第六节空间图形的垂直关系

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高中数学--空间中的垂直关系

a⊥α
论
线也_垂__直__这个平面
目录
(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言
符号语言
性垂直于同一个
质平面的两条直
定线___平__行____
理
a⊥α b⊥α
目录
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
一个平面过另一个
定平面的___垂__线___，
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(3)证明：如图，过E作EG∥AB交PA于G，连接DG. ∵E为PB的中点，∴G为PA的中点． ∵DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，∴DG⊥PA.
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∵AB⊥平面 PAD，DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 綊12AB，DF 綊12AB，∴GE 綊 DF.
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【名师点评】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造．
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跟踪训练 2.(2011·高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E， F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
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2．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

空间几何中的垂直关系

空间几何中的垂直关系空间几何是数学中的一个重要分支，研究了在三维空间中的图形、形态和位置关系。

其中垂直关系是几何中的基本概念之一，它在建筑、工程、设计等领域都有广泛的应用。

本文将介绍空间几何中的垂直关系及其相关概念和性质。

1. 垂直关系的定义在空间几何中，两条直线、两个平面或者两个曲面相互垂直，意味着它们的方向互相垂直，不在同一平面上，并且它们的夹角是90度。

具体来说，垂直关系可以分为以下几种情况：1.1 直线的垂直关系空间中的两条直线相互垂直的判定条件有多种，最常用的方法是利用两条直线的方向向量之间的垂直性。

设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，若a·b=0，则直线L1与直线L2垂直。

1.2 平面的垂直关系两个平面相互垂直的判定方法一般都涉及到它们的法向量。

设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1·n2=0，则平面P1与平面P2垂直。

1.3 直线与平面的垂直关系直线与平面相互垂直的条件也涉及到它们的方向向量和法向量。

设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，若a·n=0，则直线L与平面P垂直。

2. 垂直关系的性质垂直关系有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。

2.1 垂直平面的夹角如果两个平面相互垂直，则它们的夹角是90度。

这一性质在空间几何中非常重要，可以用来判断两个平面是否相互垂直。

2.2 垂直直线与平面的关系如果一条直线垂直于一个平面，那么它一定位于该平面上的某条直径上。

这一性质可以应用到建筑设计、物理力学等领域。

2.3 垂直向量与平面的关系设一个向量与平面上的任意一条向量都垂直，那么这个向量一定垂直于该平面。

这一性质常用于计算向量与平面的垂直关系。

3. 应用实例垂直关系在实际应用中有很多场景，下面举几个例子进行说明。

3.1 平面墙与地板的垂直关系在建筑设计中，我们常常需要确保墙面与地板垂直，以保证建筑的稳定性和美观性。

3.2 直线与曲面的垂直关系在机械制造中，我们需要确保某些直线与曲面垂直，来实现零件的配合与连接。

空间中的垂直关系课件

(2)若 AB =B C ,则 B D ⊥AC ,
由(1)可知,SD ⊥平面 AB C ,而 B D ⊂ 平面 AB C ,
因此 SD ⊥B D .
∵SD ⊥B D ,B D ⊥AC ,SD ∩AC =D ,∴B D ⊥平面 SAC .
T 题型二面
面垂直问题
例 2如图所示,已知△AB C 是等边三角形,E C ⊥平面 AB C ,B D ⊥
(1)求证:SD ⊥平面 AB C ;
(2)若 AB =B C ,求证:B D ⊥平面 SAC .
【证明】(1)如图所示,取 AB 中点 E ,连接 SE ,D E ,在 R t△AB C 中,D ,E 分别
为 AC ,AB 的中点,故 D E∥B C ,且 D E ⊥AB ,
∵SA=SB ,
∴△SAB 为等腰三角形.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线
在平面内的射影.
(2)斜线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角.
若直线在平面内或直线和平面平行,则说直线和平面成 0°
角;若直线和
平面垂直,则说直线和平面成 90°
角.
任一直线和平面所成角 θ
由于平面 P D C⊥平面 AB CD ,而直线 CD 是平面 P D C 与平面 AB CD 的交
线,
故 P E ⊥平面 AB CD ,由此得∠P B E 为直线 P B 与平面 AB CD 所成的角.
在△P D C 中,由于 P D =C D =2,P C =2 3,
可得∠P CD =30°
.
在 R t△P EC 中,P E =P C sin30°

