正态分布基本知识_概率论与数理统计
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
1.正态分布的概率密度与分布函数
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
数理统计主要知识点
数理统计主要知识点数理统计是统计学的重要分支，旨在通过对概率论和数学方法的研究和应用，解决实际问题上的不确定性和随机性。
本文将介绍数理统计中的主要知识点，包括概率分布、参数估计、假设检验和回归分析。
一、概率分布概率分布是数理统计的基础。
它描述了一个随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括：1. 均匀分布：假设一个随机变量在某一区间内取值的概率是相等的，则该随机变量服从均匀分布。
2. 正态分布：正态分布是最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有均值和标准差两个参数。
3. 泊松分布：泊松分布描述了在一定时间内发生某个事件的次数的概率分布，例如在一天内发生交通事故的次数。
4. 二项分布：二项分布描述了进行一系列独立实验，每次实验成功的概率为p时，实验成功的次数在n次内取特定值的概率。
二、参数估计参数估计是根据样本数据来推断随机变量的参数值。
常见的参数估计方法包括：1. 最大似然估计：假设数据服从某种分布，最大似然估计方法寻找最能“解释”数据的那个分布，计算出分布的参数值。
2. 矩估计：矩估计方法利用样本矩来估计分布的参数值，例如用样本均值估计正态分布的均值，样本方差估计正态分布的方差。
三、假设检验假设检验是为了判断一个统计假设是否成立而进行的一种统计方法。
它包括假设、检验统计量和显著性水平三个重要概念。
1. 假设：假设指的是要进行验证的观察结果，分为零假设和备择假设两种。
2. 检验统计量：检验统计量是为了检验零假设而构造的统计量，其值代表目标样本符合零假设的程度。
3. 显著性水平：显著性水平是用来决定是否拒绝零假设的标准，通常为0.01或0.05。
四、回归分析回归分析是用来研究和描述两个或多个变量之间关系的统计方法。
它可以帮助人们了解因果关系，做出预测和控制因素的效果。
1. 简单线性回归：简单线性回归是一种简单的回归分析方法，它描述一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
2. 多元线性回归：多元线性回归描述多个自变量和一个因变量之间的关系，通过多元回归模型可以找到最佳的回归系数，从而用来预测未来的结果。
概率论与数理统计各种分布总结
概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。
下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。
它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。
它通常用于模拟稀有事件的发生情况。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。
它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。
许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。
它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。
7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。
与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。
8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。
它经常用于方差分析和回归分析中。
这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。
概率论与数理统计实践----正态分布
正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。
其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
概率论与数理统计--正态分布
正态分布一、正态分布设随机变量X 具有概率密度+∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμσπ其中)0(,>σσμ为常数，则称X 服从参数为2,σμ的正态分布，即),(~2σμN X 。
X 分布函数：()⎰∞---=x t dt e x F 222)(21σμσπ +∞<<∞-x二、标准正态分布 )1,0(~N X密度函数 2221)(x e x -=πϕ +∞<<∞-x 分布函数 ⎰∞--=x t dt e x 2221)(πφ +∞<<∞-x三、性质、计算1. )(1)(x x φφ-=-2. 若)1,0(~N X ，则{}()()a b b X a P φφ-=<<{}()12-=≤a a X P φ {}{}())1(21a a X P a X P φ-=<-=≥3.若),(~2σμN X ，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σμφx x F {}{}()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=≤<=<<σμφσμφ12122121x x x F x F x X x P x X x P四、练习1.设)1,0(~N X ，求：{}1≤X P ，{}2≤X P ，{}3≤X P ，{}96.1>X P 。
