA=PB, ∠APO=∠ BPO ？
证明： ∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
B
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA的距离都相等，以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径做圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
练 习``
解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB）
=117.5°
=180°－ （50°+75°）0
新人教九年级数学上册24.2.2 第3课时切线长定理
点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= 65 °或115 ° . A A
O
P
F
E
O
C B D B 第4题 第3题 4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如 图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 30 .
拓展提升
A F O · B
直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 2.5 径是 1 cm？ cm;内切圆半 D
AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、 E.已知PA=7，∠P=40°.则 ⑴ △PDE的周长是 ⑵ ∠DOE= . 70° P 14 ； D A
C
E B
O
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、 E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE 的长.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. F I
⊙O是△ABC的内切圆， 点O是△ABC的内心， △ABC是⊙O的外切三角形.
D
B
┐ E
C
填一填：
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法：
A
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN， 交点为O.
N M
O
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ⊙O就是所求的圆.
C
B
D
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2.2节《直线与圆的位置关系》是本节课的主要内容。
本节课主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求解圆的弦长和圆心角。
本节课的内容是九年级数学的重要内容，对于学生来说具有较高的难度，需要学生具备较强的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和几何关系有一定的了解。
但是，对于直线与圆的位置关系的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于数学问题的解决方法还不够丰富，需要通过本节课的学习，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆位置关系的方法。
2.学会求解圆的弦长和圆心角的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直线与圆的位置关系的理解和判断。
2.圆的弦长和圆心角的求解方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索直线与圆的位置关系。
2.使用几何画板软件，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。
3.通过例题讲解和练习，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括直线与圆的位置关系的图片和例题。
2.准备几何画板软件，用于展示直线与圆的位置关系。
3.准备相关的中难度的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何中直线与圆的基本概念，如圆的定义、直线的定义等，为后续学习直线与圆的位置关系打下基础。
2.呈现（10分钟）使用几何画板软件展示直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
让学生直观地感受直线与圆的位置关系，并为后续学习判断方法和求解方法做准备。
3.操练（15分钟）讲解如何判断直线与圆的位置关系，以及如何求解圆的弦长和圆心角。
24.2.2 直线和圆的位置关系(3)
C
.O
E
P
D
必须按照上述格式。
B
A
5、如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C， ⊙O半径为1，PO=2，则PA=_______，
PB=______，PC=_____，AC=______，
BC=____，∠AOB=______． P A
C B
O
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x负半 轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑴试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由.
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
存 在 性 问 题
O
切线
A
l
切线性质定理：
①圆的切线;
②过切点的半径.
切线垂直于半径
例:在Rt△ABC的斜边上, 以AD为直径的⊙O和BC相切 E
C
F
D B
于点F, ⊙O和AC交于E.
求证:弧EF=弧FD
A
. O
分析：
①已知切线、切点，则连接半径，应用切线 的性质定理可得垂直关系； ②已知直径则作直径所对的圆周角.
O l A
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
人教版九年级数学上册 24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)
内切圆的半径)
四、应用拓展
教科书第97页例2. A
变式：如图,把△ABC改
为“直角三角形”，已知AC
＝13 cm,AB＝5 cm,求内切
圆的半径.
B
C
直角三角形内切圆半径：r=
a+b-c 2
五、巩固新知
1.如图,PA、PB、DE分别切⊙Ｏ于A、B、C， DE分别交PA、PB于D、E，已知P到⊙Ｏ的切线长
第二十四章 圆
24.2点、直线、圆和 圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时
一、情境引入
如图所示的是一张三角形的铁皮，如何在它 上面截下一块圆形用料，使圆的面积尽可能大？
A
B
C
注：三角形中画一个圆，使圆尽可能大，圆 与三角形的三边都相切时，这个圆最大.
二、探索新知
按步骤操作：
(1)在一透明纸上画⊙Ｏ及⊙Ｏ上一点A，过点 A画⊙Ｏ的切线AP.
