2§3 n级行列式
二阶与三阶行列式
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
解 从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后 一行上去.
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
得 D D1 O
注意：
* D2 D1 D2 .
O D
D2
D1 * * D2
D1 O
(1)mn
| D1 || D2
|.
以上的几个式子可作rmonde）行列式
11
1
x1 x2 Dn x12 x22
xn
xn2
(xj xi ), (1)
0 x2n2 x2 x1 x3n2 x3 x1 xnn2 xn x1
1 11
x2 x1x3 x1xn x1
x2
x3 xn
(x2 x1)(x3 x1)
xi xj . ni j1
ab
c
d
0 a ab abc
0 a 2a b 3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
同理，可得
ab c
d
0 a ab abc
00 a
2a b
00 a
3a b
ab c
d
0
a
ab
a b c a4.
00 a
2a b
00 0
a
例5.4 计算 1234 2341 . 3412 4123
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
第二章 行列式
pi 这个元素的逆序数是 τi，即：
τ ( p1 p2 …pn)= τ 1 + τ 2 +…+ τ n
就是这个排列的逆序数 逆序数。 逆序数 例1 求排列13…(2n − 1)24…(2n)的逆序数。 解：在该排列中，1 ～(2n−1)中每个奇数的逆 序数全为0，2的逆序数为(n − 1)，4的逆序数为 (n − 2),…，(2n − 2)的逆境序数为1，2n的逆序数 为0，于是该排列的逆序数为 τ=(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2
τ1 =τ (l1l2 Lln )
2011-9-1
τ2 = τ (s1s2 L sn )
19
这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 这就表明，对换乘积项中两元素的位置， 从而行标排列与列标排列同时做了相应的对 换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的 奇偶性并不改变。 奇偶性并不改变。
2011-9-1
2011-9-1
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 = a11a22...ann ... ann a1n a2n = a11a22...ann ... ann
17
3)次上三角行列式 次上三角行列式
4)次下三角行列式 次下三角行列式
2011-9-1
18
定理2： 阶行列式 阶行列式D= 定理 ：n阶行列式 aij的一般项可以记为
λn
0 0 = λλ2...λn 1 ...
=1+ 2 + ... + (n − 2) + (n −1) n (n −1) = 2
λ1
0 = (−1) ... 0
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
高等代数第2章行列式
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
三、小结
m 次相邻对换
a1 al abb b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项,
这恰好就是2!,3!. (2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于
不同行不同列的2个和3个元素的乘积 (.3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶
行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 为此，我们用排列与逆序来定义n阶行列式.
第2章 行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。
(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。
2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。
(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。
3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。
(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。
(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。
(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。
5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。
(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。
7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。
(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。
第一章行列式(1-2节)
a15 a25 a35 a45 a55
a21 a22 例:计算D = 0 0 0 0 0 0
17
a1 a2 例:计算D= b1 0 0 0 b2 0
a 3 a n1 an 0 0 0 0 0 0
bn1
3
例:求多项式 求多项式
5x 1 2 x D= 1 x
x 1 2 中x 3的系数 2 x 3 1 2 2x
D1 x1 = D
D2 x2 = D
D3 x3 = D
其中, 其中, D = b 1 2
b3 a11 D2 = a21 a31
a11 D3 = a21 a31
a12 a22 a32
b1 b2 b3
6
例:
2
0
1
1 4 1 8 3 1
= 2 × ( 4) × 3 + 0 × ( 1) × ( 1) + 1 × 1 × 8 1 × ( 4) × ( 1) 0 × 1 × 3 2 × ( 1) × 8 = 24 + 8 4 + 16 = 4
a13
寻找规律: 寻找规律: 规律 1. 三阶行列式是 3! 项的代数和. ! 项的代数和. 2. 每一项都是 取自不同行,不同列的 3 个 元素的乘积. 元素的乘积. 取自不同行,
其任一项可写成: 其任一项可写成:
a1 j a2 j a3 j
1 2
其中
3
j 1 j 2 j 3 是123的一个排列 的一个排列
0 0
a22
= a11a22 ann
15
an 2 ann
a11
(3)
D=
a22 ann
= a11a22 ann (显然) 显然)
a1n
行列式定义
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
利用此记号，n(n 2) 阶行列式的定义可以写成
D ( 1)1+1a11M11 ( 1)1+2a12M12 a11 A11 a12 A12 a1n A1n
( 1)1+na1nM1n
按定义，二阶行列式可以写成
二、代数余子式与 n 阶行列式的定义
三阶行列式（2.5）可以写成
a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13(a21a32 a22a31 )
下面给出 n 阶行列式(determinant)的递推定义.
