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福建省泉州市高三下学期高中毕业班3月质量检测文科数学试卷 Word版含答案 1

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福建省泉州市高三下学期质量检查(3月)数学(文)Word版含答案

福建省泉州市高三下学期质量检查(3月)数学(文)Word版含答案

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.）A3.）A4.乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）A5.） A6.）A7.）A8.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积为（）A9.已知图象：）A．①②③④ B．①②④③ C.②①④③ D．②①③④10.如图，）A11.）A12.的取值范围是（）A(02)e -，D (04+，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.b=14.15.的取值范围是 ．16.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（1（218..（1（2.19..某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：（1（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：根据以往的销售方案，.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：./根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.20.（1（2）.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程中，）.（1的交点的极坐标；（2）两点，互为相反数，的值.23.选修4-5：不等式选讲（1时，的解集；（2的取值范围.泉州市2018届普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题1-5:BACCA 6-10:CBDDD 11、12：BB二、填空题三、解答题17.解法一：（1）根据正弦定理，（2因为1sin 2ACD S AC AD =⋅⋅△解法二：（1）同解法一．（2DM=，又在直角三角形CMD中，318.解法一：（1理由如下解法二：（219.解法一：（1．（2由直方图可知，综合指标值的平均数故满足认购条件①．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，二、11分有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．解法二：（1）同解法一．（2）①同解法一．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，二、综上所述，该新型窑炉达到认购条件．20.解法一：（1（2解法二：（1（2设解法三：（1）同解法一或解法二；（221.解：（1.（2，22.【试题简析】解法一：\（2中解法二：（1（223.【试题简析】解：（1（2。

福建省泉州市2022-2023学年高三毕业班质量监测(三)数学试卷 带答案

福建省泉州市2022-2023学年高三毕业班质量监测(三)数学试卷 带答案

泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）高三数学本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|-5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则AUB＝A.（-，2）B.（-00，3）C.（-3，2）D.（-5，3）2.已知复数z满足（1-i）z＝4i，则z·̅＝A.-8B.0C.8D.8i3.已知√α＝0,则cos2α＝B.0 √4.某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为，则射击一次，击中目标的概率为5.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点A在C上，点B在l上.若|⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|⃗⃗⃗⃗⃗ |＝4，⃗⃗⃗⃗⃗ ·（⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝0，则F到l的距离等于A.1B.2C.3D.46.定义在R上的偶函数f（x）满足f（2-x）+f（x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝√，则曲线y＝f（x）在点（，f（）)处的切线方程为A.4x-4y+11＝0B.4x+4y+11＝0C.4x-4y+7＝0D.4x+4y+7＝07.图1中，正方体ABCD-EFGH的每条棱与正八面体MPORSN（八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分.将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间.若AB＝1，则点M到直线RG的距离等于√√√√8.已知平面向量a，b，c满足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝-1，则b+c|的最小值为A.1 √ C.2 D.4二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知AB为圆C:x2+y2＝4的直径，直线l:y＝k+1与y轴交于点M，则A.l与C恒有公共点B.△ABM是钝角三角形C.△ABM的面积的最大值为1D.l被C截得的弦的长度的最小值为√10.已知函数f（x）＝sin x cos x，g（x）＝sin x+cos x，则A.f（x）与g（x）均在（0，）单调递增B.f（x）的图象可由g（x）的图象平移得到C.f（x）图象的对称轴均为g（x）图象的对称轴D.函数y＝f（x）+g（x）的最大值为√11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P，Q在底面A1B1C1D1内，直线AP与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且AP⊥CQ，则＝√B.点Q的轨迹长度为√C.三棱锥D-A1QB的体积为定值D.AP与该长方体的每个面所成的角都相等12.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品;则这次抽中的概率为.记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为P n，则A.P2＝B.数列{P n}为等比数列C.PD.当n≥2时，n越大，P n越小三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届福建省泉州市高三下学期质量监测三数学试题及答案

2024届福建省泉州市高三下学期质量监测三数学试题及答案

泉州市2024届高中毕业班质量监测（三）2024.03高三数学本试卷共19题，满分150分，共8页。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足1i i z -=，则||z =A ．1BC ．2D2．设集合{}||1A x x =<，{e }x B y y ==，则A B =A ．∅B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,1)-3．已知圆锥SO 的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A 作平面α，若α截圆锥SO 得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为AB ．1CD ．24．若(0)2απ∈，，3sin2cos 2sin cos 20αααα+=，则tan α=A ．4B ．2C ．12D ．145．已知平行四边形ABCD 中，2π243AB BC B ===，，，若以C 为圆心的圆与对角线BD 相切，P 是圆C 上的一点，则()BD CP CB ⋅- 的最小值是A．8-B．4+C．12-D．6+保密★使用前6．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量(,)B n p ξ ，则当5np >且(1)5n p ->时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为附：若2(,)N ημσ ，则()0.6827P μσημσ-<<+≈，(22)0.9545P μσημσ-<<+≈，(33)0.9973P μσημσ-<<+≈．A ．0.0027B ．0.5C ．0.8414D ．0.97737．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为-的直线与椭圆交于A ，B 两点（A 在B 左侧），若1122()0F A F F AF +⋅= ，则C 的离心率为A ．25B ．35C ．27D ．378．已知函数()22(1)e 1x f x x =-+，()g x 满足(13)(33)0g x g x ++-=，()(2)()G x f x g x =--，若()G x 恰有21n +(N*)n ∈个零点，则这21n +个零点之和为A ．2nB ．21n +C ．4nD ．42n +二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)

泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）A （3）C （4）C（5）A（6）C （7）B（8）D（9）D（10）D （11）B（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．（13）6; （14）2; （15）[0,1]; （16）5150. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．……………………2分又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．……………4分故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+， 从而sin 2sin cos A A C -=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-， ……………5分 因为()0,πC ∈，所以2π3C =． …………………6分 （Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==， …………………7分因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD = ………………8分根据余弦定理，得22π424cos76CD =+-=，即CD =10分 在ACD △中，根据正弦定理有41sin 2ADC =∠，得sin 7ADC ∠==．………11分 因为πBDC ADC ∠+∠=，故sin BDC ∠=12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………6分（Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==，……………………7分 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得c = ……………………8分 取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==， ……………………9分由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得AD DM ==．……………………10分 又在直角三角形CMD中，DM =2CM =，得CD =11分所以sin BDC ∠=12分 （18）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，∴所以1AA CF ⊥． …………1分 ∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，11∴CF AB ⊥， …………2分 又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA= 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ， …………3分 又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥． ……………………4分 正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， ……………………5分 又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ， ∴AD ⊥平面1ACF ， 又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1AC AD ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．………8分 理由如下:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………10分 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．……………12分 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，………1分正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．………………3分11A11正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，……………………4分 又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ，所以AD ⊥平面1ACF ， 又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1AC AD ⊥．…………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下．……………8分 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =．……………10分 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………12分 评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，辅助线F A CF 1,有作图没说明，或者有说明没作图的，同样给分； （2）第（Ⅱ）问中，直接作出轨迹，或者直接说明轨迹，但没有说明理由的，给2分． （19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=，故事件A 的概率估计值为0.54．……………………4分 （Ⅱ）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>， 故满足认购条件①．……………………6分11②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件．一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元；三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． ……………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．……………………4分 （Ⅱ）①同解法一．……………………6分②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．……………………11分综上所述，该新型窑炉达到认购条件．……………………12分评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，没有体现频率估计概率的，扣1分；（2）第（Ⅱ）问中，三种等次的概率估计值的2个分点为一等品与三等品的分点，二等品的分点在第（Ⅰ）问中，不再重复给分；（3）第（Ⅱ）问解法二中，821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中每个式子各1分（20）（本题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为12EF =，所以212b a =． ……………2分 又因为2a b =，所以1,2==b a ． ……………3分故椭圆C 的方程……………4分 （Ⅱ）设直线BM 的方程为(2)y k x =-， ……………5分代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=……………6分设2111(,)(4)M x y x ≠，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k-=+，12414ky k -=+， 所以222824,1414k kM k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. …………………8分 用1k -替换k ，可得222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………9分 解得直线AM 的斜率为2224114824214kk k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+①…………………………10分 直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-②……………………………11分 由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法二：（Ⅰ）依题意，)21,(±c E ，代入椭圆方程，得141222=+ba c因为222b ac -=，代入整理得212b a =．……………2分又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 4分 （Ⅱ）证明：(2,0)A -，(2,0)B设2000(,)(4)M x y x ≠，因为点M 在椭圆C 5分设 (,)P t m ，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++．………7分 又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．……………8分所以()()00002,2,202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭，即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+……………9分整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=-……………11分 因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二；…………………4分（Ⅱ）设2111(,)(4)M x y x ≠，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--，…………………5分 又221114x y =-，所以1214k k =-．…………………7分又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =．…………………9分 设直线MA 的方程为(2)y k x =+①……………10分 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②……………11分 则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上．……………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由(2)3f =，可得1a =， ……………1分故()(2)1x f x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点. ……………………2分理由如下：'()(1)1x f x x =-+e ． ……………………4分 记()(1)1x g x x =-+e ，则'()x g x x =⋅e .由'()0e x g x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e x g x x =⋅≥，解得0x ≥，所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，…………………………5分故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增，……………6分 故0=x 不是)(x f 的极值点． （Ⅱ）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ． 则'()()(1)x g x a x =+-e ． ……………………7分 ① 0a ≥时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………8分 ②a =-e 时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………9分 ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =，故1()=(1)12g x g a =--+e 极大值， 记1()12h a a =--+e ， 因为1()12h a a =--+e 在(,)a ∈-∞-e 上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．……………………10分④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，………11分 设(0,)t a =-∈e ， 记21()2ln 2ln 12k t t t t t =--+， 则1'()ln (1ln )k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-． ……………………12分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程同理科。

泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)

泉州市3月质检(文科数学)参考答案与评分细则(简案终稿)

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）A （3）C （4）C（5）A（6）C （7）B（8）D（9）D（10）D （11）B（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．（13）6; （14）2; （15）[0,1]; （16）5150. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．……………………2分又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．……………4分故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+， 从而sin 2sin cos A A C -=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-， ……………5分 因为()0,πC ∈，所以2π3C =． …………………6分 （Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==， …………………7分因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD = ………………8分根据余弦定理，得222π34234cos76CD =+-⨯⨯=，即7CD =．…10分 在ACD △中，根据正弦定理有741sin 2ADC =∠，得27sin 77ADC ∠==．………11分 因为πBDC ADC ∠+∠=， 故27sin BDC ∠=．……………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………6分（Ⅱ）由4a b ==，可得π6A B ==，……………………7分 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 可得43c =． ……………………8分 取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==， ……………………9分由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得3AD DM ==．……………………10分 又在直角三角形CMD 中，3DM =，2CM =，得7CD =．………11分所以27sin BDC ∠=．………12分 （18）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，∴所以1AA CF ⊥． …………1分 ∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，FDC 11BB 1AC∴CF AB ⊥， …………2分 又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1，∴CF ⊥平面11AA B B ， …………3分 又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥． ……………………4分 正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， ……………………5分 又∵1CFA F F =，1,CF A F ⊂平面1A CF ，∴AD ⊥平面1A CF ，又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1A C AD ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．………8分理由如下:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………10分 所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．……………12分 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，………1分正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ， 因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．………………3分11A11正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，……………………4分 又因为1CFA F F =，1,CF A F ⊂平面1A CF ，所以AD ⊥平面1A CF ，又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1A C AD ⊥．…………6分（Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下．……………8分 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =．……………10分 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ．……………12分 评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，辅助线F A CF 1,有作图没说明，或者有说明没作图的，同样给分； （2）第（Ⅱ）问中，直接作出轨迹，或者直接说明轨迹，但没有说明理由的，给2分． （19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=，故事件A 的概率估计值为0.54．……………………4分 （Ⅱ）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>，11故满足认购条件①．……………………6分 ②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件．一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元；三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元， 有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件． ……………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．……………………4分 （Ⅱ）①同解法一．……………………6分②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．……………………8分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．……………………11分综上所述，该新型窑炉达到认购条件．……………………12分评分说明：（1）第（Ⅰ）问中，没有体现频率估计概率的，扣1分；（2）第（Ⅱ）问中，三种等次的概率估计值的2个分点为一等品与三等品的分点，二等品的分点在第（Ⅰ）问中，不再重复给分；（3）第（Ⅱ）问解法二中，821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦中每个式子各1分（20）（本题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为12EF =，所以212b a =． ……………2分 又因为2a b =，所以1,2==b a ． ……………3分故椭圆C 的方程……………4分 （Ⅱ）设直线BM 的方程为(2)y k x =-， ……………5分代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=……………6分设2111(,)(4)M x y x ≠，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k -=+，12414ky k-=+， 所以222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. …………………8分 用1k -替换k ，可得222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………9分 解得直线AM 的斜率为2224114824214k k k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+①…………………………10分直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-②……………………………11分由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法二：（Ⅰ）依题意，)21,(±c E ，代入椭圆方程，得141222=+b ac 因为222b ac -=，代入整理得212b a =．……………2分又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 4分 （Ⅱ）证明：(2,0)A -，(2,0)B设2000(,)(4)M x y x ≠，因为点M 在椭圆C 5分设 (,)P t m ，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++．………7分 又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．……………8分 所以()()00002,2,202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭， 即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+……………9分整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=-……………11分 因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．……………12分解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二；…………………4分（Ⅱ）设2111(,)(4)M x y x ≠，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--，…………………5分 又221114x y =-，所以1214k k =-．…………………7分又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =．…………………9分 设直线MA 的方程为(2)y k x =+①……………10分 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②……………11分 则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上．……………12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由(2)3f =，可得1a =， ……………1分故()(2)1xf x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点. ……………………2分理由如下：'()(1)1xf x x =-+e ． ……………………4分 记()(1)1xg x x =-+e ，则'()xg x x =⋅e .由'()0e xg x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e xg x x =⋅≥，解得0x ≥，所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，…………………………5分 故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增，……………6分 故0=x 不是)(x f 的极值点． （Ⅱ）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ． 则'()()(1)x g x a x =+-e ． ……………………7分 ① 0a ≥时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………8分 ②a =-e 时，'()0g x ≤在(,1]x ∈-∞恒成立，'()0g x ≥在[1,)x ∈+∞恒成立， 所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ……………………9分 ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =，为ln()1a ->，故有下因列对应关系表：故1()=(1)12g x g a =--+e 极大值， 记1()12h a a =--+e ， 因为1()12h a a =--+e 在(,)a ∈-∞-e 上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．……………………10分④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，………11分 设(0,)t a =-∈e ， 记21()2ln 2ln 12kt t t t t =--+， 则1'()ln (1ln )k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-． ……………………12分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程同理科。

