2018年新课标2文科数学真题

绝密★启用前2019年09月01日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三总分 得分评卷人 得分一、选择题1.()23i i += ( )A. 32i -B. 32i +C. 32i --D. 32i -+2.已知集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==,则A B ⋂= () A. {}3B. {}5C. {}3,5D. {}1,2,3,4,5,73.函数2()x xe ef x x --=的图像大致为( )A.B.C. D.4.已知向量,a b 满足||1,1,a a b =⋅=-则(2)a a b ⋅-= ( )A.4B.3C.2D.05.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A.0.6B.0.5C.0.4D.0.36.双曲线22221x y b-=(0,0)a b >>3,则其渐近线方程为( ) A. 2y x = B. 3y x =C. 2y x =D. 3y x = 7.在ABC ∆中, 5cos,1,525C BC AC ===则AB = ( ) A. 2B.30C.29D. 258.为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-,设计了程序框图,则在空白框中应填入( )A. 1i i =+B. 2i i =+C. 3i i =+D. 4i i =+9.在正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.3C.5D. 72 10.若 ()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数,则a 的最大值是( )A.4π B. 2π C. 34π D. π 11.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点, P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为( )A. 31B. 23-C. 312D.3112.已知()f x 是定义为(,)-∞+∞的奇函数,满足()(11)f f x x =+-。

若()1?2f =,则()(2)(3)(50)1f f f f +++⋅⋅⋅+= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 评卷人得分 二、填空题13.曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________14.若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z x y =+的最大值为__________.15.已知 51tan 45απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=__________ 16.已知圆锥的顶点为S ,母线,SA SB 互相垂直, SA 与圆锥底面所成角为30︒,若SAB △的面积为8,则该圆锥的体积为__________. 评卷人得分 三、解答题17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知137,15.a s =-=1.求{}n a 的通项公式;2.求n S 并求n S 的最小值。

18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型,根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,.,17⋯⋯)建立模型①: 30.413.5y t =-+;根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,.,7⋯⋯)建立模型②: y 9917.5t =+.1.分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资的预测值;2.你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。

19.如图,在三棱锥 P ABC -中, 2,4,AB BC PA PB PC AC O ======为AC 的中点1.证明: PO ⊥平面ABC2.若点 M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点C 到平面POM 的距离20.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 点且斜率()0k k > 的直线l 与C 交于,A B 两点, 8AB =.1.求l 的直线方程。

