-圆锥曲线基础练习题

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2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一．选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二．填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设，所以, 得,所以，所以直线方程为:,联立，得由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以，所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:，当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，，联立方程组，整理可得：，则有，由条件可知：直线所在直线方程为：，因为直线与直线相交于所以，同理可得：，则，若为锐角，则有，所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或，所以或或，故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：，联立方程组：，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有，因为：，所以，，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得：，而此时： . 令，所以直线，令得，由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离，所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以，得，即令，求导得，当，单调递增；当，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值）（2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得代入，有，则，解得，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设，，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，消元得，，，又，，化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中；由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程，所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得：由韦达定理得则，；所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由，解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得由，得，所以，设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为：联立方程组可解得的坐标为，在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设，所以， ∴，同理可得， ∴四边形ADBC 的面积， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得，满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得，所以，∴，，又，∴，同理可得， ∴，所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得，所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.，又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，，则，，直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，，易得在点处切线为，在点处切线为，由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得，所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。

高二圆锥曲线基础练习题及答案

高二圆锥曲线基础练习题及答案一、选择题1. 下列关于椭圆的说法，正确的是：A. 所有椭圆都是对称图形。

B. 椭圆的离心率大于1。

C. 椭圆的长轴和短轴相等。

D. 椭圆的焦点个数与离心率有关。

答案：D2. 设椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，则该椭圆的离心率为：A. 3/5B. 1/2C. 2/3D. 5/6答案：C3. 下列关于双曲线的说法，正确的是：A. 所有双曲线都是开口向上的图形。

B. 双曲线的离心率等于1。

C. 双曲线的长轴和短轴相等。

D. 双曲线的焦点个数与离心率有关。

答案：D4. 设双曲线的长轴长度为8，短轴长度为4，则该双曲线的离心率为：A. 2B. 3/2C. 4/3D. 5/4答案：B5. 下列关于抛物线的说法，正确的是：A. 抛物线的焦点位于抛物线的顶点上。

B. 抛物线的离心率等于1。

C. 抛物线的长轴和短轴相等。

D. 抛物线的焦点个数与离心率有关。

答案：A二、填空题1. 设椭圆的长轴长度为12，短轴长度为8，则该椭圆的离心率为__________。

答案：2/32. 设直角双曲线的焦点到中心的距离为3，焦点到顶点的距离为5，则该直角双曲线的离心率为__________。

答案：4/53. 设抛物线的焦距为6，顶点到焦点的距离为4，则该抛物线的离心率为__________。

答案：3/2三、解答题1. 某椭圆的长轴长度为10，焦距为6，求离心率和短轴的长度。

解：设椭圆的离心率为e，短轴长度为b。

根据椭圆的定义，焦距的长度为ae，即6 = ae。

由此可以解得椭圆的离心率为e = 6/a。

又已知长轴长度为10，即2a = 10，解得a = 5。

将a = 5代入离心率的公式，可得e = 6/5。

由椭圆的定义可知，离心率e = √(1 - b²/a²)，代入已知的离心率和a的值，可得√(1 - b²/25) = 6/5。

将等式两边平方化简，得到1 - b²/25 = 36/25，即1 - b² = 36，解得b = √(1 - 36) = √(-35)。

圆锥曲线小题练习

圆锥曲线小题练习021．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM=2MF,则直线OM 的斜率的最大值为（A）3（B ）23（C）2（D ）12．椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足OAF ∆是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A1 B．21 D．23．若抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（）A ．34B ．32C ．1D ．2 4．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一条直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ，则2121x x y y 为（）A 、4B 、-4C 、2p D 、2p -5．如图，1F ，2F 是双曲线1C ：1322=-y x 与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则2C 的离心率是（）．A ．31B ．32 C.15D ．52 6．若抛物线mx y =2的焦点是双曲线1322=-y x 的一个焦点，则实数m 等于（） A.4± B.4 C.8± D.87．过抛物线22y px =焦点的直线交抛物线于A B 、，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值A ．234p B ．234p - C ．23p D ． 23p -8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线x y 42=的准线分别交于A 、B两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为3，则双曲线的离心率=e （）A.21 B.27 C. 2 D. 39．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=，则直线AB 的斜率k =（）A2 B 22C3D3310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．511．已知椭圆方程，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是（） A.2 B.4 C.8 D.12．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．02=±yx B ．02=±y x C ．03=±y x D ．03=±y x13．已知双曲线C ：﹣=1，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（） A ．B ．C ．2D ．214．过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若01260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（）A ．22B ．33C ．12D ．1315．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 16．已知Ｐ是抛物线xy 42=上的一个动点，则点Ｐ到直线1243:1=+-y x l 和02:2=+x l 的距离之和的最小值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．417．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：22213x y a +=1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为（） A ．34B ．1C ．2D ．4 18．设12F F 是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．34 B ．23 C ．12D ．4519．椭圆22186x y +=上存在n 个不同的点12,,...,n P P P ，椭圆的右焦点为F 。