福建省泉州市高三数学3月质量检查试题 文

福建省泉州市高三数学3月质量检查试题 文

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3．函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是A ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． ()2,1C ． ()3,2D ． ()4,35．下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是A ． 21x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．xy 2= 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入的x 值为2，那么输出的结果是A ．lg 2B ．1C ．3D ．57．条件:P “1x <”，条件:q “()()210x x +-<”，则P 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．右图所示的是函数()φ+=wx A y sin 图象的一部分，则其函数解析式是A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C ．⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 9．甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清.若从{0,1,2,...,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为A ．101 B ．91 C ．51 D ．54甲乙9 8 8 33 72 1 0 9 ● 9FC B AED 10．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则()AB CB BA ⋅+的值为A ．23B ．23-C ．23 D ．23-11．如图，边长为a 的正方形组成的网格中，设椭圆1C 、2C 、3C 的离心率分别为1e 、2e 、3e ，则A ．123e e e =<B ．231e e e =<C ．123e e e =>D ．231e e e =>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卡的相应位置.数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则()N t 的所有可能值为__________________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把解答过程填写在答题卡的相应位置. 17．(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且2412,2a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)如图1，在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上的一点，对角线AC 分别交DE 、DF 于M 、N 两点．将,DAE DCF ∆∆折起，使A C 、重合于'A 点，构成如图2所示的几何体． （Ⅰ）求证：A D '⊥面A EF '；（Ⅱ）试探究：在图1中，F 在什么位置时，能使折起后的几何体中EF ／／平面AMN ，并给出证明.19．(本小题满分12分)设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知A A cos 6sin =⎪⎭⎫⎝⎛-π． （Ⅰ）求角Ａ的大小；（Ⅱ）若2=a ，求c b +的最大值. 20．(本小题满分12分)某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170 ~175cm 的男生人数有16人．图（1） 图（2）（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?≥170cm <170cm总计 男生身高 女生身高 总计（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm 之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．参考公式：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++参考数据：21．(本小题满分12分)（Ⅰ）当1-=a时，求函数()xfy=的图象在点()()1,1f处的切线方程；（Ⅱ）已知0<a，若函数()xfy=的图象总在直线21-=y的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）记()f x'为函数()xf的导函数．若1=a，试问：在区间[]10,1上是否存在k （k100<）个正数321,,xxx…kx，使得()()()()1232012kf x f x f x f x''''++++≥成立？请证明你的结论.参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分2()P K k≥0.025 0.010 0.005 0.001k 5.024 6.635 7.87910.828细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．5 ； 14．4 5； 15．1； 16．9、10、12.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设数列na的公比为q，则213412,1,2a a qa a q==⎧⎪⎨==⎪⎩………………………………2分解得11,42q a==（负值舍去）. ………………………………4分所以113114()22n n nna a q---+==⋅=．………………………………6分所以2(23)522n n n n nT +--+==．………………………………12分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.满分12分.19．本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由已知有A A A cos 6sincos 6cossin =⋅-⋅ππ，………………………………2分故A A cos 3sin =，3tan =A .………………………………4分 又π<<A 0，所以3π=A .………………………………5分 （Ⅱ）由正弦定理得3sin6Bπ⎛⎫=+⎪⎝⎭．………………………………10分所以)6sin(4π+=+Bcb.所以24()3b c bc=+-，即22()3()42b cb c++-≤，………………………………10分2()16b c+≤，故4b c+≤.所以，当且仅当cb=，即ABC∆为正三角形时，cb+取得最大值４. (12)分20．本小题主要考查频率分布直方图、22⨯列联表和概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm的男生的频率为0.0850.4⨯=，设男生数为1n，则1160.4n=，得140n=.………………………………………4分由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.（Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=⨯⨯+++=，女生身高cm 170≥的人数440502.0=⨯⨯，所以可得到下列列联表：≥170cm <170cm 总计 男生身高 30 10 40 女生身高 4 36 40 总计344680…………………………………………6分2280(3036104)34.5810.82840403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， (7)分有:123(,,),A A A 124(,,),A A A 12(,,),A A B 134(,,),A A A 13(,,),A A B 14(,,),A A B234(,,),A A A 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,)A AB ,共10种可21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点(1,0)F ，………………………………………1分（Ⅱ）直线AB 与抛物线相切，证明如下：…………7分（法一）：设00(,)A x y ，则2004y x =.…………8分因为0||||1,BF AF x ==+所以0(,0)B x -.…………9分所以直线AB 的方程为：000()2y y x x x =+，整理得:0002x yx x y =- (1)设圆的方程为：2220(1)(1)x y x -+=+，…………9分当0y =时，得01(1)x x =±+，因为点B 在x 轴负半轴，所以0(,0)B x -.…………9分所以直线AB 的方程为000()2y y x x x =+，整理得:0002x yx x y =-(1)把方程（1）代入24y x =得：20000840y y x y x y -+=，…………10分222200000641664640x x y x x ∆=-=-=，故所求的切线方程为：()11--=+x y 即0=+y x .…………………………………………4分 （Ⅱ）()221212122a x ax a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==，0>x ，0a <.………………………6分由题意有2121ln 2121-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a ，解得21-<a . 所以a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,.…………………………………………10分 （Ⅲ）当1=a 时，()12f x x x'=+. 记()()x f x g /=，其中[]10,1∈x . ∵当[]10,1∈x 时，()2120g x x'=->，∴()x g y =在[]10,1上为增函数，。

福建省2020届高三下学期质量检查测试(3月) 数学(文) Word版含答案

福建省2020届高三下学期质量检查测试(3月) 数学(文) Word版含答案

2020年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学本试卷共5页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x<8}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝A.{－1}B.{－1，2}C.{2，3}D.{－1，2，3}2.复数z的共轭复数z满足z(1＋i)＝2i，则|z|＝A.2 2 C.22D.123.若sin(π－α)＝35，则cos2α＝A.2425- B.725- C.725D.24254.设x，y满足约束条件2010x yx yy-≥-≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z＝2x＋y的最大值是A.0B.3C.4D.55.已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6.首项为2，公比为3的等比数列{a n}的前n项和为S n，则A.3a n＝2S n＋2B.a n＝2S n＋2C.a n＝2S n－2D.a n＝3S n－47.函数f(x)＝13x3＋x2＋ax的大致图象不可能是8.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情。

面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中。

为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课。

2017届福建省泉州市高三3月质量检测文数试卷(带解析)

2017届福建省泉州市高三3月质量检测文数试卷(带解析)