∠B,∠C 的平分线BM 和CN，设它们相交于点I， 那么点I 到AB,BC,CA 的距离都相等,以点I 为圆 主，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与
△ABC的三条边都相切.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心.
问题： 1.直角三角形与钝角三角形的内切圆存在吗？ 请画出直角三角形、钝角三角形的内切圆. 2.你能发现新的三角形面积公式吗？
∴ PA=PB, ∠OPA =∠OPB
A
v
Ov P
Bv
切长线的定理：从圆外一点可以引圆的两条切
线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 直线和圆的位置关系 (第3课时)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第3课时）一、教学目标【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度与价值观】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）（二）探索新知探究一切线长定理及应用教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？（出示课件4）学生思考,尝试作图并解答．出示课件5:出示定义:切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．教师问：切线长与切线的区别在哪里？学生思考后师生共同总结：①切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量．教师问：PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO 和∠BPO有何关系？（出示课件6）学生思考后,尝试利用图形轴对称性解释.教师归纳：（出示课件7）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:∵PA、PB分别切☉O于A、B,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.出示课件8：已知,如图PA、PB是☉O的两条切线,A、B为切点.求证：PA=PB,∠APO=∠BPO.学生观察分析,合作交流后师生共同解答.证明：∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.教师问：若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9）学生操作后观察得：OP垂直平分AB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.教师问：若延长PO交⊙O于点C,连接CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10）学生操作后观察得：CA=CB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB,∴AC=BC.出示课件11：例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H,∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.巩固练习：（出示课件12）PA、PB是☉O的两条切线,A,B是切点,OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若∠BPA=60°,则OP= .学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径．教师分析：欲求半径OP,取圆的圆心为O,连OA、OP,由切线性质知△OPA 为直角三角形,从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．师生共同解答.（出示课件14）解：过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的圆心为O,连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线,∴AO为∠PAQ的平分线,即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°,∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°,∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中,PA＝5,∠POA＝30°,OP即铁环的半径为巩固练习：（出示课件15）如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(AD<BE).学生思考后独立解决.解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.探究二三角形的内切圆及作法出示课件16：小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？教师问：如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）学生答：最大的圆与三角形三边都相切.教师问：如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r 的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）学生答：圆心I到三角形三边的距离相等,都等于r.教师问：(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.教师问：为什么？学生答：三角形三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等.出示课件19：做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.引导学生分析作图的关键,师生共同作图如下：作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.教师归纳总结：（出示课件20）1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.如图,☉I是△ABC的内切圆,点I是△ABC的内心,△ABC是☉I的外切三角形.出示课件21：例已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.学生观察思考交流后,师生共同解答.（出示课件22,23）解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;②分别以H、G为圆心,以大于12HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=12(∠ABC+∠ACB)=12×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.巩固练习：（出示课件24）△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.（提示：设内心为O,连接OA、OB、OC.）学生思考交流后自主解决.解：设AB=c,BC=a,AC=b.则S△OBC=12ar,S△OBA=12cr,S△OAC=12br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=1 2ar+12cr+12br=12r（a+c+b）=12lr.