15-1(Fourier级数)华东师大数学分析的练习和课件(历史上最好的,最全面的)学习的最好资料

例3
f ( x )可逐项积分， a 2 f ( x )dx 0 f ( x )dx 2 [ an f ( x ) cos nxdx bn f ( x ) sin nxdx ]
a0 a0 f ( x )dx 2
第一节 傅里叶（Fourier）级数
• • • • • 一 二 三 四 五 问题的提出 三角级数 正交函数系 以2 为周期的函数的Fourier级数 收敛定理 小结
一、问题的提出
1, 当 t 0 非正弦周期函数:矩形波 u( t ) 当0 t 1, u
1 1 2 1 1 2 2 ( ), 8 3 5
1 1 1 2 2 2 2 , 2 4 6 1 1 1 3 1 2 2 2 , 2 3 4
2

4

1 2
4
,
1 2 2 , 3 24
2 1 2 , 6
上述三角函数系为正交函数系
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1 (1) 求a0 . a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
周期延拓(T 2) F ( x ) f ( x ) ( , )
1 端点处收敛于 [ f ( 0) f ( 0)] 2
x , x 0 展开为傅立叶 例 2 将函数 f ( x ) x, 0 x
级数.
解
所给函数满足收敛定理.
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7 ( t , t 0)
1 0 1 ( Em ) sin ntdt Em sin ntdt 0
2 Em (1 cos n) n
2 Em [1 ( 1) n ] n
4 Em , n 2k 1, k 1, 2, ( 2k 1) 0, n 2k , k 1, 2,


[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn ,
k 1

a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2

1 bn f ( x ) sin nxdx
( n 1,2,3,)
a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零 .

cos nxdx 0,
1 bn f ( x ) sin nxdx 1 0 1 ( x ) sin nxdx 0 x sin nxdx 0, ( n 1,2,3,)
所求函数的傅氏展开式为
4 1 f ( x) cos( 2n 1) x 2 2 n1 ( 2n 1)
n 1
n 1
an

bn
[an f ( x ) cos nxdx bn f ( x ) sin nxdx ]

a0 2 2 f ( x )dx ( an bn ) , 结论可证. 2 n1 2 2
四、小结
1.基本概念；
a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx 2 k 1 k 1 1 a0 a0 f ( x )dx 2 , 2
( 2) 求an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
( x )
利用傅氏展开式求级数的和
4 1 f ( x) 2 cos( 2n 1) x , 2 n1 ( 2n 1)
当x 0时, f (0) 0,
2 1 1 1 2 2 8 3 5
1 1 1 设 1 2 2 2 , 2 3 4
1 1

1

( t ) sin( nt )d ( t )


( x ) sin nxdx ( x ) sin nxdx n
1

o
1

t
不同频率正弦波逐个叠加
4 4 1 4 1 4 1 sin t , sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 3 5 7
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
0t Em , u( t ) Em , t
m
E

o
Em

t
将其展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足收敛定理.
在点t k( k 0, 1, 2,)处不连续.
Em Em E m ( E m ) 0, 收敛于 2 2
当t k时, 收敛于u( t ).
傅里叶系数
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) 或 2 b 1 n 0 f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)
y
拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在 [ , ] 收敛于f ( x ) .
2

0

2
x
1 a0 f ( x )dx
1 0 1 ( x )dx 0 xdx ,
1 an f ( x ) cos nxdx
1 0 1 ( x ) cos nxdx 0 x cos nxdx
2 2 2 (cos n 1) 2 [( 1) n 1] n n
4 , n 2k 1, k 1,2, 2 ( 2k 1) 0, n 2k , k 1,2,

[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]
k 1



an cos2 nxdx an,

1 a n f ( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,)
(3) 求bn .
算术平均值, 即
f ( x 0) f ( x 0) a0 (an cos nx bn sin nx ), 2 2 n1
其中 an , bn 为f 的傅里叶系数. 定理的证明将在§3中进行.
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多. 例 1 以 2 为周期的矩形脉冲的波形 u
傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
三、收敛定理
定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的
函数 f 在 [ π, π]上按段光滑, 则在每一点 x [ π, π], f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的
an
( x ) cos nxdx Fra bibliotek1 1

1

( t ) cos( nt )d ( t )
( x ) cos nxdx ( x ) cos nxdx n
1


( n 0,1,2,)
bn
( x ) sin nxdx
所求函数的傅氏展开式为
4 Em u( t ) sin( 2n 1) t n1 ( 2n 1)

( t ; t 0, , 2,)
注意: 对于非周期函数,如果函数 f ( x ) 只在 区间 [ , ] 上有定义,并且满足收敛定 理,也可展开成傅氏级数. 作法:
练习：P68 例2
2 3 2 1 . 12
设f ( x )是以2为周期的连续函数，且 a0 f ( x ) (an cos nx bn sin nx )可逐项积分， 2 n 1 2 1 2 a0 2 2 试证明： f ( x )dx (an bn ) , 2 n1 其中an , bn为f ( x )的傅立叶系数 . a0 证 f ( x ) (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 a0 2 f ( x) f ( x ) [an f ( x ) cos nx bn f ( x ) sin nx ] 2 n 1
1 an u( t ) cos ntdt 1 0 ( Em ) cos ntdt 1 Em cos ntdt 0 0 1 bn u( t ) sin ntdt

和函数图象为
u
m
E

o
Em

t
( n 0,1,2,)
2.傅里叶系数；
3.狄利克雷充分
条件； 4.非周期函数的
播放
傅氏展开式；
5. 傅氏级数的意义——整体逼近
思考题
若函数 ( x ) ( x ) ，问： ( x ) 与 ( x )
b 的傅里叶系数a n 、n 与 n 、 n ( n 0,1,2,)
之间有何关系？
思考题解答
sin nxdx 0,

( n 1,2,3,)
0, m n sin mx sin nxdx , m n,

0, m n cos mx cos nxdx , m n,

sin mx cos nxdx 0.

(其中m, n 1,2,)
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f ( t ) A0 An sin( nt n )
n1 n1

谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2