上海市普陀区2007-2008学年第一学期高三期末考试数学试卷

上海市普陀区2007-2008学年第一学期高三期末考试
数学试卷
（本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，部分试题文科、理科不同）
一、填空题（本题共有12小题，每小题4分，满分共48分）
1．在等差数列{a n }中，a 2=7，a 11=a 9+6，a 1= 。

2．函数y=x+4x
，x ∈(0,)+∞的单调递减区间为 。

3．已知复数z 的模为1，且复数z 的实部为13
，则复数z 的虚部为 。

4．如图是一个长为5，宽为2的矩形，其中阴影部分的面积约为6.5，现将一颗绿豆随机地落入矩形内，则它恰好落在阴影范围内的概率约 。

5．已知集合M={21x x -≤}，N={260x x x --≥}，则M ∩N= 。

6．已知sin(),(1)m m πα-=≤，cos[2()]则πα+= 。

7．已知函数1()21x f x +=-+，则1(7)f --= 。

8．某邮局只有0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票可售，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且游资恰为7.50元，则至少要购买 张邮票 。

9．若点A(1，1)和点B(1，2)，在直线3x-y+m=0的异侧，则m 的取值范围是， 。

10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n ，a n ）,Q （n+2008，
a n+2008）（n 为正整数）的直线的倾斜角为 。

11.在等比数列{a n }中，已知a 2=sin θ+cos θ，a 3=1+sin2θ，,其中0<θ<π，若该数列的第5项a 5=4，则θ= .
12.已知偶函数()y f x =，当x>0时，2()(1)f x x =-，若当1[2]2
,x ∈--时，不等式n ≤()f x ≤m 恒成立，则m-n 的最小值是 .
二、选择题（本题满分16分，每小题4分）
13．已知a 、b 是非零实数，且a>b ，则下列不等式中成立的是 （ ） A 1b a < B a 2>b 2 C a b a b +>- D 2211ab a b
> 14．△ABC 中“A>B ”，是“cosA<cosB ”的 （ ）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 既非充分又非必要条件
156化简的结果是 （ ）
A 22197x y -=
B 22
1259
x y -= C 22197x y -=，x ≤-3 D 22
197
x y -=，x ≥3 16．现有问题：“对任意x>0，不等式x-a+1x a
+>0恒成立，求实数a 的取值范围.”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案： 学生甲：在一个坐标系内作出函数1()f x x a
=+和()g x x a =-+的大致图像，随着a 的变化，要求f(x)的图像再y 轴右侧的部分恒在g(x)的上方.可解得a 的取值范围是[0，+∞] 学生乙：在坐标平面内作出函数1()f x x a x a
=+++的大致图像，随着a 的变化，要求f(x)的图像再y 轴右侧的部分恒在直线y=2a 的上方.可解得a 的取值范围是[0，1].
则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是（ ）
A 甲同学方法正确，结论错误
B 乙同学方法正确，结论错误
C 甲同学方法正确，结论正确
D 乙同学方法错误，结论正确
三、解答题（本大题满分86分）
17．（本题满分10分）求与圆C:（x+1）2+y 2=4相切，且过点（3，0）的直线的一般方程。

18．（本题满分12分）已知复数2123(3),2(31)2
z a i z a i a =+-=+++，（I 是虚数单位）.若复数z 1-z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围。

19．（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）已知函数f(x )=1lg 1x x x
++-。

⑴ 写出函数()f x 的定义域，并证明函数()f x 是奇函数；
⑵ 判断函数()f x 在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明。

20．（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）
在直角坐标系中，已知点列P 1(1，-12)，P 2(2，212)，P 3(3，-312)，…，P n (n ，1()2
n -)，…，其中n 是正整数.连接P 1 P 2的直线与x 轴交于点X 1(x 1，0)，连接P 2 P 3的直线与x 轴交于点X 2(x 2，0) ，…，连接P n P n+1的直线与x 轴交于点X n (x n ，0) ，…。

⑴ 求数列{a n }的通项公式；
⑵ 依次记△X 1P 2X 2的面积为S 1，△X 2P 3X 3的面积为S 3，…，△X n P n+1X n 的面积为S n ，……试求无穷数列{S n }的的各项和。

21．（本题满分18分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分4分）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：
1()()2[0,24)3
f t
g t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且4[0]3
a ∈，。

⑴ 求g(t)的值域；
⑵ 求M （a ）的表达式；
⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。

22．（本题满分18分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分4分）顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 过点P(4，4).过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 亮点，点M 和N 分别为A 、B 两点在抛物线准线l 上的射影.准线l 与x 轴的交点为E 。

⑴ 求抛物线C 的标准方程；
⑵某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C 性质的如下猜想：“直线AN 和BM 恒相交于原点O ”，试证明该结论是正确的；
⑶ 该小组孩项研究抛物线C 中∠AEB 的大小范围，试通过计算EA EB ⋅uu v uu v
的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB 有关的推论，并说明理由。

参考答案
一、填空题
1、4，
2、（0，2），3
、，4、0.65，5、3，6、1-2m 2，7、2，8、8，9、(-2,-1)，10、arctan4，11、4
π。

12,1 二、选择题 13、D 14、C 15、C 16、A
三、解答题
17．解：x
18． 21a -<<，
19．
20．解：⑴*2,3n x n n N =+∈；⑵212
n n S +=,S=1lim 4n n S ∞=¶ 21．解：⑴g(t) 的值域为[0，12
] ⑵ 57,[0,]612()1733,(,]3124a a M a a a ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩
⑶当7[0,]12a ∈时，()M a =56a +≤712+56=1712
<2; 当73(,]124a ∈时，()M a =133a -≤912324312
-=<. 所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。

22．解：⑴y 2
=4x;
⑵当 x 1≠x 2时，k OA = k ON ，所以此时A 、O 、N 三点共线；当 x 1=x 2时，不难得到ABNM 为矩形，且有对称性可知点O 为对角线AN 、BM 的交点，所以此时A 、O 、N 三点共线。

⑶ 设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）,因为AB 过焦点F 且F(1,0),
当 x 1≠x 2时，AB 所在的直线的方程y=k(x-1),k ≠0,带入抛物线方程可得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0, 所以212212241 k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩
当 x 1=x 2时，AB 所在的直线垂直于x 轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=900
综上，可提出推论“∠AEB 只能是锐角或直角”。