高考一轮复习 排列与组合(第1课时)
高考数学一轮复习之排列与组合问题
排列与组合【教学目标】1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【考查方向】以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空为主，难度为中档.【知识点击】1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m(2)C m n＝A m nA m m ＝n n－1n－2n－m＋1m！＝n！m n－m【知识点击1】排列问题【典型例题1】1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)【对点演练1】3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．【知识点击2】组合问题【典型例题2】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【对点演练 2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【知识点击3】排列与组合的综合问题【典型例题3】1.（相邻问题） 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A．2 B．9 C．72 D．362.（相间问题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．1683.（特殊元素位置问题）大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【对点演练3】1.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．2.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)【基础训练】1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( )(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( )(6)k C k n＝n C k－1n－1.( )2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．243．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48 D．1204．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192种 B．216种 C．240种 D．288种5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A．180 B．240 C．540 D．6306．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)7．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A．120 B．240 C．360 D．4808．设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？9．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是( )A．20 B．24 C．36 D．4010．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6,7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A．938 B．900 C．1 200 D．1 300【目标评价】1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A．360种 B．480种 C．600种 D．720种2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )A．240种 B．192种 C．96种 D．48种3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16 B．18 C．24 D．324．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种5．互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种6．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48 C．60 D．727．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)9．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．12．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)。
排列和组合
解析 由题意分析不同的邀请方法有：
1 5 C2 C8＋C6 8＝112 ＋28＝140( 种)．
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板块一
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板块三
板块四
板块五
高考一轮总复习 ·数学（理）
3．[2016· 贵阳模拟]有 6 个座位连成一排，现有 3 人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A．36 种 C．72 种 B．48 种 D．96 种
3 所以有 A6 －A2 5＝100 个六位数．
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高考一轮总复习 ·数学（理）
排列应用问题分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用 特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接 法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问 题的常用方法.
)
解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空座位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而
3 2 共有 A3 A4＝72 种坐法．
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高考一轮总复习 ·数学（理）
4．[2015· 广东高考]某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共
1560 条毕业留言．(用数字作答) 写了________
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高考一轮总复习 ·数学（理）
【变式训练 1】 A．192 种 C．240 种
(1)[2014· 四川高考]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排 ) B．216 种 D．288 种
2025版高考数学一轮复习课时规范练56排列与组合理北师大版
课时规范练56 排列与组合基础巩固组1.(2024湖南、河南联考)郑州绿博园花展期间,支配6位志愿者到4个展区供应服务,要求甲、乙两个展区各支配一个人,剩下两个展区各支配两个人,其中小李和小王不在一起,不同的支配方案共有()A.168种B.156种C.172种D.180种2.(2024东北三省三校二模)将7个座位连成一排,支配4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有()A.240B.480C.720D.9603.(2024四川广安诊断,4)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能状况的种数为()A.15B.30C.35D.424.将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的安排方案共有()A.30种B.90种C.180种D.270种5.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是()A.258B.306C.336D.2966.(2024湖南师大附中模拟)把7个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有()A.144种B.96种C.30种D.12种7.(2024广东珠海3月质检)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有()A.480种B.360种C.240种D.120种8.(2024宁夏育才中学模拟)某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8人,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名 (乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有() A.18种 B.24种C.36种D.48种9.从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为.(用数字作答)综合提升组10.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种11.