绝密★启用前2017届福建省泉州市高三3月质量检测文数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．设集合={0,1,2},={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32．已知z=a i(a∈R),(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=（）A. 3B. 5C. 3D. 53．某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x（吨）与生产能耗y（吨）的下列对应数据：根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程y=b x+1.5.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（）A. 4.625吨B. 4.9375吨C. 5吨D. 5.25吨4．已知直线a,b，平面α,β,a⊂α,b⊂α，则a//β,b//β是α//β的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知实数x,y满足{x≥0x−2y≥0y≥x−1，则z=a x+y(a>0)的最小值为（）A. 0B. aC. 2a+1D. -16．双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率等于（）A. 2 B. 3 C. 2 D. 37．函数f(x)=ln(x+1)+ln(x−1)+cos x的图象大致是（）A. B.C. D.8．如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）A. 8πB. 18πC. 24πD. 8 6π9．执行如图所示程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有（ ）A. 6种B. 7种C. 8种D. 9种10．已知函数f (x )={x 2+x ,x ≥0−3x ,x <0，若a [f (a )−f (−a )]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)11．已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<1,|φ|<π).若对任意x ∈R ,f (1)≤f (x )≤f (6)，则（ ）A. f (2014)−f (2017)<0B. f (2014)−f (2017)=0C. f (2014)+f (2017)<0D. f (2014)+f (2017)=012．函数f (x )=ax 3+(a −1)x 2−x +2(0≤x ≤1)在x =1处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤0B. 0≤a ≤35 C. a ≤35 D. a ≤1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设向量a =(1,3),b =(2,x +2)，且a //b ，则x =__________． 14．已知a ∈(0,π2),sin 2α=12则sin (α+π4)=__________．15．过点P (−3,1),Q (a ,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切，则a 的值为__________． 16．ΔA B C 中，D 是B C 上的点，D A =D B =2,D C =1，则A B ·A C 的最大值是__________．三、解答题17．等差数列{n a 2=2，数列{b n }中，b n =2a n b 4=4b 2． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若a 2b 1−a 1b 1+a 3b 2−a 2b 2+⋯+a n +1b n −a n b n ≤2017，求n 的最大值． 18．在如图所示的多面体中，D E ⊥平面A B C D ,A F //D E ,A D //B C ,A B =C D ,∠A B C =600，B C =2A D =4D E =4．（1）在A C 上求作点P ，使P E //平面A B F ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A −C D E 的高．19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求a ,b ,c 的值；（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；20．在平面直角坐标系x O y中，抛物线C:x2=2p y(p>0)的焦点为F，点A在C上．若|A O|=|A F|=32．（1）求C的方程；（2）设直线l与C交于P,Q，若线段P Q的中点的纵坐标为1，求ΔO P Q的面积的最大值．21．函数f(x)=[x2−(n+1)x+1]e x−1,g(x)=f(x)x2+1,n∈R．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)在R上单调递增时，证明：对任意x1,x2∈R且x1≠x2,g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为{x=3+t cosφy=1+t sinφ（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）当φ∈(0,π)时，l与C相交于P,Q两点，求|P Q|的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|2x−4|．（1）解关于x的不等式f(x)<9；（2）若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．参考答案1．C【解析】因为B=(−1,2) ,所以A∩B={0,1} ,即A∩B的元素个数为2,选C.2．B【解析】因为(1+z)(1+i)=(1+a i)(1+i)=(1−a)+(1+a)i为实数,所以1+a=0,a=−1,因此|z+2|=|−i+2|=1+5=5,选B.3．C【解析】因为回归直线方程y=b x+1.5过定点(x,y)=(5,5),所以当产量为5吨时生产能耗为5吨 ,选C.4．B【解析】因为直线a,b不一定相交,所以a//β,b//β时α,β不一定平行,而α//β时平面α内任意直线都平行平面β,即a//β,b//β,因此a//β,b//β是α//β的必要但不充分条件,选B.5．D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(0,0),B(0,−1),C(2,1) ,所以直线z=a x+y(a>0)过点B时取最小值−1.选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=a,e=2.选A.7．A【解析】因为x>1,所以去掉C,D;当x≥e+1时，f(x)≥ln(e+2)+1−1>0，所以选A.8．C【解析】多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为2R，底面为边长)2=33⇒R2=6⇒S=4πR2=24π.选C.为2R的正方形,所以R2+(2R2点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,P B,P C两两互相垂直，且P A=a,P B=b,P C=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．9．B【解析】第一次循环，S=1,n=2；第二次循环，S=1+3,n=3；第三次循环，S=1+3+5,n=4；第四次循环，S=1+3+5+7,n=5；结束循环，输出n=5，因此1+3+5≤p,1+3+5+7>p，即9≤p<16，输入的整数p的可能性有16−9=7，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．D【解析】当a>0时，a2+a−[−3(−a)]>0⇒a2−2a>0⇒a>2(∵a>0)；当a>0时，−3a−[(−a)2+(−a)]<0⇒a2+2a>0⇒a<−2(∵a<0)；综上实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞) 11．A【解析】由题意得f(x)min=f(1),f(x)max=f(6),因为0<ω<1，所以T=2πω>2π⇒T2>π因此T2=6−1⇒T=10 , 且x=6为一条对称轴，f(x)在[1,6]上单调递增，f(3.5)=0，所以f(2014)−f(2017)=f(4)−f(7)=f(4)−f(5)<0，f(2014)+f(2017)=f(4)+ f(7)=f(4)+f(5)>0，选A.点睛：已知函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ，(4) 利用“五点法”中相对应的点研究对称性、单调性.12．C【解析】由题意得不等式f(x)≥f(1)对x∈[0,1]恒成立，化简得a(1−x)(x2+2x+2)≤(1−x)(x+2)对x∈[0,1]恒成立，当x=1时，a∈R；当0≤x<1时，a≤(x+2x+2x+2)min；令t=x+2，则t∈[2,3),x+2x+2x+2=tt−2t+2=1t+2−2>13+23−2=35，所以a≤35，综上实数a的取值范围是a≤35，选C.点睛：本题实质是研究不等式恒成立时的参数范围问题，一般方法为把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 13．4【解析】由题意得3×2=1×(x+2),x=414．32【解析】∵(sinα+cosα)2=1+sin2α=32,α∈(0,π2)∴sinα+cosα=62因此sin(α+π4)=22(sinα+cosα)=32.15．−53【解析】点P(−3,1)关于x轴对称点为P′(−3,−1)，由题意得直线P′Q与圆x2+y2=1相切，因为P′Q:x−(a+3)y−a=0，所以由a =1得a=−53.16．922【解析】因为cos∠A D B+cos∠A D C=0，所以由余弦定理得4+4−AB22×2×2+4+1−AC22×2×1=0⇒AB2+2AC2=18因此AB2+2AC2=18≥2AB⋅2AC=22A B⋅A C，即A B⋅A C≤922，当且仅当A B=2A C时取等号，从而A B·A C的最大值是922.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．（1）a n=n.b n=2n.（2）9.【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式关键求公差,由b4=4b2得2a4−a2=4,即22d=4，解得d=1，最后根据等差数列广义通项公式得a n=a2+(n−2)d,即a n=n.再由b n=2a n得b n=2n.（2）先求和a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n,方法可利用分组求和法将数列求和转化为等比数列求和,再利用数列单调性解不等式2n+1≤2019，得n的最大值为9.试题分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d.由题意，可得b4=2a4,b2=2a2,2a4=4·2a2，整理，得2a4−a2=4，即22d=4，解得d=1，又a2=a1+d，故a1=a2−d=1，所以a n=a1+(n−1)d=n.b n=2n.（2）a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n=(a2−a1)b1+(a3−a2)b2+⋯+ (a n+1−a n)b n=b1+b2+⋯+b n=2−2n·21−2=2n+1−2故a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n≤2017，可化为2n+1−2≤2017，即2n+1≤2019，即2n≤20192，因为f(x)=2x在R上为增函数，且f(9)=512<20192,f(10)=20482>20192，所以n的最大值为9.18．（1）详见解析（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意A F//D E,因此只需D P//A B,就可推出P E//平面A B F，而D P延长线与B C交点恰为B C的中点.因此作法为先取B C的中点G，再连结D G，交A C于P.证法为先由线线平行证得线面平行，再由线面平行证得面面平行，最后由面面平行证得线面平行.（2）求三棱锥的高，可由等体积法求得：因为V A−C D E=V E−A C D，而D E⊥平面A B C D，所以13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，这样只需求出两个三角形面积，代入化简即得三棱锥的高.试题分析：解：（1）取B C的中点G，连结D G，交A C于P，连结P E.此时P为所求作的点.下面给出证明：∵B C=2A D，∴B G=A D，又B C//A D，∴四边形B G D A是平行四边形，故D G//A B即D P//A B.又A B⊂平面A B F,D P⊄平面A B F，∴D P//平面A B F；∵A F//D E,A F⊂平面A B F，D E⊄平面A B F，∴D E//平面A B F.又∵D P⊂平面P D E,D E⊂平面P D E,P D∩D E=D，∴平面A B F//平面PD E，又∵P E⊂平面P D E，∴P E//平面A B F.（2）在等腰梯形A B C D中，∵∠A B G=600,B C=2A D=4，∴可求得梯形的高为3，从而ΔA C D的面积为12×2×3=3.∵D E⊥平面A B C D，∴D E是三棱锥E−A C D的高.设三棱锥A−C D E的高为 .由V A−C D E=V E−A C D，可得13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，即12×2×1× =3，解得 =3，故三棱锥A−C D E的高为3.19．（1）b=12,a=18,c=0.015.（2）600. （3）815.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知小长方形面积等于对应区间的概率（频率），所以可得得分在[70,90)的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得6+a+24+b=60，另根据对应比例关系有60.005=ac=b0.01，解方程组可得a,b,c的值；（2）由频率分布直方图可知小长方形面积等于“优秀”区间的概率（频率），所以可得“优秀”的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得“优秀”的人数；（3）根据分成抽样可得故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，再根据枚举法确定从这6人中任选2人的基本事件总数以及选取的2人中有1人为“优秀”的所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率求法求概率.试题分析：解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[70,90)的频率为0.005×20=0.1，再由[70,90)内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人，则6+a+24+b=60，得a+b=30；又由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，即b60=0.2，解得b=12,a=18.进而求得c=1860×20=0.015.（2）由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n，则n3000=0.2，解得n=600，所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.（3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为a,b,c,d，“优秀”抽取2 人，记为A,B，则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：A B,A a,A b,A c,A d,B a,B b,B c,B d,a b,a c,a d,b c,b d,cd共15个，事件A:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件，所以所求概率P(A)=815.20．（1）x 2=4y （2）2.【解析】试题分析：（1）先设点A (x ,y )坐标，再根据条件列方程组：x 2=2p y ,y +p2=32,x 2+y 2=94 ，代入得2p (32−p2)+(32−p2)2=94，解得p =2，即得抛物线方程；（2）利用斜截式设直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理得两根之间关系，结合弦长公式可得底边P Q 长（用斜率与截距表示），再根据点到直线距离公式求出三角形的高（用斜率与截距表示），根据P Q 的中点的纵坐标为1得出斜率与截距之间关系，将三角形面积关系化为一元（斜率）函数，最后结合判别式确定自变量（斜率）取值范围，利用导数求最值. 试题分析：（1）抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,p2). 因为|A O |=|A F |=32，所以可求得A 点坐标为(±1436−p 2,p 4).将A 点坐标代入x 2=2p y 得116(36−p 2)=2p ×p4，解得p =2，故抛物线方程为x 2=4y .（2）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y =k x +b ， 并设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,1),P Q 的中点M (x 0,1). 联立方程组{y =k x +bx 2=4y，消去y ，得x 2−4k x −4b =0， 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4b . 因为线段P Q 的中点的纵坐标为1，所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b =2，即b =1−2k 2. 因为直线l 与C 交于P ,Q ，所以Δ=16k 2+16b >0，得k 2+b >0， 故k 2+b =k 2+(1−2k 2)>0, k 2∈[0,1). 由y =k x +b ，令x =0得y =b =1−2k 2，故S ΔO P Q =12|b ||x 1−x 2|=12|1−2k 2|× (x 1+x 2)2−4x 1x 2=2 (1−2k 2)2(1−k 2)， 设t =1−2k 2，则t ∈(−1,1]，设y =(1−2k 2)2(1−k 2)=t 2·t +12=12(t 3+t 2)， 令y ′=12(3t 2+2t )=32t (t +23)=0得t =0或t =−23， 由y ′>0得t ∈(−1,−23)∪(0,1)，由y ′<0得t ∈(−23,0)，所以y =12(t 3+t 2)的单调增区间为(−1,−23),(0,1)，单调减区间为(−23,0)， 当t =−23时，y =227；当t =1时，y =1>227，故y max =1， 所以S ΔO P Q 的最大值是2.注：面积也可通过求弦长|P Q|和点O到直线P Q的距离建立，可参照上述类似给分.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21．（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得n=−1，第二步，同除以e x1−1，将二元问题转化为一元（关于x2−x1），第三步，利用导数研究函数 (x)=(x−2)e x+x+2(x>0)单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关系 (x)> (0)=0，根据等价性得原不等式成立.试题分析：解：（1）f′(x)=[2x−(n+1)]e x−1+[x2−(n+1)x+1]e x−1，=[x2+(1−n)x−n]e x−1=(x+1)(x−n)e x−1，令f′(x)=0得x1=−1,x2=n.当x1=x2，即n=−1时，f′(x)=(x+1)2e x−1≥0，故f(x)在R上单调递增，当x1>x2，即n<−1时，令f′(x)<0，得n<x<−1，所以f(x)在(n,−1)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增.当x1<x2，即n>−1时，令f′(x)<0，得−1<x<n，所以f(x)在(−1,n)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,1),(n,+∞)上单调递增.综上可知，当n<−1时，f(x)在(n,−1)上单调递减，在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增，当n=−1时，f(x)在R上单调递增，当n>−1时，f(x)在(−1,n)上单调递减，在(−∞,−1),(n,+∞)上单调递增.（2）由（1）知，当f(x)在R上单调递增时，n=−1，故g(x)=f(x)x+1=e x−1.不妨设x2>x1，则要证g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1，只需证[g(x2)+g(x1)](x2−x1)>2(g(x2)−g(x1))，即证(e x2−1+e x1−1)(x2−x1)>2(e x2−1−e x1−1)，只需证(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)，令t=x2−x1，则t>0，不等式(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)可化为(e t+1)t>2(e t−1).下面证明：对任意t>0,(e t+1)t>2(e t−1)，令 (x)=(e x+1)x−2(e x−1)(x≥0)，即 (x)=(x−2)e x+x+2(x≥0)，则 ′(x)=(x−1)e x+1，令φ(x)= ′(x)=(x−1)e x+1(x≥0)，则φ′(x)=xe x≥0，所以φ(x)在[0,+∞)上单调递增，又φ(0)=0，所以当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0即 ′(x)≥0，故 (x)在[0,+∞)上单调递增,又 (0)=0，所以当t>0时， (t)> (0)=0，故对任意t>0，(e t+1)t>2(e t−1)，所以对任意x1,x2∈R且x1≠x2，g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 (x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．（1）l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4；（2）2 2.【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C （2，0），半径为2，直线过点A （3，1），CA ⊥PQ 时，可求|PQ|的最小值．试题解析：（1）由直线l 的参数方程{x =3+t c o sφy =1+t s i n φ（t 为参数）， 消去参数t 得，(x −3)sin φ−(y −1)cos φ=0，即直线l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，由圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ，得ρ2−4ρcos θ=0 (∗)，将{x =ρco sθx 2+y 2=ρ2代入(*)得， x 2+y 2−4x =0， 即C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4.（2）将直线l 的参数方程代入(x −2)2+y 2=4得，t 2+2(cos φ+sin φ)t −2=0，Δ=4(cos φ+sin φ)2+8>0，设P ,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=−2(cos φ+sin φ),t 1t 2=−2，所以|P Q |=|t 1−t 2|= (t 1+t 2)2−4t 1·t 2=2 3+2sin φcos φ=2 3+sin 2φ，因为φ∈(0,π),2φ∈(0,2π)，所以当φ=3π4,sin 2φ=−1时，|P Q |取得最小值2 2.【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点M (3,1)，当直线l ⊥C M 时，线段P Q 长度最小.此时|C M |2=(3−2)2+1=2，|P Q |=2 r 2C M 2=2 4−2=2 2，所以|P Q |的最小值为2 2.解法三：（1）同解法一（2）圆心(2,0)到直线(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0的距离，d =|cos φ−sin φ|= 2|sin (φ−π4)|，又因为φ∈(0,π)，所以当φ=34π时，d 取得最大值 2. 又|P Q |=2 r 2−d 2=2 4−d 2，所以当φ=34π时，|P Q |取得最小值2 2.23．（1）(−2,4)；（2）m 的范围是(3,6]，S max =6.【解析】试题分析：（1）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x 的不等式f (x )<9;（2）作出函数的图象，结合图象求解．试题解析：（1）f(x)=|x+1|+|2x−4|={−3x+3,x≤−1−x+5,−1<x<23x−3,x≥2.①当x≤−1时，由不等式−3x+3<9，解得x>−2.此时原不等式的解集是：{x|−2<x≤−1.②当−1<x<2时，由不等式−x+5<9，解得x>−4.此时原不等式的解集是：{x|−1<x<2}.③当x≥2时，由不等式3x−3<9，解得x<4，此时原不等式的解集是：{x|2≤x<4}.综上可得原不等式的解集为(−2,4).（2）由（1）可得，函数f(x)的图像是如下图所示的折线图.因为f(−1)=6,f(x)min=f(2)=3，故当3<m≤6时，直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，即m的范围是(3,6].【注：范围正确，不倒扣】且当m=6时，S max=12(3+1)(6−3)=6.。

福建省泉州市高中毕业班质量检查数学文科试卷.3

福建省泉州市高中毕业班质量检查数学文科试卷.3

泉州市高中毕业班质量检查数学（文史类）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页 本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据22212121,,:[()()()],n n x x x s x x x x x x n---=-+-++-…的标准差… 其中x -为样本平均数；柱体体积公式：V sh =,其中s 为低面面积，h 为高; 锥体体积公式：1,3V sh s h =其中为低面面积，为高; 球的表面积公式：24S R π=,其中R 为球的半径；球的体积公式：343V R π=，其中R 为球的半径。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一个项是符合题目要求的，把正确的代号填在答题卡指定的位置上。

1．复数(1)z i i =+等于A ．1+iB ．1-iC ．-1+iD ．-1-i2．设集合{|10},{|20},A x x B x x =+>=-<则图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x >-B ．{|2}x x <C ．{|21}x x x ><-或 C ．{|12}x x -<<3．函数2()log 21f x x x =+-的零点必落在区间A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．(1,2)4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A ．2()f x x = B ．1()f x x=C ．()xf x e = D ．()sin f x x =5．拉练行中，某人从甲地到乙地共走了500m ，途中涉水横穿 过一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，若物品遗落在河里找不到，否则可以找到，已知找到该物品的概率为45，则河宽为 A ．40m B ．50mC ．80mD ．100m6．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的 离心率为 A ．53 B ．213 C ．54D ．727．已知αβ、是不同平面，直线,a a b β⊂⊂直线，命题:p a b 与没有公共点； 明题://q a β，则p q 是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数2sin(),26y x x ππωϕ=+=的最小正周是直线是该函数图象的一条对称轴，则函数的解析式可以是 A ．2sin(4)6y x π=+ B ．2sin(4)6y x π=- C ．2sin(2)6y x π=+D ．2sin(2)6y x π=- 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9355,Sa S =则的值是A ．-1B ．12C ．1D ．210．下列四个函数中，图象为如图所示的只可能是 A ．21y x nx =+ B ．21y x nx =- C ．21y x nx =-+D ．21y x nx =--11．下面给出三个类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①",,0,"a b R a b a b ∈-==若则类比推出",,a b C ∈若0";a b a b -==，则 ②",,,,,,"a b c d R a bi c di a c b d ∈+=+==若复数则类比推出",,,a b c d Q ∈若22,,";a b c d a c b d +=+==则③",,0,"a b R a b a b ∈->>若则类比推出",,0,";a b C a b a b ∈->>若则 其中类比结论正确的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．如图，在公路MN 的两侧有四个村镇：1111A B C D 、、、，它们通过小路和公路相连，各路口分别是A B C D 、、、，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配于管（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在A ．A 旁B ．D 旁C ．(BC B C 含、）段公路旁的任一处D ．(AB 含A 、B ）段公路旁旁的任一处第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。

