3-1 线性规划

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• 首先分析一下厂商购买所付出的代价。自然， 作为买方厂商当然是希望价格压得越低越好， 因此厂商追求的应是付出代价的最小值，即：
Min w=360 y1 +200 y2 +300 y3
• 然而，价格能否无限地压低呢？ 答案当然是否定的，因为必须保证企业让 出资源的收益不低于自己生产创造的利润。 s.t. 9 y1 +4 y2 +3 y3 ≥7 4 y1 +5 y2 +10 y3 ≥12 y1 ，y2 ≥0
决策变量：甲、乙产品的计划产量，记为 x1, x2 目标函数：总收入记为 z , 则 z = 7 x1 + 12 x2 为体现追求极大化，在前面冠以极大号max； 约束条件：分别来自资源煤、电、油限量的约束， 和产量非负的约束，表示为
9 x1 + 4 x2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t. 3 x1 + 10 x2 ≤ 300 x1 , x2 ≥ 0
b1 , b 2 , L b m ≥ 0
即 max z =
i =1
ci xi
bj ≥ 0ห้องสมุดไป่ตู้
j = 1,2, L , m
n i =1 ∑ a ji x i = b j s .t i = 1 x i ≥ 0 i = 1,2, L , n
∑
n
ci xi
bj ≥ 0
j = 1,2,L, m
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解： 设甲、乙产品的产量分别为 x j 个单位 （ j = 1,2 ）, 获得总收入为z ，则上述问题的 数学模型为
z = 7 x1 + 12 x 2 max s .t . 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x j ≥ 0 , j = 1, 2
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z = 7 x1 + 12 x2 max s.t. 9 x + 4 x ≤ 360 1 2 4 x1 + 5 x2 ≤ 200 3 x1 + 10 x2 ≤ 300 x j ≥ 0, j = 1,2
min w = 360 y1 + 200 y2 + 300 y3 9 y1 + 4 y2 + 3 y3 ≥ 7 s.t. 4 y1 + 5 y2 + 10 y3 ≥ 12 y1 , y2 ≥ 0
解 设x1为周一开始休息的人数，x2为周二开始休息的人数 ，
L x6为周六开始休息的人数，x7为周日开始休息的人数，
Z 表示商场的售货员人数 = x1 + x2 + L + x7
求 min Z = x1 + x2 + L + x7
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约束条件 : xi 为星期 i日开始休息的人数 , i = 1,2, L ,7 星期日 售货员人数要求: 时间 所需售货员人数 数学模型: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 星期一 售货员人数要求:
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• [例1] 资源合理利用问题 例 某工厂在某一计划期内准备生产甲、乙两种 产品，生产需要消耗煤、电、油三种资源。 有关数据列表如下。试拟订使计划期内总收 入最大的生产计划方案？
资源单耗 产品 甲 资源
乙
资源限量 360 200 300
2
煤 电 油
单位产品价格
9 4 4 5 3 10 7 12
• 在本例中
… … …
s.t .
a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n ≤ (=, ≥)bm
x1 , x 2 , L , x n ≥ 0
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• 线性规划数学模型的一般形式也可以用如下 矩阵向量的简单形式加以表达：
max(min) Z = CX
AX ≤ ( =, ≥)b
X ≥0
• 其中A是m×n阶技术系数矩阵 技术系数矩阵，b是m×1阶 技术系数矩阵 资源系数矩阵（列向量），C是1×n阶价值系 资源系数矩阵 价值系 数矩阵（行向量），X是n×1阶决策变量矩阵 数矩阵 决策变量矩阵 （列向量）。
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3、线性规划数学模型的标准形式
max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + L + c n x n
max z =
∑
n
a11 x1 + a12 x 2 + L + a 1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b n 21 1 22 2 2n n 2 ∑1 a ji x i = b j s.t i= LLL a x + a x + L + a x = b j = 1,2, L , m m1 1 m2 2 mn n m x1 , x 2 L , x n ≥ 0 xi ≥ 0 i = 1, 2, L , n
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线性规划模型的一个基本特点
• 目标和约束均为变量的线性表达式 • 如果模型中出现如
1 x + 2 ln x2 + x3
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• 的非线性表达式，则不属于线性规划。
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2. 线性规划数学模型的一般形式：
max(min)Z = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c n x n
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ≤ (=, ≥)b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn ≤ (=, ≥)b2
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三、线性规划的对偶理论
• 每一个线性规划问题都有和它相伴随的另 一个问题，一个问题称为原问题 原问题，则另一 原问题 个则称为其对偶问题 对偶问题。原问题与对偶问题 对偶问题 有着非常密切的关系，以至于可以根据一 个问题的最优解，得出另一个问题最优解 的全部信息。然而，对偶性质远不仅是一 种奇妙的对应关系，它在理论和实践上都 有着广泛的应用。
解得:
x1 = 12, x2 = 0, x3 = 11, x4 = 5, x5 = 0, x6 = 8, x7 = 0. Z 0 = 36
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工厂立场(原问题 原问题) 原问题
厂商的立场(对偶问题 对偶问题) 对偶问题
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四、灵敏度分析
灵敏度分析是指对系统因环境变化显示出来 的敏感程度的分析。 决策者还需要获得这样两方面的信息： • 一是当这些系数有一个或几个发生变化时，已 求得的最优解会有什么变化； • 二是这些系数在什么范围内变化时，线性规划 问题的最优解（或最优基）不变。
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二、线性规划问题的求解
• 1. 图解法：是用画图的方式求解线性规划的一 种方法。（只能用于求解两个变量的LP问题） • 2.单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要 算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格 （G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年中， 又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用 的特色始终保持着绝对 的“市场”占有率。 3.应用计算机求解：使用Matlab、Lindo、Lingo 等等。
星期四 售货员人数要求:
x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 19
非负约束 :
xi ≥ 0, i = 1,2,L,7
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星期五 售货员人数要求:
x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 31
星期六 售货员人数要求:
x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 28
数学模型:
3－1 线性规划 －
（linear programming)
• 一、线性规划研究的问题：
1、在现有的人、财、物等资源的条件下， 研究如何合理地计划、安排，可使得 某一目标达到最大， 如产量、利润等。 2、在任务确定后，如何计划、安排，使 用最少的人、财、物等资源，去实现 该任务，如使生产成本、费用最少等。 寻求在一定约束 条件下使某个指标达到最优
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 28人 15人 24人 25人 19人 31人 28人
星期二 售货员人数要求:
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
星期三 售货员人数要求:
x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 25
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• 1.对偶问题的提出
我们已构造了例[1]追求最大收入的数学模型， 现在让我们从另外一个侧面来反映一下该问 题。倘若工厂有意放弃甲、乙两种产品的生 产，而将其所拥有的资源转让出去；假设有 一厂商要购买该工厂的三种资源，那么对三 种资源的报价问题将成为关注的焦点。设y1、 y2和y3分别代表厂商对煤、电、油三种资源 的报价，那么站在厂商的立场上，该问题的 数学模型又将是什么样子的呢？
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例1 某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的 需求经过统计分析如下所示：
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货员 人数 28人 15人 24人 25人 19人 31人 28人
为保证售货人员充分休息， 售货人员每周工作五天，休 息两天，并要求休息的两天 是连续的，问应该如何安排 售货人员的作息，既满足了 工作的需要，又使配备的售 货人员的人数最少？