2.设)4,1(~N X ，求：{}6.10≤≤X P ，{}2.75<<X P ，{}3.2≥X P3.从南区某地乘地铁前往北区火车站搭乘火车有两条路可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：min ）服从正态分布N(50,100)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位：min ）服从正态分布N(60,16)。
若（1）有70分钟时间，（2）有65分钟时间，问在上述两种情况下应走哪一条路？（1-3题清华大学教材56-58页）五、标准正态分布的上α分位点设)1,0(~N X ，对于给定的)10<<αα（，如果αu 满足条件{}απαα==≥⎰+∞-u x dx e u X P 2221则称点αu 为标准正态分布的上α分位点。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时，称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时，称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容，即A∩B=∅，则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型，是指试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件，即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek}，则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
正态分布知识点总结2u
正态分布知识点总结2u一、正态分布的基本概念1. 概率密度函数正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其数学表达式为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，$x$是随机变量的取值，$\mu$是分布的均值，$\sigma$是分布的标准差。
这个函数在$x=\mu$处取得最大值，然后随着$x$的偏离而逐渐减小。
换句话说，正态分布的大部分数据集中在均值附近，并且随着偏离均值越远，密度越低。
2. 均值和标准差正态分布的均值$\mu$决定了分布的位置，而标准差$\sigma$决定了分布的扁平程度。
当$\sigma$较小时，数据集中在均值附近，曲线变得更加陡峭；当$\sigma$较大时，数据分布更广，曲线变得更加平缓。
3. 性质正态分布有许多重要的性质。
其中最著名的是“三西格玛定理”，它指出约有68%的数据在均值的一个标准差范围内，约有95%的数据在均值的两个标准差范围内，约有99.7%的数据在均值的三个标准差范围内。
这个性质使得正态分布在统计推断中非常有用，因为我们可以通过均值和标准差来判断数据的集中程度。
二、正态分布的应用1. 统计推断正态分布在统计推断中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用正态分布的性质来进行假设检验，构建置信区间等等。
此外，许多统计模型的假设都是基于正态分布的形式，比如线性回归模型、方差分析模型等等。
2. 财务领域在财务领域，正态分布被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合优化等领域。
例如，资本资产定价模型（CAPM）假设资产的收益率服从正态分布，这使得我们可以通过对分布的均值和标准差进行估计，来评估投资组合的预期收益和风险。
3. 自然科学在自然科学中，许多自然现象都可以用正态分布来描述。
例如，地震的震级、雨量的分布、气温的变化等等都具有正态分布的特性。
这使得我们可以利用正态分布的概念来解释自然现象，并且进行相关的预测和分析。
概率论与数理统计之正态分布
转化为标准正态分布
P(8100 Yn 10000)
标准化
P 2.5
Yn np np(1 p)
50
(50) (2.5) 1 0.9938 0.0062
37
例：某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8 各用户用电多少是相互独立的，求：
(1)同一时刻有8100户以上用电的概率； (2)若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以
1
z2
e 10 , z R
10
§4.4 二维正态分布
定义： 二维随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，记作
(
X
,Y
)
~
N(x
,
y
,
2 x
,
2 y
,
r)
其中 x, y ,x 0, y 0, r( r 1) 是参数.
26
§4.4 二维正态分布
定理1：设二维连续随机变量
(X
,Y
)
~
N(x
,
Q /100 8000 1.96
Q 807840
38
40
39
15-16，五. 设每个零件上的瑕疵点个数服从泊松分布P(1)，现 随机抽取100个零件，根据中心极限定理，求100个 零件上总瑕疵点个数不多于120个的概率.