理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理

理解空间几何中的平行和垂直关系及相关定理在空间几何中，平行和垂直关系是非常重要的概念。

理解这些关系及其相关定理对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。

本文将深入探讨空间几何中的平行和垂直关系及其相关定理，帮助读者更好地理解和应用。

一、平行关系在空间几何中，平行关系是指两条直线或两个平面永远不会相交。

平行线和平行面之间的关系可通过以下两个定理来判断。

1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线之间也是平行的。

证明：设有两条平行线l和m，且直线n与l相交于点A，与m相交于点B。

若线段AB垂直于l，由垂直定理可知线段AB也垂直于m。

假设线段AB不平行于m，那么它必定与m相交于某一点C，这样线段AB将会与直线n有两个交点A和C，这与两条平行线的性质相悖。

因此，线段AB必定是与直线m平行的。

2. 平行面定理：如果两个平面都与另一个平面平行，那么这两个平面也是平行的。

证明：设有两个平面α和β，且平面γ与α平行且与β相交。

假设平面γ不平行于β，则它们必定会相交于一条直线。

然而，根据平行面的定义，平面γ与平面α平行，故直线与平面α相交于一点A。

由于直线与平面β相交于一点B，这意味着直线将与两个平面α和β都有交点，与平行面的定义相矛盾。

因此，平面γ与β平行。

二、垂直关系在空间几何中，垂直关系是指两条直线或两个平面之间的相互垂直关系。

垂直关系可以通过以下定理来判断。

1. 垂直定理：如果两条直线相交并且相交的角为直角，则这两条直线是垂直的。

证明：设有两条直线l和m，相交于点O，并且∠AOB为直角。

若直线l和m不是垂直的，即它们不相交于直角，那么它们必然会以某个角度相交，假设∠AOB为θ。

那么根据三角形的性质，我们可以得到∠AOB的余角为180°-θ。

如果直线l和m不垂直，它们的余角将不相等，与∠AOB为直角的前提相矛盾。

因此，直线l和m是垂直的。

2. 垂直平面定理：如果一条直线与一个平面垂直，并且这条直线在这个平面上的一个点，那么这个直线在这个平面上的所有点都垂直于这个平面。

第六节空间图形的垂直关系

变式探究
2．(2013· 安徽卷)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形， ∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝ .
6
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．
高考总复习•数学（文科） (1)证明：连接BD，AC交于O点．
∵PB＝PD，∴PO⊥BD.
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
高考总复习•数学（文科） ∴平面BMN∥平面ADEF. ∴BM∥平面ADEF. 点评：面面垂直的性质常用来证明线面垂直．
高考总复习•数学（文科）
变式探究 4．(2013· 江苏卷 ) 如图，在三棱锥 SABC中，平面SAB⊥
平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E， G分别是侧棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA.
高考总复习•数学（文科）变式探究 3．(2013· 江门一模)如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除 A 、 B 外的一点，△ AED 在平面 ABC 的投影恰好是△ ABC. 已知 CD＝BE，AB＝4，tan∠EAB＝ 1 . (1)证明：平面ADE⊥平面ACD； (2)当三棱锥CADE体积最大时，求三棱锥CADE的高．
而AC∩PO＝O，∴BD⊥面PAC，
∴BD⊥PC.
高考总复习•数学（文科）
(2)解析：由(1)BD⊥面 PAC， 1 1 S△PEC＝2S△PAC＝2× 6×2 3×sin 45° 2 ＝ 6× 3× 2 ＝3. 1 1 1 1 所以 VP－BEC＝VB－PEC＝2· S△PEC· BD＝3×32＝2.
高考总复习•数学（文科）
此时，AD＝ AC2＋CD2＝ 12＋2 22＝3， 1 1 S△ADE＝2AD· DE＝2×3×2 2＝3 2，设三棱锥 C－ADE 的高为 h， 1 4 则 VC－ADE＝3S△ADE· h＝3， 1 4 2 2 所以3×3 2×h＝3.所以 h＝ 3 . 所以，当三棱锥 C－ADE 体积最大时， 2 2 三棱锥 C－ADE 的高为 3 .

高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第六节空间图形的垂直关系文

第六节空间图形的垂直关系1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知识梳理一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直．二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．三、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面．2．直线与平面垂直的判定．类别语言表述应用判定(定义)如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直证直线和平面垂直(定理)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面证直线和平面垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面证直线和平面垂直3.直线与平面垂直的性质.类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直}a⊥αb⊂α⇒a⊥b证两条直线垂直如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行}a⊥αb⊥α⇒a∥b证两条直线平行四、二面角1．定义：从一条直线AB出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它来度量二面角的大小．平面角是直角的二面角叫做直二面角．五、两个平面垂直的判定和性质1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定和性质．类别语言表述图示字母表示应用判定根据定义，证明两平面所成的二面角是直二面角∠AOB是二面角αaβ的平面角，且∠AOB＝90°，则α⊥β证两个平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直a⊂αa⊥β⇒α⊥β性质如果两个平面垂直，那么它们所成二面角的平面角是直角α⊥β，∠AOB是二面角αaβ的平面角，则∠AOB＝90°证两条直线垂直如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于α⊥βα∩β＝la⊂α证直线和平面另一个平面垂直a⊥l⇒a⊥β基础自测1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，根据面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.答案：B2．(2013·珠海二模)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：A选项中，还可能l∥β；B选项中，也可能l∥β；D中，也可能l∥β.故选C.答案：C3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，从而有平面PCD⊥平面MBD.4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．答案：①③④1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：显然α与β相交，不然由α∥β⇒m∥n，与m，n为异面矛盾，排除选项A；当α与β相交时，设交线为l′，由m⊥平面α，n⊥平面β知，l′⊥m，l′⊥n，而l ⊥m ，l ⊥n ，于是易知l ′∥l .故选D.答案：D2．(2013·广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE 平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .(1)证明：在等边三角形ABC 中，AD ＝AE . ∴AD DB ＝AEEC，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC ，∵DE ⊄平面BCF , BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，①BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋CF 2， ∴CF ⊥BF ，②∵BF ∩CF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解析：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE ＝13×12×13×⎝⎛⎭⎫13×32×13＝3324.1．(2013·惠州一模)已知集合A 、B 、C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B.若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥b c ∥b ⇒a ∥c ，②⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥b c ⊥b ⇒a ∥c ，③⎩⎪⎨⎪⎧a ∥bc ⊥b ⇒a ⊥c ， ④⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bc ∥b ⇒a ⊥c . 其中所有正确命题的序号是________．解析：对于①，当c 表示平面时，根据a ∥b 且c ∥b ，不一定有a ∥c 成立，可能a ⊂c ，故①不正确；对于②，以正方体过同一个顶点的三条棱为a ，b ，c ，可得a ⊥b ，c ⊥b ，但是a ，c 是相交直线，故②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确．综上，正确命题的序号为④.答案：④2．(2013·惠州二模)正方体ABCD－A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．(1) 求证：B1D1⊥AE；(2) 求证：AC∥平面B1DE；(3) 求三棱锥A－BDE的体积．(1)证明：连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)证明：连接AF、CF、EF.∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE綊B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE，∴CF∥平面B1DE，∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF綊BC，又BC綊AD，∴EF綊AD.∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，∴AF∥平面B1DE，∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又∵AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE .(3)解析：三棱锥A－BDE的体积，即为三棱锥E－ABD的体积，∴V＝13×12×AD·AB·EC＝13×12×2×2×1＝23.。