2023届泉州市第三次市质检数学答案解析

2023届泉州市第三次市质检数学答案解析

泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）2023.03高三数学选择题参考解答一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|52}A x x =-<<，{|||3}B x x =<，则A B =A ．(,2)-∞B ．(,3)-∞C ．(3,2)-D ．(5,3)-【命题意图】本小题考查集合的运算，不等式等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等素养的关注．【试题解析】由已知，得{|||3}{|33}B x x x x =<=-<<，则(5,3)A B =- ．故选D ．2．已知复数z 满足(1i)4i z -=，则z z ⋅=A ．8-B ．0C ．8D ．8i【命题意图】本小题主要考查复数的运算及其复数的模等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：因为(1i)4i z -=，所以(1i)(1i)4i(1i)z -+=+，即244i z =-+，所以22i z =-+，所以(22i)(22i)8z z ⋅=-+--=．故选C ．解法二：由(1i)4i z -=，可得|1i||||4i|z -=，故|z ，2||8z z z ⋅==．故选C ．3．已知sin 0αα=，则cos2α=A ．13-B ．0C ．13D【命题意图】本小题主要考查同角三角函数关系，二倍角等基础知识；考查运算求解等能力；保密★使用前考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由sin 0αα=，可知tan α=，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3ααααααααα--=-===-++．故选A ．4．某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为6364，则射击一次，击中目标的概率为A ．78B ．34C ．14D ．18【命题意图】本小题考查事件的概率，相互独立事件等基础知识；考查抽象概括，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学抽象，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为p ，则该运动员三次射击均不击中目标的概率30(1)P p =-，则三次射击中，至少有一次击中的概率306311(1)64P P p =-=--=，计算可得34p =，故选B ．5．已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，点B 在l 上．若||||4AF BF == ，()0AF BF BA ⋅+= ，则F 到l 的距离等于A ．1B ．2C ．3D ．4【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义，向量的基本运算及其几何意义等基础知识；考查推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】取AF 的中点M ，连结BM ．过F 作FE l ⊥于点E ，则2BF BA BM += ，又因为()0AF BF BA ⋅+= ，所以AF BM ⊥，所以||||BA BF =．依题意||||AF BF =，所以ABF △为等边三角形．由抛物线的定义，得AB l ⊥，所以AB EF ∥．所以60EFB ABF ∠=∠=︒，所以1||||22EF BF ==．即F 到l 的距离为2．故选B ．6．定义在R 上的偶函数()f x满足(2)()0f x f x -+=，且当[0,1)x ∈时，()1f x =-，则曲线()y f x =在点99(,())44f --处的切线方程为A ．44110x y -+=B ．44110x y ++=C ．4470x y -+=D ．4470x y ++=【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质与导数的几何意义等基础知识；考查运算求解，推理论证能力等；考查数形结合思想，化归与转化思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由(2)()0f x f x -+=，得()f x 的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为偶函数，故其图象关于y 轴对称，则(2)()()f x f x f x -=-=--，可得(4)()f x f x +=，故()f x 的周期为4．则9711((()4442f f f -==-=，又由图象对称性，可得971(((1444f f f '''-===，故曲线()y f x =在99(,())44f --处的切线方程为1924y x -=+，化简得44110x y -+=．故选A ．7．图1中，正方体ABCD EFGH -的每条棱与正八面体MPQRSN （八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若1AB =，则点M 到直线RG 的距离等于图1图2A ．B CD ．2【命题意图】本小题主要考查基本立体图形，空间中点、线、面的位置关系与度量关系等基础知识；考查空间想象，抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，应用性，导向对直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：如解析图1，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，又MR CD ⊥，CD GH ∥，所以MR GH ⊥，RN GH T = ，所以MR ⊥平面RGNH ，所以MR RG ⊥．由已知四边形MKTR 是矩形，所以MR KT ==，所以M 到直线RG ．故选A ．解析图1解法二：如解析图2，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ,,,RG MT MG ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，四边形MKTR 是矩形，所以MR KT ==；在RTG △Rt 中，2122RT TG ==，所以32RG =；由已知，显然GH ⊥平面PMRN ，所以GT MT ⊥，则在MTG △Rt 中，10122MT TG ==，所以112MG =；则222RG MR MG +=，所以MR RG ⊥．所以M 到直线RG ．故选A ．解析图2解法三：如解析图3，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，所以MN PR ⊥；同理：四边形PQRS 是正方形，QS PR ⊥；四边形MQNS 是正方形，QS MN ⊥；以正八面体中心O 为坐标原点，,,OQ OR OM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．(0,0,1)M ，(0,1,0)R ，111(,,222G -，(0,1,1)MR =- ，111(,,222RG =-- ，则0MR RG ⋅= ，则M 到直线RG 的距离为MR ，MR =．故选A ．解析图38．已知平面向量,,a b c 满足||1=a ，0⋅=b c ，1⋅=a b ，1⋅=-a c ，则+b c 的最小值为A ．1BC ．2D ．4【命题意图】本小题主要考查向量的模、数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性与创新性；导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：设OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD OA =- ．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，0⋅=b c ，所以由向量数量积的几何意义，可得AB OA ⊥，DC DO ⊥，OB OC ⊥，如图．因为OB OC CB +=-=-= b c b c ，CB 为夹在两平行直线AB 与CD 间的线段长，所以当BC AB ⊥时，CB 取到最小值2．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法二：在直角坐标系xOy 中，设(1,0)=a ，11(,)x y =b ，22(,)x y =c ．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，0⋅=b c ，所以11x =，21x =-，12120x x y y +=，即121y y =．所以()()2222121212122222x x y y y y y y +=+++=+++= b c ，当且仅当121y y ==或121y y ==-时，等号成立．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法三：设a 与b 的夹角为(0)2ααπ<<，a 与c 的夹角为()2ββπ<<π．因为0⋅=b c ，10⋅=-<a c ，所以2βαπ-=．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，1=a ，所以cos 1α=b ，cos 1β=-c ，所以222211cos cos αβ+=+=+b c b c 222211122cos sin sin cos sin cos αααααα=+==+ ，当且仅当4απ=时，等号成立．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法四：由于0⋅=b c ，可得22+=+=-b c b c b c由1⋅=a b ，1⋅=-a c ，可得(2||cos ,⋅-==-⨯<->a b c)b c a b c当且仅当,0<->=a b c ，且要满足条件0⋅=b c 时等号成立故选C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届泉州市第三次市质检答案解析

2023届泉州市第三次市质检答案解析

泉州市2023届高中毕业班质量监测（三）2023.03高三数学选择题参考解答一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|52}A x x =-<<，{|||3}B x x =<，则A B =A ．(,2)-∞B ．(,3)-∞C ．(3,2)-D ．(5,3)-【命题意图】本小题考查集合的运算，不等式等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等素养的关注．【试题解析】由已知，得{|||3}{|33}B x x x x =<=-<<，则(5,3)A B =- ．故选D ．2．已知复数z 满足(1i)4i z -=，则z z ⋅=A ．8-B ．0C ．8D ．8i【命题意图】本小题主要考查复数的运算及其复数的模等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：因为(1i)4i z -=，所以(1i)(1i)4i(1i)z -+=+，即244i z =-+，所以22i z =-+，所以(22i)(22i)8z z ⋅=-+--=．故选C ．解法二：由(1i)4i z -=，可得|1i||||4i|z -=，故|z ，2||8z z z ⋅==．故选C ．3．已知sin 0αα=，则cos2α=A ．13-B ．0C ．13D【命题意图】本小题主要考查同角三角函数关系，二倍角等基础知识；考查运算求解等能力；保密★使用前考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由sin 0αα=，可知tan α=，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3ααααααααα--=-===-++．故选A ．4．某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为6364，则射击一次，击中目标的概率为A ．78B ．34C ．14D ．18【命题意图】本小题考查事件的概率，相互独立事件等基础知识；考查抽象概括，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学抽象，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为p ，则该运动员三次射击均不击中目标的概率30(1)P p =-，则三次射击中，至少有一次击中的概率306311(1)64P P p =-=--=，计算可得34p =，故选B ．5．已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，点B 在l 上．若||||4AF BF == ，()0AF BF BA ⋅+= ，则F 到l 的距离等于A ．1B ．2C ．3D ．4【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义，向量的基本运算及其几何意义等基础知识；考查推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】取AF 的中点M ，连结BM ．过F 作FE l ⊥于点E ，则2BF BA BM += ，又因为()0AF BF BA ⋅+= ，所以AF BM ⊥，所以||||BA BF =．依题意||||AF BF =，所以ABF △为等边三角形．由抛物线的定义，得AB l ⊥，所以AB EF ∥．所以60EFB ABF ∠=∠=︒，所以1||||22EF BF ==．即F 到l 的距离为2．故选B ．6．定义在R 上的偶函数()f x满足(2)()0f x f x -+=，且当[0,1)x ∈时，()1f x =-，则曲线()y f x =在点99(,())44f --处的切线方程为A ．44110x y -+=B ．44110x y ++=C ．4470x y -+=D ．4470x y ++=【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质与导数的几何意义等基础知识；考查运算求解，推理论证能力等；考查数形结合思想，化归与转化思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】由(2)()0f x f x -+=，得()f x 的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为偶函数，故其图象关于y 轴对称，则(2)()()f x f x f x -=-=--，可得(4)()f x f x +=，故()f x 的周期为4．则9711((()4442f f f -==-=，又由图象对称性，可得971(((1444f f f '''-===，故曲线()y f x =在99(,())44f --处的切线方程为1924y x -=+，化简得44110x y -+=．故选A ．7．图1中，正方体ABCD EFGH -的每条棱与正八面体MPQRSN （八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若1AB =，则点M 到直线RG 的距离等于图1图2A ．B CD ．2【命题意图】本小题主要考查基本立体图形，空间中点、线、面的位置关系与度量关系等基础知识；考查空间想象，抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，应用性，导向对直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：如解析图1，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，又MR CD ⊥，CD GH ∥，所以MR GH ⊥，RN GH T = ，所以MR ⊥平面RGNH ，所以MR RG ⊥．由已知四边形MKTR 是矩形，所以MR KT ==，所以M 到直线RG ．故选A ．解析图1解法二：如解析图2，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ,,,RG MT MG ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，四边形MKTR 是矩形，所以MR KT ==；在RTG △Rt 中，2122RT TG ==，所以32RG =；由已知，显然GH ⊥平面PMRN ，所以GT MT ⊥，则在MTG △Rt 中，10122MT TG ==，所以112MG =；则222RG MR MG +=，所以MR RG ⊥．所以M 到直线RG ．故选A ．解析图2解法三：如解析图3，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，所以MN PR ⊥；同理：四边形PQRS 是正方形，QS PR ⊥；四边形MQNS 是正方形，QS MN ⊥；以正八面体中心O 为坐标原点，,,OQ OR OM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．(0,0,1)M ，(0,1,0)R ，111(,,222G -，(0,1,1)MR =- ，111(,,222RG =-- ，则0MR RG ⋅= ，则M 到直线RG 的距离为MR ，MR =．故选A ．解析图38．已知平面向量,,a b c 满足||1=a ，0⋅=b c ，1⋅=a b ，1⋅=-a c ，则+b c 的最小值为A ．1BC ．2D ．4【命题意图】本小题主要考查向量的模、数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性与创新性；导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：设OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD OA =- ．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，0⋅=b c ，所以由向量数量积的几何意义，可得AB OA ⊥，DC DO ⊥，OB OC ⊥，如图．因为OB OC CB +=-=-= b c b c ，CB 为夹在两平行直线AB 与CD 间的线段长，所以当BC AB ⊥时，CB 取到最小值2．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法二：在直角坐标系xOy 中，设(1,0)=a ，11(,)x y =b ，22(,)x y =c ．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，0⋅=b c ，所以11x =，21x =-，12120x x y y +=，即121y y =．所以()()2222121212122222x x y y y y y y +=+++=+++= b c ，当且仅当121y y ==或121y y ==-时，等号成立．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法三：设a 与b 的夹角为(0)2ααπ<<，a 与c 的夹角为()2ββπ<<π．因为0⋅=b c ，10⋅=-<a c ，所以2βαπ-=．因为1⋅=a b ，1⋅=-a c ，1=a ，所以cos 1α=b ，cos 1β=-c ，所以222211cos cos αβ+=+=+b c b c 222211122cos sin sin cos sin cos αααααα=+==+ ，当且仅当4απ=时，等号成立．故+b c 的最小值为2．故选C ．解法四：由于0⋅=b c ，可得22+=+=-b c b c b c由1⋅=a b ，1⋅=-a c ，可得(2||cos ,⋅-==-⨯<->a b c)b c a b c当且仅当,0<->=a b c ，且要满足条件0⋅=b c 时等号成立故选C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(文科 数学解答题)2019年泉州市 普通 高中毕业班质量检查(3月)试题及答案解析

