圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)(20201128025357)

圆锥曲线

一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F I,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2| L 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2；2a |F1F2|没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:

2 2

3.常用结论：（1）椭圆笃占i（a b 0）的两个焦点为F I,F2，过F i的直线交椭圆于A, B两 a b

点，贝U ABF 2的周长= _______

2 2

（2）设椭圆务笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是_______________ | PQ | ___________ 、双曲线:

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F i , F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F 1F 2 |） 的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PFj IPF 2I 2a 与 | PF 2 | | PF i | 2a （ 2a | F 1F 2 |）表示双曲线的一支。

2a | F 1F 2 |表示两条射线；2a | F 1F 2 |没有轨迹;

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:

顶点 A 1( a,0), A 2(a,0)

B 1

(0, a),

B 2(0,

a)

对称轴

x 轴，y 轴；虚轴为 2b

，实轴为2a 焦 占 八、、 八、、

F 1( C ,0),F 2(C ,0)

F 1 (0, C ), F 2(0,C )

焦距

El

2C (C 0) 2 C

2

.2

a b

离心率

e C (e 1) a

（离心率越

大，

开口越大）

渐近线

b y —x

a

a y

— x

b

通径

2 b 2

a

（4）等轴双曲线为x 2 y 2 t 2，其离心率为 2

中心在原点，焦点在x 轴上

中心在原点，焦点在y 轴上

标准 方程

2

x

~2 a

2

y

1( a 0,b

0)

b

2

y

~2

a

2

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线匚〔的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂 .2 ' 2

a 2

b 2

2

y

b 2

，因式分解得到A y 0。

a b

2

2

②与双曲线字白1共渐近线的双曲线系方程是

2 2

x y

；

2

.2

a

b

F i

x —1(a 0,b 0)

b

2 2

(4)常用结论：(1双曲线占X_ i(a o,b o)的两个焦点为F i, F2，过卩十勺直线交双曲线a2b2'

的同一支于代B两点，贝U ABF2的周长= _________

2 2

(2)设双曲线冷耸i(a 0,b 0)左、右两个焦点为，过F i且垂直于对称轴的

a2b2'

直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是________________ |PQ| __________

三、抛物线:

(1)抛物线的定义：_____ 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质：p 0

焦点在x轴上, 焦点在x轴上, 焦点在y轴上, 焦点在y轴上, 开口向右开口向左开口向上开口向下

焦占八、、

八、、F(-,0)

2

F( -,0)

2

F(0,

卫)

2

离心率 e 1

准线x卫

2x上

2

y卫

y 2

通径2p

p F(0, /

焦半径焦点弦焦准距|PF | |y o |

标准

对称轴x轴

|PF | |x o | |

四、弦长公式：| AB | 1 k 2 | X 1 X 2 | . 1 k 2 . (X 1 X 2)2 4x 1X 2

1 k2

|A|

其中，代 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y 后所得关于x 的一元二次方程

的判别式和x 2的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关

B

于x 的一元二次方程Ax 2 Bx C 0,设A （x i ,yj ， B （X 2,y 2），由韦达定理求出捲x 2

A

x 1x 2 C ；

（ 3）代入弦长公式计算。

A

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y 的一元二次方程Ay 2 By C 0,则相应的

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的 距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一 般用分割法

五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次

方程Ax 2 Bx C 0,设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），由韦达定理求出x 1 x 2

— ； （3）

A

设中点M （x o ，y o ），由中点坐标公式得X o ' 住；再把x X 。代入直线方程求出y y 。

2

法（二）：用点差法，设 A （x 「y 1）， B （X 2,y 2），中点M （x °, y °），由点在曲线上，线段

的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x 0, y 0。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c ，再代入公式

弦长公式是: |AB| *1

(》2|y i

1 2 --------------- 2 ----------

山屮P 細y2)4y1y2

（『

|A|

注意（1）上面用到了关系式|X 1

X 2 |

X 2)2 y y 2

；(% y 2)2 4y°2

|A|

4x 1x 2

|A|