空间中的垂直关系

8． 5 空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______ ( 无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说__________________________ ，记作_______ .直线I叫做______________ ，平面a叫做_______________ .直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做________ .垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的______________ .(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________________ 都垂直，则该直线与此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示： a // b,(3)__________________________________________ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 .3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ___________ ，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°勺角.任一直线与平面所成角B的范围是 ____________ .4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________________ 叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 ______________ 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 _______________ ．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________________ ，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的__________ ，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____ 的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2.(1)直线I与平面a互相垂直I丄a平面a的垂线直线I 的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3.锐角[0；90°4.(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0 ° 180°]5.(1)直二面角(2)垂线(3)交线0 （2017江西宜春四校联考）下列命题中错误的是（）A •如果平面a 丄平面3那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 3B.如果平面 a 不垂直于平面 3,那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面3C. 如果平面 a 丄平面 Y 平面3丄平面 Y a Q 3 =丨,那么I 丄平面丫 D .如果平面a 丄平面3那么平面a 内所有直线都垂直于平面 3解：对于选项A ,可在a 内作直线平行于交线即可， A 正确；对于选项B ，假设在a 内存在直线垂直于平面 3则a 丄3这与已知矛盾，所以原命题成立，B 正确；对于选项C ,因为平面a 丄平面Y 所以在平面丫内存在一条直线m 丄a 所以m i l.同理可知在平面丫内存在直线n 丄3 n 丄I.若直线m , n 重合，则面a 与3重合或平行，这与已知矛盾，所以直线 m , n 相交，又I 丄m , I 丄n ,所以I 丄面Y C 正确；对于选项 D ,易知a 与3的交线I 并不垂直于面 3, D 错误.故选D.° （2017甘肃马营中学月考）若m 、n 是两条不同的直线,a 、3 丫是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ )A .若 m? 3 ,a 丄 3 ,贝U m 丄aB .若 aCl Y= m , 3C Y = n , m / n ,贝U a/ 3 C .若 m ± 3, m //a则a 丄3D .若 a 丄Y a 丄 3则 3-L Y解：若m? 3 , a 丄3 ,贝y m 与a 的关系可能平行也可能相交或 m? a ,贝y A 为假命题；选项 B 中，a 与3选C.而不充分条件.故填必要不充分.❺（2017重庆八中适应性考试）在正四面体P-ABC 中，D , E , F 分别是AB , BC , CA 的中点，下面四个结论中正确的是 _________________ . ① BC //平面PDF ； ② DF 丄平面FAE ；③ 平面PDF 丄平面 ABC ； ④平面PAE 丄平面 ABC.解：由DF // BC 可得BC //平面PDF ,故①正确；若PO 丄平面ABC ,垂足为O ,贝U O 在AE 上,贝U DF 丄PO , 又DF 丄AE ,故DF 丄平面FAE ,故②正确；由PO 丄平面ABC , PO?平面PAE ,可得平面 FAE 丄平面 ABC , 故④正确，平面PDF 不过PO ,故③不正确.故填①②④.A . A 1E 丄 DC 1B . A 1E 丄 BDC . A 1E 丄 BC 1D . A 1E 丄AC解:由正方体的性质，得 A 1B 1 丄 BC 1 , BQ 丄 BC 1 ,所以 BG 丄平面 A 1B 1CD ,又 A 1E?平面 A 1B 1CD ,所以 A 1E 丄BC 1 ,故选C.（2017全国卷川）在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中, E 为棱CD 的中点，贝U（)❹ 若I , m 是两条不同的直线， m 垂直于平面a ,则"I 丄m ”是"I // a”的 _____________ 条件.解：若I 丄m , m 丄平面a,贝y I //a 或I? a ；若I //a, m 丄平面a,贝U I 丄m ,所以"I 丄m ”是"I // a”的必要可能平行也可能相交，则B 为假命题；选项 D 中3与丫也可能平行或相交（不一定垂直），则D 为假命题.»为类解析触类旁邂类型一线线垂直问题EB 如图，在四棱台ABCD-A I B I C I D I中，D i D丄平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB= 2AD, AD =A1B1,Z BAD = 60°(1)证明：AA i 丄BD ；⑵证明：CC i//平面A I BD.证明：(1)因为D I D丄面ABCD，且BD?面ABCD，所以D i D丄BD.又因为AB = 2AD，/ BAD = 60°在厶ABD 中，由余弦定理得BD2= AD2+ AB2—2AD ABcos60°= 3AD2,所以AD2+ BD2= AB2所以AD丄BD.又因为AD n D I D = D，所以BD丄面ADD i A i.又AA I?面ADD I A I,所以AA I±BD.(2)连接AC, A i C i,设AC n BD = E,连接A I E.i因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC = ^AC.由棱台定义及AB = 2AD = 2A i B i知A i C i // EC且A i C i = EC,所以四边形A I ECC I为平行四边形.所以CC i// A I E.又因为A I E?面A I BD, CC i?面ABD,所以CC I // 面A I BD.【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系•第(i)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A I BD中没有与CC I平行的直线，故需作辅助线.(20i7武汉市武钢第三子弟中学月考）如图，三棱柱ABC-A i B i C i 中，CA= CB , AB = AA i , / BAA i= 60°.f(i)证明：AB 丄A I C ;⑵若AB= CB = 2, A I C = .6,求三棱柱ABC-A i B i C i的体积. 解：⑴证明：取AB的中点O,连接OC, OA i, A I B.因为CA = CB，所以0C丄AB.由于AB = AA i,/ BAA i= 60° °故厶AA i B为等边三角形，所以OA i丄AB.因为OC A OA i= 0,所以AB丄平面OA i C.又A i C?平面OA i C，故AB丄A i C.⑵由题设知△ ABC与厶AA i B都是边长为2的等边三角形，所以OC = OA i = .3. 又A i C = ■.6，贝U A i C2= OC2+ OA i,故OA i丄OC.因为OC A AB= O,所以OA i丄平面ABC, OA i为三棱柱ABC-A i B i C i的高.乂△ ABC 的面积S SBC= , 3,故三棱柱ABC-A i B i C i 的体积为V = S^ABC X OA i = 3.类型二线面垂直问题GE 如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD，点E在线段AD上，且CE // AB.（i）求证：CE丄平面PAD ;⑵若PA= AB= i , AD = 3, CD =运，/ CDA = 45° 求四棱锥P-ABCD 的体积. 解：（1）证明：因为PA丄底面ABCD , CE?平面ABCD，所以PA丄CE.因为AB丄AD, CE / AB，所以CE丄AD.又PA A AD = A，所以CE丄平面PAD.(2)由(1)可知CE丄AD.在Rt △ ECD 中，CE = CD sin45 = 1, DE = CD c os45°= 1, 又因为AB = 1，贝U AB = CE.