定义2.1 (1)一阶矩阵 A (a11 ) 的行列式定义为
A a11 a11 a11 a12
(2) n(n 2) 阶矩阵
A
a21
a22
的行列式记作
an1
an2
a1n
a2
n
ann
a11 a12
a1n
D det A A a21 a22
对于 n 阶行列式，我们不加证明的给出如下的定理：
三阶行列式（2.5）还可以写成
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
a21(a12a33 a13a32 ) +a22(a11a33 a13a31 )-a23(a11a32 a12a31 )
线性代数 第一章 行列式
a22
an 2 ann
思考题
已知 f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
，求 x 3的系数.
33
解
含 x 3的项有两项，即
f x
x 1 3 1
1 x
1 1
2 1 1 1
2 x 1 2x
对应于
(1) (1)t (Fra bibliotek234)a11a22a33a44 (1)t 1243 a11a22a34a43 a11a22a33a44 x ,
线性代数（第五版）
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
2
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3 是1、2、3的某个排列.
4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号；
当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
其中
p1 p2 p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
D a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
第1章行列式
第一章 行 列 式行列式是线性代数的基础.本章将介绍 n 阶行列式的定义、性质、计算及其应用（克莱姆法则）等内容.§1.1 n 阶行列式的概念1. 二阶行列式、三阶行列式定义1 用记号11122122a a a a表示 11221221a a a a -，称为二阶行列式.即11122122a a a a=11221221a a a a - （1.1）说明 记忆方式为：实线所连接两个元素的乘积减去虚线所连接两个元素的乘积:.定义2 用记号111213212223313233a a a a aa a aa表示112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---,称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---(1.2) 说明 记忆方法为：各实线所连接三个元素的乘积是其正项，各虚线所连接三个元素的乘积是其负项.或说明 行列式的对角线法只适用于二阶、三阶行列式.. 2. n 阶行列式1）排列与逆序定义3 由1,2,…，n 组成的不重复的每一种确定次序的排列称为一个n 级排列. 如132是三级排列，23154是五级排列.定义4 在n 级排列12n x x x 中，若有较大的数p x 排在较小的数q x 前面，称p x 和q x 构成一个逆序.在n 级排列中逆序的总数称逆序数，记为()12n N i i i ，简记为N .定义5 若排列12n x x x 的逆序数N 是奇数，则称该排列为奇排列，若N 是偶数，则称该排列为偶排列.例如在排列23154中，2，3在1前面，5在4前面，逆序数为()23154002013N =++++=，即3N =，是奇排列.又如排列12n ，逆序数()120000N n =+++= ，即0N =，是偶排列. 2)对换定义 在排列中，将任意两元素对调，其余不动，称为对换. 将相邻两个元素对换，称为相邻对换.如在排列23154中，将3,5对调得到25134，记为（3,5）. 定理1 任一排列经一次对换后奇偶改变. 证 先证相邻对换情形.设排列为almb ，其中,a b 表示除元素,l m 外的元素.经对换为amlb .比较前后两次的逆序数.因为,a b 中原元素的次序没有变，且,l m 与,a b 中原元素也没有变，仅改变,l m 的次序，所以新排列与原排列增加一个逆序（当l m <）或减少一个逆序（当m l <）.再证一般情形.现原排列为12t alk k k mb ,经对调,l m 后为新排列12t amk k k lb .比较这两个排列的逆序数.因为l 与12t k k k 作t 次相邻对换得12t ak k k lmb ,再经1t +次相邻对换得12t amk k k lb ,总共作21t +次相邻对换将原排列得新排列，所以由原排列作了奇数次改变得到新排列，故奇偶性相反。
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
同济版线性代数课件-§3n阶行列式的定义
线性代数提供了一种系统的方法 来研究线性方程组、向量空间、
线性变换等基本概念和性质。
掌握线性代数对于理解和应用高 级数学工具，如微积分、概率论、
数值分析等具有重要意义。