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌四周开会,A是会议的中心发言人,必需坐最北面的椅子,B,C 二人必需坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有()A.60种B.48种C.30种D.24种12.从甲、乙等8名志愿者中选5人参与周一到周五的社区服务,每天支配一人,每人只参与一天.若要求甲、乙两人至少选一人参与,且当甲、乙两人都参与时,他们参与社区服务的日期不相邻,那么不同的支配种数为.(用数字作答)13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.创新应用组14.将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小挚友,且每名小挚友至少分得一个球的分法种数为()A.15B.21C.18D.2415.(2024上海松江、闵行区二模)设x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2},那么满意2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的全部有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为.参考答案课时规范练56 排列与组合1.B分类:(1)小李和小王分别去甲、乙2个展区,共有=12种状况,(2)小王,小李一人去甲或乙,共=96种状况,(3)小王,小李均没有去甲或乙,共=48种状况,总共N=12+96+48=156种状况,故选B.2.B(1,2)或(6,7)为空时,第三个空位有4种选择;(2,3)或(3,4)或(4,5)或(5,6)为空时,第三个空位有3种选择;因此空位共有2×4+4×3=20种状况相邻,所以不同坐法有20=480种,故选B.3.B由间接法得可能状况数为-·=35-5=30.4.B由每班至少1名,最多2名,知安排名额为1,2,2,所以安排方案有··=90(种).5.C若7级台阶上每一级至多站1人,有种不同的站法;若1级台阶站2人,另一级站1人,共有种不同的站法.所以共有不同的站法种数是+=336.故选C.6.B先排列b,b,α,β,若α,β不相邻,有种排法,若α,β相邻,有种,共有6+6=12种排法,从所形成的5个空档中选3个插入a,a,a,共有12×=120种排法,若b,b相邻时,从所形成的4个空档中选3个插入a,a,a,共有6×=24种排法,所以三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,这样的排法共有120-24=96种,故选B.7.C第一步:先从4个盒子中选一个盒子打算装两个球,有4种选法;其次步:从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有种排法,由分步乘法计数原理得不同方法共有4=240种,故选C.8.B若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有·22=12种不同的方法,若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有·22=12种不同的方法.所以共有12+12=24种方法.故选B.9.44由题意可知分四类,第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,有=4种选派方法;其次类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,有=16种选派方法;则一共有4+12+12+16=44种选派方法.10.B先放标号1,2的卡片,有种放法,再将标号3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置,有·种放法,故共有·=18种不同的放法.11.B由题意知,不同的座次有=48(种),故选B.12.5 040分两类,一类是甲、乙都参与,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N=+=1 440+3 600=5 040.填5 040.13.732如图,记六个区域的涂色数为a6,若A,F涂色相同,则相当于5个区域涂色,记5个区域涂色数为a5,同理只有4个区域时涂色数记为a4,易知a4=++=84, a6=4×35-a5=4×35-=4×35-4×34+84=732.14.B分四类,第一类:两个红球分给其中一个人,有种分法;其次类:白球和黄球分给一个人,有种分法;第三类:白球和一个红球分给一个人,有种分法;第四类:黄球和一个红球分给一个人,有种方法,总共有++2=21种分法,故选B.15.45分类探讨:①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2,则这四个数为2,0,0,0或-1,-1,0,0,有+=4+6=10(组);②|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3,则这四个数为2,-1,0,0或-1,-1,-1,0,有+=12+4=16(组);③|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4,则这四个数为2,2,0,0或-1,-1,2,0或-1,-1,-1,-1,有++=6+6×2+1=19(组);综上可得,全部有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为10+16+19=45.。
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
高考数学一轮复习 第十一章 排列与组合课件 新人教A版
变式训练3 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共 有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人 3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
第三十八页，共45页。
解析：(1)分三步：先选一本有C
1 4
＋C
3 4
＋A
2 4
＝
20(种)．
方法二：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至
少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得C36＝20.
第三十五页，共45页。
(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非
空有多少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两
端且不相邻，共有C
2 5
＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10
解析：重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋ 2y＝0，∴有A25－2＝18(条)．
答案：C
第十二页，共45页。
2．某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门 由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修 三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )
A．120 B．98 C．63 D．56
(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种， 因此满足条件的不同选法种数为 C24C24－C24＝30(种).
第三十二页，共45页。
考点三 排列、组合的综合应用
[例3] (1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中， 试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
123
312
A.6种
高三理科数学第一轮复习§12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合源自解析解析解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合课件理(1)
个.
解析: (2)若 0 在 1,3 之间,则在 0,1,3 隔开的四个空位中插入 2,4 即可,此 时的五位数个数为 A22A24 =24;若 0 在 1,3 右边,则 1,3 之间需插入一个数,另 一个数在最高位,或者在 0 左右,此时五位数的个数为 A22C12 ×3=12;若 0 在 1,3 左边,此时 2,4 只能一个在 0 的左边(最高位)、一个在 1,3 之间,此时的 五位数个数为 A22A22 =4.故共可组成五位数有 24+12+4=40(个).
不同元素中取出 m 个元素的排列数
n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
排列数公式
A
m n
=n(n-1)(n-2)…
公 式
(n-m+1) =
n!
(n m)!
组合数公式
C
m n
=
Amn Amm
=
n(n 1)(n 2)...(n m 1) = n!
m!
m!(n m)!
性 质
A
n n
【即时训练】 (2015河南郑州市二次质量预测)某校开设A类选修课2 门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选 一门,则不同的选法共有( ) (A)3种 (B)6种 (C)9种 (D)18种
解析:直接法: C12C32 + C22C13 =9. 间接法: C35 -1=9. 故选 C.
答案: (2)40
备选例题
【例 1】
(1)若
3
A
3 x
=2
A2 x 1
+6
A
2 x
,则
x=
.