又CE // AB, AB丄AD,所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形.因为AD = 3，所以BC = AE= AD —DE = 2,1 1 5S ABCD = 2(BC + AD) AB =彳(2 + 3)X 1 = §,1 1 5 5VP-ABCD=3SABCD'PA=3x只1=6.于是四棱锥P-ABCD的体积为|.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第（2）问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积.（2017锦州市第二高级中学月考）如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F , P, Q, M, N分别是棱AB, AD , DD i, BB i, “B i, AQ i 的中点•求证：⑴直线BC i〃平面EFPQ ;⑵直线AC」平面PQMN.证明：（1）如图，连接AD i，由ABCD-A i B i C i D i是正方体，知AD i II BC i, 因为F , P分别是AD, DD i的中点，所以FP II AD i,从而BC i I FP.而FP?平面EFPQ，且BC i?平面EFPQ , 故直线BC i I平面EFPQ.⑵如图，连接AC, BD，贝U AC丄BD.由CC i丄平面ABCD , BD?平面ABCD，可得CC i丄BD .又AC A CC i = C,所以BD丄平面ACC i A i.而AC i?平面ACC i A i,所以BD丄AC i.因为M, N分别是A i B i, A i D i的中点，所以MN I BD，从而MN丄AC i. 同理可证PN丄AC i.又PN A MN = N,所以直线AC i±平面PQMN.类型三面面垂直问题GO）如图所示，在长方体ABCD-A i B i C i D i中，AB = AD = i, AA i= 2, M是棱CC i的中点.B C又A1B1Q B I M = B i,由①②得BM丄平面A I B I M.而BM?平面ABM，所以平面ABM丄平面A i B i M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一.变式.（2017武汉市第四十三中学月考）如图，在五棱锥P-ABCDE 中，PA丄平面ABCDE , AB// CD，/ ABC=45° AB= 2 2, BC = 2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形.求证：平面PCD丄平面PAC.证明：因为/ABC = 45° AB= 2 2, BC = 4,所以在△ ABC 中，由余弦定理得，AC2= (2 _ 2)2+ 42-2 X 2_2X 4COS45 = 8,解得AC= 2 ,2，所以AB2+ AC2= 8 + 8 = 16= BC2,即卩AB丄AC,又PA丄平面ABCDE，所以PA丄AB.又FA n AC = A，所以AB丄平面PAC,又AB // CD，所以CD丄平面FAC. 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD丄平面PAC.类型四垂直综合问题EE （2017大连经济技术开发区一中月考）如图1，在等腰直角三角形ABC中，/ A = 90° BC= 6, D, E分别是AC ,AB上的点，CD = BE= 2,O为BC的中点.将厶ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A'B-DE ,其中AO = 3.（1）证明：A'O丄平面BCDE ;⑵求二面角A'C--B的平面角的余弦值.解：（1）证明：在图1中，易得OC = 3, AC = 3,2, AD = 2 2.如图示，连接OD , OE，在△ OCD中，由余弦定理可得OD = OC2+ CD2- 2OC CDcos45°= , 5•由翻折不变性可知AD = 2 _2,易得AO2+ OD2= AD2，所以A ‘0丄OD•同理可证A O丄OE.又因为OD n OE = O,所以A O丄平面⑵过O作OH丄CD交CD的延长线于H，连接A H，因为A ‘O丄平面BCDE，易知A H丄CD，所以/ A HO为二面角A‘ C--B的平面角.结合图1可知，H为AC中点，又O为BC中点，故OH = ^AB= 节，从而A H = OH2+ OA 2=亠3°, 所以cos/ A ‘ HO=-°^ =丘A ‘ H 5 '所以二面角A'CD-B 的平面角的余弦值为亠5【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等.(2016全国卷I )如图，在以A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中,(1)证明：平面 ABEF 丄平面EFDC ;⑵求二面角E-BC-A 的余弦值.解：(1)证明：由已知可得 AF 丄DF , AF 丄FE ,又DF n FE = F ，所以AF 丄平面EFDC . 又AF?平面ABEF ，故平面ABEF 丄平面EFDC.⑵过D 作DG 丄EF ，垂足为 G ,由(1)知DG 丄平面ABEF.以G 为坐标原点， G F 的方向为x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 G -xyz.由(1)知/DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故 / DFE = 60° 贝U DF = 2, DG可得 A(1 , 4, 0), B(-3,4, 0), E( — 3, 0, 0), D(0, 0, .3).由已知得，AB // EF ，所以 AB //平面 EFDC.又平面 ABCD n 平面 EFDC = CD ，故 AB / CD , CD // EF.由BE // AF ，可得BE 丄平面EFDC ，所以/CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，故/CEF = 60°从而可得C(— 2,0, 3),连接 AC ,则 (1 , 0, . 3), EB = (0, 4, 0), AC = (— 3,— 4,3), AB = (— 4, 0, 0).设n = (x , y , z)是平面BCE 的法向量，贝Un EC =0,'x + T 3z = 0,厂即'所以可取n = (3, 0,—*3).InEB = 0,仆 0,m AC = 0,设m 是平面ABCD 的法向量，则m AB = 0,同理可取 m = (0, 3, 4),1. 判断(证明)线线垂直的方法 (1) 根据定义；(2) 如果直线a // b , a 丄c ,贝U b 丄c ;⑶如果直线 a 丄面a, c? a ,贝U a 丄c ;折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现.面ABEF 为正方形，AF = 2FD ,贝U cos 〈n , m >n m|n ||2「19 19 结合图形，得二面角 E-BC-A 的余弦值为一2 .'19/ AFD = 90° 且二面角揭示规漳⑷向量法：两条直线的方向向量的数量积为零.2.证明直线和平面垂直的常用方法（1）利用判定定理：两相交直线a, b? a , a丄c, b± c? c丄a;（2）a // b, a丄 a ? b± a ;⑶利用面面平行的性质：a// 3, a丄a ? a± 3 ；⑷利用面面垂直的性质：a丄3, a A 3 =m, a? a , a丄m? a丄3 ；a丄丫，3丄Y, a A 3 =m? m X 丫.3.证明面面垂直的主要方法（1）利用判定定理：a丄3, a? a ? a丄3 ；（2）用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角；（3）如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：a// 3, a丄丫? 3丄丫.4.平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线, 把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.5.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化判定定理判定定理线线垂直J *线面垂直・〜面面垂直性质定理性蜃定理6.线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）?证？求（算）三步曲.也可用射影法：设斜线段AB在平面a内的射影为A B AB与a所成角为0,贝U COS B 厂B厂I|AB|设厶ABC在平面a内的射影三角形为△ A B C 平面ABC与a所成角为0则COS 0 = S： B CS A ABC@|底翻科劃b查漏补缺折展延伸1.（2016浙江）已知互相垂直的平面 a , 3交于直线I •若直线m, n满足m// a, n丄3 ,则（）A . m / lB . m / n C. n丄I D. m± n解：由题意知aA A l，所以l? 3 •因为n丄3所以n丄I•故选C.2.已知a, 3为两个不同的平面，I为直线，若a丄3, a A 3 = I，则（）A .垂直于平面3的平面一定平行于平面aB.垂直于直线I的直线一定垂直于平面aC.垂直于平面3的平面一定平行于直线ID .垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直.故选D.3.设m, n是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A .若a丄 3 m? a , n? 3 ,贝U m± nB.若a// 3 m? a , n? 3 ,则m// nC.若m l n , m? a , n? 3 ,贝U a丄3D .若m±a,m / n ,n / 3 ,贝U a丄3解：若a丄B, m? a , n?卩，贝U m与n可能平行、相交或异面，故A错；若a//®, m? a , n?卩，则m与n可能平行，也可能异面，故B错；若m丄n, m? a , n? B ,贝U a与®可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m丄a, m / n,得n丄a,又知n // B,故a丄B,所以D项正确.故选D.4.(2017沈阳市第一中学月考)设平面a与平面B相交于直线m,直线a在平面a 内，直线b在平面B内，且b丄m,则"a丄B'是"a丄b”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解：当a丄B时，由面面垂直的性质定理知b丄a,则b丄a.所以“a丄B”是“a丄b”的充分条件.而当a? a ,且a // m时，因为b丄m,所以b丄a，而此时平面a与平面B不一定垂直.所以“a丄B”不是“ a丄b ”的必要条件.故选A.5.(2015福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，M , N分别为VA, VC的中点，则下列结论正确的是( )CA . MN // ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC X平面VACD .平面VAC丄平面VBC解：依题意，MN // AC,又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC丄BC,因此MN 与BC所成的角是90°, B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC丄AC, BC丄VA,因此BC丄平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC丄平面VAC, D正确.故选D.6. (2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SGG2G3中，E, F分别是G1G2, G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE, SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1, G2, G3三点重合于点G,这样，下列五个结论：(1)SG丄平面EFG ；(2)SD丄平面EFG ；(3)GF丄平面SEF；(4)EF丄平面GSD；(5)GD丄平面SEF.正确的是( )A. (1)和⑶B. ⑵和⑸C. (1)和⑷D. ⑵和⑷解因为正方形中折叠前后都有SG丄GE, SG丄GF，所以SG丄平面EFG.(1)正确，(2)错误:因为SG丄GF, SG丄GD，所以GF并不垂直于SF, GD并不垂直于SD,即卩⑶（5）错误.因为EF丄GD , EF丄SG, GD n SG= G ,所以EF丄面GSD.（4）正确.故选C.7.在正方体ABCD-A 'B 'C 'D中,过对角线BD '的一个平面交AA于E,交CC于F，贝U①四边形BFDE 一定是平行四边形；②四边形BFD E有可能是正方形；③四边形BFD E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD E有可能垂直于平面BB D.以上结论正确的为____________ .（写出所有正确结论的编号）解：根据两平面平行的性质定理可得BFD E为平行四边形，①正确；若四边形BFD E是正方形，则BE丄ED ', 又A ' D '丄EB, A ' D ' n ED ' = D '，所以BE丄面ADD A '，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E, F分别为棱AA ', CC '的中点时，EF // AC,又AC丄平面BB D, 所以EF丄面BB D，④正确.故填①③④.8.（2017沈阳市回民中学月考）ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD，则平面PAB,平面PBC，平面PCD，平面PAD，平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有 _________________ 对.解：因为PA丄平面ABCD，所以平面PAD丄平面ABCD，平面PAB丄平面ABCD.又因为AD丄平面FAB，所以平面FAD丄平面PAB,同理可得平面PBC丄平面PAB,平面PAD丄平面PCD，故互相垂直的平面有5对.故填5.9.（2017钟祥市实验中学月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD = a, PA = PC =■, 2a.求证：（1）PD 丄平面ABCD ；⑵平面PAC丄平面PBD.证明：⑴因为PD = a, DC = a, PC= 2a,所以PC2= PD2+ DC2,所以PD 丄DC.同理可证PD丄AD，又AD n DC = D ,所以PD丄平面ABCD.⑵由⑴知PD丄平面ABCD ,所以PD丄AC,而四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD，又BD n PD = D，所以AC丄平面PDB.同时AC?平面PAC ,所以平面PAC丄平面PBD.10. （2017谷城县第一中学月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ABC = 60° PA = AB = BC, E 是PC 的中点.证明：⑴CD丄AE;(2)PD丄平面ABE.证明：⑴ 因为PA丄底面ABCD , CD?平面ABCD，所以PA丄CD.因为AC丄CD , FA Q AC = A,所以CD丄平面FAC.而AE?平面PAC,所以CD丄AE.(2)由FA= AB= BC ,Z ABC= 60 °可得AC = PA•因为E是PC的中点，所以AE丄PC.由⑴知AE丄CD，且PC Q CD = C,所以AE丄平面PCD.而PD?平面PCD，所以AE丄PD.因为PA丄底面ABCD，所以PA丄AB.又因为AB丄AD且PA Q AD = A,所以AB丄平面PAD，而PD?平面PAD,所以AB丄PD.又因为AB Q AE= A,所以PD丄平面ABE.11. (2017 天津)如图，在四棱锥P- ABCD 中，AD 丄平面PDC , AD // BC, PD 丄PB, AD = 1 , BC = 3, CD = 4, PD = 2.AP 5因为PD丄平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以/ DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD // BC, DF // AB,故BF = AD = 1 ,由已知，得CF = BC- BF = 2.又AD 丄DC ,故BC 丄DC ,在Rt△ DCF 中，DF2= DC2+ CF2= 42+ 22= 20, DF = 2 5,所以在Rt△ DPF 中可得sin/ DFP = DD二亠5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为—.5(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC丄BM，并求MC的值.解：⑴由题设AB= 1, AC = 2,/ BAC = 60°, 可得S A ABC=I' AB - AC • sin60 °= ^3.由PA丄平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA = 1,所以三棱锥P-ABC的体积⑵证明：在平面ABC内，过点B 作BN丄AC,垂足为N.在平面FAC内，过点N作MN // PA，交PC于点M ,连接BM •由FA丄平面ABC知FA丄AC,又MN // PA，所以MN丄AC•又BN丄AC, BN P MN = N, BN?平面MBN ,MN?平面MBN，所以AC丄平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC丄BM.I 3 PM AN 1在Rt△BAN中,AN=ABcos/BAC=2 从而NC=AC-AN乜由MN〃PA，得MM=AN二./ BAC= 60 °V=3 ABC，PA=卡. (2015安徽)如图，三棱锥AB= 1 , AC= 2,(1) 求异面直线A i M和C i D i所成的角的正切值；⑵证明：平面ABM丄平面A i B i M.解：⑴因为C i D i I B i A i,所以/ MA i B i为异面直线A i M和C i D i所成的角，因为A i B i丄平面BCC i B i,所以/ A i B i M =90°而A i B i= i , B i M = . B i C?+ MC i= 2,故tan/ MA i B i = = .2.A iB i(2) 证明：由A i B i丄平面BCC i B i, BM?平面BCC i B i,得"B i丄BM •①由(i)知，B i M = 2,又BM = BC1 2+ CM2= .2, B i B= 2,B i M2+ BM2= B i B2,从而BM 丄B i M.②(1) 求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2) 求证：PD丄平面PBC;⑶求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解：(1)如图，由已知AD // BC,故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD丄平面PDC，所以AD丄PD.在Rt△ PDA 中，由已知，得AP = AD1 2+ PD2= 5.故cos/ DAP = AD =血.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为-?.5⑵证明：因为AD丄平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD丄PD.又因为BC // AD，所以PD丄BC.又PD丄PB，所以PD丄平面PBC.⑶过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.。