正态分布的前世今生
一、邂逅，正态曲线的首次发现 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，4.5节
二、寻找随机误差分布的规律（正态分布的确立） 三、正态分布的各种推导 四、正态分布开疆扩土 五、正态魅影
正态分布性质，4.3节
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
定义：设随机变量 X 的概率密度为
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征正态分布是概率论与统计学中最重要的理论之一，它也被称为高斯分布或钟形曲线。
正态分布具有以下特征：1. 均值（Mean）：正态分布的均值代表了分布的中心位置，也即数据的平均值。
在正态分布中，均值位于曲线的对称轴上。
2. 方差（Variance）：正态分布的方差代表分布的离散程度。
方差越大，分布的曲线越宽，离散程度越高；方差越小，分布的曲线越窄，离散程度越低。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它也表示了正态分布的离散程度，是评估数据散布范围的常用指标。
标准差越大，分布范围越宽，标准差越小，分布范围越窄。
4. 正态分布曲线（Normal Distribution Curve）：正态分布的曲线呈钟形，左右对称，中间较高，两端较低。
曲线的高度取决于均值和方差的数值。
5. 68-95-99.7规则（68-95-99.7 Rule）：根据正态分布的特性，大约68%的数据在均值的一个标准差范围内，大约95%的数据在均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据在均值的三个标准差范围内。
6. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：中心极限定理指出，在一定条件下，随机变量的和或平均值的分布趋近于正态分布。
这使得正态分布成为了概率统计中广泛应用的基础。
正态分布的概念和特征对于探究、分析和预测自然和社会现象都具有重要意义。
在实际应用中，正态分布常常被用来描述各种连续型随机变量，例如测量和观测误差、经济指标、身高体重等。
它的特征使得我们能够通过统计方法对数据进行分析和推断，进行假设检验、置信区间的估计，以及进行预测和决策。
正态分布的特性也被广泛应用于计量经济学、金融学、生物学、物理学等领域的研究。
概率论与数理统计：常用统计分布
0,
x 0, 其它.
F-分布的性质 由F分布定义可得：
F
~
F(n1, n2 )
1 F
~
F(n2, n1)
五、F-分布与t分布的关系
定理3 若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。
证明：X～t(n)，X的分布密度p(x)= n 1 2 nπ n 2
1
x2 n
n 1 2
Y=X2的分布函数F(y) =P{Y<y}=P{X<y}。当y≤0时，FY(y)=0，
② X 与 S2相互独立。
二、χ2-分布(卡方分布)
定义 设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体 N(0,1)的样本,称统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为n的 χ2-分布 ,记为 2 ~ 2( n ).
2 (n)-分布的概率密度为
f
(
y
)
2n /
1
2 (
n
/
2
)
y
n 1
2e
服从正态分布，且
i 1
i 1
一、正态分布
定理2 若（ X1, X 2 ,, X n ）是来自总体X ~ N(,2) 的一个
样本，X 为样本均值，则 (1) X ~ N (, 2 ) ，(由上述结论可知：X 的期望与 X 的期望相同，而 X
n
的方差却比 X 的方差小的多，即 X 的取值将更向 集中.)
p(y)=0；当y>0时，FY(y) =P{-
，
y
y
n
n 2 1 n
Y=X的分布密度p(y)= 2，•
1 n
2 2
<X<
(课件)概率论与数理统计：正态分布
01 概念导入 02 性质剖析 03 应用举例 04 应用拓展
1
概念导入
高尔顿板
y 频率 组距
球槽
编号
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
x
y 频率 组距
总体密度曲线
O
x 球槽的编号
正态概率密度函数的几何特征
正态曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 曲线关于 x μ 对称;
F ( x) P{ X x前} 者在 x 处的函数值
从而有
P{ X 后者在
x
x
与}
处的函(数u)值u
相等
x
( x ) 标
准
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
化
( x2 ) ( x1 )
3
应用举例
例1已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2)，P (0＜X≤1.6)
解：
由X~N (1, 4)可推得：
X 1 ~
N 0,1
2
P(5
X
7.2)
P
5
2
1
X 1 2
7.2 1 2
标 准 正
7.2 2
1
5
2
1
态 分 布
(3.1) (2)
表
0.9990 0.9772 0.0218
已知X~N (1, 4)，求P (5＜X≤7.2), P (0＜X≤1.6)
(x)
1
x2
e2,
2
( x) ，易见
x
标准正态量的分布函数通常被记成
Φ( x)
1
x t2
e 2 dt
概率论与数理统计正态分布
2 0.8413 1 0.6826 P( X 2) P( 2 X 2 ) F( 2 ) F( 2 )
(2) (2) 2(2) 1
2 0.9772 1 0.9544
• 正态分布标准化
非标准的正态分布可以通过标准化步骤
化为标准正态分布，具体如下：
令 t u,则t u,dt du,有
x
F(x)
1
e
(t )2 2 2
dt
x
1
e
2 2
du
(
x
)
2
2
即得标准化公式
F(x) ( x )