行列式在线性代数中的地位
行列式是线性代数中的一个基 本概念，用于描述方阵的性质 和计算。
行列式在线性方程组、特征值、 矩阵的逆等问题的求解中发挥 着重要作用。
同济版线性代数课件 -§3n阶行列式的定 义
目录
CONTENTS
• 引言 • n阶行列式的定义 • n阶行列式的计算 • n阶行列式的应用 • n阶行列式的性质与定理 • 典型例题解析与课堂练习
01
引言
线性代数的重要性
线性代数是数学的一个重要分支， 广泛应用于各个学科领域，如物 理学、工程学、计算机科学等。
递推法
递推关系式
根据n阶行列式的特点，构造递推关 系式，通过已知的低阶行列式求解高 阶行列式。
典型递推式掌握一些典型Fra bibliotek递推式，如范德蒙德 行列式、克莱姆法则等，以便快速求 解相关问题。
数学归纳法
01
02
03
归纳假设
假设当n=k时，结论成立， 即k阶行列式满足某种性 质或等式。
归纳推理
证明当n=k+1时，结论也 成立。通常通过对k+1阶 行列式进行变换或分解， 利用归纳假设进行推导。
n阶行列式可以表示为一个n次多项式， 其变量为矩阵中的元素。
行列式的值是由其所有元素的代数余 子式通过求和计算得到的。
n阶行列式的性质
行列式与它的转置行列式相等。 互换行列式的两行（列），行列式变号。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
线性代数2
L a1n L a2n O M L ann
a11 a21 a12 a22 T D = M a1n a2n
L an1 L an2 O M L ann
行列式D 称为行列式D的转置行列式. 行列式 T称为行列式 的转置行列式 性质1: 行列式与它的转置行列式相等, 性质1: 行列式与它的转置行列式相等 即DT = D. 说明: 行列式中行与列具有同等的地位, 说明 行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的结论 对列也同样成立
0 0 L 0 1 0 0 0 L 2 0 0 L L L L Dn = L n−1 0 L 0 0 0 0 0 L 0 0 n
由于行列式D 每行每列中仅有一个非零元素, 解: 由于行列式 n每行每列中仅有一个非零元素 所以 Dn =(–1)t a1 n-1 a2 n-2 ···an-1 1 an n
利用性质 行列式的第 乘以数k, 性质 列 乘以数 利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数 记作 ri × k ( ci × k ); 利用性质 性质6把行列式的第 利用性质 把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同 列 的各元素乘以同 对应的元素上去, 一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去 记作 列 对应的元素上去 ri + rj × k ( ci + cj × k );
引入记号: 引入记号 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质 性质2,3,6对行列 在计算行列式时 我们经常利用性质 对行列 式进行变换. 式进行变换 性质2交换行列式的第 两行(列 利用性质 利用性质 交换行列式的第 i, j 两行 列), 记作 ri ↔ rj ( ci ↔ cj );
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M M O M an1 an2 L ann
= a11a22Lann.
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上式中除 j1 = n, j2 = n −1,L, jn = 1外，其余各项全为0， 故 原式＝(−1)τ (nL21) d1d2 Ldn = (−1)n(n−1)/ 2 d1d2 Ldn.
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为方便确定符号，n级行列式展开式的一般项记为 a1 j1a2 j2 Lanjn 事实上，数的乘法是交换的，因而这 n个元素的 次序是可以任意写的， 一般地，n级行列式中的项可 以写成 ai1 j1ai2 j2 Lain jn , 其中i1i2 Lin , j1 j2L jn 是两个n级排列 . 可以证明，上述 项在展开式的符号等于
τ (i1i2Ln ) i
ai11ai2 2 Lainn.
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由此即得行列式的下列性质：
性质1 性质1 行列互换，行列式不变 . 即
a11 a12 L a1n a11 a21 L an1 a22 L an2 M L M a21 a22 L a2n a12 = M M L M M an1 an2 L ann
a1n a2n L ann
证明：aij在右端行列式中位于第j行第i列， 故右端行列式展开式中每一项按列指标排起来得 τ ( j1 j2Ljn ) a1 j1a2 j2 Lanjn , ∑ (−1)
j1 j2Ljn
它正是左端展开式每项按行指标的排列.
