二阶三阶行列式

列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
i1 j1 i2 j2
ijn是取定的某一固定排列
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2 in
特别 j1 j2

j
n
取定标准排列
2.14 2.15
A
1 α α α τ(i1i2in )
i11 i2 2
inn
2.16
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22
a1n
a2n 1 12na a 11 22 ann
ann a11a22 ann .
行列式的不同表示方法
设i1 i 2

i
是取定的某一固定排列
n
A
1 α α α τ(i1i2 in ) τ( j1 j2 jn )
取 自 不 同 行 不 同 列 的n 个 元 素 的 乘 积
的代数和
(1) a a τ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn .
记作
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n


2.8
an1 an2 ann
其中 j1 j2 jn 为自然数 1，2， ，n 的一个排列， τ( j1 j2 jn ) 为这个排列的逆序数．
1.2 n阶行列式的定义
一、n级排列及奇偶性 二、三阶行列式展开式的规律 三、n阶行列式的定义
一、n级排列及奇偶性
定义1.1
由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个 n级排列.
由1,2,…,n所组成的所有不同的n级排列共有n! 个. 1 2 … n是唯一的一个按从小到大次序组 成的排列,称为n级标准排列.
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n


an1 an2 ann
2.10


1
a a τ j1 j2 jn 1 j1 2 j2

a nj n
j1 j2 jn
例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
a22
a2n
ann
解 分析
展开式中项的通项是 α α 1 j1 2 j2 αnjn .
例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425.
由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425.
定理1.1
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 设排列为
a1al ab b1bm
二、三阶行列式展开式的规律
三阶行列式
α1 1 α1 2 α1 3
2.6 α21 α22 α23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
α3 1 α3 2 α3 3 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 规律 （1）三阶行列式是行列式中取自不同行、不同 列的三个元素乘积的代数和（共有3!=6项）
例如,3级排列共有6个不同的排列，即 123 231 312 132 213 321
其中1 2 3是3级标准排列.
定义1.2
逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 序数为奇数的排列称为奇排列.
例1 例2
定义1.3
将一个排列中某两个数的位置互换而其 余的数不动，就得到另一个排列，这种 对排列的变换方法称为对换.
a1al a b1bm b c1cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bmc1cn
m 1 次相邻对换 a1al b b1bm a c1cn
a1alab1bmbc1cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
a1al ba b1bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变. 当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变;
当a b时， 经对换后 a的逆序数不变 ，b 的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a与 b.
（2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列， 在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3， 列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6） 中每项的一般形式为：
2.7
例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
312 1 1 2, 偶排列 正号
a11a23a32