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新

第二章 2.4 2.4.2基础练习1．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(2,3) D ．(3,2) 【答案】D【解析】将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3.∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8 【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d ＝3＋p2＝4.解得p ＝2.3.(2020年某某五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A.y 2＝－12xB.y 2＝－8xC.y 2＝－6xD.y 2＝－4x 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( )A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】D【解析】C 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)过定点P (－2,0)．过点A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |.∴点B (1，22)．∴k ＝22－01－－2＝223.故选D ．5．(2019年某某某某期末)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是__________________．【答案】x 2＝2y【解析】由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y .6.(2020年某某某某质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.7．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由题意，直线AB 的方程为y ＝x －1，代入抛物线方程y 2＝4x ，整理得x 2－6x ＋1＝0. (方法一)由x 2－6x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2×x 1＋x 22－4x ·x 2＝2×62－4＝8.(方法二)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|＝x 1＋1，|BF |＝|BB 1|＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B (AB 不垂直于x 轴)，F 为焦点且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒过定点Q (6,0)，求抛物线C 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8－p .又|QA |＝|QB |，∴(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22，即(x 1＋x 2－12)(x 1－x 2)＝2p (x 2－x 1)．∵x 1≠x 2，∴x 1＋x 2＝12－2p .∴12－2p ＝8－p .解得p ＝4. ∴所求抛物线C 的方程为y 2＝8x .能力提升9．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，∴这样的直线有两条．故选B ．10.(多选题)如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率存在，则( )A.|AB |＝x 1＋x 2＋pB.x 1x 2＝p 24C.y 1y 2＝－p 2D.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝x 1＋x 2＋p ，A 正确.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，B ，C 正确.设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，∴以AB 为直径的圆与准线相切，D 正确.综上，ABCD 全选. 11.(2020年某某永州模拟)已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为.【答案】2＋2【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116.设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab .由抛物线的定义得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b ).由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab(2ab )2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋2.12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.。

专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

【答案】1 【详解】抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，

高二数学圆锥曲线基础练习题(一)(最新整理)

14． 2
15．2. 由抛物线 y ax2 1 的焦点坐标为 (0, 1 1) 为坐标原点得， a 1 ，则 y 1 x2 1 与坐标轴的交点为
4a
4
4
(0, 1), (2, 0), (2, 0) ，则以这三点围成的三角形的面积为 1 41 2 . 2
3
16．0<m2+n2<3, 2. ∵直线 mx+ny-3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点,∴
求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
18．如图，椭圆
x2 a2
y2 b
＝1（a＞b＞0）与过点
A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率 e
3
.
2
（I）求椭圆方程；
（II）设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，
求证： |
AT
|2
＝1 2
|
AF1
||
AF2
|
.
19．已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1．（Ⅰ）当直线 BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程；（Ⅱ）当 ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值．
（Ⅱ）是否存在实数 k 使 NA NB 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
2
1．B.
0
0
2．A.双曲线 mx2
y2
1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，∴
m<0，且双曲线方程为 x2 4
8y 2
1
1，∴
m= 1 4
.
3．C.
1

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(新文化与压轴30题专练)解析

第2章圆锥曲线（新文化与压轴30题专练）一、单选题1．（2021·上海·高二专题练习）开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】A 【解析】根据开普勒第二定律即可得【详解】因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P 点到F 的距离较远，经过4T时间，14BPFS S椭圆，所以4T 时间后未到B 点，可能在A 处故选：A.本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.2．（2020·上海市进才中学高二期末）若直线y=x+b 与曲线3y =b 的取值范围是A ．1,1⎡-+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1⎡⎤-⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】C 【详解】试题分析：如图所示：曲线3y = （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得1- 故答案为C3．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高二期末）设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（）A ．B ．4C ．D ．以上都不对【答案】B根据向量的运算，化简得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得|NO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥a ，所以|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2a =4，即|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．（2020·上海市实验学校高二期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.5．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22195x y +=过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A ，B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则|NF |：|AB |等于（）A ．12 B ．13C ．23D ．14【答案】B 【分析】设出直线AB 的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出,NF AB ，由此求得两者的比值. 【详解】依题意可知，椭圆的右焦点为()2,0.设直线AB 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，π2α≠）.代入椭圆22195x y +=，化简得()2254sin 20cos 250tt αα++⋅-=，所以12122220cos 25,54sin 54sin t t t t ααα+=-=-++.设AB 的中点为C ，则中点C 对应的参数1232t t t +=，所以312cos 2cos t t t NF αα+==.而12AB t t =-所以NFAB===13===.故选：B.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；（4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（） A ．（2）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（3）（4） D ．（1）（2）【答案】A 【解析】首先发现直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点()0,2不在任何一条直线上，判断选项. 【详解】因为点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合.（1）由于直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，其中存在两条切线平行，所有M 中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上，观察知点()0,2M 符合条件，故（2）正确；（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数()3n n ≥，存在正n 变形，其所有边均在M 的直线上，故（3）正确；（4）如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如ABE △，一类是BCD △,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.故选：A 【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再判断选项就比较容易.7．（2021·上海·高二专题练习）已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论：①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形； ③当1m =-时，若点(,)P x y 在曲线C 上，则||1x ≥或||1y ≥；其中，正确结论是（） A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D 【分析】在曲线C 上任取一点(),P x y ，得到44221x y mx y ++=；将点()1,P x y --代入曲线方程，可验证点()1,P x y --在曲线上，同理可得点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，得到①②正确；当1m =-时，得到222213124x y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，根据题意，推出矛盾，即可得出③正确. 【详解】在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确. 故正确命题的序号为：①②③. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定曲线对称性的方法，一般任取曲线上的点(),x y ，结合曲线方程，列出式子；再验证(),x y -，(),x y -，(),x y --是否满足曲线方程，即可得出其对称性.8．（2021·上海宝山·高二期末）如果一个多边形的所有顶点均在某个函数的图象上，那么称此多边形为该函数的内接多边形.设函数()32141f x x x x =---，()2222x f x x =-+，若四边形ABCD 为函数()()12y f x f x =+的内接正方形，则此正方形的面积为（） A ．15或7 B ．10或7C ．10或17D ．15或17【答案】C 【分析】分析可得39()12f x x x =-+关于(0,1)M 对称，即可得正方形的对称中心，设出直线AC 的方程，即可得直线BD 方程，将直线与()f x 联立，可得2192x k =+，同理22912x k =-，由AM BM =，化简整理，可得1k k-的值，再利用,AM BM 表示出面积S ，化简计算，即可得答案. 【详解】函数()()312912y f x f x x x =+=-+，设39()12f x x x =-+，则()()2f x f x -+=，所以函数()f x 关于点(0,1)M 对称，这显然也是正方形的对称中心，由正方形性质可得，AC BD ⊥于M ，且AM BM CM DM ===，不妨设直线AC 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BD 方程为11y x k=-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1122(,2),(,2)C x y D x y ----，联立直线AC 与函数()y f x =方程：31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可得3902x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以2192x k =+，同理22912x k =-，又120,0AM BM =-=-，所以229191(1)122k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2219102k k k k⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得2112940k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14k k -=-或112k k -=-，所以1k k +=，所以12122ABCD S AM BM x x k k ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭1210k k ⎛=+ ⎝或17故选：C 【点睛】解题的关键是读懂题意，根据函数对称性，得到正方形对称中心，再根据正方形性质，利用弦长公式，化简计算，即可得答案，属难题9．（2021·上海·高二专题练习）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（）①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO . A ．①② B ．①②④ C ．②③④ D ．①③【答案】B 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立；对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可. 对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222)][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅,即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确；对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上. 故此时00x =,22222)][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅=故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()222122||||||2OP PF PF a=-≤, 即22||2OP a ≤,解得||OP ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.二、填空题10．（2021·上海市大同中学高二开学考试）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x yr r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 【答案】（2，4）【详解】设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，整理可得：2440y ty m --= 则�=16t 2+16m >0，124y y t +=，124y y m =-则()()2121242x x ty m ty m t m +=+++=+∴线段AB 的中点()222M t m t +，由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且()50C ，当0t ≠时，有1MC AB K K =- 即2201125t t m t-⨯=-+-，整理得232m t =- 把232m t =-代入到�=16t 2+16m >0 可得230t ->，即203t <<由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径即2d r ==24r ∴<<，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条当0t =时，这样的直线l 恰有2条，即5x r =±， 05r ∴<<综上所述，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()24，点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，根据判别式求得线段AB 的中点M 的坐标，分别讨论0t ≠时，0t =时r 的取值范围，即可得到答案11．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图象，关于此函数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图象过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为________.【答案】①② 【分析】根据双曲线关于坐标原点对称,则旋转后得到的函数的()f x 图象也关于原点对称,即有()f x 为奇函数；根据双曲线的顶点、渐近线方程可得旋转后的()f x 的图象的渐近线,再由对称性可得()f x 的图象过3)2或3)2-；根据()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点,不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞,也不是33(,][,)22-∞-+∞；分()f x 的图象所在的象限讨论,得出()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数yf xx 没有零点.【详解】解：双曲线2213x y -=关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的()f x 图象关于原点对称,即有()f x 为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为30,,渐近线方程为y x =,可得()f x 的图象的渐近线为0x =和y =,图象关于直线y =对称,可得()f x 的图象过32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭. 由对称性可得()f x 的图象按逆时针60旋转位于—三象限；按顺时针旋转60位于二四象限；故②对；()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭..不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞；()f x 的图象按顺时针旋转60位于二四象限,由对称性可得()f x 的值域也不是33(,][,)22-∞-+∞,故③不对；当()f x 的图象位于一三象限时,()f x 的图象与直线y x =有两个交点,函数y f xx 有两个零点；当()f x 的图象位于二四象限时,()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数y f xx 没有零点故④错.故真命题为：①② 故答案为：①② 【点睛】本题考查双曲线的性质和函数图象的对称性、极值、零点,属于中档题.12．（2020·上海市洋泾中学高二期末）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的坐标为___________ 【答案】()1,0【分析】设△PMN 的外接圆的圆心为(),a b ，根据题设中给出的结论可构建关于,a b 的方程组，解方程组后可得P 的坐标. 【详解】延长NM 交x 轴于K ，则NKO ∠为锐角，由题设，当P 在射线KO 上时，若MPN ∠取最大值，则有PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P ，设Q 为x 轴上的动点且在K 的左侧，则NQM NQK PKN ∠<∠<，由MPN ∠为最大值角可得MPN PKN ∠>∠，故当P 为x 轴上的动点且MPN ∠取最大值时，P 在射线KO 上且PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P .设该圆的圆心为(),a b ，则0b >且圆的半径为b ，故()()()()2222221214a b ba b b ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得到22245028170a a b a a b ⎧+-+=⎨--+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩，又直线MN 的方程为3y x，故()3,0K -，故710a b =-⎧⎨=⎩舍去，故PMN 的外接圆的圆心为()1,2，故()1,0P . 故答案为：()1,0. 【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.13．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于A 、B 、C 、D 四点，则9AB CD +的最小值为_____．【答案】11 【分析】利用抛物线的定义表示出1||2A AB x =+，1||2D CD x =+，对直线l 的斜率是否存在进行讨论：当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，用设而不求法表示出1A D x x =，利用基本不等式求最值. 【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，所以1A AF x =+，因为1||||2AF AB =+，由圆()22114x y -+=的半径为12，所以1||2A AB x =+.同理1||2D CD x =+，当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=，所以1A D x x =，所以||9||59511A D AB CD x x +=++≥+，（取等号的条件为=9A D x x ，即=3=31A D x x ，）综上，9AB CD +的最小值为11．故答案为：11【点睛】解析几何中的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.14．（2021·上海·华师大二附中高二期末）在xOy平面上，将双曲线的一支221 916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线0y=、4y=围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y(04)y≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________【答案】36π.【详解】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支221916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线43y x=交于一点A（34a，a）点，与双曲线的一支221916x y-=(0)x>交于B a）点，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y ）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=22394ππ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积， ∴Ω的体积V=9π×4=36π，故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.15．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________ 【答案】()2,0或()0,2- 【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+= 与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=① 由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故答案为：()2,0或()0,2-. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.16．（2021·上海市金山中学高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点,A B ，动点P 满足PA PBλ=，（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点()1,0M -和()2,1N ，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为________【分析】在x 轴上取()3,0S -，由MOP POS 可得PS PN SN +≥，利用两点间距离公式可求得结果. 【详解】如图，在x 轴上取点()3,0S -，OM OP OPOS=MOP POS ∠=∠，∴△MOP ∼△POS ，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号）， )minPNSN ∴+==.【点睛】PN +的最值求解转化为PS PN +的最值求解问题，从而由三点共线确定最小值.17．（2021·上海·高二专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，则12PF F △的面积为___________.【答案】【解析】根据图形以及线段PA ，PC ，PB ，PD 的长求出()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=，可得228020a b ⎧=⎨=⎩，然后利用三角形面积公式可得答案.【详解】因为椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P ，线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，由图可知，,,A P C 是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得， 12444,44822A P c P PD PC x x PC x x PC ++==-=-==+=+=， 2622,22422C P A P PA PB y y PA y y PA ++==-=-==+=+=，即()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=，可得2222161616441a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得228020a b ⎧=⎨=⎩，c =则12PF F △的面积为12112222p F F y ⨯⨯=⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出()()4,4,8,2A C ，然后代入椭圆方程确定,a b 的值.18．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为_______ 【答案】10 【解析】由已知可得O ，A ，P 三点共线，先设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，从而有线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||||cos ||OB x OP x y OA θ==+，结合椭圆方程及基本不等式可求．【详解】((1)AP OA OP OA λ=-=-，∴OP OA λ=，则O ，A ，P 三点共线，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，则线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||11||cos 48481016||924||25||5OB x OP x x y OA x θ===⨯⨯=++，当且仅当16||925||x x =即15||4x =时取得最大值10．故答案为：10．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题19．（2021·上海金山·高二期末）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于,A B 两点.（1）求双曲线C 的顶点到其渐近线的距离；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（12）证明见解析；（3）存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，表示出22220PA PB y y k k x x -⋅=-，将,P A 代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出0MA MB ⋅=，由此可构造方程组求得1m =-，得到()1,0M -；当直线l 斜率不存在时，可知()1,0M -满足0MA MB ⋅=；综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±，渐近线方程为y =；由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，取y =，顶点()1,0，∴所求距离d =，即双曲线C（2）由双曲线对称性知：,A B 关于原点对称，设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-； ,P A 均为双曲线上的点，2222001313y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：2222003y y x x --=，220223y y x x -∴=-，即PA PB k k ⋅为定值3；（3）由双曲线方程知：()12,0F ；当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222223034430k k x k x k -≠--++=，，则()23610k ∆=+>；设()11,A x y ，()22,B x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()()()()22222222222243142453140333kk k k m m m k m k mk k k +++----=-++==---；2245010m m m ⎧--=∴⎨-=⎩，解得：1m =-，()1,0M ∴-；当直线l 斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，此时()1,0M -使得0MA MB ⋅=；综上所述：存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.20．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有共同的焦点1F ，2F且双曲线的实轴长为（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若曲线1C 与2C 在第一象限的交点为P ，求证：1290F PF ∠=︒.（3）过右焦点2F 的直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点.记AOB ，COD △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）2212x y -=；（2）证明见解析；（3【解析】（1）解方程组2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩求得,a b 的值，即可求双曲线2C 的标准方程；（2）联立曲线1C 与2C 的方程，求得在第一象限的交点为P 的坐标，可得12,F P F P 的坐标，利用120F P F P ⋅=可得结论.（3）斜率不存在时，直接求出面积比，斜率存在时，设出直线方程，分别与椭圆、双曲线方程联立，利用韦达定理、结合弦长公式与三角形面积公式可得)())21222143221421k AB S S CD k k +⎫===+∈+∞⎪--⎭，进而可得答案.【详解】（1）因为椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>有共同的焦点1F ，2F ，且双曲线的实轴长为2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解之得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩双曲线2C 的标准方程为2212xy -=（2）联立方程组22221412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解之得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P ⎝⎭()1F，)2F12F P ⎛= ⎝⎭，22F P ⎛= ⎝⎭1224271093F P F P -⋅=+=，∴1290F PF ∠=︒（3）当直线l 的斜率不存在时，AB =1CD =，此时12AB S S CD=当直线l的斜率存在时，设方程为(y k x =代入椭圆方程得()2222141240k x x k +---=，21212212414k x x x x k ++=-+ 由弦长公式得()224114k k CD +=+把直线方程(y k x =代入双曲线方程得()222212620k xx k -+--=2121226212k x x x x k ++==--由弦长公式得)22121k k AB +=-因为直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，所以2222120010262012k k k k ⎧-≠⎪∆>>⇒>⎪--⎪>-⎩ 设原点到直线l 的距离为d ，∴)())212221432214212121d AB k AB S S CD k d k CD +⎫===+∈+∞⎪--⎭综上可知，12S S 【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单21．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）11,1612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）设点()00,M x y ，可得()00,N x y --，椭圆的有界性可得出[]200,2y ∈，利用斜率公式结合椭圆方程可得出20172212PM PN k k y ⋅=-++，利用不等式的基本性质可求得PM PN k k ⋅的取值范围；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,Q x y ，分析得出直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()14y k x -=-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由AP QB AQ PB ⋅=⋅可得出()33214x x k -=-，再由3314y k x -=-可得出33220x y +-=，即可得出结论. 【详解】（1）设()00,M x y ，()00,N x y --，则()22200000222000001111144162121642PM PNy y y y y k k x x x y y -+---⋅=⋅===-+-+--，所以()202200121271722122212PMPN y kk y y -++⋅==-+++，因为[]200,2y ∈，所以[]2021212,16y +∈，所以20777,2121612y ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，所以11,1612PM PN k k ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦；（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为4x =，此时直线l 与椭圆C 无公共点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设4:1l y k x，即()14y kx k =+-，联立()2214214x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()()2221241421440k x k k x k ++-+--=，由0∆>得212810k k --<，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()12241412k k x x k -+=-+，()2122214412k x x k--=+，设()33,Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，得()()()()23121344x x x x x x --=--（考虑线段在x 轴的射影），所以()()121233842x x x x x x =++-，于是()()()2332241421448421212k k k x x k k----=+⨯-⨯++，整理得()33214x x k -=-，又3314y k x -=-，代入上式，得33220x y +-=，所以点Q 总在定直线220x y +-=上．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22．（2021·上海·高二专题练习）已知直线1:3l y x t =+与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B两点（如图所示），且(P在直线l 的上方.（1）求常数t 的取值范围；（2）若直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的值；（3）若APB △的面积最大，求APB ∠的大小.【答案】（1）0t -<<；（2）120k k +=；（3）12arctan 3APB π∠=-. 【分析】（1）根据点P 与直线l 的位置关系可得出关于t 的不等式，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合0∆>可解得实数t 的取值范围；（2）列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得12k k +的值；（3）列出韦达定理，求出AB ，点P 到直线l 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出APB △面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得APB △面积的最大值，利用等号成立的条件求出t 的值，进一步可求得APB ∠的大小. 【详解】（1103t t >⨯⇒<.将直线13y x t =+代入221364x y +=，化简整理得22269360x tx t ++-=，由()()222236893636808t t t t ∆=--=->⇒<，故0t -<<；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则123x x t +=-，2129362t x x -=，又1k =2k =所以，122112y x y xk k-+-+=+=上式分子((12211133x t x x t x⎛⎛=+-++- ⎝⎝(()121223x x t x x t =+-+-(()22936332t t t t -=⋅+--- 223123120t t =--+-+=，从而，120k k +=；（3）因为12AB x -==且点P 到直线AB的距离d =所以，22133862222PABt t SAB d t -+=⋅=⋅=.当且仅当2t =-时等号成立，此时点()0,2A -，所以，1k ==，又120k k +=，所以，APB π∠=-【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．23．（2021·上海市建平中学高二期末）已知椭圆221222:1(0),,x y a b F F a bΓ+=>>分别为其左、右焦点．（1）若T 为椭圆上一点，12TFF △面积最大值为12TF F △为等边三角形，求椭圆的方程；（2倍，点P 的坐标为(2)a b -，Q 为椭圆上一点，当1||PQ QF +最大时，求点Q 的坐标；（3）若A 为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO 交椭圆于B ，直线1AF 交椭圆于C ，直线1BF 交椭圆于D ，若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λμ+．（用a 、b 代数式表示）。

(完整word版)圆锥曲线基础知识专项练习

圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。

0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。

k＞1 B.k＜—1C。

-1＜k＜1 D。

-1＜k＜0或0＜k＜12。

方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。

m∈（-4,2)C。

m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。

1 C.3 D。

64。

已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。

D。

5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。

甲是乙成立的充分不必要条件B。

甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。

“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。

充要条件B。

充分非必要条件C.必要非充分条件D。

既不充分也不必要条件7。

方程+=10,化简的结果是（）A。

+=1 B。

+=1 C.+=1 D。

+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。

C.D。

9。

若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。

y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。

抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。

已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。

2 B。

C.-1 D。

+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

对口升学数学复习《圆锥曲线》练习题

《圆锥曲线》练习题练习1——椭圆1 （一）选择题：1．椭圆的两个焦点分别为F 1 (-4,0), F 2 (4,0)，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ( )（A ）1362022=+y x （B ）112814422=+y x （C ）1203622=+y x （D ）181222=+y x 2． P 为椭圆192522=+y x 上一点，则△P F 1F 2的周长为（）（A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）不能确定3．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值是( ) （A ）-16<m<25 （B ）29<m<25 （C ）-16<m<29 （D ）m>29 4．若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围( ) （A ）(0,+∞) （B ）(0,2) （C ）(1,+∞) （D ）(0,1)5．椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（）（A ）(±5，0) （B ）(0，±5) （C ）(0，±12) （D ）(±12，0)6．已知椭圆的方程为22218x y m+=，焦点在x 轴上，则其焦距为（）（A ）228m - （B ）2m -22 （C ）282-m （D ）222-m7．设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈( ) （A ）(0,4π] （B ）(4π,2π) （C ）(0,4π) （D ）[4π,)2π8．椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于（）（A ）－1（B ）1（C ）5（D ）9．椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（）（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）410．已椭圆焦点F 1（-1，0）、F 2（1，0），P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程为（）（A ）221169x y += （B ）2211612x y += （C ）22143x y += （D ）22134x y += （二）填空题：1．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是。

2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(单元基础卷)解析

第2章圆锥曲线（单元基础卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（2022·上海·高三专题练习）双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】1 【解析】【分析】根据方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离公式求得. 【详解】双曲线的焦点为(±2，0),渐近线方程为y =,即0x ±=， 1,= 故答案为：1.2．（2022·上海·高三专题练习）若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则PF 的值为_______. 【答案】2022 【解析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF 等于点(2021,)P t 到准线的距离即可求解. 【详解】由24y x =可得其焦点()1,0F ，准线为1x =-，因为点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，所以点(2021,)P t 到焦点的距离等于到准线1x =-的距离，所以()202112022PF =--=，故答案为：2022.3．（2022·上海·高三专题练习）椭圆2231x y +=的短轴长为___________【解析】【分析】将椭圆方程化为标准形式，进而求出答案．【详解】由题可得椭圆的标准方程为22113y x +=，则21a =即1a =，213b =即b =,4．（2022·上海·高三专题练习）经过点()2,4的抛物线2y ax =焦点坐标是__________.【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】把点(2, 4)代入抛物线方程可得a ,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标. 【详解】抛物线2y ax =经过点()2,4， 1a,∴抛物线标准方程为2x y =, ∴抛物线焦点坐标为1(0,)4故答案为: 1(0,)45．（2022·上海·高三专题练习）已知P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点P 到抛物线C 的焦点的距离为7，到y 轴的距离为5，则p =___________. 【答案】4 【解析】【分析】根据抛物线的定义计算．【详解】由题意5722P p pPF x =+=+=，解得4p =．故答案为：4．6．（2022·上海·高三专题练习）已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左､右焦点，点P 在C上，则12PF F △的周长为___________. 【答案】10 【解析】【分析】根据椭圆的定义计算．【详解】由椭圆方程知3a =，2c ==，P 在椭圆上，所以121222232210PF PF F F a c ++=+=⨯+⨯=．故答案为：10．7．（2021·上海黄浦·高二期末）若圆C 与x 轴和y 轴均相切，且过点（1，2），则圆C 的半径长为______．【答案】1或5．【解析】【分析】根据题意可知，圆心在y ＝x 或y ＝﹣x 上，分别设圆心为（a ，a ），（a ，﹣a ），写出圆的方程并代入（1，2），进行计算即可. 【详解】根据题意，若圆C 与x 轴和y 轴均相切，则圆心C 在直线y ＝x 或y ＝﹣x 上，当圆心C 在y ＝x 上时，设圆心C 的坐标为（a ，a ），此时圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝a 2，将（1，2）代入可得：（1﹣a ）2+（2﹣a ）2＝a 2，即a 2﹣6a +5＝0，解可得a ＝1或5，此时圆的半径为1或5，当圆心C 在y ＝﹣x 上时，设圆心C 的坐标为（a ，﹣a ），此时圆的方程为（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝a 2，将（1，2）代入可得：（1﹣a ）2+（2+a ）2＝a 2，即a 2+2a +5＝0，a 无解综上所述，圆的半径为1或5. 故答案为：1或5．8．（2021·上海·高二专题练习）直线:l y x b =+与曲线:C y =则b 的取值范围是_______________________.【答案】⎡⎣ 【解析】【分析】首先确定直线和曲线的图形特征，然后考查临界值即可确定实数b 的取值范围．【详解】解：如图所示，y =1为半径的半圆，y x b =+是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接()1,0A -和()0,1B ，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，1b =；当直线l 与半圆相切时，圆心(0,0)到y x b =+的距离1d r ==，1=，解得：b =b =所以b 的取值范围是⎡⎣．故答案为：⎡⎣9．（2021·上海市吴淞中学高三期中）设F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，OPOF=，则△OPF 的面积为___________.【答案】52##2.5 【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设F 为双曲线22:145x y C 的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F 为双曲线22:145x y C 的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，24a =，25b =，则3c =，则以O 为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y +=．联立22229145x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53P ⎫⎪⎝⎭，1553232OPFS ∴=⨯⨯=．故答案为：52．10．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）设直线系M ：cos sin 1(02)x y θθθπ+=≤≤，对于下列三个命题：①M 中所有直线均与一个定圆相切； ②M 中所有直线均经过一个定点； ③存在点P 不在M 中的任一条直线上．其中真命题的序号为____________（写出所有真命题的序号）【答案】①③ 【解析】【分析】①求得定圆方程，由此来判断正确性；利用特殊值来证明②错误、③正确. 【详解】圆221x y +=，圆心到直线cos sin 1x θy θ+=的距离为1，也即直线cos sin 1x θy θ+=与圆221x y +=相切，①正确.0θ=，直线方程为1x =；θπ=，直线方程为1x =-.直线1x =与直线1x =-平行，没有交点，所以②错误.由于0cos 0sin 01θθ⨯+⨯=≠，所以存在点()0,0P 不在M 中的任一条直线上. 所以③正确. 故答案为：①③11．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）与圆222212:(1)(2)4,:(1)(2)4C x y C x y -+-=++-=同时相切的直线有___________条.【答案】2 【解析】【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案. 【详解】圆1C 的圆心为()1,2，半径为2；圆2C 的圆心为()1,2-，半径为2；圆心距()1220,4C C =∈，所以两圆相交，公切线有2条. 故答案为：212．（2022·上海·高考真题）已知双曲线()22210x y a a-=>，双曲线上右支上有任意两点()111,P x y 、()222,P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是________【答案】1a ≥ 【解析】【分析】设点()322,P x y -，可得出130OP OP ⋅>，分析得出101a<≤，即可解得a 的取值范围. 【详解】设点()322,P x y -，则1312120OP OP x x y y ⋅=->，则13OP OP =或13POP ∠为锐角，如下图所示：设点M 为双曲线的渐近线1y x a =在第一象限内的一点，设点N 为双曲线的渐近线1y x a=-在第四象限内的一点，由题意可知，02MON π<∠≤，则10tan 14a π<≤=，解得1a ≥. 故答案为：1a ≥.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2022·上海·高三专题练习）设抛物线的焦点坐标为()0,2-，准线方程为2y =，则该抛物线的方程为（）A ．212x y =B ．212=-x yC ．28x y =D ．28x y【答案】D 【解析】【分析】由焦点位置确定抛物线方程为()220x py p =->，根据准线可求得p ，从而得到结果.【详解】抛物线焦点在y 轴负半轴，∴可设抛物线方程为()220x py p =->，则22p=，解得：4p =，∴抛物线方程为：28x y .故选：D.14．（2022·上海·高三专题练习）已知实数x ，y 满足2246120x y x y ++-+=，则x 的最大值是（） A ．3 B ．2 C ．-1 D ．-3【答案】C 【解析】【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定x 的最大值. 【详解】方程变形为()()22231x y ++-=，圆心()2,3-，半径1r =，则x 的最大值是211-+=-.故选：C15．（2022·上海·高三专题练习）关于x ，y 的方程221x my +=，给出以下命题； ①当0m <时，方程表示双曲线；②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆；④当1m =时，方程表示等轴双曲线；⑤当1m 时，方程表示椭圆．其中，真命题的个数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据曲线方程，讨论m 的取值确定对应曲线的类别即可. 【详解】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m 时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆． ∴①③⑤正确. 故答案为：B16．（2020·上海·闵行中学高二期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245MF F ︒=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】【分析】作1OA F M ⊥于A ，21F B F M ⊥于B ，根据圆的切线的性质可得OA a =，22F B BM a ==，可以求得12F B b =，又点M 在双曲线上，所以12222F M F M a b a -=+-=，整理得b ，从而得出结论．