(文科 数学解答题)2019年泉州市 普通 高中毕业班质量检查(3月)试题及答案解析

保密★启用前泉州市2019届普通高中毕业班第一次质量检查文 科 数 学2019.2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知5b =，()()sin 2sin a b A b A C +=+.（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）点D 在边AB 上，2AD BD =，CD =AB .【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等解三角形的基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．【试题简析】解法一：（1）ABC △中，()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=， ··········································· 1分由正弦定理sin sin a bA B=，················································································ 4分 得：()22a a b b +=，整理得：()()20a b a b +-=， ··········································································· 5分 因为20a b +>，所以a b =，所以ABC △为等腰三角形. ··············································································· 6分（2）设BD x =，则2AD x =，由余弦定理，得：2cosCDA ∠=2cos CDB ∠=， ······································ 9分因为πCDA CDB ∠=-∠22= ···························· 10分解得：2x =，所以6AB =. ·············································································· 12分解法二：（1）ABC △中，()()sin 2sin 2sin a b A b A C b B +=+=， ··········································· 1分由正弦定理，得：2(sin sin )sin 2sin A B A B +=， ··············································· 4分 化简得：()(sin 2sin )sin sin 0A B A B +-=， 又因为(),0,πA B ∈，所以sin 2sin 0A B +>，所以sin sin A B =， ·························································································· 5分 所以A B =，或πA B +=（舍去），所以ABC △为等腰三角形. ················································································ 6分 （2）取AB 中点E ，连接CE ，由（1）得，ABC △为等腰三角形，所以CE AB ⊥， ·········· 8分设BD x =， 则2=AD x ，32BE x =，12DE x =， ································································· 9分 由勾股定理得: 2213172522x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ························································ 11分解得：2x =，所以6AB =. ·············································································· 12分解法三：（1）同解法一；（2）因为2AD BD =，所以1233CD CA CB =+， ························································· 7分 所以222144999CD CA CA CB CB =++，所以254455cos 2517999BCA +⨯⨯⋅∠+⨯=， 8分 所以7cos 25BCA ∠=， ····················································································· 9分 由余弦定理，得：2725252553625AB =+-⨯⨯⨯=， ·········································· 11分所以6AB =. ·································································································· 12分解法四：（1）同解法一；（2）作//DF AC 交BC 于F ，2AD BD =，则1533DF AC ==，21033==CF AB ， ······························································ 7分由余弦定理，得：222cos 2CD CF DF DCF CD CF +-∠=⋅， ············································· 9分所以100251799cos 10853DCF +-∠==. ························································· 10分由余弦定理，得：2251725485BD =+-⨯=，·································· 11分 所以2BD =，所以6AB =. ·············································································· 12分18．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2==PD PA ，PB PC ==（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若点E 为线段PA 的中点，求E 到平面PBC 的距离.CA【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，体积的求解，点到面的距离等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注．【试题简析】解法一：（1）正方形ABCD 边长为2，所以AB AD ⊥，2AB =， ··········································· 1分因为PA =，PB =222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，··················· 2分,PA AD ⊂平面PAD ，PAAD A =， ···························································· 3分 所以AB ⊥平面PAD ， ·················································································· 4分 因为AB ⊂平面ABCD ， ················································································ 5分 所以平面PAD ⊥平面ABCD . ········································································· 6分（2）取AD 中点F ，连接PF ，CF ，因为2==PD PA ，2AD =，所以PF AD ⊥，1PF =， ································ 7分平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ，（写两个即给分） ·························································································· 8分 所以PF ⊥平面ABCD ， ················································································ 9分 又因为2ABC S ∆=，所以11221333P ABC ABC V S PF -=⋅=⨯⨯=△， ··········· （体积公式）10分 在PBC △中，2BC =，PB PC ==PBC S =△， 记点A 到平面PBC 的距离为d ，2331P ABC PBC V S d -=⋅=△，所以5d =， ··············································································· （计算）11分 又因为点E 为线段PA 的中点，点E 到平面PBC. ···························· 12分CA解法二：（1）取AD 中点F ，连接PF ，CF ，正方形ABCD边长为2，所以1DF =，CF =，又因为 PC =，所以222PF CF PC +=，所以PF CF ⊥， ···························· 1分 又因为2==PD PA ，所以PF AD ⊥， ························································· 2分,CF AD ⊂平面ABCD ，=AD CF F ， ························································ 3分所以PF ⊥平面ABCD ， ················································································ 4分 PF ⊂平面PAD ， ························································································ 5分所以平面PAD ⊥平面ABCD . ········································································· 6分（2）同解法一. 19．（12分）在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与y 轴正、负半轴分别交于点,A B ．椭圆Γ以AB 为短轴，（1）求Γ的方程；（2）过点A 的直线l 分别与圆O ，曲线Γ交于点M ，N （异于点A ）．直线,BM BN 分别与x 轴交于点,C D ．若||||NC ND =，求l 的方程．【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程、直线斜率、直线与圆锥曲线的交点等基础知识；考查运算求解、逻辑推理能力；考查数形结合思想、转化化归思想；导向对数学运算、直观想象、逻辑推理素养的关注．【试题简析】解法一：（1）依题意，椭圆的焦点在x 轴．设Γ的方程为22221x y a b+=． ····································· 1分依题意，2b =，2c a =．············································································· 3分 又222a b c =+， ··························································································· 4分求得216a =，故Γ的方程为221164x y +=． ························································ 5分（2）依题意，(0,2)A ，(0,2)B -，设直线:2l y kx =+（0k ≠）． ······································································ 6分联立:2l y kx =+与22:1164x y Γ+=，得22(14)160k x kx ++=， ···························· 7分 设11(,)N x y ，依题意，121614k x k -=+，2122814k y k -=+． ·········································· 8分依题意，BM AM ⊥，kk k k l AMBM 111-=-=-=， ··········································· 9分 故1:2BM y x k=--，点(2,0)C k -． ····························································· 10分 若||||NC ND =，则NC BN k k =-． ····································································· 11分即222222282821414161621414k k k k k k k k k --+++=---+++（0k ≠），解得k =即存在:2l y =+，使得||||NC ND =． ··················································· 12分 解法二：（1）同解法一；（2）依题意，(0,2)A ，(0,2)B -，设直线:2l y kx =+（0k ≠）． ······························ 6分联立:2l y kx =+与22:1164x y Γ+=，得22(14)160k x kx ++=， ···························· 7分 设11(,)N x y ，依题意，121614k x k -=+，2122814k y k-=+． ·········································· 8分 依题意，BM AM ⊥，kk k k l AMBM 111-=-=-=， ··········································· 9分 故1:2BM y x k=--，点(2,0)C k -． ····························································· 10分 同理可得，1:24BN y x k=--，点(8,0)D k -， 若||||NC ND =，则,C D 中点的横坐标等于点N 的横坐标， 即21628142k k kk ---=+（0k ≠）， ·································································· 11分解得k =即存在:2l y =+，使得||||NC ND =． ··················································· 12分解法三：（1）同解法一；（2）依题意，(0,2)A ，(0,2)B -，设直线:2l y kx =+（0k ≠）． ······························ 6分联立:2l y kx =+与22:1164x y Γ+=，得22(14)160k x kx ++=， ···························· 7分 设11(,)N x y ，依题意，121614k x k -=+，2122814k y k-=+． ·········································· 8分 依题意，BM AM ⊥，kk k k l AMBM 111-=-=-=， ··········································· 9分 故1:2BM y x k=--，点(2,0)C k -． ····························································· 10分 同理可得，1:24BN y x k=--，点(8,0)D k -， 若||||NC ND =，得22=（0k ≠）， ············ 11分解得k =即存在:2l y =+，使得||||NC ND =． ··················································· 12分 20．（12分）鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量x （单位：箱）在[100,200)的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成下表：（1）根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；（2）若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的58，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m 元(25)m ≤≤，销售量可增加1000m 箱，求小张在今年年底收入Y （单位：元）的最大值．【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图，二次函数的最值；考查了学生利用统计知识解决实际问题 的能力；考查学生的阅读理解能力，信息提取能力，抽象概括能力；考查统计思想、数形结合思想，体现基础性与应用性，导向对数据分析素养、直观想象素养的关注．【试题简析】解：（1）由表一数据，补出直方图如下： ·······················（补对一个矩形给1分） 2分0.00.00.00.00.0根据上图，可知，采购数量在168以上的客户数量为： 1801685020(0.0050.020)1720-⨯⨯+⨯=（人） ················ （列式与计算各1分）4分 （或由表一可得：1801685201720-+⨯=（人））． ............................................................ 4分 （2）由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：110101301015051702019057500⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱），（列式与计算各1分）6分 所以小张去年年底总的销售量为57500120008÷=（箱）． ............................................. 7分 （3）若没有在网上出售鱼卷，则今年年底小张的收入为1200020240000⨯=（元）； ....... 8分 若小张在网上出售鱼卷，则今年年底的总销售量为120001000m +（箱），。

2021泉州3月份质检文数(word版)

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泉州市2021届高三3月质量检查（数学文）参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差： 22121()()n s x x x x x x n2=[-+-+⋯+(-)]，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{1,2,3}A =，{0,2}B =，则()U A B 等于A ．{}1,2,3,4B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,32．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是A ．2,220x x x ∃∈++>RB ．2,220x x x ∃∈++≥RC ．2,220x x x ∀∈++>RD ．2,220x x x ∀∈++≤R3．若直线:l 0x y a ++=经过圆:C 22240x y x y +-+=的圆心，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2- D ．24．阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是A ．2 B ．6 C ．24 D ．485．若直线l 与幂函数n y x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为A ．12160x y --=B ．40x y -=C ．12160x y +-=D ．640x y --=6. 函数()sin f x x =的图象向左平移4π个单位后，所得图象的一条对称轴是 A ．4x =-πB ．4x =πC ．2x =πD ．34x =π7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点恰为椭圆2214x y +=的两个顶点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为A ．2213y x -= B ．221412x y -= C ．2213x y -= D ．221124x y -= 8．某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为A ．2042+B ．24C ．2442+D ．289．已知单位向量a 、b ，满足⊥a b ，则函数2()()f x x =+a b （x ∈R ）A . 既是奇函数又是偶函数B . 既不是奇函数也不是偶函数C . 是偶函数D . 是奇函数10．给出以下四个说法：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每间隔20分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ，这样的抽样是分层抽样；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好； ③在回归直线方程122.0ˆ+=x y中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ˆ平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 11．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上均有零点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是A ．2()1()f x x bx b =+-∈RB ．2()2x f x x =-C ．()21f x x =--D ．()sin f x x x =-12.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Γ；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形,绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Γ.根据祖暅原理等知识，通过考察2Γ可以得到1Γ的体积为A ．16πB ．32πC ．64πD ．128π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．13．已知(i)i 12i a +=--（a ∈R ，i 是虚数单位），则a 的值为 ．14．已知y x ,满足约束条件10,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则y x z 2+=的最大值为 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22sin sin 2sin sin A B B C -=⋅，3c b =，则角A 的值为 ．16．利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤：第一步：利用计算机产生两个在01区间内的均匀随机数,a b ；第二步：对随机数,a b 实施变换：1142,4,a ab b =⋅-⎧⎨=⎩得到点A ()11,a b ； 第三步：判断点A ()11,a b 的坐标是否满足211b a <；第四步：累计所产生的点A 的个数m ，及满足211b a <的点A 的个数n ；第五步：判断m 是否小于M （一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法.若设定的100M =，且输出的34n =，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为 （保留小数点后两位数字）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，33a =，145a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18．(本小题满分12分)为了解某社区家庭的月均用水量（单位：吨），现从该社区随机抽查100户，获得每户某年的月均用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）分别求出频率分布表中a b 、的值，并估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率； （Ⅱ）设1A 、2A 、3A 是户月均用水量为[0,2)的居民代表，1B 、2B 是户月均用水量为[2,4]的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会，请列举出所有不同的选法，并求居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率．19．(本小题满分12分)如图，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆221x y +=相切．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若点A B 、在抛物线C 上，且2FB OA =，求点A 的坐标．20．(本小题满分12分)已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数． （Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量OM 的模； （Ⅱ）记(1,3)ON =的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．21．(本小题满分12分) 如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==．（Ⅰ）求证：EA EC ⊥；（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ．①试证：//EF AB ；②若1EF =，求三棱锥E ADF -的体积．22．(本小题满分14分)已知函数()3e xf x a =+（e 2.71828=…是自然对数的底数）的最小值为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）已知b ∈R 且0x <，试解关于x 的不等式 22()3(21)3lnf x ln x b x b -<+--； （Ⅲ）已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3e f x t x +≤，试求m 的最大值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1． D 2．C 3．B 4．B 5． A 6． B7． A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13．1 14．11 15．3π 16．10.56. 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由11123,(3) 5.a d a a d +=⎧⎨++=⎩………………………… 2分解得11,1.a d =⎧⎨=⎩………………………… 4分 所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⋅=． ………………………… 6分（Ⅱ）因为n a n =，所以11n a n +=+，111(1)1n b n n n n ==-++，…………………… 9分 所以1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++．…… 12分 18．本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得0.50.50.25a =⨯=，…………… 2分∴月均用水量为[1.5,2)的频数为25.故2100928b =-=，得4b =. ………………………… 4分由频率分布表可知，户月均用水量不超过3吨的频率为0.92， ……… 5分根据样本估计总体的思想，估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率为0.92． ……… 6分（Ⅱ）由1A 、2A 、3A 、1B 、2B 五代表中任选2人共有如下10种不同选法，分别为：12()A A ，，13()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，23()A A ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，. ………………………… 8分记“1B 、2B 至少有一人被选中”的事件为A ，事件A 包含的基本事件为：11()A B ，，12()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，31()A B ，，32()A B ，，12()B B ，，共包含7个基本事件数. ……………… 10分又基本事件的总数为10，所以7()10P A =. 即居民代表1B 、2B 至少有一人被选中的概率为710. …………………… 12分 19．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，其准线l 的方程为2p y =-. ………………………… 2分 ∵准线l 与圆221x y +=相切，∴所以圆心(0,0)到直线l 的距离0()12p d =--=，解得2p =. ……… 4分 故抛物线C 的方程为:24x y =． ………………………… 5分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112224,4.x y x y ⎧=⎨=⎩…………① …………………… 6分 ∵(0,1)F ，22(,1)FB x y =-，11(,)OA x y =，2FB OA =,∴22(,1)x y -112(,)x y =11(2,2)x y =，即 21212,2 1.x x y y =⎧⎨=+⎩ …………② ………………… 9分②代入①，得211484x y =+，21121x y =+，又2114x y =，所以11421y y =+，解得112y =，1x =即1)2A或1()2． ………………………… 12分20．本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等．解：（Ⅰ）∵()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-2sin cos x x =+， ……………… 2分 ∴(2,1)OM =． ………………………… 4分故22OM =. ……………………… 5分（Ⅱ）由已知可得()sin h x x x =2sin()3x π=+，……………………… 7分 ∵02x π≤≤， ∴336x ππ5π≤+≤，故[]()1,2h x ∈. ……………………… 9分∵当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()h x 单调递增，且()2h x ⎤∈⎦； 当,62x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()h x 单调递减，且[)()1,2h x ∈. ∴使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围为)2t ∈． … 12分 21．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.解：（Ⅰ）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，面ABCD 面ABE AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥面ABE ． ………………………… 2分又∵AE ⊂面ABE ，∴BC AE ⊥． ………………………… 3分∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE BE ⊥，又∵BE BC B =，BC BE ⊂、面BCE ，∴AE ⊥面BCE ．…………… 4分 又∵CE ⊂面BCE ，∴EA EC ⊥． ……………………… 5分（Ⅱ）① ∵//AB CD ，AB ⊄面CED ，CD ⊂面CED ，∴//AB 平面CED ．… 6分又∵AB ⊂面ABE ，平面ABE 平面CED EF =，∴//AB EF . ……………… 8分②取AB 中点O ，EF 的中点'O ，在'RT OO F ∆中，1OF =，1'2O F =，∴'OO = （Ⅰ）已证得BC ⊥面ABE ，又已知//AD BC ，∴AD ⊥平面ABE ．…………… 10分故13E ADF D AEF AEF V V S AD --∆==⋅⋅11'3212EF OO AD =⋅⋅⋅⋅=． … 12分 22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3x f x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ……………… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()3e x f x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x x f x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 6分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <． …………… 8分（Ⅲ）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x t f x t x e ex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-.∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 10分令()1ln (0)h x x x x =+->. ∵011)('≤-=xx h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. …………… 11分 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 12分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 13分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e =-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e=-=⋅<=- 且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 14分。