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由性质1立得下三角行列式为
a11 0 a21 a22
a13
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它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同的行和不同列的元素构成的，并 且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成 . 当n = 2时， a11
a21
这两项 .
a12 = a11a22 − a12 a21 , a22
由不同行不同列的元素构成的乘积只有 a11a22 与 a12a21
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当n = 3时， a11 a12 a13
31 32
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32. a a a
33
每一项乘积都带有符号，在上述三级行列式的展 开式中，项的一般形式可以写成 a1 j1a2 j2 a3 j3 , 其中 j1 j2 j3 是1, 2, 3的一个排列 . 可以看出，当 j1 j2 j3 当 是偶排列时，对应的项带正号， j1 j2 j3 是奇排列时， 对应的项带负号 . 二级行列式显然也符合这个原则 .
(−1)τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2Ljn ).
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事实上，为了根据定义来确定上式的符号，就要 把这 n个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序，也就是排成
a1 j1′ a2 j2 Lanjn . ′ ′
于是它的符号是
′ ′ (−1)τ ( j1′ j2Ljn )
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当 j1 j2 L jn 为偶排列时，（*）式带正号， 当 j1 j2 L jn 为奇排列时，（*）式带负号， 于是 a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n = ∑ (−1)τ ( j1 j2Ljn ) a1 j1a2 j2 Lanjn , M M L M j1 j2Ljn an1 an2 L ann
(−1)τ (2314)+τ (1243) = −1.
利用 (−1) 来确定每一项的符号好处 在于：行指标与列指标的地位是对称的 因而为了 对称的， 对称的 确定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指 标排起来，于是定义也可写成
τ (i1i2Ln )+τ ( j1 j2Ljn ) i
∑ (−1)
i1i2Ln i
′ ′ 下证 (−1)τ ( j1′ j2Ljn ) = (−1)τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2Ljn ). 由 ai1 j1ai2 j2 Lain jn 变到 a1 j′ a2 j′ Lanj′ 是经过一系列元素的
1 2 n
对换来实现的，每作一次对换，元素的行指标与列指 标所成的排列 i1i2 Lin 与 j1 j2L jn 就都同时作一次对换，
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定义4 定义
n级行列式
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n M M L M an1 an2 L ann
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 Lanjn 的代数和，其中 j1 j2L jn 是 1,2,L,n的一个排列，每一 项都按下列规则带有符号：
的值 . 因此，在一系列对换之后有
(−1)
τ (i1i2Ln )+τ ( j1 j2Ljn ) i
= (−1) = (−1)
′ ′ ′ τ (12Ln)++τ ( j1 j2Ljn )
′ ′ ′ τ ( j1 j2Ljn )
.
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例如，4级行列式展开式中项 a21a32a14a43 的符号为
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显然
d1 0 L 0 0 d2 L 0 M 0 M O M 0 L dn
= d1d2Ldn.
主对角线
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例1 计算行列式 0 L 0
0 L d2 M N M dn L 0
解： 次对角线 原式＝ ∑
j1 j2Ljn
d1 0 M 0
(−1)τ ( j1 j2Ljn ) a1 j1a2 j2 Lanjn ,
§3 n级行列式 级行列式
二级行列式
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 , a21 a22
三级行列式 a11 a12
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 −a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32.
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也就是 τ (i1i2 Lin )与τ ( j1 j2 L jn )同时改变奇偶性，因而 它们的和
τ (i1i2Lin ) +τ ( j1 j2 L jn )
的奇偶性不改变 . 这就是说，每作一次元素的对换不 改变
(−1)τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2Ljn ).
其中
j1 j2Ljn返回 结束
例1 计算上三角行列式 a11 a12 L a1n
0 M 0
解： 按定义可知 原式＝
a22 L a2n M 0 O M K ann
.
∑ (−1)
j1 j2Ljn
τ ( j1 j2Ljn )
a1 j1a2 j2 Lanjn ,
上述和式中除 j1 = 1, j2 = 2,L, jn = n外，其余的各项全 为0，故 原式＝ a11a22 Lann.