探究三三角形的内心的定义和性质教师问：如图,☉I是△ABC的内切圆,那么线段IA,IB,IC有什么特点？（出示课件25）学生答：线段IA,IB,IC分别是∠A,∠B,∠C的平分线.教师问：如图,分别过点作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）学生答：IE=IF=IG.教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.出示课件28：例 如图,△ABC 中,∠B=43°,∠C=61°,点I 是△ABC 的内心,求∠BIC 的度数.教师分析后学生独立解答.解：连接IB,IC.∵点I 是△ABC 的内心,∴IB,IC 分别是∠B,∠C 的平分线,在△IBC 中,180()BIC IBC ICB ∠=-∠+∠1180()2B C =-∠+∠ 1180(4361)2=-+128.= 巩固练习：（出示课件29）如图,在△ABC 中,点P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .学生自主思考后独立解答.解析：∵点P 是△ABC 的内心,∴PB 平分∠ABC,PA 平分∠BAC,PC 平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.出示课件30,师生共同总结深化认知.（三）课堂练习（出示课件31-36）1.如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是（ ）A ．3B ．C ．6D ．2.如图,菱形ABOC 的边AB 、AC 分别与⊙O 相切于点D 、E ．若点D 是AB 的中点,则∠DOE= ．3.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO= ,PB= .4.如图,已知点O是△ABC的内心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC= .5.如图,在△ABC中,点I是内心,（1）若∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BIC=_____.（2）若∠A=80°,则∠BIC=_____度.（3）若∠BIC=100°,则∠A=_____度.（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？6.如图所示,已知在△ABC中,∠B＝90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证：DE∥OC.7.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案：1.D解析：设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=∴光盘的直径为．2.60°解析：连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∵点D 是AB 的中点,∴直线OD 是线段AB 的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB 是等边三角形,∵AB 与⊙O 相切于点D,∴OD ⊥AB,∴∠AOD=12∠AOB=30°, 同理,∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60° ．3.20°；44.110°5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷190.2BIC A ∠=+∠ 6.证明：连接OD,∵AC 切⊙O 于点D,∴OD ⊥AC,∴∠ODC=∠B=90°.在Rt △OCD 和Rt △OCB 中,OD ＝OB ,OC ＝OC ,∴Rt △ODC ≌Rt △OBC （HL ）, ∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∵∠DOB=∠ODE+∠OED,∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC.7.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠CBD, ∴∠BID=∠IBD,∴BD=ID．（四）课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？（五）课前预习预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续,从探究切线长定理开始,通过如何作一个三角形的内切圆,引出三角形的内切圆和三角形内心的概念,经历这些探究过程,能使学生掌握图形的基本知识和基本技能,并能解决简单的问题.。
《直线和圆的位置关系(3)》教案
24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时）切线长定理和三角形内切圆一、教学目标（一）学习目标1.了解切线长定义，切线长定理，并进行有关计算。
2.会作三角形内切圆并理解作图原理。
3.掌握三角形内切圆、内心的概念及性质，利用性质进行推理论证、计算。
（二）学习重点1.切线长定理及其应用。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.三角形内心性质。
（三）学习难点1.运用切线长定理进行有关计算。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.运用三角形内心性质进行有关计算、证明。
二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点间的线段叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：过圆外一点有两条圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
（3）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
2.预习自测（1）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A.4B.8C.【知识点】圆的切线长定理；等边三角形判定与性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是圆O的两条切线∴PA=PB∵∠APB=60°∴△PAB是等边三角形∵PA=8∴AB=PA=8故选B【思路点拨】由圆的切线长定理得PA=PB，又∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形。
【答案】B2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP= 度．【知识点】切线长定理、直角三角形两锐角互余【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°∴∠APO=12∠APB=25°，∠OAP=90°∴∠AOP=90°﹣25°=65°【思路点拨】根据切线长定理、切线的性质定理得到∠OAP=900，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解。
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24．2．2直线和圆的位置关系(第三课时)
知识点
1．切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和_________之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的_________相等，圆心和这一点的连线______________________.