(2)若
Cx2 16
人教a版高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合
������ 写出C������ .
������!(������-������)!
3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+„+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=, 3, 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
5. 2012年上海春季高考有 8 所高校招生, 如果某 3 位同学恰好被其中 2所高 校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168
0!=1 , 所以
0 C������ =1. ������ -������ ������ (4) 组合数的性质: ①C������ = C������ ������ -1 ������ ������ ; ②C������ +1=C������ + C������
.
(1 ) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字 计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即 由
������ 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C������ 表示 .
������ A ������! ������ ������ ������(������-1)(������ -2)„(������-������+1) (3) 组合数公式: C������ = ������= = , 由于 A������ ������! ������!(������-������)!
2021高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布102排列与组合课件理20
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
2021/4/17
概率随机变量及其分布102排列与组合课
14
件理20
悟·技法
求解排列应用问题的 6 种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
A66种排列方法，共有 5×A66＝3 600(种)． 解法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有
A26种排法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种
方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44·A44＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空
解析：分两步进行，第一步，先从 1,3,5,7 中选 3 个进行排列，有 A34＝24 种排法；第二步，将 2,4,6 这 3 个数插空排列，有 2A33＝12 种 排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有 24×12 ＝288(个)．
答案：288
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
2021/4/17
概率随机变量及其分布102排列与组合课
4
件理20
2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从 n 个⑥_不__同__的元素中取 m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n 个⑦_不__同__元素中取出 m(m≤n)个元素的 ⑧_所__有__不__同__组__合____的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数，用符号 Cmn 表示．
2025版高考数学一轮总复习第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合课件
D.若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法
√
解：对于A，男生甲排在两端，共有2A44 = 48（种）不同的排法，A错误.
对于B，2名女生相邻，共有A22 A44 = 48（种）不同的排法，B正确.
对于C，2名女生不相邻，共有A33 A24 = 72（种）不同的排法，C正确.
根据分步乘法计数原理，共有3 × 9 = 27（种）不同的选法.故选C.
3.【多选题】已知，为正整数，且 ≥ ，则下列等式正确的是(
3
A.A
√ 6 = 120
7
7 7
B.A
=
C
√ 12 12A7
D.C = C−
√
+1
C.C + C+1
= C+1
解：对于A，A36 = 6 × 5 × 4 = 120，故A正确.
间接法处理
变式2 【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者
奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是(
)
A.不同的安排方法共有64种
B.若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
√
C.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种
√
D.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种
(
A.288
)
A
B
C
D
E
F
G
H
B.336
√
C.576
D.1 680
解：第一步,排白车.第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,
故白车的停法有4 × 3 × 2 = 24（种）.第二步,排黑车.若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,
第一轮复习排列组合常见题型及解法
排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。
4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 排列、组合
3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有_1_6__种.(用数字填写答案)
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C12C24 种，有 2 位女生参加有 C22C14种. 故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种). 方法二 间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有 女生参加的情况有 C34种， 故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种).
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 排列问题
自主演练
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数，共有
A.96个
√B.78个
C.72个
D.64个
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大， 则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个， 当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44 ＝24(个)； 当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3， 则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)， 因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
表示
微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何 选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CnmAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
思维升华
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
第一轮复习自己绝对经典排列组合第一轮
排列组合常见题型总结(2015版)排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.【知识要点】一、分类加法原理与分布乘法计数原理1．加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
二、排列与组合1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m nA 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n ,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n! 。
2．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=Λ 规定：1C 0=n 组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=； （2）11--+=n n m n m n C C C ；一、 可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：排列与组合
跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
(1)0！＝ 1 ；Ann＝__n_！__. 性质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_mn_＋__C__mn _－_1
常用结论
1.排列数、组合数常用公式 (1)Amn ＝(n－m＋1)Amn －1. (2)Amn ＝nAmn－－11. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kCkn＝nCkn－－11. (5)Cmn ＋Cmn－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cmn＋＋11.
教材改编题
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至 少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有__3_6__种.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
常用结论
2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理.
常用结论
(7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反，等价转化.
方法一 从特殊位置入手(直接法) 分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有 A14种填法，第三步填其他位，有 A44种填法，故无重复数字的六位奇数 共有 A13A14A44＝288(个).
2025高考数学一轮复习-6.2.3-6.2.4-第1课时-组合及组合数的定义【课件】
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元 素中取出2个元素的组合数， 即 C210＝AA21220＝120××19＝45.