2.求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程.21.已知函数 ()()32113f x x a x x =-++ 1.若 3a =,求()f x 的单调区间2.证明: ()f x 只有一个零点22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) 1.求C 和l 的直角坐标方程2.若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率23.[选修4-5:不等式选讲] 设函数()52f x x a x =-+--1.当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集;2.若()1f x ≤,求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：D解析：分析:根据公式21i =-,可直接计算得()2332i i i +=-+详解:()2232332i i i i i +=+=-+,故选D点睛:复数题是每年高考的必考内容,一般以选择或填空形式出现,属简单得分题,高考中复数主要考查的内容有:复数的分类、复数的几何意义、共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,在解决此类问题时,注意避免忽略21i =-中的负号导致出错2.答案：C解析：分析:根据集合 {}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{}3,5A B ⋂=.详解:∵{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==,∴{}3,5A B ⋂=,故选C点睛:集合题也是每年高考的必考内容,一般以客观题形式出现,一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式,如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决,若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算3.答案：B解析：分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:∵()()20,x xe e xf x f x x --≠-==-∴()f x 为奇函数,舍去A, ∵()110f e e -=->∴舍去D;∵()()()()()243222'x x x x x x e e x e e xx e x e f x x x ---+---++==∴2x >，()'0f x >所以舍去C;因此选B.点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复4.答案：B解析：因为22(2)22||(1)213a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=所以选B.5.答案：D解析：分析:分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能,代入概率公式可求得概率.详解:设2名男同学为 12,A A ,3名女同学为123,,B B B ,从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能,选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==,故选D.点睛:应用古典概型求某事件的步骤:第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件A;第二步,分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m;第三步,利用公式()m P A n =求出事件A 的概率. 6.答案：A 解析：因为: 3,c e a== 所以: 22222212b c a e a a-==-= 所以: 2b a= 因为渐近线方程为b y x a =±,所以渐近线方程为2y x =±,选A. 7.答案：A解析：因为: 2253cos 2cos 121255c C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215()325c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-= 所以42c =,选A.8.答案：B 解析：由111111 (23499100)s =-+-++-得程序框先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减,因此在空白框应填入2i i =+.选B. 9.答案：C解析：分析:利用正方体 1111ABCD A B C D -中, //CD AB ,将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值,在 ABE ∆中进行计算即可.详解:在正方体 1111ABCD A B C D -中, //CD AB ,所以异面直线 AE 与CD 所成角为EAB ∠,设正方体边长为 2a ,则由 E 为棱1CC 的中点,可得CE a =,所以5BE a =则 55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛:求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:①平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角.(2)向量法:①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10.答案：C解析：分析:先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定a 的最大值详解:因为 ()sin 4f x coosx x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,所以由 ()0224k k k z π+π≤π+≤π+π,∈得()322,44k x k k z ππ-+π≤≤+π∈因此 []3,,44a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦∴3,,44a a a a ππ-<-≥-≤,从而a 的最大值为34π,选C. 点睛:函数 ()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的性质:(1) max min ,y A B y A B =+=-.(2)周期2T πω=(3)由 ()2x k k Z ωϕπ+=+π∈求对称轴, (4)由()2222k x k k Z ωϕππ-+π≤+≤+π∈求增区间;由 ()2222k x k k Z ωϕπ3π+π≤+≤+π∈求减区间 11.答案：D解析：分析:设 2PF m =,则根据平面几何知识可求121,F F PF ,再结合椭圆定义可求离心率.详解:在 12F PF ∆中, 122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒设 2,PF m =,则12122,c F F m PF ==,又由椭圆定义可知 )1221a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ====,故选D点睛:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义.12.答案：C解析：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,且(1)(1)f x f x -=+,所以(1)(1)f x f x +=--所以(3)(1)(1), 4.f x f x f x T +=-+=-=因此(1)(2)(3)...(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2),f f f f f f f f f f ++++=+++++ 因此(3)(1),(4)(2),f f f f =-=-所以(1)(2)(3)(4)0,f f f f +++=因为: (2)(2)(2)f f f =-=-,所以(2)0f =从而(1)(2)(3)...(50)(1)2,f f f f f ++++==选C.二、填空题13.答案：22y x =-解析：分析:求导 ()2'f x x=,可得斜率()'12k f ==,进而得出切线的点斜式方程详解:由 ()2ln y f x x ==,得()2'f x x =则曲线 2ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为()'12k f ==,则所求切线方程为 ()021y x -=-,即22y x =- 点睛:求曲线在某点处的切线方程的步骤:①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.14.答案：9解析：做可行域,则直线z x y =+过点(5,4)A 时z 取最大值9.15.答案：分析:利用两角差的正切公式展开,解方程可得 3tan 2α=. 详解: 5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅,解方程得 3tan 2α= 点睛:本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况,属于简单题型,解决此类问题的核心是要公式记忆准确,特殊角的三角函数值运算准确.解析：16.答案：8π解析：如下图所示, 30,90SAO ASB ∠=︒∠=︒又 211822SAB S SA SB SA =⋅==△, 解得 4SA =,所以2212,232SO SA AO SA SO ===-=,所以该圆锥的体积为 2183V OA SO =⋅π⋅⋅=π 三、解答题17.答案：1.设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-由17a =-得2d =,所以{}n a 的通项公式为29n a n =- 2.由1知, 228(4)16n S n n n =-=--得,所以当4n =时, n S 取得最小值,最小值为16-.解析：18.答案：1.利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1y =-+⨯= (亿元)利用模型②,该地区年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5y =+⨯= (亿元)2.利用模型②得到的预测值更可靠理由如下:方法一:从折线图可以看出, 2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势, 2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加, 2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y 9917.5t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠。