点集拓扑学期末考试练习题(含问题详解)
点集拓扑练习题及答案
点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题及答案点集拓扑练习题一、单项选择题(每题1分) 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( ) ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④ 8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④ 9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( ) ①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④ 11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:② 12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④ 13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ②1 ③2 ④3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( ) ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:① 20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( ) ① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④ 21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z是( ) ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:① 22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( ) ① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:② 23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( ) ① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③ 24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( ) ① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X的子集,则下列关系中错误的是( ) ① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A= 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B-=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④()d A X= 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠答案:④ 31、已知X是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( ) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X=③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ②{X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:② 35、离散空间的任一子集为( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④ 37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:② 38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③ 39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:① 40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案:④ 41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:② 47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ= ③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③ 48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ= ③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④{,,{1}}T X φ= 答案:① 51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:② 52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ= ③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( ) ① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:② 54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案:② 61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:① 63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案:② 65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案:③ 66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:① 67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( ) ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:④ 68、实数空间R 中的连通子集E 为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为()(Ⅰ)单位圆周1S是连通的;(Ⅱ){0}R-是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R-是连通的(Ⅳ)2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③73、整数集Z作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③76、正整数集Z+作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③78、2维欧氏间空间2R ( ) ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③79、3维欧氏间空间3R ( ) ① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③ 80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) ① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案:② 82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案:② 83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( ) ① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:① 92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集, 则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③ 93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集, 则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③ 94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:① 95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案:③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案:③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( ) ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( ) ① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③ 106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( ) ① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案:②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1} 12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ= 15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ= 16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1} 18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入 19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射 20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射 21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射 22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间 23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间 24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间 25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质 28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质 29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间. 30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质 33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集 34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;答案:可分空间 35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;答案:Lindel Öff 空间 36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于开子空间可遗传性质 37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个0T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间,如果则称X 是一个1T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点 40、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个2T 空间; 答案:X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为 ;答案:3T 空间 42、正规的1T 空间称为 ;答案:4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ;答案: 3.5T 空间或Tychonoff 空间44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 . 答案:紧致空间 45、设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案:紧致子集46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .答案:可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .答案:列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分) 1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2; (3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑. 3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠. 6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√ 理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )案:√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理. 10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理. 11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基,从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理. 12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{1,3}是X 的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间. 注:也可以说明X 不是1T 空间. 13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:× 理由:因为{2,3}是X 的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.故(,)X T 是4T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√ 理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√ 理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间. 18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B 都是X 的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集. 19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集. 四.名词解释(每题2分) 1.同胚映射 答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚. 2、集合A 的内点 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基 答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包. 6、序列 答案:设X 是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列. 7、导集 答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间. 9、连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间,则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间 答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间.12、2 A 空间 答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为2 A 空间. 13、可分空间 答案:如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个可分空间. 14、0T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间. 15、1T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X 是2T 空间. 17、正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间. 18、正规空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间. 19、完全正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间. 21、紧致子集 答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分) 1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集. 5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T. 答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T 6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=-- 8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T. 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:。
河北师大点集拓扑习题与参考答案 (1)
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①20、在实数空间中,有理数集Q的边界()∂是()Q①φ②Q③R -Q④R答案:④21、在实数空间中,整数集Z的内部Z 是()①φ②Z③R-Z④R答案:①22、在实数空间中,整数集Z的边界()∂是()Z①φ②Z③R-Z④R答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是()①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是()① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案:②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )①离散空间②不一定是连通空间③平庸空间④连通空间答案:④68、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:④69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为()(Ⅰ)单位圆周1S是连通的;(Ⅱ){0}R-是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R-是连通的(Ⅳ)2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③73、整数集Z作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③78、2维欧氏间空间2R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③79、3维欧氏间空间3R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②可分性③第二可数性公理④离散性答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②可分性③离散性④第二可数性公理答案:②84、设X是一个拓扑空间,若对于,,∀∈≠,均有{}{}x y X x yx y≠, 则X是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④ 100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案:③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案:③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集答案:② 107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ; 答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ; 答案:可分空间35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;答案:Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;答案:X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;1答案:X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;2答案:X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的T空间称为;1T空间答案:3T空间称为;42、正规的1T空间答案:4T空间称为;43、完全正则的1T空间或Tychonoff空间答案:3.544、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:紧致空间45、设X是一个拓扑空间,Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个 .答案:紧致子集46、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .答案:列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( ) 答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-= ,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( ) 答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( ) 答案:√理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ= ,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基,从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}T空间.( )T,则(,)X T是X=,{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=3答案:×理由:因为{1,3}是X的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是T空间.3注:也可以说明X不是T空间.113、设{1,2,3}T空间.( )X T是X=,{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=,则(,)3答案:×理由:因为{2,3}是X的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是T空间.3T空间.注:也可以说明X不是1T空间.( ) 14、设{1,23}X T是T,则(,)=XφX=,,{,,{1},{3},{1,3}}1答案:×T 理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1空间.注:也可以考虑点2和点3.T空间.( ) 15、设{1,23}X T是T,则(,)X=,,{,,{1},{3},{1,3}}=Xφ4答案:×T 理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1T空间.空间.故(,)X T是4注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B都是X 的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.四.名词解释(每题2分)1.同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列答案:设X 是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间,则称Y是X的一个不连通子集.11、A空间1答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为A空间.112、A空间2答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为A空间.213、可分空间答案:如果拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.14、T空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中必T空间.有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是0 T空间:15、1答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每T空间.一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是1 T空间:16、2答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点各自T空有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X是2间.17、正则空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正则空间.18、正规空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间.19、完全正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集,所以:g f X Z → 是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:。
点集拓扑学期末考试练习题
点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中,()是X上的拓扑•①T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}}③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案:③2、设X {a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•①T{X,,{a},{ a,b},{ c}} ②T{X,,{a},{ a, b},{ a,c}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c}} ④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:②3、已知X{a,b,c,d},下列集族中,' ()是X上的拓扑•①T{X,,{a},{ a, b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b,c},{ a, b, d}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{b}}答案:①4、设X {a, b, c},下列集族中,()是X上的拓扑.①T{X,,{b},{ c},{ a,b}}②T{X,,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:②5、已知汨X{a,b,c,d},下列集:族中,(()是X上的拓扑•①T{X,,{a,b},{ a,c,d}}②T{X, ,{a,b},{ a,c, d}}③T{X,,{a},{ b},{ a,c,d}}④T{X, ,{a},{ c},{ a,c}}答案:④6、设X{a, b, c},下列集族中,( )是:X上的拓扑•①T{X,,{a},{ b},{ b,c}}②T{X,,{a,b},{ b, c}}③T{X,,{a},{ a, c}}④T{X,,{a},{ b},{ c}}答案:③7、已知X{a,b,c,d},拓扌卜T{X,,{a}},则{b}=()①©②X ③{b}④{b, c, d}答案:8、已知X {a,b,c,d},拓扑T {X, ,{a}},则{b,c,d}=()①© ②X ③{b} 9、 已知X {a,b},拓扑T ①©②X③{a}10、 已知X {a,b},拓扑T ①©②X③{a}④{b, c, d}{X, ,{a}},则面=()④{b}{X, ,{a}},则{b}=()④{b}{X, ,{a}},则面=()④{b, c,d} 答案:②{X, ,{a}},则® =()④{b,c, d} 答案:④13、设X {a,b,c,d},拓扑T {X, ,{a},{ b,c,d}},则X 的既开又闭的非空真子集个数( )①1 ②2 ③3 ④4 答案:② 14、设 X {a,b,c} ,拓扑T {X, ,{a},{ b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )①1 ②2 ③3 ④4 答案:②15、设 X {a,b,c} ,拓扑T {X, ,{b},{ b, c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为 ( )①0 ②1③2④3答案:①16、设 X {a,b}, 拓扑T {X, ,{b}},则X 的既开又闭的子集的个数为( )①0 ②1③2④3答案:③17、设 X {a,b}, 拓扑T {X,,{a},{ b}},则X 的既开又闭的子集的个数为()①1 ②2 ③3 ④4 答案:④18、 设X {a,b,c},拓扑T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ b,c}} , X 的既开又闭的非空真子集个数() ①1②2③3④4答案:②19、 在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 。
河北师大点集拓扑习题与参考答案 (1)
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R答案:①20、在实数空间中,有理数集Q的边界()∂是()Q①φ②Q③R -Q④R答案:④21、在实数空间中,整数集Z的内部Z 是()①φ②Z③R-Z④R答案:①22、在实数空间中,整数集Z的边界()∂是()Z①φ②Z③R-Z④R答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是()①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是()① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案:②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯ 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )①离散空间②不一定是连通空间③平庸空间④连通空间答案:④68、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:④69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:③70、实数空间R中的连通子集E为( )①开区间②闭区间③区间④区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为()(Ⅰ)单位圆周1S是连通的;(Ⅱ){0}R-是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R-是连通的(Ⅳ)2R和R同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②72、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③73、整数集Z作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③74、有理数集Q作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③78、2维欧氏间空间2R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③79、3维欧氏间空间3R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②可分性③第二可数性公理④离散性答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②可分性③离散性④第二可数性公理答案:②84、设X是一个拓扑空间,若对于,,∀∈≠,均有{}{}x y X x yx y≠, 则X是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④ 100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④ 102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案:③ 103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案:③ 104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③ 105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对答案:③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集答案:② 107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:② 108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集答案:② 109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ; 答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯ 也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ; 答案:可分空间35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;答案:Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;答案:X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;1答案:X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间,如果则称X是一个T空间;2答案:X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的T空间称为;1T空间答案:3T空间称为;42、正规的1T空间答案:4T空间称为;43、完全正则的1T空间或Tychonoff空间答案:3.544、设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:紧致空间45、设X是一个拓扑空间,Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的一个 .答案:紧致子集46、设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X是一个 .答案:可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .答案:列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( ) 答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-= ,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( ) 答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( ) 答案:√理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ= ,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基,从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}T空间.( )T,则(,)X T是X=,{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=3答案:×理由:因为{1,3}是X的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是T空间.3注:也可以说明X不是T空间.113、设{1,2,3}T空间.( )X T是X=,{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=,则(,)3答案:×理由:因为{2,3}是X的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是T空间.3T空间.注:也可以说明X不是1T空间.( ) 14、设{1,23}X T是T,则(,)=XφX=,,{,,{1},{3},{1,3}}1答案:×T 理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1空间.注:也可以考虑点2和点3.T空间.( ) 15、设{1,23}X T是T,则(,)X=,,{,,{1},{3},{1,3}}=Xφ4答案:×T 理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1T空间.空间.故(,)X T是4注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B都是X 的紧致子集,从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.四.名词解释(每题2分)1.同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列答案:设X 是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间,则称Y是X的一个不连通子集.11、A空间1答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为A空间.112、A空间2答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为A空间.213、可分空间答案:如果拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.14、T空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中必T空间.有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是0 T空间:15、1答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点中每T空间.一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X是1 T空间:16、2答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任意两个不相同的点各自T空有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X是2间.17、正则空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X是正则空间.18、正规空间:答案:设X是一个拓扑空间,如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间.19、完全正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂. 2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z → 也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集,所以:g f X Z → 是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:。
点集拓扑学试题(含答案)
点集拓扑学试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware 中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述(计算图标)13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称(缩写)2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作(创建,编辑)6、交互结构,交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式(模式工具)13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称(7-8)2、几何画板(几何变换)(移动,旋转)3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题1、如果为视频文件额外配置声音,那么须用声音图标和电影图标。
点集拓扑学试题(含答案)
三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述(计算图标)13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称(缩写)2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作(创建,编辑)6、交互结构,交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式(模式工具)13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称(7-8)2、几何画板(几何变换)(移动,旋转)3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题1、如果为视频文件额外配置声音,那么须用声音图标和电影图标。
拓扑学期末考试题及答案
拓扑学期末考试题及答案一、选择题(共20题,每题2分,共40分)1. 拓扑学的基本研究对象是:A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案:D2. 拓扑学中的同胚关系是指:A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案:C3. 拓扑学中的紧集是指:A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案:A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量:A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案:D5. 拓扑学中的连通性是指:A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案:A6. 拓扑空间中的完备性是指:A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案:D7. 拓扑学中的邻域是指:A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案:A8. 拓扑学中的连续映射是指:A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案:A9. 拓扑学中的嵌入是指:A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案:A10. 拓扑学中的同伦是指:A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案:B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指:A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案:A12. 拓扑学中的同调是指:A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案:D13. 拓扑学中的拓扑原则是:A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案:D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指:A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案:C15. 拓扑学中的同调群是指:A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案:A16. 拓扑学中的拓扑分类是指:A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案:A17. 拓扑学中的拓扑基是指:A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案:D18. 拓扑学中的拓扑核是指:A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案:A19. 拓扑学中的四色定理是指:A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同且不重叠答案:D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是:A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案:D二、填空题(共10题,每题2分,共20分)1. 拓扑学最早由________ 提出。
点集拓扑学期末考试练习题(含答案)
点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T答案:① 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T答案:④ 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③ 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是() ① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是()① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( ) ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ= 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; (2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:× 理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂. 答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题(每题8分)1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集. 证明:若Z 是X 的一个不连通子集,则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃ ………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.证明:若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂及B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,则A B ⊂.证明:若B X =,则结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠及A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:若()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分。
点集拓扑复习题(答案)教学内容
点集拓扑复习题(答案)点集拓扑复习题一、名词解释1、同胚映射:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.3、拓扑:设X 是一个非空集合。
X 的一个子集族τ称为X 的一个拓扑,如果它满足:1.X 和空集∅都属于τ2.τ中任意多个成员的并集仍在τ中3.τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
4、导集:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.5、度量:设集合X 的一个映射:d X X R ⨯→.若对于任何,,x y z X ∈,有(I )(正定性)d (x,y )≥0,且d (x,y)=0当且仅当 x = y ;(Ⅱ)(对称性)d (x,y)= d (y,x );(Ⅲ)(三角不等式)d (x,z )≤d (x,y)+ d (y,z )则称d 为集合X 的一个度量(或距离)。
二、证明题(4选3)1、证明:度量空间X 中的开集且有以下性质:(1)集合X 本身和空集∅都是开集;(2)任意两个开集的交是一个开集;(3)任意一个开集族的并是一个开集。
证明:(1)根据定理 2.1.1(1)X 中的每一个元素x 都有一个球形邻域,这个球形邻域当然包含在X 中,所以X 满足开集的条件;空集∅中不包含任何点,也自然地可以认为它满足开集的条件.(2)设U 和V 是X 中的两个开集.如果x U V ∈,则存在x 的一个球形邻域1(,)B x ε包含于U ,也存在X 的一个球形邻域2(,)B x ε包含于V .根据定理2.1.1(2),x 有一个球形邻域(,)B x ε同时包含于1(,)B x ε和2(,)B x ε,因此12(,)(,)(,)B x B x B x U V εεε⊂⊂由于U V 中的每一点都有一个球形邻域包含于U V ,因此U V 是一个开集.(3)设A 是一个由X 中的开集构成的子集族.如果A x A ∈∈A ,则存在0A ∈A 使得0x A ∈由于0A 是一个开集,所以x 有一个球形邻域包含于0A ,显然这个球形邻域也包含于A A ∈A .这证明A A ∈A 是X 中的一个开集.2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃ …………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集,此外1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X 不连通,矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分4、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是可数补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分由上面的讨论我们知道: }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y uV -∈' 是一个可数集,矛盾. 从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分三、填空题1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、每一个球形邻域都是 ;答案:开集3、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;答案:可分空间4、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射四、选择题1、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②2、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④3、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④4、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④5、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③6、离散空间X 的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③7、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④8、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z ' 答案:④9、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②10、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②。
点集拓扑 习题与参考答案
点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )①φ②Q③R -Q④R答案:①20、在实数空间中,有理数集Q的边界()∂是()Q①φ②Q③R -Q④R答案:④21、在实数空间中,整数集Z的内部Z是()①φ②Z③R-Z④R答案:①22、在实数空间中,整数集Z的边界()∂是()Z①φ②Z③R-Z④R答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是()①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是()①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =-③ ()d A A = ④ ()d A X =答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =- ③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X = ③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d=B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈-答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基. ① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( )①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是()① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( ) ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ=答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ=答案:②50、设{1,23}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ=答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ=答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z =③ T Z = ④ {}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( )① 单射 ② 连续的单射③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( )① A B A B ⨯≠⨯ ② A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯ ④ ()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集 ④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的 (Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4答案:②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理 ③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对答案:③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③75、无理数集作为实数空间R的子空间()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()76、正整数集Z+①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③作为实数空间R的子空间()77、负整数集Z-①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③78、2维欧氏间空间2R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③79、3维欧氏间空间3R()①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①平庸性②连通性③离散性④第一可数性公理答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②连通性③第二可数性公理④平庸性答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是()①第一可数性公理②可分性③ 第二可数性公理 ④ 离散性答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 可分性③ 离散性 ④ 第二可数性公理答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对答案:①92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( ) ①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间答案:④二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ; 答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A =的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A =的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ; 答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ; 答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案:可遗传性质33、设D是拓扑空间X的一个子集,且D X,则称D是X的一个;答案:稠密子集34、若拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个;答案:可分空间35、设X是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X是一个;答案:LindelÖff空间36、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个开子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案:对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P,则称性质P为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X是一个拓扑空间,如果T空间;则称X是一个答案:X中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X是一个拓扑空间,如果T空间;则称X是一个1答案:X中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X是一个拓扑空间,如果T空间;则称X是一个2答案:X中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交T空间称为;41、正则的1答案:3T 空间42、正规的1T 空间称为 ;答案:4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ;答案: 3.5T 空间或Tychonoff 空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( ) 答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而()d A φ=. 5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( ) 答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( ) 答案:√理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )答案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( ) 答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X满足第一可数性公理,所以对x Y∀∈,X在点x处有一个可数邻域基Vx ,因为Y是X的子空间,则{|}V |Vx Y xV Y V=⋂∈是Y在点x的一个可数邻域基,从而X的子空间Y也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X=,{,,{2},{3},{2,3}}Xφ=T,则(,)X T是3T空间.( ) 答案:×理由:因为{1,3}是X的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是3T空间.注:也可以说明X不是1T空间.13、设{1,2,3}X=,{,,{1},{2},{1,2}}T Xφ=,则(,)X T是3T空间.( ) 答案:×理由:因为{2,3}是X的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X不是正则空间,从而不是3T空间.注:也可以说明X不是1T空间.14、设{1,23}X=,,{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T,则(,)X T是1T空间.( ) 答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1T 空间.注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X=,,{,,{1},{3},{1,3}}Xφ=T,则(,)X T是4T空间.( ) 答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X不是1T 空间.故(,)X T是4T空间.注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间. 17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.四.名词解释(每题2分)1.同胚映射答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B中的某些元素的并,则称B是拓扑T的一个基. 5.闭包答案:设X是一个拓扑空间,A X⊂.集合A与集合A的导集()d A的并()⋃称为集合A的闭包.A d A6、序列答案:设X是一个拓扑空间,每一个映射:→叫做X中的一个S Z X+序列.7、导集答案:设X是一个拓扑空间,集合A的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间答案:设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得A B X⋃=,则称X是一个不连通空间.9、连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间,则称Y是X的一个连通子集.10、不连通子集答案:设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个不连通空间,则称Y是X的一个不连通子集.A空间11、1答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称A空间.这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A空间12、2答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个A空间.满足第二可数性公理的空间,简称为213、可分空间答案:如果拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间.T空间:14、答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间.18、正规空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间.19、完全正则空间:答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.五.简答题(每题4分)2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案:因为离散空间的每一个基必定包含着单点集,所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集,且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交,因此R Q =,故实数空间R 是可分空间.19、若X 是一个正规空间,试说明:对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.答案:设A 是X 的任何一个闭集,若A 是空集,则结论显然成立.下设A 不是空集,则对A 的任何一个开邻域U ,则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间,于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ⋂=,因此V W '⊂,所以V W W U -''⊂=⊂.20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.答案:设A 是X 的任何一个子集,若A 是空集,则()d A φ=,从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集,则对(())x d A '∀∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-⋂=,由于X 是1T 空间,从而{}U x -是开集,故{}(())U x d A '-⊂,于是(())U d A '⊂,所以(())d A '是它每一点的邻域,故(())d A '是开集,因此()d A 是闭集.六、证明题(每题8分)2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂. 证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,则或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂………………… 8分8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.证明:若X 满足第一可数公理,则在X x ∈处,有一个可数的邻域基,设为V x ,因为X 是可数补空间,因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域,从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂.于是'⊂y V y }{, …………………………………………………4分 由上面的讨论我们知道: }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'⊂=-因为}{x X -是一个不可数集,而}{x X y u V -∈' 是一个可数集,矛盾.从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分10、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理,证明:Y 也满足第二可数性公理.证明:设X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射,{()|}B B f B B =∈是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集,则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ⊂,使得11() B B f U B -∈=.由于f 是一个满射,所以有11(())() B B U f f U f B -∈==,从而U 是B 中某些元素的并,故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。
点集拓扑练习题及答案
点集拓扑练习题一、单项选择题(每题1分)1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④8、 已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =( )①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案:④9、 已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:②10、已知{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =( )①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案:④11、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案:②12、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =( )①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X abcd =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为() ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为( ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是( )① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是( )① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列三关系中错误的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A = 答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是( )① ()d A B A B ⋃=⋃ ② A B A B -=-③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ (())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案:①30、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案:④31、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是( )① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,则( )是T 的基.① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中( )以{,,{}}S X a φ=为子基.① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ } 答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A =( ) ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案:③39、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:④42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有( )① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案:④43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有4个元素的拓扑有( )个① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )①T , T X φ∈∉ ② T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈ ④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈ 答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,则B 是( )① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为( )① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,则1P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,则2P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,则3P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,则4P 是( )① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X=⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,则5P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④ 59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,则6P 是( ) ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,则有( ) ①A B A B ⨯≠⨯ ②A B A B ⨯=⨯ ③()A B A B ⨯≠⨯ ④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂ 答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个( )① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ⊂⊂, 则Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案:②65、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案:③66、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:①67、设12,X X 是连通空间,则积空间12X X ⨯是( )① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案:④71、下列叙述中正确的个数为( )(Ⅰ)单位圆周1S 是连通的; (Ⅱ){0}R -是连通的(Ⅲ)2{(0,0)}R -是连通的 (Ⅳ)2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案:②72、实数空间R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③75、无理数集作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③78、2维欧氏间空间2R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③79、3维欧氏间空间3R ( )① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案:③80、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案:②81、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案:②82、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案:②83、下列拓扑学的性质中,不具有可遗传性的是( )① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案:②84、设X 是一个拓扑空间,若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①85、设{1,2}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①86、设{1,2}X =,{,,{2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案:①87、设{1,2,3}X =,{,,{1}}X φ=T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④88、设{1,2,3}X =,{,,{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④89、设{1,2,3}X =,{,,{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④90、设{1,2,3}X =,{,,{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:④91、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案:①92、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个单点集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③93、设X 是一个拓扑空间,若X 的每一个有限子集都是闭集,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:③94、设X 是一个拓扑空间,若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ,都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:①95、设X 是一个拓扑空间,若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ,都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是( )①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案:②96、设{1,23}X =,,{,,{1},{23}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④97、设{1,23}X =,,{,,{2},{13}}X φ=,T ,则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案:④98、设{1,23}X =,,{,,{3},{12}}X φ=,T ,则(,)X T 是( )①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案:④99、设{1,23}X =,,{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ,则(,)X T 是( )①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④100、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④101、设{1,23}X =,,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案:④102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个( )① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案:③103、紧致空间中的每一个闭子集都是( )① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案:③104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是( )① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案:③106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案:②107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:②108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是( )① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案:②109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集,则X 是( )① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案:①二、填空题(每题1分)1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则A = ;答案:X10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,若它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,则称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个 ;答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,则称映射f 是一个 ;答案:闭映射22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,则X 是一个 ;答案:不连通空间24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个 ;答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个 ;答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,则性质P 称为 ; 答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个 ;答案:不连通空间.30、若12,X X 满足第一可数性公理,则积空间12X X ⨯满足 ;答案:第一可数性公理31、若12,X X 满足第二可数性公理,则积空间12X X ⨯也满足 ;答案:第二可数性公理32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案:可遗传性质33、设D 是拓扑空间X 的一个子集,且D X =,则称D 是X 的一个 ;答案:稠密子集34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个 ;答案:可分空间35、设X 是一个拓扑空间,如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称X 是一个 ;答案:Lindel Öff 空间36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;答案:对于开子空间可遗传性质37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P为 ;答案:对于闭子空间可遗传性质38、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个0T 空间;答案:X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点39、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个1T 空间;答案:X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点40、设X 是一个拓扑空间,如果 则称X 是一个2T 空间;答案:X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交41、正则的1T 空间称为 ;答案:3T 空间42、正规的1T 空间称为 ;答案:4T 空间43、完全正则的1T 空间称为 ;答案: 3.5T 空间或Tychonoff 空间44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 . 答案:紧致空间45、设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个 .答案:紧致子集46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个 .答案:可数紧致空间47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个 .答案:列紧空间48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个 .答案:序列紧致空间三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:×理由:因为(1)12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂;(2)对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,则有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;(3)对任意的21T T T ⋂⊂',则21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )答案:√理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )答案:√理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )答案:×理由:设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )答案:√理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=( )答案:√ 理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂= 从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间( )案:√理由:这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,则,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 满足第一可数性公理( )答案:√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理,B 是它的一个可数基,对于每一个x X ∈,易知{} B B |x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基,它是B 的一个子族所以是可数族,从而X 在点x 处有可数邻域基,故X 满 足第一可数性公理.10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第二可数性公理,所以它有一个可数基B ,因为Y 是X 的子空间,则{|}B | B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基,从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理( )答案:√理由:由于X 满足第一可数性公理,所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ,因为Y 是X 的子空间,则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基,从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.12、设{1,2,3}X =,{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{1,3}是X 的一个闭集,对于点2和{1,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间. 注:也可以说明X 不是1T 空间.13、设{1,2,3}X =,{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=,则(,)X T 是3T 空间.( )答案:×理由:因为{2,3}是X 的一个闭集,对于点1和{2,3}没有各自的开邻域互不相交,所以X 不是正则空间,从而不是3T 空间.注:也可以说明X 不是1T 空间.14、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是1T 空间.( )答案:×理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.注:也可以考虑点2和点3.15、设{1,23}X =,,{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ,则(,)X T 是4T 空间.( )答案:× 理由:因为对于点1和点2,2没有开邻域不包含1,从而X 不是1T 空间.故(,)X T 是4T 空间. 注:也可以考虑点2和点3.16、3T 空间一定是2T 空间.( )答案:√理由:因为3T 空间是正则的1T 空间,所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈,{}y 是X 中的闭集,由于X 是正则空间,从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,所以X 是2T 空间.17、4T 空间一定是3T 空间.( )答案:√理由:因为4T 空间是正规的1T 空间,所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ,由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间,故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ⋂=,这说明X 是正则空间,因此X 是3T 空间.18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集,则A B ⋃是一个紧致子集.( )答案:√理由:设A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖,由于A 和B 都是X 的紧致子集,从而存在A的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖,故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃,所以A B ⋃是紧致子集.19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案:√理由:设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集,则对于任何x X ∈,若x A ∉,则易知x 不是A 的凝聚点,因此A A =,从而A 是一个闭集.四.名词解释(每题2分)1.同胚映射 答案:设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射,并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射,则称f 是一个同胚映射或同胚.2、集合A 的内点 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.如果A 是点x X ∈的一个邻域,则称点x 是集合A 的一个内点.3、集合A 的内部 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.4.拓扑空间(,)T X 的基 答案:设(,)T X 是一个拓扑空间,B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并,则称B 是拓扑T 的一个基.5.闭包 答案:设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ⋃称为集合A 的闭包.6、序列 答案:设X 是一个拓扑空间,每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.7、导集 答案:设X 是一个拓扑空间,集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.8、不连通空间 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.9、连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间,则称Y 是X 的一个连通子集.10、不连通子集 答案:设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间,则称Y 是X 的一个不连通子集.11、1 A 空间 答案:一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为1 A 空间.12、2 A 空间 答案:一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为2 A 空间.13、可分空间 答案:如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集,则称X 是一个可分空间.14、0T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是0T 空间.15、1T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点,则称拓扑空间X 是1T 空间.16、2T 空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交,则称拓扑空间X 是2T 空间.17、正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正则空间.18、正规空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域,它们互不相交,则称X 是正规空间.19、完全正则空间: 答案:设X 是一个拓扑空间,如果对于x X ∀∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.20、紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间.21、紧致子集 答案:设X 是一个拓扑空间,Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间,则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.22、可数紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.23、列紧空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间X 是一个列紧空间.24、序列紧致空间 答案:设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.五.简答题(每题4分)1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,则有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射,试说明:gf X Z →也是连续映射. 答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 是一个闭集,则A 的补集A '是一个开集.答案:对于x A '∀∈,则x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:若A 的补集A '是一个开集,则A 是一个闭集.答案:设x A ∉,则x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.答案:因为离散空间的每一个基必定包含着单点集,所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集,且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交,因此R Q =,故实数空间R 是可分空间.14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈∀,则所有的以x 为中心,以正有理数为半径的球形邻域构成x。
点集拓扑期末试卷.docx
得分阅卷人 ------ 、单项选择题(每小题3分,共30分)1、设X={aM ,下列集族中,X 上的拓扑是 .................... (②)・① T ={X,0,⑷,{a.b},{c}}② T ={X,0,{a},{d,纠,{a,c}} ③ T ={X,0,{&},{b},{a,c}}④ T ={X,0,{&},{b},{c}}2、 已知 X = {a,b^d},拓扑T={X,0,{°}},则面二 ................. ( ④ ..................................................... )①0 ②X ③{b} ④{b,c,〃}3、 在实数空间中,有理数集Q 的边界d (Q )是 .............. (④ )①0②Q ③R_Q ④R4、 在实数空间中,区间[0,1)的内部是 ................... (④ )① 0 ②[0,1] ③{0,1} ④(0,1)5、 设X 是一个拓扑空间,A,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是(③)① d (AuB ) = d (A )ud (B ) ② AuB = AuB ③ d (4cB )二d (A )cd (B ) ④ A =6、 离散空间的任一子集为 ................................ (③)①开集 ②闭集 ③即开又闭④非开非闭7、设X = X]XX2X ・・・xX6是拓扑空间X「X2,…,Xe 的积空间.片是X 到£的投射,则呂是 ..................................................... (④ ....................................................... )①单射②连续的单射 ③满的连续闭映射④满的连续开映射8、在实数空间/?中,下列集合是开集的是 ................. ( ................................................... ④ )①整数集Z ②有理数集③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z'9、设X = {1,2,3},T={0,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X 的拓扑,A = {2,3}, ......................................... ( ②)② T 二{0,A,{2},{3}}点集拓扑试题样卷A—■二三四总分则X 的子空间A 的拓扑为 ① T 二{0,{3},{2,3}} ③ T ={0,X,{2},{3},{2,3}}得分阅卷人③3 ④4二、填空题(每小题4分,共20分)( ② )①1 ②2④ T ={0,X,⑶}10、设X = {a,b,c},拓扑T ={X,0,{a},{b,c}},则X 的既开又闭的非空真子集的个数为1、设X={a,b}f则X的平庸拓扑为_T ={X,0} _________2、每一个球形的邻域都是开集3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集,则称X是一个可分空间4、若任意让1个拓扑空间X],X2,…,X”,都具有性质P ,则积空间X] x X? x…x X”也具有性质P,则性质P称为有限可积性5、/:X T Y是拓扑空间X到Y的一个映射,如果它是一个满射,并且Y的拓扑是对于映射/而言的商拓扑,则称f是一个商映射得分阅卷人---------------- 三、名词解释(每小题4分,共20分)1、同胚映射:设X和丫是两个拓扑空间.如果广X T F是一个一一映射,并且/和厂:Y T X都是连续映射,则称/是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间3、拓扑4、导集5、度量得分阅卷人-------------- 四、证明题(每小题6分,共30分)2、设/: X t F是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则/(X)是丫的一个连通子集.证明:如果/(X)是丫的一个不连通子集,则存在丫的非空隔离子集4,B使得f(X) = AuB................................................................................ 3 分于是广是X的非空子集,并且:(/■* (A)c.厂(B)) u (/T(B)C/T(A))u (/-1 (A) c 厂⑻2 (厂(B) c=/T ((Ac 歹2(方c 3)) = 0所以广匕),广SB)是X的非空隔离子集此外,f-\A)uf-\B) = f-\AuB) =/•1(/(X)) = X ,这说明X 不连通,矛盾•从而/(X)是Y的一个连通子集.4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明:若X满足第一可数公理,则在xe X处,有一个可数的邻域基,设为V •「因为X是可数补空间,因此对X,y^x,X-{y}是兀的一个开邻域,从而3V v eV v,使得叫uX —{刃.于是{y}uV〕, ......................................... 3分由上面的讨论我们知道:x — {x}= U{y}u u v/yeX—{x} )wX-{"因为x-{x}是一个不可数集,而U匕:是一个可数集,矛盾.WX-{x}从而X不满足第一可数性公理.3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和〃是X的两个无交的开集使得Yu AuB,则或者Yu A,或者YuB・证明:因为〃是X的开集,从而AnY.BnY是子空间丫的开集.又因Y <zAuB中,故Y = (AnY)u(Br>Y)由于Y是X的连通子集,则AnY^BnY中必有一个是空集.若BcY =①,则y c A ;若AcY = O,则YuB。
点集拓扑学考试题目及答案
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的,可能有错误或者不足,希望对大家的考试有帮助。
二、辨析题(每题5分,共25分,正确的说明理由,错误的给出反例)1、拓扑空间中有限集没有聚点。
答:这个说法是错误的。
反例:x = abQ,规定拓扑,%,⑨,则当A = :a 1时,匕和都是A的聚点。
因为b和C的领域只有X 一个,它包含a,a不是A的聚点,因为A '。
2、欧式直线E1是紧致空间。
答:这个说法是错误的。
反例:对E1而言,有开覆盖」1-n,n|n Z ]而对于该开覆盖没有有限子覆盖。
3、如果乘积空间X Y道路连通,则X和Y都是道路连通空间。
答:这个说法是正确的。
证明:对于投射有RX Y = X , P2 X Y=Y,由投射是连续的,又知X Y是道路连通,从而像也是道路连通空间,所以X和Y都是道路连通空间。
4、单位闭区间I与S1不同胚。
答:这个说法是正确的。
下面用反证法证明,反设I与S1同胚,则f|2 {1;:2 {pTS1{f茁也是同胚映射,I石不连通,则S1 {2}不连通,故矛盾,所以单位闭区间I与S1不同胚。
5、紧致性具有可遗传性质。
答:这个说法是错误的。
反例:Q11紧致但0,1不紧致。
三、证明题(每题10分,共50分)x x v. 01、规定f :E1f0,1h E1为f(x)补x才,证明f是连续映射,但不是同胚映射。
证明:由于f限制在,0与1「:上连续,由粘接引理,f连续。
但f _1不连续,如,0是E1 0,1的闭集,但f 一1一1 - 二,0 = f - ,0 = - ,0不是E1的闭集,所以f不是同胚映射。
2、证明:Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。
证明:设X是Hausdorff空间,丫是X的任一子空间,需证丫是Hausdorff 空间。
-x,y Y,由X 是Hausdorff 空间,所以存在x,y在X的开邻域U、V使得U・V八,U - 丫是x在丫中开邻域,V丫是y在丫中开邻域,(U C Y)C(V C Y)=U C VCY =©,故丫是Hausdorff 空间。
点集拓扑讲义期末复习题
一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集,A∩B=空集∈T。
若不是,(A∩B)′=A′∪B′,A∪B∈T③设T1∈T,令T2=T1-{空集}。
显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集,则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。
设T2≠空集。
任取A0∈T2.这时(∪A∈T1(A))′=(∪A∈T2(A))′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集,所以∪A∈T1(A) ∈T。
所以为拓扑。
2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=(0,1],子集(0.1/2)=A。
求A在Y、R中的闭包、内部。
Y中:闭包(0,1/2].内部(0,1/2)R中:闭包[0,1/2].内部(0,1/2)三、A包含于Y,Y包含于X,为闭子空间。
若A包含于Y则A为X中闭集。
Y包含于X闭,所以存在X中闭集B使得A=Y∩B(子空间闭集定义),所以Y包含于X 闭,所以A为X中闭集。
四、设A、B、Aa包含于X,证明:1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。
2、A∪B= A∪B。
3、∪Aa包含∪Aa。
1、五、X、Y有子集A包含于X,B包含于Y,则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。
七、1、f:X Y连续。
2、任意B∈Y闭,f-1(B)闭。
3、任意A包含于X,f(A)包含于f(A)。
4、任意B包含于Y,f-1(B)包含f-1(B)。
5、任意B包含于Y,f-1(B°)包含于(f-1(B))°证明1~5等价。
八、连续的满的闭映射为商映射。
九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。
十、连通子集在连续映射下的像是联通的。
十一、连通子集的闭包为连通子集。
道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为(X,T)的紧致子集,则A∪B为紧致子集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
点集拓扑学期末考试一、单项选择题〔每题1分〕1、{,,,,}X a b c d e =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ②{,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T③{,,{},{,}}X a a b φ=T ④{,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案:③2、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ②{,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②3、{,,,}X a b c d =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ②{,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{}}X a b φ=T 答案:①4、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ②{,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T `③{,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:②5、{,,,}X a b c d =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ②{,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T③{,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④{,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案:④6、设{,,}X a b c =,如下集族中,〔 〕是X 上的拓扑.①{,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ②{,,{,},{,}}X a b b c φ=T③{,,{},{,}}X a a c φ=T ④{,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案:③7、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此}{b =〔 〕①φ②X ③{}b ④{,,}b c d 答案:④8、 {,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{,,}b c d =〔 〕①φ②X ③{}b ④{,,}b c d 答案:④9、 {,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}a =〔 〕①φ②X ③{}a ④{}b 答案:②10、{,}X a b =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}b =〔 〕①φ②X ③{}a ④{}b 答案:④11、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}a =〔 〕①φ②X ③{,}a b ④{,,}b c d 答案:②12、{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,如此{}c =〔 〕①φ②X ③{,}a c ④{,,}b c d 答案:④13、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集个数〔 〕① 1 ②2 ③ 3④ 4 答案:②14、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集的个数为〔 〕① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:②15、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,如此X 的既开又闭的非空真子集的个数为〔 〕① 0 ②1 ③ 2④ 3 答案:①16、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,如此X 的既开又闭的子集的个数为〔 〕 ① 0 ②1 ③ 2④ 3答案:③17、设{,}X a b =,拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,如此X 的既开又闭的子集的个数为〔 〕 ① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:④18、设{,,}X a b c =,拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数〔 〕 ① 1 ②2 ③ 3④ 4答案:②19、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是〔 〕①φ②Q ③R -Q ④R 答案:①20、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是〔 〕①φ②Q ③R -Q ④R 答案:④21、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是〔 〕①φ②Z ③R -Z ④R 答案:①22、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是〔 〕①φ②Z ③R -Z ④R 答案:②23、在实数空间中,区间[0,1)的边界是〔 〕①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:③24、在实数空间中,区间[2,3)的边界是〔 〕①φ②[2,3]③{2,3}④(2,3)答案:③25、在实数空间中,区间[0,1)的内部是〔 〕①φ②[0,1]③{0,1}④(0,1)答案:④26、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中错误的答案是〔 〕 ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B ⋃=⋃③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A = 答案: ③27、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中正确的答案是〔 〕 ①()()()d A B d A d B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④A A =答案: ①28、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,如此如下关系中正确的答案是〔 〕 ①()d A B A B ⋃=⋃②A B A B -=-③()()()d A B d A d B ⋂=⋂④(())()d d A A d A ⊂⋃ 答案: ④29、X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中正确的答案是〔〕①()d A φ=②()d A X A =-③()d A A =④()d A X = 答案:①30、X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中不正确的答案是〔〕① 假如A φ=,如此()d A φ=② 假如0{}A x =,如此()d A X A =-③ 假如A={12,x x },如此()d A X =④ 假如A X ≠, 如此()d A X ≠答案:④31、X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,如此如下结论中正确的答案是〔〕① 假如A φ=,如此()d A φ=② 假如0{}A x =,如此()d A X =③ 假如A={12,x x },如此()d A X A =-④ 假如12{,}A x x =,如此()d A A =答案:①32、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,如此由B 产生的X 上的拓扑是〔〕 ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}③{ X ,φ,{c },{a ,b ,c }}④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案:①33、设X 是至少含有两个元素的集合,p X ∈,{|}{}G X p G φ=⊂∈⋃T 是X 的拓扑,如此〔 〕是T 的基.①{{,}|{}}B p x x X p =∈-②{{}|}B x x X =∈③{{,}|}B p x x X =∈④{{}|{}}B x x X p =∈- 答案:③34、 设{,,}X a b c =,如此如下X 的拓扑中〔 〕以{,,{}}S X a φ=为子基.①{ X ,φ,{a },{a ,c }} ② {X ,φ,{a }}③{ X ,φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ}答案:②35、离散空间的任一子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭 答案:③36、平庸空间的任一非空真子集为( )① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭④非开非闭 答案:④37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案:②38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},如此A =〔 〕 ①φ②R ③A ∪{0}④A 答案:③39、在实数空间R 中,如下集合是闭集的是〔 〕① 整数集②[)b a ,③ 有理数集④ 无理数集 答案:①40、在实数空间R 中,如下集合是开集的是〔〕① 整数集Z ② 有理数集③ 无理数集④ 整数集Z 的补集Z '答案:④41、{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,如此点1的邻域个数是〔 〕①1 ②2 ③3 ④4 答案:④42、{,}X a b =,如此X 上的所有可能的拓扑有〔 〕①1个 ②2个③3个④4个 答案:④43、X ={a ,b ,c },如此X 上的含有4个元素的拓扑有〔 〕个① 3② 5③ 7④ 9 答案:④44、设(,)T X 为拓扑空间,如此如下表示正确的为 ( )①T , T X φ∈∉②T ,T X φ∉∈③当T T '⊂时,T T U U '∈∈④ 当T T '⊂时,T T U U '∈∈答案:③45、在实数下限拓扑空间R 中,区间[,)a b 是〔 〕① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:③46、设X 是一个拓扑空间,,A B X ⊂,且满足()d A B A ⊂⊂,如此B 是〔 〕① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案:②47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,2}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{2},{1,2}}φ=T ②{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=③{,,{1},{2}}T A φ=④{,,{1},{2}}T X φ= 答案:③48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1,3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{1},{3},{1,3}}T φ=②{,,{1}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ= 答案:②49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2,3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{3},{2,3}}φ=T ②{,,{2},{3}}T A φ=③{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=④{,,{3}}T X φ= 答案:②50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{1}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{1}}T φ=②{,,{1,2}}T A φ=③{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=④{,,{1}}T X φ= 答案:①51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{2}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( )①{,{2},{1,2}}T φ=②{,}T A φ=③{,,{2}}T X φ=④{,,{1,2}}T X φ= 答案:②52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑,{3}A =,如此X 的子空间A 的拓扑为( ) ①{,{2},{1,2}}T φ=②{,{},{1,3}}T X φ=③{,,{3}}T X φ=④{,{3}}T φ=答案:④53、设R 是实数空间,Z 是整数集,如此R 的子空间Z 的拓扑为〔 〕①{,}T Z φ=②()T P Z =③T Z =④{}T Z =答案:②54、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射,如此1P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④55、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射,如此2P 是〔 〕 ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④56、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射,如此3P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④57、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射,如此4P 是〔 〕 ①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④58、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射,如此5P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④59、设126X X X X =⨯⨯⨯是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射,如此6P 是〔 〕①单射② 连续的单射③ 满的连续闭映射④ 满的连续开映射 答案:④60、设1X 和2X 是两个拓扑空间,12X X ⨯是它们的积空间,1A X ⊂,2B X ⊂,如此有〔 〕 ①A B A B ⨯≠⨯②A B A B ⨯=⨯③()A B A B ⨯≠⨯④()()()A B A B ∂⨯=∂⨯∂答案:②61、有理数集Q 是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对 答案:①62、整数集Z 是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间R 的一个〔 〕① 不连通子集 ② 连通子集③ 开集④ 以上都不对答案:①64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,假如Y Z Y ⊂⊂,如此Z 为( )①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集答案:②65、设12,X X 是平庸空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是平庸空间③ 平庸空间 ④ 不连通空间答案:③66、设12,X X 是离散空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是离散空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:①67、设12,X X 是连通空间,如此积空间12X X ⨯是〔 〕①离散空间 ② 不一定是连通空间③ 平庸空间 ④ 连通空间答案:④68、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:④69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对答案:③70、实数空间R 中的连通子集E 为( )① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 区间或一点答案:④71、如下表示中正确的个数为〔 〕〔Ⅰ〕单位圆周1S 是连通的; 〔Ⅱ〕{0}R -是连通的〔Ⅲ〕2{(0,0)}R -是连通的 〔Ⅳ〕2R 和R 同胚① 1 ② 2 ③3 ④ 4答案:②二、填空题〔每题1分〕1、设{,}X a b =,如此X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=2、设{,}X a b =,如此X 的离散拓扑为 ;答案:{,,{},{}}T X a b φ=3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案:拓扑不变性质4、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________. 