3．三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形的____________________________，它叫做三角形的内心，它到三角形_____________________．
一、选择题
1．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）
A．4 B．8 C．4
3
D．
8
3
2如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P的度数是（）
A．60°B．120°C．50°D．30°
3．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ．若△PDE 的周长为12，则PA 的长为（ ）
A ．12
B ．6
C ．8
D ．4
4．如图，边长为a 的正三角形的内切圆半径是（ ）
A
B
C
D
5．在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（ ）
A ．5
B ．7
C ．2
D ．1
6．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）
A．130°B．100°C．50°
D．65°
7．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=AOB 的度数为( )
A．90°B．100°C．110°D．120°
8．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE （不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）
A．r B．3
2
r C．2r D．
5
2
r
二、填空题
9．如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD=OB，连接AD，如果∠DAC=78°，那么∠ADO＝__________．
10．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是_________．
11．如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则
∠BAC=．
12．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交⊙O于D、E，交AB于C，则下面的结论正确的有．
①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③OP⊥AB；④»»
AD BD
；⑤∠PAB=∠PBA；⑥PO=2AO；
⑦AC=BC．
13．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=．
14．P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠APB=50°，点C为⊙O 上一点（不与A，B重合），则∠ACB的度数为．
15．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为．
Ａ
Ｏ
Ｉ
ＢＣ
三、解答题
16．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
17．如图，是一个不倒翁图案，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA 、PB 分别相切于点A 、B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O ，若∠OAB=25°，求∠APB 的度数．
18．已知：如图，在直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．
（1）求证：BC ＝CD ；（2）求证：∠ADE ＝∠ABD ．
19．如图，AO 是△ABC 的中线，⊙O 与AB 相切于点D ．
（1）要使⊙O 与边AC 也相切，应增加条件 （任写一个）； A B
C D E O
B
（2）增加条件后，请你说明⊙O 与边AC 相切的理由．
20．如图，已知AB 为O ⊙的直径，PA PC ，是O ⊙的切线，A C ，为切点，30BAC ∠=°．
（1）求P ∠的大小；（2）若2AB =，求PA 的长．
24．2．2直线和圆的位置关系(第三课时) 知识点
1.切点
2.切线长平分两条切线的夹角
3. 三条内角平分线的交点三边的距离相等
一、选择题
1．B
2．A
3．B
4．A
5．D
6．A
7．D
8．C
二、填空题
9．64°
10．14
11．23°
12．①②③④⑤⑦
13．90°
14．65°或115°
15．125°
三、解答题
16．解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴OA⊥AD，OB⊥BC
∵OA，OB是半径
∴AF、BP都是⊙O的切线
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA，PE=PB
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6 17．解法一：∵PA、PB切⊙O于A、B
∴PA=PB∴OA⊥PA
∵∠OAB=25°，∴∠PAB=65°
∴∠APB=180－65°×2=50°
解法二：连结OB，如图(1)
∵PA，PB切⊙O于A，B
∴OA⊥PA，OB⊥AB
∴∠OAP+∠OBP=180°
∴∠APB+∠AOB=180°
∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=25°
∴∠AOB=130°∴∠APB=50°
解法三：连结OP交AB于C，如图(2)
∵PA，PB切⊙O于A，B
∴OA⊥PA，OP⊥AB
OP平分∠APB∴∠APC=∠OAB=25°
∴∠APB=50°
18．解：（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC
∵OB是⊙O的半径∴CB为⊙O的切线
又∵CD切⊙O于点D∴BC＝CD
（2）∵BE是⊙O的直径
∴∠BDE＝90°∴∠ADE＋∠CDB＝90°
又∵∠ABC＝90°∴∠ABD＋∠CBD＝90°
由（1）得BC＝CD∴∠CDB＝∠CBD∴∠ADE＝∠ABD 19．解：（1）AB=AC（或∠B=∠C或AO平分∠BAC或AO⊥BC）．（2）过O作OE⊥AC于E，连接OD
∵AB切⊙O于D
∴OD⊥AB
∵AB=AC，AO是BC边上中线
∴OA平分∠BAC
又∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E
∴OE=OD
∴AC 是⊙O 的切线
20．解:（1）∵PA 是O ⊙的切线，AB 为O ⊙的直径 ∴PA AB ⊥
∴90BAP ∠=°
∵30BAC ∠=°
∴9060CAP BAC ∠=-∠=°°
又∵PA 、PC 切O ⊙于点A C ，
∴PA PC =
∴PAC △为等边三角形
∴60P ∠=°
（2）连接BC ，则90ACB ∠=°
在Rt ACB △中，230AB BAC =∠=，°，AC =∵PAC △为等边三角形
∴PA AC =。