2022年福建省泉州市高考数学质检试卷(三)(3月份)+答案解析(附后)

2022年福建省泉州市高考数学质检试卷(三)(3月份)+答案解析(附后)

2022年福建省泉州市高考数学质检试卷（三）（3月份）1. 若集合，，则( )A. B. R C. D.2. 已知向量，，且，则的值为( )A. B. C. 1 D. 23. 已知双曲线C：的焦距为，点在C的一条渐近线上，则C的方程为( )A. B. C. D.4. 的展开式中的系数为( )A. 5B. 6C. 7D. 155. 已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面上存在两点A，B，使得，则该圆锥侧面积的最大值为( )A. B. C. D.6. 已知函数在有且仅有一个零点，则的值可以是( )A. 1B. 3C. 5D. 77. 已知函数，若，则( )A. B.C. D.8. 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集．如图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集．若经历n步构造后，不属于剩下的闭区间，则n的最小值是( )A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知点M在直线l：上，点N在圆O：上，则下列说法正确的是( )A. 点N到l的最大距离为8B. 若l被圆O所截得的弦长最大，则C. 若l为圆O的切线，则k的取值范围为D. 若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为310. 设，为复数，则下列命题正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则或11. 某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如图所示，“★”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点．从这次考试的成绩看，下列结论正确的是( )A. 该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好B. 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲12.已知函数的定义域为且满足当时，，为非零常数，则下列说法正确的是( )A. 当时，B. 当时，在单调递增C. 当时，在的值域为D. 当，且时，若将函数与的图象在的m个交点记为…，，则13. 若，则______.14. 写出一个满足为偶函数，且在单调递增的函数______.15. 已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，AF的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点．若，则______.16. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，则球O的表面积的最小值为______.17. 在平面四边形ABCD中，，，，若，求；若，求的面积．18. 体育课程的实施可以有效地促进学生身体的正常发育，提高身体的健康水平．某校对高一年男生进行1000米测试，经对随机抽取的100名学生的成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图：从这100名学生中，任意选取2人，求两人测试成绩都低于60分的概率；从该校所有高一年男生中任意选取3人，记70分以上的人数为，求的分布列和期望；从样本频率分布直方图中发现该校男生的1000米成绩X近似服从，已知样本方差，高一年男生共有1000人，试预估该校高一年男生1000米成绩在分以上的人数．附：若，则，19. 已知数列满足…求的通项公式；在和中插入k个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求的前100项和20. 如图，多面体ABCEF中，，，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形．证明：；若，，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．21. 已知点，，M为圆O：上的动点，延长至N，使得，的垂直平分线与交于点P，记P的轨迹为求的方程；过的直线l与交于A，B两点，纵坐标不为0的点E在直线上，线段OE分别与线段AB，交于C，D两点，且，证明：22. 已知函数，当时，讨论的单调性；若，，求答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，故选：求出集合，由此能求出本题考查集合的运算，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：向量，，且，，，故选：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线C：的焦距为，点在C的一条渐近线上，可得：，并且，解得，所求的双曲线方程为：故选：利用双曲线的焦距以及点在双曲线的渐近线上，列出方程组求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：用中的前2项分别与展开式中的5次项、6次项相乘然后相加得，的展开式中的系数为故选：用中的前2项分别与展开式中的5次项、6次项相乘然后相加可得x的7次项，可得答案．本题考查二项展开式定理应用，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为圆锥的轴截面是等腰三角形，其底面上存在两点A，B，使得，可知母线，所以圆锥的侧面积为：，当且仅当圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，侧面积取得最大值．故选：判断圆锥的母线的范围，即可求解圆锥侧面积的最大值．本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】B【解析】解：，，，函数在有且仅有一个零点，可得，，解可得，故选：利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属中档题．7.【答案】D【解析】解：，，，，且，又二次函数的对称轴为，满足，二次函数在单调递增，，故选：由题意可知，，，且，从而结合二次函数的单调性即可得出正确选项．本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和归纳总结的能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：第一次操作剩下：；第二次操作剩下：；第三次操作剩下：；观察剩余区间的最后一个区间可以写为：，即，要使不属于剩下的闭区间，则只需，解得：，又因为，所以n的最小值是故选：根据题意依次写出，观察剩余区间的最后一个区间可以写成：，所以要使不属于剩下的闭区间，则只需，求解即可得出答案．本题考查了归纳推理，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：直线l：恒过定点，当时，圆心O到直线l的距离最大，最大距离为，故N到直线l的最大距离为，故A正确；l被圆O所截得的弦长最大时，则l过圆O的圆心O，所以，解得，故B正确；若l为圆O的切线，，解得，故C错误；若点M也在圆O上，则圆O与直线l有公共点，当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径3，所以O到l的距离的最大值为3，故D正确．故选：直线l：恒过定点，当时，圆心O到直线l的距离最大，可判断A；l被圆O所截得的弦长最大时，则l过圆O的圆心O，可求k，可判断B；由，可求k判断C；当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径3，可判断本题考查直线与圆的位置关系，以及点到线的距离的最大值，属中档题．10.【答案】AD【解析】解：对于A，设，a，，，c，，，，，，，故A正确；对于B，令，，则，此时，故B错误；对于C，令，，则，此时，故C错误；对于D，设，a，，，c，，则，，，，若，则成立，此时，若，，由，知，由知，，此时，同理可知：当时，，由，得，，此时，综上，若，则或，故D正确．故选：根据向量的模和复数运算法则判断AD；通过反例判断本题考查命题真假的判断，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】BCD【解析】解：A：由图可得，该班六科总成绩排名前的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A 错误；B：由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在250到300名之间，从左图可得其数学成绩排在400名左右，故B正确；C：数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强，因为右图的点的分布较左图更分散，故C正确；D：由左图可得甲的总成绩排在班上第7名，年级名次100多一点，对应到右图可得，其语文成绩排在年级近100名，故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前；由左图可得甲的总成绩排在班上第27名，年级名次接近250名，对应到右图可得，其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故D正确；故选：结合图形可分析出答案．本题考查了根据图形解决实际问题，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：对于A，当时，，则，当时，，，，A错误；对于B，当时，在上的单调性与在的单调性相同，在上单调递增，在上单调递增，B正确；对于C，由得：，依次类推可得：，，⋯…，则；，在和上单调递增，在上单调递减；当时，，，在上的值域为，C正确；对于D，由图象可知：与的图象在有n个交点，且，，且，数列是等差数列，数列是等比数列，错误；故选：对于A，可推导得到，由，可知A错误；对于B，由在上的单调性与在单调性相同，可知B正确；对于C，可推导出，则在和上单调递增，在上单调递减，由此确定，，可知C正确；对于D，根据图象可确定与有n个交点坐标，可求得为等差数列，为等比数列，利用等差和等比数列求和公式可知D错误．本题考查函数中的类周期问题的求解，解题关键是能够根据递推关系式确定函数的变化规律，进而可得函数的图象，结合图象来解决函数的单调性、值域和交点类问题．13.【答案】【解析】解：，即，故答案为：由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，若为偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由在单调递增，可以考查对称轴为，开口向上的二次函数，则满足题意的函数可以为，故答案为：根据题意，分析可得函数的图象关于直线对称，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的对称性和单调性，注意常见二次函数的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为PQ垂直平分AF，，所以在四边形PAQF中，对角线AF与PQ垂直，所以四边形PAQF是菱形，由抛物线的定义可知：，所以，所以为等边三角形，所以，故，所以故答案为：由题意可判断四边形PAQF是菱形，结合抛物线的定义可得出为等边三角形，再利用焦点弦的计算公式，即可得出所求的答案．本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．16.【答案】【解析】解：取BC、AD的中点E和F，连接AE、DE、BF、CF，如图所示：由于，，，所以≌，所以，故EF为AD的垂直平分线，同理，EF为BC的垂直平分线，所以球心O在直线EF上，设其半径为R，所以，故，当且仅当点O为AD的中点时，，此时球O的表面积取得最小值，最小值为故答案为：首先利用三角形的全等，判断以，求出，进一步求出R的最小值，最后求出球的最小表面积．本题考查的知识要点：三角形的全等，三棱锥和外接球的关系，球的表面积公式，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：在中，由余弦定理有，，在中，由正弦定理有，，解得，，或；在中，由余弦定理有，，，在中，由余弦定理有，，，，【解析】在中，由余弦定理可求AC ，在中，由正弦定理有，从而可求，可求；在中，由余弦定理有，可求，在中，由余弦定理有，可求CD ，从而可求的面积．本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角恒等变换，属中档题．18.【答案】解：这100名学生中，成绩低于60的人数为，故两人测试成绩都低于60分的概率为从该校所有高一年男生中任意取1人，其成绩70分以上的概率为，若70分以上的人数为，则，故，，故的分布列为：0 1 2 3 P由频率分布直方图可得，，故，故预估该校高一年男生1000米成绩在分以上的人数为【解析】利用频率分布图可求成绩低于60的人数的频率，从而可得相应的人数．利用二项分布可求的分布列．先根据频率分布直方图求出，再根据题设给出的数据可求一名学生成绩在分以上的概率，从而可求得相应的人数．本题考查了频率分布直方图，古典概型，二项分布的分布列与期望等知识，属于中档题．19.【答案】解：数列满足…，时，…，相除可得：，化为：，时，，解得数列是等差数列，公差为1，首项为在和中插入k个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，，，…，，，其项数为…，解得时，到项的项数为：，其后面还有9项，为13，13，13，13，13，13，13，13，即2，1，3，，，4，3，3，3，5，…，14，13，13，13，13，13，13，13，13，的前100项和………………【解析】由数列满足…，可得时，…，相除可得：化为：，时，，解得利用等差数列的通项公式即可得出由题意可得：其项数为…，解得时，到项的项数为：，其后面还有9项，都为13，进而得出的前100项和本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：四边形ADEF为矩形，，又，D为BC中点，，，平面BCE，，平面BCE，，平面BCE，又平面BCE，，，，BF，平面BEF，平面BEF，又平面BEF，解：，，，由知：平面BCE，当且仅当时取等号，即时，三棱锥的体积最大，又D为BC中点，，则以D为坐标原点，为x，y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，由知：平面BEF，平面BEF的一个法向量为，设平面ABF的法向量，则，令，解得：，，，由图形可知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为【解析】由矩形特征和等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直判定可证得平面BCE，结合和线面垂直性质可得，进而可得平面BEF，由线面垂直性质可证得结论；根据，可知当时，三棱锥的体积最大，则以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果．本题考查了空间中垂直关系的证明以及二面角的求解问题，属于中档题．21.【答案】解：连接MO，，是的垂直平分线，，；，O分别为，中点，，，点轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，，，点轨迹的方程为：；证明：，即，，由题意知：，，，当直线l斜率不存在时，即l：，此时，，此时不成立；当直线l斜率存在时，设l：，，，由得：，中点的横坐标为，设直线OE 的方程为：，由得：，即；由得：，即；由得：，整理可得：，，为线段AB的中点，【解析】由线段垂直平分线和三角形中位线性质可证得，可知P点轨迹为椭圆，由此可得轨迹方程；由已知可知当/斜率不存在时显然不成立；当l斜率存在时，设l方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可得AB中点横坐标；设OE：，与直线l和椭圆方程联立可求得，由此可整理得到，与AB中点横坐标相同，由此可得结论．本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：，若时，则，当时，恒成立，且仅当时等号成立，故此时在为减函数，无增区间；当时，若，则；若，则，，则，故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．当时，若，则，，则，故在上为增函数，在上为减函数．时，，即为，因为任意时，恒成立，故在上恒成立，而，，若，在，因为为不间断函数，所以存在，使得，总有，故在上为减函数，故，，这与题设矛盾；若，在，因为为不间断函数，所以存在，使得，总有，故在上为减函数，故，，这与题设矛盾．故，此时，当时，，当时，，设，则，因为，在上均为增函数，故在上为增函数，而，，故存在使得时，，使得时，，故在为减函数，在上为增函数，故，总有，故当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，综上，【解析】求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性；就、分类讨论后可得，再证明时，不等式是恒成立的．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．。

【答案】泉州市2023届高中毕业班质量检测(三)

【答案】泉州市2023届高中毕业班质量检测(三)

泉州市2023届高中毕业班质量检测（三）参考答案1．【解析】由已知，得{|3}{|33}B x x x x =<=-<<，则(5,3)A B =- ．故选D ．2．【解析】解法一：因为(1i)4i z -=，所以(1i)(1i)4i(1i)z -+=+，即244i z =-+，所以22i z =-+，所以(22i)(22i)8z z ⋅=-+--=．故选C ．解法二：由(1i)4i z -=，可得1i 4i z -⋅=，故z =，28z z z ⋅==．故选C ．3．【解析】由sin 0αα=，可知tan α=，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin cos sin 1tan 3ααααααααα--=-===-++．故选A ． 4．【解析】设该运动员射击一次，击中目标的概率为p ，则该运动员三次射击均不击中目标的概率30(1)P p =-，则三次射击中，至少有一次击中的概率306311(1)64P P p =-=--=，计算可得34p =，故选B ．5．【解析】取AF 的中点M ，连结BM ．过F 作FE l ⊥于点E ，则2BF BA BM +=，又因为()0AF BF BA ⋅+= ，所以AF BM ⊥，所以BA BF =．依题意AF BF =， 所以ABF △为等边三角形．由抛物线的定义，得AB l ⊥， 所以//AB EF ．所以60EFB ABF ∠=∠=︒， 所以122EF BF ==．即F 到l 的距离为2．故选B ． 6．【解析】由(2)()0f x f x -+=，得()f x 的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为偶函数，故其图象关于y 轴对称，则(2)()()f x f x f x -=-=--，可得(4)()f x f x +=，故()f x 的周期为4．则97114442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由图象对称性，可得9711444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =在99,44f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为1924y x -=+，化简得44110x y -+=．故选A ．7．【解析】解法一：如解析图1，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，又MR CD ⊥，//CD GH ，所以MR GH ⊥，RN GH T = ，所以MR ⊥平面RGNH ，所以MR RG ⊥．由已知四边形MKTR 是矩形，所以MR KT ==所以M 到直线RG ．故选A ．解法二：如解析图2，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ，RG ，MT ，MG ． 依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，则MR RN ⊥，四边形MKTR是矩形，所以MR KT ==；在Rt RTG △中，RT =，12TG =，所以RG =；由已知，显然GH ⊥平面PMRN ，所以GT MT ⊥，则在Rt MTG △中，MT =，12TG =，所以MG =；则222RG MR MG +=，所以MR RG ⊥．所以M 到直线RG ．故选A ．解法三：如解析图3，设AB 与MP 交于点K ，RN 与GH 交于点T ，连结KT ．依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN 中，MP PN NR RM ===，由对称性可知MN PR =，所以四边形MPNR 是正方形，所以MN PR ⊥；同理：四边形PQRS 是正方形，QS PR ⊥；四边形MQNS 是正方形，QS MN ⊥， 以正八面体中心O 为坐标原点，OQ ，OR ，OM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．则(0,0,1)M ，(0,1,0)R ，111,,222G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1,1)MR =-，111,,222RG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则0MR RG ⋅= ，则M 到直线RG 的距离为MR，MR =．故选A ．8．【解析】解法一：设a OA = ，b OB = ，c OC = ，OD OA =-． 因为1a b ⋅= ，1a c ⋅=- ，0b c ⋅=，所以由向量数量积的几何意义，可得AB OA ⊥，DC DO ⊥，OB OC ⊥，如图．因为b c b c OB OC CB +=-=-= ，CB为夹在两平行直线AB 与CD 间的线段长，所以当BC AB ⊥时，CB 取到最小值2．故b c +的最小值为2．故选C ．解法二：在直角坐标系xOy 中，设(1,0)a =，11(,)b x y = ，22(,)c x y = ．因为1a b ⋅= ，1a c ⋅=- ，0b c ⋅= ，所以11x =，21x =-，12120x x y y +=，即121y y =．所以2b c +=== ，当且仅当121y y ==或121y y ==-时，等号成立．故b c +的最小值为2．故选C ．解法三：设a 与b 的夹角为02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，a 与c 的夹角为2πββπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．因为0b c ⋅= ，10a c ⋅=-< ，所以2πβα-=．因为1a b ⋅= ，1a c ⋅=- ，1a = ，所以cos 1b α= ，cos 1c β=-，所以22122sin cos sin cos b c αααα+=====+ ≥， 当且仅当4πα=时，等号成立．故b c +的最小值为2．故选C ．解法四：由于0b c ⋅=，可得b c b c +==- ，由1a b ⋅= ，1a c ⋅=- ，可得()2cos ,a b c b c a b c ⋅-==-⨯〈-〉，所以22cos ,b c a b c -=〈-〉≥． 当且仅当,0a b c 〈-〉=，且要满足条件0b c ⋅= 时等号成立，所以2b c b c +=- ≥， 故b c +的最小值为2．故选C ．9．【解析】由题意可得(0,1)M ．对于A 选项，因为(0,1)M 在C 内，所以l 与C 恒有公共点，故A 正确；对于B 选项，因为(0,1)M 在C 内，所以90AMB ∠>︒，故B 正确； 对于C 选项，当CM AB ⊥时，14122ABM S =⨯⨯=△，故C 错误；对于D 选项，因为C 到l 的距离1d CM =≤，所以l 被C 截得的弦长为，当1d =时，等号成立，故D 正确．故选ABD ．10．【解析】1()sin cos sin 22f x x x x ==，()sin cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． 对于A 选项，当4,0x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()f x 与()g x 均在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故A 正确；对于B 选项，()f x 与()g x 的周期及最值均不相同，故()f x 的图象无法由()g x 的图象平移得到，故B 错误；对于C 选项，由2,2x k k ππ=+∈Z ，可得()f x 的对称轴为,24k x k ππ=+∈Z ； 由,42x k k πππ+=+∈Z ，可得()g x 的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ，因而()f x 图象的对称轴不全是()g x 图象的对称轴，故C 错误；对于D 选项，2(sin cos )1()()sin cos sin cos sin cos 2x x y f x g x x x x x x x +-=+=++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则[t ∈，则22111sin cos sin cos (1)1222y x x x x t t t =++=+-=+-，当t =时，max 12y =+故D 正确．故选AD ．11．【解析】如图，将长方体1111ABCD A B C D - 补成正方体2222ABCD A B C D -， 连结22B D ，2B C ，2CD ，2AC ，2B C 交11B C 于点M ，2CD 交11C D 于点N ，因为直线2AC 与正方体2222ABCD A B C D -的每一条棱所成的角都相等，所以2AC 与底面1111A B C D 的交点即为点P ．对于A 选项，212AP AC ==，故A 错误； 对于B 选项，因为22AC CB ⊥，22AC CD ⊥，且22CB CD C = ，所以2AC ⊥平面22CD B ，即AP ⊥平面CMN ，因为AP CQ ⊥，所以CQ ⊂平面CMN ，即Q ∈平面CMN ，又Q ∈平面1111A B C D ，所以Q ∈平面CMN 平面1111A B C D MN =，所以点Q 的轨迹为线段MN ，所以线段MN =，故B 正确；对于C 选项，记Q 到面1A BD 的距离为h ，11113D A QB Q A BD A BD V V S h --==⋅△，因为//MN BD ，所以点Q 到面1A BD 的距离是定值，又1A BD △的面积是定值，所以三棱锥1D AQB -的体积为定值，故C 正确； 对于D 选项，AP 与长方体的每一个面所成的角即为2AC 与正方体每一个面所成的角；易知2AC 与正方体每一个面所成的角相等，所以AP 与长方体的每一个面所成角也都相等，故D 正确；故选BCD ．12．【解析】记玩家第i 次抽盲盒并抽中奖品为事件i A ，依题意，127P =，1()3|1n n P A A -=，11()2n n P A A -=∣． 对于A 选项，21212121121212119()()()()()()173722|4P A P A A A A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯=⎪⎝⎭ ∣， 即21942P =，故A 正确； 对于B 选项，111111()()()()()(|)n n n n n n n n n n n P A P A A A A P A P A A P A P A A ------==+ ∣． 因此1111(1)32n n n P P P --=+-，即11162n n P P -=-+，所以1313767n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又127P =，即131077P -=-≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为首项为71-，公比为16-的等比数列，故B 正确； 对于C 选项，由37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，可得1311776n n P -⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1113767n n P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1113767n n P -=-⋅+，因为111076n -⋅>，所以319742n P <<， 当n 为偶数时，1113767n n P -=⋅+，n P 随着n 的增大而减小，则21942n P P =≤，故C 正确；对于D 选项，1113767n n P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，4337P P >>，故D 错误．故选ABC ．13．【解析】由正态分布密度曲线的对称性可知，(7073)(7072)(7273)P X P X P X <<=<+<<≤(7274)(7172)(7174)0.3P X P X P X =<+<<=<<=≤，故答案为0.3．14．【解析】由已知，得33336C 20a m m =⋅=，066C 1a m =⋅=．又361a a +=，所以32011m +=， 得0m =．15．【解析】函数()e 1x f x ax =--有两个零点，等价于e 1x y =-与y ax =的图象有两个不同的交点． 如图，两个临界情况对应的直线的斜率分别为10e 1()1xx k ='=-=，201e ()1x x k ='=-=-．结合图象，e 1x y =-与y ax =的图象要有两个不同的交点，则直线y ax =斜率(1,0)(1,)a ∈-+∞ ，故答案为(1,0)(1,)-+∞ ．16．【解析】解法一：依题意，可得OM a =，2MF b =．因为1//MF ON ，12OF OF =，所以22bMN NF ==． 由双曲线的定义，得122NF a NF =+，即122bNF a =+．在12NF F △中，由余弦定理，得222122112122cos 2F F NF NF F F N F F NF +-∠=⋅，即222(2)222222b bc a b b c c ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯⨯，化简得，2222442b c a ab =--，故a b =，所以离心率c e a ==解法二：依题意，设2(,0)F c ．由已知，可得2,a ab M c c ⎛⎫⎪⎝⎭，因为1//MF ON ，12OF OF =，所以N 为2MF 的中点．所以22,22a c ab N cc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点N 的坐标代入22221x y a b -=，得222222222(14)4a c a b a c c b +-=，222c a =，所以离心率ce a==17．【解析】解法一：（1）由正弦定理，()sin sin sin a c A A C +=+可等价转化为()a c a a c +=+．··············································1分因为0a c +≠，故1a =．由余弦定理可得，222cos 2c a b B ac +-=·······································3分2211222c b c c c +--===-．··························································································3分因为(0,)B π∈，故23B π=．······················································································5分 （2）依题意，1()2BD BA BC =+ ，得221()4BD BA BC =+ ，··········································6分即2221(2)4BD BA BA BC BC =+⋅+ ，故23122cos 1443c c π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，·······························8分即220c c --=，故(2)(1)0c c -+=，求得2c =．························································9分故ABC △的面积1sin 2S AB BC B =⋅=·································································10分 解法二：（1）同解法一．·····························································································5分 （2）在ABC △中，由余弦定理，得22212cos3b c c π=+- ①，··································6分 在ABD △和BCD △222331b b c ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪=·····················8分 联立①②，得220c c --=，故(2)(1)0c c -+=，求得2c =．·········································9分故ABC △的面积1sin 2S AB BC B =⋅=·································································10分 解法三：（1）同解法一．·····························································································5分（2）延长BD 到E ，使BD DE =， 则四边形ABCE 为平行四边形． 因为23ABC π∠=，BD =，由平行四边形性质得BE =，3BCE π∠=，·······························································6分在BCE △中，由正弦定理，得sin sin BE BCBCE BEC=∠∠，·················································7分1sin sin3BEC=∠，所以1sin 2BEC ∠=，································································8分因为BC BE <，所以03BEC BCE π<∠<∠=，所以6BEC π∠=，所以2CBE π∠=，········9分故BEC △的面积为12S BC BE =⋅=，故ABC △的面积BEC S S ==△．····················10分 (或在BCE △中，由余弦定理，得2222cos3CB CE CB CE BE π+-⋅=，·····························7分即220CE CE --=，································································································8分 解得2CE =，故BEC △的面积为1sin 23BEC S BC CE π=⋅=△，故ABC △的面积BEC S S ==△．) 18．【解析】解法一：（1）由1223n n a a n +=-+可得2121a a =+，3221a a =-，由{}n a 为等差数列，得2132a a a =+，···········································································3分解得11a =，23a =，35a =，····················································································4分 设{}n a 的公差为d ，故212a a d -==．········································································5分 （2）由（1）可知21n a n =-．····················································································6分所以111,32,32,(21)(21)(1),313(1),313k k n n n n n n k n k a a k k b a k n k a k n k +⎧⎧=-=-⎪⎪⋅-⋅+==⎨⎨⎪⎪-⋅--⋅-⎩⎩≤≤≤≤···················7分 所以1475811113353941b b b b ++++=+++⨯⨯⨯ ······················································8分 1111111120112335394124141⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．··········································9分 又2356596023565960)()()(b b b b b b b b b b b b ++++++=++++++23235656575960[(1)(1)]()()()a a a a a a a a =-+-+-+++-+-+(35)(911)(111113)(117119) (22)(22)(22)0=-+-+++-+-+=-++-+++-+= ，11分故60145823565960120()()41ii b b bb b b b b b b ==++++++++++=∑ ．·································12分 解法二：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，······································1分 所以1223n n a a n +=-+可等价转化为112[(1)]23a nd a n d n +=+--+，····························2分 即1(2)230d n a d -+-+=，所以120,230,d a d -=⎧⎨-+=⎩·························································3分解得11a =，2d =．·································································································5分 （2）由（1）可知21n a n =-．····················································································6分所以111,32,32,(21)(21)(1),313(1),313k k n n n n n n k n k a a k k b a k n k a k n k +⎧⎧=-=-⎪⎪⋅-⋅+==⎨⎨⎪⎪-⋅--⋅-⎩⎩≤≤≤≤···················7分 所以1475811113353941b b b b ++++=+++⨯⨯⨯ ······················································8分 1111111120112335394124141⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．··········································9分 258115659258115659()()()3220120b b b b b b a a a a a a ++++++=-+-++-=-⨯⨯=- ，10分故60145824759366060120()()()41i i b b b b b b b b b b b b ==+++++++++++++=∑ ．············12分 19．【解析】解法一：（1）连结1B C ，取1B C 中点F ，连结DF ．因为AD DC =，所以DF 为1AB C △的中位线，所以1//DF AB ．·····································1分 连结1C F 并延长交BC 于E ，连结DE ．因为三棱台111ABC A B C -中，11//BC B C ，············2分1B F FC =，所以11B C F ECF △≌△，·········································································3分所以11CE C B =，又因为112BC B C =，所以E 为BC 中点；又1//DF AB ，1AB ⊂/平面1C DE ，DF ⊂平面1C DE ，所以1//AB 平面1DEC ．·················5分（2）因为1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AB CC ⊥，····································6分 又1AB BC ⊥，111CC BC C = ，11,CC BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，在平面11BCC B 内以B 为坐标原点作z 轴BC ⊥．因为z 轴，BC ⊂平面11BCC B ，所以AB BC ⊥，AB z ⊥轴；以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，及z 轴建立空间直角坐标系．···················7分设1CC m =，则(1,0,0)E ，(1,1,0)D ，1(2,0,)C m ，(0,1,0)ED =，1(1,0,)EC m = ，··········8分设平面1DEC 的法向量为(,,)n x y z =，则10,0,ED n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00y x mz =⎧⎨+=⎩，取x m =，则1z =-，则(,0,1)n m =- ；···························9分 由已知直线1BC 与平面1DEC 所成角为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111sin cos ,BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==⋅ ·······················································10分13==，···································································11分 当且仅当224m m =，即m =时，sin θ取最大值13， 因为22sin cos 1,0,2πθθθ⎛⎤+=∈ ⎥⎝⎦，所以cos θ==所以1CC =时，cos θ．·····································································12分 解法二：（1）当E 为BC 中点时，1//AB 平面1DEC ，证明如下：······································1分 连结1B C ，1C E 交于点F ，连结DF ，1B E ．因为111ABC A B C -是三棱台，所以11//BC B C ；2分 又112BC B C =，BE EC =，所以11CE B C =，所以四边形11B C CE 是平行四边形，···············3分 所以1CF B F =；因为AD DC =，所以1//DF AB ，·······················································4分 又1AB ⊂/平面1C DE ，DF ⊂平面1C DE ，所以1//AB 平面1DEC ．··································5分（2）因为1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AB CC ⊥，····································6分 又1AB BC ⊥，111CC BC C = ，11,CC BC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ， 因为BC ⊂平面11BCC B ，所以AB BC ⊥．过点C 作x 轴//AB ，则x 轴BC ⊥；以C 为坐标原点，1,CB CC 所在直线为y 轴，z 轴，及x 轴建立空间直角坐标系．·················7分 设1CC m =，则(0,1,0)E ，(1,1,0)D ，1(0,0,)C m ，(0,2,0)B ，(1,0,0)ED = ，1(0,1,)EC m =- ，1(0,2,)BC m =- ，·····················································8分设平面1DEC 的法向量为(,,)n x y z = ，则10,0,ED n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x y mz =⎧⎨-+=⎩取y m =，则1z =，则(0,,1)n m = ；································9分 由已知直线1BC 与平面1DEC 所成角为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111sin cos ,BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==⋅ ·······················································10分13==，···································································11分 当且仅当224m m =，即m =时，sin θ取最大值13， 因为22sin cos 1,0,2πθθθ⎛⎤+=∈ ⎥⎝⎦，所以cos θ==所以1CC =时，cos θ．·····································································12分 20．【解析】（1）计算，得7218(2)i i t t =-=∑，··································································1分结合题目数据代入公式，可得()25.20.86929(n i i t t u u r --===≈≈∑，····························2分 因为0.8690.75r ≈>，所以可以用线性回归模型拟合u 与t 的关系．··································3分（2）由e btz k =，对等式两边取自然对数，得ln ln z k bt =+，··········································4分 令ln u z =，则ln u k bt =+，计算，得71147i i t t ===∑， 结合题目数据代入公式，可得71721()25.20.928()(i i i i i t t u u b tt ==--===-∑∑，····································5分。

