行程问题经典例题

8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后,他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．

【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1

2

圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+

12＝3

2

圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈－60）+300,为3

2

圈,所以此圆形场地的周长为480米．

行程问题分类例析

河北 欧阳庆红

行程问题有相遇问题，追及问题,顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等。在运动形式上分直线运动及曲线运用（如环形跑道）. 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追及，

追及距离慢快S S S +=。顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流,回时则为逆流.

一、相遇问题

例1:两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时,甲车从出发开始共行驶了多少小时？

分析：利用相遇问题的关系式(相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程。 解答：设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )(60

25

-

。（如图1)

依题意,有72x+48)(60

25

-

x =360+100， 解得x=4。

因此，甲车共行使了4h 。 说明:本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离,望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h ，飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h ，这架飞机最多能飞出多少千米就应返回？ 分析：列方程求解行程问题中的顺风逆风问题。 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速

解答：解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有

6425

57525575.=-++x

x

解得：x=1320。

答：这架飞机最远飞出1320km 就应返回。 解法二： 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意，有(575+25)t=（575—25）（4。6—t), 解得:t=2。2.

(575+25)t=600×2.2=1320.

答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回。 说明：飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有645752.=x

,解得x=1322。5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是

)/(h km v v v v v x v x x 574550

600550

600222≈+⨯⨯=

+⋅=

+逆

顺逆顺逆

顺

例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车,环形公路长为42km ，甲、乙两人的速度分别为21 km/h 、14 km/h.

(1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后，两人首次相遇?

(2) 如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇？ 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh 两人首次相遇. 依题意，得(21+14)x=42, 解得：x=1.2.

因此，经过1.2小时两人首次相遇. (3) 设经过xh 两人第二次相遇。 依题意，得21x-14x=42×2, 解得：x=12。

因此,经过12h 两人第二次相遇。

说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题,反向运动属相遇问题。从同一地点出发,相

图1

遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长，第二次相遇，追及路程为两圈的周长。

有趣的行程问题

【探究新知】

例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

分析与解：出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和(简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小时）

答：3小时后两人相遇。

本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程＝速度和×时间.

例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A点出发,乙从C点同时出发,都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米,乙每秒跑4.5米.当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？（第二届希望杯试题）

分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及

问题问题中有一个基本关系式:追击路程=速度差×追

及时间。

追及路程：10＋6=16（米）

速度差：5－4。5=0.5（米）

追击时间：16÷0。5=32（秒）

甲跑了5×32÷［(10＋6）×2]=5（圈）

答:甲跑了5圈。

例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时,货车离乙地还有多少千米?

分析与解：货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时(45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2)小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离。

解:①甲、乙两地之间的距离是：

45×（12—6）＋（45＋15）×(12—6—2）

＝45×6＋60×4