空间中的垂直关系

空间中的垂直关系知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：垂直，则这条直线与这个平面垂直。

符号语言为：3①如果两条直线同垂直于一个平面，那么。

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于。

例1、三条直线两两垂直，下列四个命题： ① 三条直线共点② 其中必有两条直线不同在任一平面内 ③ 三条直线不可能在同一平面内 ④ 其中必有两条直线在同一平面内其中正确个数为例2、若α是直线，b a ,为平面 ①b a b a ⊥⇒⊥αα//, ②αα//,b b a a ⇒⊥⊥ ③αα⊥⇒⊥⊥b b a a , ④a b b a //,⇒⊥⊥αα其中正确的为三个推论：1、两条平行直线，有一条垂直于平面，那么2、两条直线垂直于同一个平面，则3、垂直于同一条直线的两个平面例3、Rt ∆ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC,点D 为斜边AC 的中点。

（1）求证：SD ⊥平面ABC（2）若AB=BC ，求证：BD ⊥平面SACSDA CB平面与平面垂直1、定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

平面α、β互相垂直，记作α⊥β。

2、两个平面垂直的判定定理：若一个平面经过，那么两个平面垂直。

表示式为：。

例4、下列说法中错误的是（） A 如果αβα，那么⊥内一定存在直线//β B 如果αβα，那么⊥内所有直线⊥面β C 如果αβα，那么不垂直内一定不存在直线垂直于平面βD γβαγβγα⊥=⋂⊥⊥l l 则，，, （3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么垂直于另一个平面。

符号表示：总结：线线、线面、面面垂直关系：线线垂直线面垂直面面垂直。

例5、所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD//CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

北师大版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系

空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FH 12 CD，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心，求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,22OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直．答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°，E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ．答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直．答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ，又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心．又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ．答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,22AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；ABCDE(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D5．若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b a ⊥bb ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D13.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：215.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.答案：(1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .课程顾问签字：教学主管签字：。

空间中的垂直关系

空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。

例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。

空间里的垂直关系课件

总结与应用
总结
垂直关系是空间中重要的概念，它们存在于日常生活中的各个领域，以及科学、工程和数学的研究中。
应用
通过理解和应用垂直关系，我们可以更好地理解和解释事物之间的垂直位置和相对关系。
空间里的垂直关系ppt课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨空间中的垂直关系。从定义到应用，从数学表达到性质，让我们一起通过实例来理解和应用垂直关系。
空间的定义
空间是我们生活中的基本概念，代表着我们所存在的物质维度。它可以是三维的，也可以是更高维度的。在空间中，我们可以观察到各种关系和规律。
垂直关系的概念
1 什么是垂直关系？
垂直关系表示两个事物或元素之间的竖直方向上的相对位置。
2 为什么垂直关系重要？
垂直关系有助于我们理解物体的高度、深度和层次结构，以及它们在空间中的相对位置。
垂直关系在日常生活中的应用
城市天际线
高楼大厦在城市中形成了壮观的垂直关系，展示了人类的建筑和工程能力。
楼梯
树木
楼梯是连接不同楼层的垂直通道，使我们能够便捷地在空间中垂直移动。
树木的分层结构和不同高度的树冠形成了自然界中的垂直关系，营造出美丽的风景。
垂直关系的数学表达
1 直线的斜率
在二维平面中，两条垂直直线的斜率乘积为-1。
2 向量的垂直性
两个向量垂直的条件是它们的内积等于零。
垂直关系的性质
垂直的直角
两条相交直线的内角和为90度，形成垂直的直角。
垂直的投影
一个物体沿着垂直方向的投影是它在垂直平面上的影子。
垂直的比例
两个物体相似且比例相等时，它们在垂直方向上的对应线段也相似且比例相等。
通过实例理解垂直关系