(文科数学填空题)2019年泉州市普通高中毕业班质量检查(3月)试题及详析

(文科数学填空题)2019年泉州市普通高中毕业班质量检查(3月)试题及详析

保密★启用前泉州市2019届普通高中毕业班第一次质量检查文 科 数 学2019.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数2019i 1i z ，则z ．【命题意图】 本小题主要考查复数的运算、复数的模等基础知识，考查运算求解能力等，体现基础性，导向对发展数学运算核心素养的关注．预测难度0.8，实测难度.【试题简析】解法一：由2019450433i =i =i =i ，所以2019i 1i =i 1i =1i z ，所以2z ． 解法二：2019|||i ||1i|=12=2z ．14. 设函数2log ,1,()1,1,1x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩则满足()1f x <的x 的取值范围是 ． 【命题意图】本小题主要考查分段函数、对数函数等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．预测难度0.6，实测难度.【试题简析】方法一：当1x <时，()0f x <，恒满足()1f x <；当1x ≥，2log 1x <，解得12x ≤<，综上2x <． 方法二：通过作出分段函数的图象草图，可直观判断写出答案.15. 在长方体1111D C B A ABCD -中，22AB BC ==，直线1DC 与平面ABCD 所成的角为45︒，则异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值为 ．【命题意图】本小题主要考查线面角和异面直线所成角等基础知识，考查空间想象能力能力、推理论证能力、运算求解能力等，体现基础性、综合性和应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注．预测难度0.4，实测难度.【试题简析】在长方体1111D C B A ABCD -中，因为11//C D AB ，所以四边形11C D AB 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以异面直线1AD 与1DC 所成角为1BC D ∠或其补角；侧棱1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1DC 与平面ABCD 所成的角为145C DC ∠=，所以矩形11CC D D 中，12CC CD AB ===，所以1C D =；由12CC CD ==，1BC =，得1C B BD ==；取1C D 中点O ，连接OB ，则1OB C D ⊥，1OC =，所以1cos BC D ∠==，故异面直线1AD 与1DC所成角的余弦值为5. OD 1C 1B 1A 1D CB A16．已知函数()10,()4sin π,01,1, 1.x x x f x x x af x x ⎧--<⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，若函数2)()(-=x f x g 的所有零点之和为3，则a 的取值范围为 ．【命题意图】本小题主要考查函数图象的变换、函数周期性、函数零点、三角函数的图象与性质等基础知识，考查抽象概括、运算求解、推理论证能力，考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合、有限与无限思想，体现综合性、应用性和创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注．预测难度0.1，实测难度.【试题简析】方法一：当0x <时，令12x x--=解得11x =-，故2)()(-=x f x g 除11x =-外的其它零点之和为4； 当01x ≤<时，令4sin()2x π=，得2)()(-=x f x g 在[0,1)的两个零点满足231x x +=.故命题转化为2)()(-=x f x g 在[1,)+∞的所有零点之和为3.当12x ≤<时，()(1)4sin()f x af x a x π=-=-. 当12a <时，2)()(-=x f x g 在[1,2)没有零点，且可判断在[2,)+∞也没有其它的零点；当12a =时，2)()(-=x f x g 在[1,2)有唯一零点32，且可判断在[2,)+∞没有其它的零点； 当12a >时，2)()(-=x f x g 在[1,2)有两个零点，且满足453x x +=，故2)()(-=x f x g 在[2,)+∞不能再有其它的零点，即242,2a a <<.综上，a 的取值范围为1,22⎛ ⎝⎭．方法二：当0a ≤时，易得不合题意；当0a >时，由已知可知，在y 轴右侧，图象每向右移一个单位，纵坐标变为原来的a 倍．当12a =时，函数()y f x =与2y =的图象有4个交点（如图一所示），其中11x =-，432x = 根据图象的对称性，231x x +=，故2)()(-=x f x g 的所有零点之和为32；当2a =时，函数()y f x =与2y =的图象有6个交点（如图二所示），其中11x =-，652x =，根据图象的对称性，231x x +=，453x x +=，故2)()(-=x f x g 的所有零点之 和为112；当122a <<时，函数()y f x =与2y =的图象有5个交点（如图三所示），其中11x =-， 根据图象的对称性，231x x +=，453x x +=，所以2)()(-=x f x g 的所有零点之和为3；当102a <<或2a >时，也易得不合题意；综上，a 的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．图一图二图三。

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2017年泉州市普通高中毕业班质量检查
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设集合{0,1,2},{|(1)(2)0}A B x x x ==+-<，则A B 的元素的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2、已知(),(1)(1)z ai a R z i =∈++是实数，则2z += A
B
C ．3
D ．5
3、某厂在输出产品的过程中，采集并记录了产量x （吨）与生产能耗y （吨）的下列对应数据
根据上表数据，用最小二乘法得回归直线方程ˆˆ 1.5y
bx =+，那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为
A ．4.625吨
B ．4.9375吨
C ．5 吨
D ．5.25吨 4、已知直线,a b ，平面,,,a b αβαα⊂⊂，则//,//a b ββ是//αβ的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、若实数,x y 满足约束条件0
201x x y y x ≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥-⎩
，则(0)z ax y a =+>的最小值是
A ．0
B ．a
C ．21a +
D ．1-
6、双曲线的额焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于 A
B
．2 D ．3 7、函数的图象大致是
8、如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸，若该多面体的顶点在他同一球面上，则该球的表面积等于
A ．8π
B ．18π
C ．24π
D ．
9、执行如图所示的程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有 A ．6种 B ．7种 C ．8种 D ．9种
10已知函数()2,0
3,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩
，若[()()]0a f a f a -->，则实数a 的取值范围为
A ．(1,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．(,1)
(1,)-∞-+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞
11、已知函数()sin()(01,)f x wx w ϕϕπ=+<<<，若对任意的x R ∈，()()()16f f x f ≤，则
A ．()()201420170f f -<
B ．()()201420170f f -=
C ．()()201420170f f +<
D ．()()201420170f f +=
12、函数()3
2
(1)2(01)f x ax a x x x =+--+≤≤在1x =处取得最小值，则实数a 的取值
范围是
A ．0a ≤
B ．305a ≤≤
C ．3
5
a ≤ D ．1a ≤
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分，第13题—第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、设向量(1,3),(2,2)a b x ==+且//a b ，则x = 14、已知1(0,
),sin 222π
αα∈=，则sin()4
π
α+= 15、过点(3,1),(,0)P Q a -的光线经x 轴反射后与圆2
2
1x y +=相切，则a 的值为 16、ABC ∆中，D 是BC 上的点，2,1DA DB DC ===，则AB AC ⋅的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，22a =，数列{}n b 中422,4n a
n b b b ==.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤，求n 的最大值
18、（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，DE ⊥平面0
,//,//,,60ABCD AF DE AD BC AB CD ABC =∠=，
244BC AD DE ===.
（1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A-CDE 的高.
19、（本小题满分12分）
某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.
（1）求,,a b c 的值；
（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；
（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定的等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6任进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率.
20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点A 在C 上， 若3
2
AO AF ==
. （1）求C 的方程；
（2）设直线与C 交于,P Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求OPQ ∆的面积的最大值.
21、（本小题满分12分）
函数()()()
2
1
2
[(1)1],,1
x f x f x x n x e g x n R x -=-++=∈+ . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 在R 上单调递增时，证明：对任意12,x x R ∈，
且21211221
()()()()
,2g x g x g x g x x x x x +-≠>-.
请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos (1sin x t y t ϕ
ϕϕ
=+⎧⎨
=+⎩为参数）
，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）当(0,)ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值.
23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-. （1）解关于x 的不等式()9f x <；
（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值.。

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