• 例2 已知随机变量X ~ N（1，4）,求P（X 1.6）
• 例3 某电池的寿命X ~ N（， 2），其中 300
小时， 35小时，求电池寿命在250小时以
上的概率。
• 例4 某零件长度X服从正态分布X ~ N（50，0.752）， 若规定零件长度在50 1.5mm之间为合格品， 某车间领来100个这种零件，问大约有几个 不能使用？
• 正态分布
• 正态分布的一般概念 • 标准正态分布 • 正态分布标准化
• 3 规则
• 正态分布的一般概念
定义9 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
( x )
其中 与为常数（ 0），则称随机变量X服从参 数为 , 的正态分布，记作 X ~ N(, 2)。
P( X 3) P( 3 X 3 ) F( 3 ) F( 3 )
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。
它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。
一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。
它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。
二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。
即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。
2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。
3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。
4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。
68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。
2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。
通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。
3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。
我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。
4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。
通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。
四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。
概率论正太分布及其定理
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
例3 若 X ~ N , 2 ，求X 落在区间 k , k 内的概率，
其中 k 1, 2, 3, 。
解 P k X k P X k
k
k
k
k
2 k 1
查表得 P X 21 1 0.6826
概率论与数理统计
§4.2 二维正态分布
正态分布与极限定理
①若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
②若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y的边缘分布都是正态分布，
X与Y相互独立 X与Y不相关.
16
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
正态分布与极限定理
定理2 (1) 若随机变量 X 与 Y 独立，且都服从正态分布，则
证明
服从二维正态分布.
(2) 若 (X,Y) 服从二维正态分布，如果 X 与 Y 不相关
则 X 与 Y 独立.
(2)
设随机变量(X,Y)~
N
( 1 , 12
;
2
,
2 2
;
)
f (x, y)
1
e
1
2 (1
2
)
(
1
PX
80
1
80 d 0.5
0.99
80 d 0.5
0.01
(2.33) 0.9901 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2.33) 0.01
80 d 2.33 0.5
d 81.165 故设定温度d至少为81.165度.
10
2020年10月21日3时52分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计4.6多元正态分布
令k ,
lim
k
fk
(t
)
lim
k
eia't
-
1 2
t'Bk
t
ia't- 1 t'Bt
e 2
f (t)
由于f (t)是连续的，因而，由连续性定理可知f (t)
是Rn上的某一分布函数的特征函数.由此可以得到
定义4.6.1 若a是n维实向量，B是n阶非负定对
称矩阵，则称以
ia't -
e
1 2
t'Bt
Rn
2
1
exp{it' a it' Ly 1 y'y}(det B)1 2 d y
(2π)n 2 (det B)1 2 Rn
2
设s L't,则
f (t) 1
exp{it' a i s'y 1 y'y}d y
(2π)n 2 Rn
2
1 (2π)n
2
Rn
exp{it'
a
n
(isk
k 1
yk
为特征函数的分布函数为
n元正态分布，简记为N (a, B).
退化正态分布（奇异正态分布）
当协方差矩阵B的行列式detB=0时，正态分布N(a B)为退化正态分布
定理4.6.2 设随机向量 (1,2 ,L ,n )'服从n 元正态分布N(a, B),的任一子向量(k1 ,k2 ,L ,km )'
(m n)也服从正态分布N (a%, B%),其中a% (ak1 , ak2 , L , akm )' , B%为保留B的第k1, k2 ,L , km行及列所得的 m阶矩阵.