第一章第六节垂直关系的性质

§6.2垂直关系的性质【教材分析】本节课的教学内容是《数学必修2》第一章§6.2垂直关系的性质，本节课共一课时．本节课主要学习垂直关系的性质，包括“直线垂直于平面的性质和平面垂直于平面的性质”两部分内容，这是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点．学习的关键在于面面关系、线面关系和线线关系的转化，找出图形语言和符号语言之间的关系，利用已有的概念定理进行推理证明．本节课对直线垂直于平面和平面垂直于平面的性质定理不仅要求直观感知、操作确认，还要求逻辑上的严格证明，所以教师应当提供多样的变式练习，让学生体验综合的证明过程，掌握立体几何的学习方法，体会数学的严密性．【学情分析】在学习本节课之前，学生已学习了“空间中点、线、面的关系，平行关系的判定和性质，垂直关系的判定”，具备了对空间几何图形的想象能力和一定的逻辑推理能力．立体几何意在培养学生的抽象思维，而学生正处于形象思维到抽象思维的转化阶段，仍然需要从具体实际的材料来抽象出几何关系．所以本课需要借助生活中的实例，特别是长方体模型来猜想归纳、论证垂直关系的性质，我们要强调过程，不仅仅告诉学生是什么？还要告诉学生为什么是这样？防止按照套路照搬，不能真正培养起学生分析问题的能力．【教学目标】1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理的内容及其证明；（2）能运用性质定理证明一些简单命题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．2．过程与方法让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．3．情感与态度通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力．【重点难点】本节课的重点是对直线垂直于平面和平面垂直于平面性质的理解以及三种数学语言的转换．本节课的难点是用综合法对几何命题的证明．【教学过程】一、回顾复习教师：前两节课我们学习了垂直关系的判定，其中有直线和平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．回顾一下两者的定义和定理．学生：（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（2）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面相互垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．教师：在平面内，如果两条直线同垂直于另外一条直线，那么这两条直线平行．那么，在空间中有相同或相似的结论吗？看下图两正方体，我们知道：直线a 和直线b 都垂直于平面α，这时，a ∥b ．那么一般地在空间中，也都有这样的性质吗？设计意图：回顾直线和平面及平面与平面垂直的定义和判定，利用平面中类似的定理进行迁移，探究新的性质定理，培养学生的迁移和探究的能力．二、直线垂直于平面的性质探究如图，若直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ?教师：若从正面去证明a ∥b ，则较困难．而利用反证法来完成此题，相对较为容易．那么如果从反面去证，需要做什么假设？图一图二学生：假设b 不平行于a教师：设o a b =⋂,过o 点做a 的平行线b '，因为a α⊥，所以也有b α⊥，这样过点o 有两条直线和平面垂直，矛盾．因此, a ∥b ．定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（直线和平面垂直的性质定理）例3.如下图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，⊥PA 平面ABC ，A 在PC PB ，上的射影分别为E 和F ，求证：PB ⊥平面A FE ．图三提示：若直线l 垂直于平面α，则l 垂直于α上的任意直线．总结判定两直线平行的结论：（1）若a ∥b ，b ∥c ，就有a ∥c ．（2）若β∥γ，α∩β=a ，α∩γ=b ，则a ∥b ．设计意图：本性质的探究从定理的迁移猜想开始，利用长方体模型进行验证，再对其进行逻辑证明，证明用到了反证法，教师须注重培养学生反向思维论证的能力．三、平面垂直于平面的性质探究教师：在我们判定平面与平面垂直时知道“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．”即由线面垂直可以得到面面垂直．下面我们看一下由面面垂直可否得到线面垂直．也就是看“当平面βα⊥时，是否对于任意α⊂a ，都有β⊥a ”．学生：不一定，比如长方体中，βα⊥，但α的对角线显然不垂直于β．教师：那α上满足什么条件的直线才垂直于β呢？请大家观察下图：图四可以看到βα⊥，α内的直线a 垂直于α和β的交线b ,这时β⊥a ．定理6.4 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．证明：如右图，在平面β内，过D 作AB DE ⊥，因为 AB CD ⊥，CD ⊂α，所以， CDE ∠是α-AB -β的平面角，又 α⊥β，所以CDE ∠ =90°．即，DE CD ⊥．又，AB β，DE β，图五故， CD ⊥β．此命题就是面面垂直的性质定理．设计意图：由面面垂直的判定定理知可从线面垂直到面面垂直，现逆向分析，通过观察长方体推测面面垂直的性质，建立知识之间的连接，有利于知识体系化．此外，面面垂直的性质定理为判定和作出线面垂直提供依据．四、操作练习例4 如右图，长方体D C B A AB CD ''''-中，MN 在平面C B B C ''内，B C MN ⊥，判断MN 和AB 的关系，并说明理由．提示：利用平面垂直于平面的性质定理．1. 证明：垂直于同一平面的两平面是平行的．2. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直．图六3．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，求证：l ⊥γ．（如果两相交面同时垂直于底面．则交线也垂直于该面．）证明：过l 上任一点P 作直线l '，使l '⊥γ，由P ∈α，α⊥γ知l '⊂α同理可证l '⊂β．因此，l '＝α∩β＝l ，l ⊥γ．（此题证明，采取的是同一法，作出直线l '，使之符合条件，使l 与l '重合．）设计意图: 教师提供相应的练习题以实现知识的迁移和论证思维的发展．l l '图七五、课堂小结知识内容：线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理．请指出下列转化的依据：线线垂直线面垂直面面垂直六、作业布置P 40第2题，B组第2题．【专家点评】本节课对直线垂直于平面和平面垂直于平面的性质定理不仅要求直观感知、操作确认，还要求逻辑上的严格证明，所以整节课以问题为驱动，以多样化的教学活动为中介，让学生在直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算、变式练习的过程中来体验综合的证明过程，掌握立体几何的学习方法，体会数学的严密性。

《空间中的垂直关系》课件

《空间中的垂直关系》PPT课件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设计等领域中起着重要作用，能够优化空间布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,

空间中的垂直关系

空间中的垂直关系一、知识梳理1、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。

判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。

（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。

（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。

判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。

（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊥=⊂⊥，则a β⊥。

性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。

2、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。

3、线线垂直的常用证明方法（1）利用平面几何的知识，如相似、全等、勾股定理的逆定理；（2）三垂线定理：已知AO α⊂，PA α⊥，a α⊂，若AO a ⊥，则PO a ⊥；逆定理：已知AO α⊂，PA α⊥，a α⊂，若PO a ⊥，则AO a ⊥。