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1_种不同的选法；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为 __6__. 解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含 2 个元素的子集个数与元 素顺序无关，是组合问题，共有 C24＝AA2422＝42××31＝6(个).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ 解 是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为 A210 ＝90.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车 票是不同的，所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是 排列问题. (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
A.4×13手
B.134手
C.A1532 手
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件010002-排列与组合
解
4 (1)一名女生，四名男生．故共有 C1 · C 5 8＝350(种)．
(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2 C3 2· 11＝165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．
2 3 故共有：C1 C4 C11＝825(种) 2· 11＋C2· 5 或采用排除法：C5 13－C11＝825(种)．
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的 个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
n！ n－m！ nn－1n－2„n－m＋1 n！ Am n m (2)C n ＝ m ＝ ＝ Am m！ m！n－m！ (n，m∈N*，且 m≤n)．特别地 C0 n＝1.
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3
探究 一
排列应用题 组合应用题 排列、组合的综合 应用
技能与规律探究
探究二 探究三
经典题目再现
1.排列与组合的概念
名称 排列 组合 定义 从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列 m(m≤n)个不同元素 合成一组
2.排列数与组合数
组合应用题
【例 2】某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生 各指定一名队长． 现从中选 5 人主持某种活动， 依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
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10.2 排列与组合（第1课时）
一、教学目标
理解排列组合的概念，能利用公式解决一些简单的实际问题。
二、教学重点、难点
1、重点：排列的概念和应用；
2、难点：解决限制条件较多时的排列问题。
三、教学方法：讲练结合
四、教学过程
（一）高考考情追踪
从近两年高考试题看，排列、组合问题多以有条件的排列问题、组合问题以及排列与组合的综合问题为命题的重点，多为选择题或填空题，解答题中多与概率的求解相结合综合命题，试题属于中等难度。
解决此类问题需要把握两个基本计数原理以及解决排列、组合问题应遵循的基本运算，熟练掌握基本的方法即可，避免增解或漏解。
（二）典例探究
题型一排列应用题
【例1】4个男同学，3个女同学站成一排.
(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
【思路点拨】对于排列问题，一般情况下，从受到限制的特殊元素开始考虑，或从特殊的位置开始讨论．
答案：（1）720；（2）1440；（3）960
【方法总结】“相邻问题捆绑法”、“不相邻问题插空法”。
【变式练习】“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，舰载机为我国自主研发的歼灭15.在某次舰载机起降飞行训练中，有6架歼15（记编号为1,2,3,4,5,6）准备着舰，如果1,2号两机必须相邻着舰，而3,4号两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数是（）
A.72
B.36
C.144
D.288
解：（1）把1,2号两机捆绑为一个元素A，有2
2
A种方法；
（2）A与5,6号两机共3个元素进行全排，不同的排法有3
3
A种；
（3）上述3个元素排好之后形成4个空位，然后从中选出两空，把3,4号两机插入进行排列即可，不
同的排法有2
4
A种；
由分步乘法计数原理可知共有232
234=144
A A A（种）不同的着舰方法。
答案：C
【例2】某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了两个互动节目。
如果保留原节目2的顺序不变，那么不同排法的种数为（）
A.42
B.56
C.30
D.72
解：
8
8
6
6
56
A
A
（种）
【方法总结】“顺序固定问题除序法”
【例3】某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课标的不同排法种数为（）
A.600
B.288
C.480
D.504
解法一：（分类讨论法）以数学课的排法进行分类：
（1）数学排在第四节，则体育课可排在其余任意一节，故5
5120
A=(种)；
（2）数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法有4种；
体育课则从第四节、数学选择的节次之外的其余四节任选一节，其排法有4种；
其余4节课进行全排，不同的排法有4
4=24
A（种）.
由分步乘法计数原理可得，不同的排法有4×4×24=384(种).
综上，由分类加法计数原理可得，不同的排法有120+384=504（种）答案：D
解法二：（间接法）
（1）六节课全排，不同的排法有6
6720
A=（种）
（2）数学排在第一节，不同的排法有5
5120
A=(种)；
（3）体育排在第四节，不同的排法有5
5120
A=(种)；
（4）数学排在第一节，且体育排在第四节的排法有4
4=24
A（种）
故不同的排法共有720-120-120+24=504（种）
【方法总结】若排列、组合中含有特殊的元素或元素对位置有特殊的要求，则应先满足这些特殊元素或特殊位置的要求，然后安排其它的元素或位置，即采用“先特殊后一般”的解题原则。
如上题在中含有“特殊位置”的要求，故先以数学的位次为依据进行分类讨论。
对于题设中有限制条件的问题，也可采用“排异法”：即先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
（四）课堂检测：见课件
（五）课堂总结：
1、特殊元素、特殊位置优先；
2、直接法、间接法。