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的一种概率分布。
它常用于研究连续型随机变量，具有广泛的应用。
正态分布的形态呈钟形曲线，对称分布在均值两侧。
在本文中，我们将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、正态分布的定义与性质正态分布的形式化定义如下：对于一个连续型随机变量X，如果其概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，则X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等，称为位置参数。
2. 正态分布的曲线关于均值对称。
3. 正态分布的标准差描述曲线的宽度，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。
4. 正态分布的概率密度总和为1。
5. 正态分布的标准差决定了曲线在均值附近的陡峭程度。
二、正态分布的标准化与标准正态分布由于正态分布无法直接计算概率，因此引入了标准化的概念，即将正态分布转化为标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的方法为：Z = (X - μ) / σ，其中Z表示标准正态随机变量，X是原始随机变量，μ和σ分别是原始随机变量的均值和标准差。
标准正态分布的概率可以查表得到，或者使用计算工具进行计算。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 身高和体重身高和体重往往符合正态分布。
通过对一定人群的测量，我们可以得到人群身高和体重的分布情况，从而能够更好地了解人群的整体特征。
2. 产品质量控制大多数产品的质量参数符合正态分布。
通过对产品进行抽样检测，可以根据正态分布的性质来判断产品的合格率，并进行质量控制。
3. 股票收益率股票收益率往往符合正态分布。
通过分析股票的历史数据，可以了解股票价格的波动情况，并进行风险评估。
4. 考试成绩大多数考试成绩符合正态分布。
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正态分布的重要性
正态分布是概率统计中最重要的一种分布。其重要性我们可 以从以下两方面来理解：
(1) 一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说 来.若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的 作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
(2) 另一方面，正态分布具有许多良好的性质。很多分布可 以用正态分布来近似描述。另外，一些分布又可以通过正态 分布来导出。因此在理论研究中正态分布也十分重要。
02
正态分布的定义与性质
Definitions and Properties of Normal Distribution
正态分布的定义
定义
正态分布的性质
性质
正态分布的性质
性质
(6) 如果固定 ������ ,改变 ������ 的值, 则图形沿 着Ox,轴平移, 而不改变其形状,可见正 态分布的概率密度曲线 ������ = ������(������)的位置 完全由参数 ������ 所确定.������ 称为位置参数.
正态分布的重要性
例如
产品尺寸是一类典型的总体。对于成批生产的产品。如 果生产条件正常并稳定，而且不存在产生系统误差的明显因 素。那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。
测量的误差，炮弹落点的分布，人的生理特征的量：身 高、体重等，农作物的收获量等等都服从或近似服从正态分 布。
正态分布的重要性
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的 概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，抗压强度、长度等指标；同一种种 子的重量；测量同一物体的误差；以及理想气体分子的速度分量。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那 么就可以认为这个量具有正态分布(见中心极限定理)。从理论上看，正态 分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用 的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
密度函数的验证
标准正态分布的密度函数
标准正态分布的密度函数的性质
0
x
标准正态分布的分布函数
分布函数
( x)
0x
x
标准正态分布的分布函数
标准正态分布表
上α 分位数
-x 0 x
x
标准正态分布的分布函数
上α 分位数
查表
-x 0 x
x
正态分布基本知识
Thank you!
大气(英才)171班 第4组
概率论与数理统计
正态分布基本知识
Elementary Knowledge of Normal Distribution
大气(英才)171班 第4组
目录
CONTENTS
1 正态分布的重要性 2 正态分布的定义与性质 3 标准正态分布定义与性质
01
正态分布的重要性
Significance of Normal Distribution
正态分布的性质
分布函数
F(x) 1
x
e
(t )2 2 2
dt
2
ห้องสมุดไป่ตู้
正态分布的性质
分布函数
03
标准正态分布的定义与性质
Definitions and Properties of Standard Normal Distribution
标准正态分布的密度函数
定义
0
x
标准正态分布的密度函数
(7) 当固定 ������, 改变 ������ 的大小时, ������(������) 图 形的对称轴不变, 而形状在改变, ������ 越 小,图形越高越瘦, ������ 越大,图形越矮越 胖.
正态分布的性质
性质
P(| X | ) 0.6826 P(| X | 2 ) 0.9544 P(| X | 3 ) 0.9974