（3）线面垂直定义。

二、立体几何计算和证明题的思想方法：（1）口诀：由结论想判定，由条件想性质。

解释：当结论中有线面（或面面）平行（或垂直）的关系时，要考虑这种关系的判定定理是什么；而当条件中有这样的关系时，则考虑性质定理是什么。

然后结合判定定理和性质定理，考虑必要的话应该添加什么样的辅助线或者辅助面。

（2）判定定理中的转化思想：面面关系⇔线面关系⇔线线关系。

三、经典例题例1 已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）。

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，下列命题中是真命题的是（） A ．若α∥β，, l n αβ⊂⊂，则l ∥nB ．若α⊥β，l α⊂，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β例3 在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧棱都与底面垂直，122CD DD AD AB ===， AD CD ⊥。

空间几何中的垂直关系

空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。

本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。

一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。

垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。

2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。

这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。

3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。

这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。

4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。

二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。

例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。

2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。

通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。

3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。

它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。

4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。

例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。

三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。

空间几何垂直的判定定理公式

空间几何垂直的判定定理公式在我们学习数学的漫漫征途中，空间几何垂直这一板块就像是一座神秘的城堡，而垂直的判定定理公式则是打开城堡大门的神奇钥匙。

咱们先来说说线面垂直的判定定理。

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。

这就好比在操场上，有一根旗杆直直地立在地面上。

假设地面是一个平面，而在地面上有两条相交的跑道线，这根旗杆和这两条跑道线都相互垂直，那这旗杆肯定就和整个地面垂直啦！再看看面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

这就好像是两块相邻的木板，一块木板垂直地靠在另一块木板上，那这两块木板所在的平面自然就是垂直的关系。

还记得我之前教过的一个学生小明，他一开始对这些判定定理那叫一个头疼，总是搞混。

有一次做作业，碰到一个证明线面垂直的题目，他想都不想就乱写一通，结果当然是错得一塌糊涂。

我就问他：“小明啊，你想想那个操场上的旗杆，是不是得和两条相交的跑道线都垂直才能立稳呀？”小明眨眨眼，好像突然开窍了。

从那以后，他每次遇到这类问题，都会在脑海里想象那个画面，做题的准确率也越来越高。

其实啊，这些判定定理并不是什么高深莫测的东西。

咱们只要多联系实际，多做几道题，就能把它们掌握得牢牢的。

比如说，家里的墙角，是不是就是三条线两两垂直，从而形成了三个相互垂直的面？还有，建筑工地上的塔吊，那长长的吊臂和塔身是不是也存在着垂直的关系？在解决空间几何垂直问题的时候，咱们要善于从生活中寻找例子，把抽象的定理具体化。

这样一来，不仅能让我们更好地理解和记忆这些定理，还能提高我们解决问题的能力。

对于线线垂直的判定，也有一些小窍门。

如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。

这就好比你手里拿着一根垂直于桌面的铅笔，那这根铅笔是不是和桌面上的所有直线都垂直呀？还有一种情况，如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第六节空间图形的垂直关系理

第六节空间图形的垂直关系知识梳理一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直．二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为90°，则称两直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直．三、直线与平面垂直1．定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面．1．定义：从一条直线AB出发的两个半平面(α和β)所组成的图形叫做二面角．记作二面角αABβ，AB叫做二面角的棱，两个半平面(α和β)叫做二面角的面．2．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把∠MON叫做二面角αABβ的平面角，用它来度量二面角的大小．平面角是直角的二面角叫做直二面角．五、两个平面垂直的判定和性质.1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．两个平面垂直的判定和性质基础自测1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )A. m∥nB. n⊥mC. n∥αD. n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，根据面面垂直的性质定理，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.答案：B2．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项A；两个平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平行，可能异面，排除选项B；根据面面垂直的判定定理知，选项C错误，选项D正确．故选D.答案：D3．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：∵底面四边相等，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，从而有平面PCD⊥平面MBD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l∥n，故当l⊥α时，一定有n⊥α，命题③正确；m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，即l∥n，命题④正确．答案：①③④1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：显然α与β相交，不然由α∥β⇒m ∥n ，与m ，n 为异面矛盾，排除选项A ；当α与β相交时，设交线为l ′，由m ⊥平面α，n ⊥平面β知，l ′⊥m ，l ′⊥n ，而l ⊥m ，l ⊥m ，于是易知l ′∥l .故选D.答案：D2．(2012·江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明：(1) ∵ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD .又AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2) ∵A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， ∴A 1F ⊥B 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥A 1F .又CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， ∴A 1F ∥平面ADE .1．(2013·惠州一模)已知集合A 、B 、C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B.若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥b c ∥b⇒a ∥c ，②⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bc ⊥b⇒a ∥c ，③⎩⎪⎨⎪⎧a ∥bc ⊥b⇒a ⊥c ，④⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bc ∥b ⇒a ⊥c .其中所有正确命题的序号是________．解析：对于①，当c 表示平面时，根据a ∥b 且c ∥b ，不一定有a ∥c 成立，可能a ⊂c ，故①不正确；对于②，c如果是平面，a可以在平面c内，所以②不正确；对于③，当c表示平面时，由a∥b且c⊥b不能推出a⊥c成立，故③不正确；对于④，用与③相同的方法，可证出a⊥c成立，故④正确．综上，正确命题的序号为④.答案：④2．(2013·珠海一模)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE；(3)求二面角APDC的平面角的正弦值．(1)证明：PA⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，因为AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)证明：PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以PA＝AC，因为E是PC的中点，所以AE⊥PC，由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，所以AE⊥PD.易知BA⊥PD，所以PD⊥平面ABE.(3)解析：过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF.由(2)知，AE⊥平面PCD，故∠AFE是二面角APDC的一个平面角．设AC ＝a ，则AE ＝22a ，AD ＝23a ，PD ＝73a ，从而AF ＝PA ·AD PD ＝27a ，故sin∠AFE ＝AE AF ＝144.。

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