答案: R5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有答案: ({})U A x φ⋂-≠6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,如此()d A = ;答案:X7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,如此A = ;答案:X8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,如此()d A = ;答案:X9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,如此A = ;答案:X10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{2}11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{1}12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案:{1}13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:φ 14、设{,,}X a b c =,如此X 的平庸拓扑为 ;答案:{,}T X φ=15、设{,,}X a b c =,如此X 的离散拓扑为答案:{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案:{3}17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,如此X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案:{1}18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,假如它是一个单射,并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚,如此称映射f 是一个 .答案:嵌入19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,如此称f 是一个 ;答案:商映射20、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,假如X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集,如此称映射f 是一个 答案:开映射21、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,假如X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集,如此称映射f 是一个 答案:闭映射22、假如拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,如此X 是一个 ;答案:不连通空间23、假如拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=,如此X 是一个 ;答案:不连通空间24、假如拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集,如此X 是一个答案:不连通空间25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,如此Z 也是X 的一个 ; 答案:连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,如此称这个性质是一个 ;答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,如此称这个性质是一个 ;答案:可商性质28、假如任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,如此积空间12n X X X ⨯⨯⨯也具有性质P ,如此性质P 称为 ;答案:有限可积性质29、设X 是一个拓扑空间,如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,如此称X 是一个 ;答案:不连通空间.三.判断〔每题4分,判断1分,理由3分〕1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√理由:设X 是离散空间,Y 是拓扑空间,:f X Y →是连续映射,因为对任意A Y ⊂,都有1)f A X -⊂(,由于X 中的任何一个子集都是开集,从而1()f A -是X 中的开集,所以:f X Y →是连续的.2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑,如此12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由:因为〔1〕12, T T 是X 的拓扑,故∈φ,X T 1,∈φ,X T 2,从而∈φ,X 12 T T ⋂; 〔2〕对任意的∈B A ,T 1⋂T 2,如此有∈B A ,T 1且∈B A ,T 2,由于T 1, T 2是X 的拓扑,故∈⋂B A T 1且∈⋂B A T 2,从而∈⋂B A T 1⋂T 2;〔3〕对任意的21T T T ⋂⊂',如此21,T T T T ⊂'⊂',由于T 1, T 2是X 的拓扑,从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1⋂T 2;综上有T 1⋂T 2也是X 的拓扑.3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射〔 〕答案:√ 理由:设:f X Y →是任一满足条件的映射,由于Y 是平庸空间,它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集,从而:f X Y →连续.4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,如此()d A φ= 〔 〕答案:√ 理由:设p 为X 中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集, 所以{}p 是X 的开子集,且有{}{}()p A p φ-=,即()p d A ∉,从而 ()d A φ=.5、设A 为平庸空间X 〔X 多于一点〕的一个单点集,如此()d A φ= 〔 〕答案:× 理由:设{}A y =,如此对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ,且有()y X A x ∈⋂-,从而()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,但对于y 的唯一的邻域X ,有()X A y φ⋂-=,所以有()d A X A φ=-≠.6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,如此()d A X = 〔 〕答案:√ 理由:对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点,从而对于x 的唯一的邻域X ,且有()X A x φ⋂-≠,因此x 是A 的一个凝聚点,即()x d A ∈,所以有()d A X =.7、设X 是一个不连通空间,如此X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ⋂=⋃=〔 〕答案:√理由:设X 是一个不连通空间,设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ⋃=,显然A B φ=,并且这时有:()()B B X B A B B B =⋂=⋂⋃⋂=从而B 是X 的一个闭子集,同理可证A 是X 的一个闭子集,这就证明了,A B 满足,A B A B X φ⋂=⋃=.8、假如拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,如此X 是一个不连通空间( )√ 理由:这是因为假如设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集,令B A '=,如此,A B 都是X 中的非空闭子集,它们满足A B X ⋃=,易见,A B 是隔离子集,所以拓扑空间X 是一个不连通空.五.简答题〔每题4分〕1、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,且A B ⊂.试说明()()d A d B ⊂.答案:对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域,如此有({})U A x φ⋂-≠,由于A B ⊂,从而({})({})U B x U A x φ⋂-⊃⋂-≠,因此()x d B ∈,故()()d A d B ⊂.2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →,:g Y Z →都是连续映射,试说明:g f X Z →也是连续映射.答案:设W 是Z 的任意一个开集,由于:g Y Z →是一个连续映射,从而1()g W -是Y 的一个开集,由:f X Y →是连续映射,故11(())f g W --是X 的一开集,因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集,所以:g f X Z →是连续映射.3、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:假如A 是一个闭集,如此A 的补集A '是一个开集. 答案:对于x A '∀∈,如此x A ∉,由于A 是一个闭集,从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ⋂-=,因此U A φ⋂=,即U A '⊂,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域,这说明A '是一个开集.4、设X 是一个拓扑空间,A X ⊂.试说明:假如A 的补集A '是一个开集,如此A 是一个闭集. 答案:设x A ∉,如此x A '∈,由于A '是一个开集,所以A '是x 的一个邻域,且满足A A φ'⋂=,因此x A ∉,从而A A ⊃,即有A A =,这说明A 是一个闭集.5、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T6、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=7、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--8、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--9、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=10、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=11、在实数空间R 中给定如下等价关系:~x y ⇔]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .答案:{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=六、证明题〔每题8分〕1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y ()f X 是Y 的一个连通子集.证明:如果()f X 是Y 的一个不连通子集,如此存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =⋃…………………………………………… 3分于是11(),()f A f B --是X 的非空子集,并且:111111111(()())(()())(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ---------⋂⋃⋂⊂⋂⋃⋂=⋂⋃⋂=所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外,1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----⋃=⋃==,这说明X ()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ⋃⊂,如此或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的开集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂=………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,如此Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 假如Φ=⋂Y B ,如此A Y ⊂;假如Φ=⋂Y A ,如此B Y ⊂………………… 8分3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ⋃⊂,如此或者A Y ⊂,或者B Y ⊂.证明:因为B A ,是X 的闭集,从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的闭集.又因B A Y ⋃⊂中,故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂=………………… 4分由于Y 是X 的连通子集,如此Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 假如Φ=⋂Y B ,如此A Y ⊂;假如Φ=⋂Y A ,如此B Y ⊂………………… 8分4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,如此Z 也是X 的一个连通子集.证明:假如Z 是X 的一个不连通子集,如此在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =⋃.因此Y A B ⊂⋃………………………………… 3分由于Y 是连通的,所以Y A ⊂或者Y B ⊂,如果Y A ⊂,由于Z Y A ⊂⊂,所以Z B A B φ⋂⊂⋂=,因此 B Z B φ=⋂=,同理可证如果Y B ⊂,如此A φ=Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间XY γγφ∈Γ≠,如此Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集. 证明:假如Y γγ∈Γ是X X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=⋃………………………………………… 4分任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性,设x A ∈,对于每一个γ∈Γ,由于Y γ连通,从而Y Aγγ∈Γ⊂与B φ=,矛盾,所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集,B 是X 的一个既开又闭的集合.证明:如果A B φ⋂≠,如此A B ⊂.证明:假如B X =,如此结论显然成立.下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ⋂是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分由于A B φ⋂≠与A 连通,所以A B A ⋂=,故A B ⊂.………… 8分7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ∂≠.证明:假如()A φ∂=,由于()A A A --'∂=⋂,从而()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=⋂=⋂⋂⋃=⋂⋃⋂,故, A A '是X 的隔离子集………………………………………… 4分因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ∂≠. ……………………………………………… 8分下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的,可能有错误或者不足,希望对大家的考试有帮助。