【详解】作1OA F M ⊥于A ，21F B F M ⊥于B ，因为1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒，所以OA a =，22F B BM a ==，因为122F F c =，所以12F B b ===，又点M 在双曲线上，所以12222F M F M a b a -=+-=，整理得b ，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k 米的区域，如图，1l 、2l 分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，以点O 为坐标原点，1l 、2l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点()100,400M ）和平安检查点（即点()400,700N ）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k ，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线:10000l x y -+=）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.【答案】（1）300k =，222200x y +=，()()222400400300x y -+-=；（2）()300,700-【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径. （2）可先求圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点P ,找到直线PC 与l 的交点，即为所求. 【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：222200x y +=李叔叔家在王阿姨家的东偏北45︒方向，设李叔叔家所在的位置为(),C c c ，离()100,400M 和()400,700N 距离相等故()()()()2222100400400700c c c c -+-=-+- 故()()22100700c c -=- 即100700c c -=- 故400c =300k ==故李叔叔负责区域边界的曲线方程为()()222400400300x y -+-= （2）圆心O 关于:10000l x y -+=的对称点为(),P a b 则有1000022ab -+=，1ba=- 解得1000,1000a b =-=1000400310004007PC k -==---34000:77PC y x =-+联立:10000l x y -+=与34000:77PC y x =-+，可得交点为()300,700- 王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点()300,700-碰面，距离之和最近. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．18．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ､2F ，点()0,2M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线1y x =+被椭圆C 截得的弦长. 【答案】（1）22184x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）由上顶点坐标可得b ；利用勾股定理可构造关于,a c 的方程，结合椭圆,,a b c 关系可求得2a ，由此可得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式可直接求得结果. 【详解】（1）()0,2M 是椭圆的上顶点，2b ∴=；由椭圆对称性知：12MF MF =，又122MF MF a +=，12MF MF a ∴==， 12F MF 是等腰直角三角形，2224a a c ∴+=，即2212c a =，2222142b ac a ∴=-==，解得：28a =；∴椭圆C 的方程为：22184x y +=；（2）设直线1y x =+与椭圆C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点，由221184y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：23460x x +-=，则1672880∆=+=>，1243x x ∴+=-，122x x =-，3AB ∴=，即直线1y x =+被椭圆C截得的弦长为3. 19．（2022·上海·华师大二附中高二期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的A 、B 两点.(1)若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；(2)若直线l 经过点P (-1，0)，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：A '、F 、B 三点共线. 【答案】(1)8； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及弦长公式求线段AB 的长；（2）设l 为1x ky =-，联立抛物线由韦达定理可得4A B y y k +=，4A B y y =，应用两点式判断BF FA k k '-是否为0即可证结论.(1)由题设，联立直线与抛物线方程可得2(1)4x x -=，则2610x x -+=，2641320∆=-⨯=>， ∴6A B x x +=，1A B x x =，所以||||8A B AB x x -==. (2)由题设，(1,0)F ，又直线l 经过点P (-1,0)，此时直线斜率必存在且不为0，可设l 为1x ky =-，联立抛物线得：2440y ky -+=，则4A B y y k +=，4A B y y =，又(,)A A A x y '-，故12A A FA A A y y k x ky '-==---，而12B BBF B B y y k x ky ==--，所以()()()2222880222441A B A B B A BF FA B A A B A B ky y y y y y k k k k ky ky k y y k y y k '-+--=+===---++-，所以A '、F 、B 三点共线.20．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知椭圆22163x y +=上有两点(2,1)P -及(2,1)Q -，直线:l y kx b =+与椭圆交于A 、B 两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）． (1)当1k =且12PC CQ =时，求直线l 的方程； (2)当2k =时，求四边形PAQB 面积的取值范围；(3)记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为1k 、2k 、3k 、4k ，当0b ≠且线段AB 的中点M在直线y x =-上时，计算12k k ⋅的值，并证明：2212342+>k k k k ．【答案】(1)10x y -+=(2)209⎡⎢⎣⎦(3)1212k k =，证明见解析【解析】【分析】（1）设(),C a b ，根据12PC CQ =求解；（2）设直线l 的方程是2y x b =+，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得 AB ，再由直线l 与线段PQ 相交，得到b 的范围，然后由AB PQ ⊥，由12S AB PQ =⋅求解；（3）设直线l 的方程是y kx b =+，与椭圆方程联立，由AB 的中点坐标是 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由1212022x x y y +++=，结合韦达定理解得 12k =求解.(1)解：设(),C a b ，则()()2,1,2,1PC a b CQ a b =+-=---，因为12PC CQ =，所以()()12221112a a b b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得2313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线l 的方程是1233y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即10x y -+=；(2)设直线l 的方程是2y x b =+，与椭圆方程联立得 2298260x bx b ++-=，则AB因为线l 与线段PQ 相交，所以0<，解得 55b -<<，因为 1,22PQ l k k =-=，则 1PQ l k k ⋅=-，所以 AB PQ ⊥，且PQ =所以四边形PAQB的面积是12S AB PQ AB =⋅= 所以以四边形PAQB的面积的范围是209⎡⎢⎣⎦； (3)设直线l 的方程是y kx b =+，与椭圆方程联立得 ()222124260k x kbx b +++-=，设 ()()1122,,,A x y B x y 则 2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-⋅=-++，线段AB 的中点坐标是 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意得 1212022x x y y +++=，即 12120x x y y +++=，因为 1122,y kx b y kx b =+=+，所以 ()()12120k x x b +++=，即 ()2412012kb k b k ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，即()2212012b k k -=+，解得 0b =（舍去）或 12k =，当 12k =时， 212124412,33b b x x x x -+=-⋅=-，()()()2121212121212121111114222242b x x x x b y y k k x x x x x x -⋅+++---⋅=⋅==++⋅+++，因为()()()2121212341212121111114222242b x x x x b y y k k x x x x x x +⋅++++++⋅=⋅==--⋅-++，因为12k k ≠，由基本不等式得2212342k k k k +>⋅成立.21．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）已知曲线C 上任一点P 与点(1,0)F 的距离与它到直线10x +=的距离相等． (1)求曲线C 的方程；(2)求过定点(0,1)M ，且与曲线C 只有一个公共点的直线的方程．【答案】(1)24y x = (2)0x =，1y =，1y x =+ 【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得；（2）分类讨论，一是与对称轴平行的直线，一是抛物线的切线（切线有斜率存在与不存在两种）． (1)所题意曲线C 是以F 为焦点，直线10x +=为准线的抛物线，12p=，2p =，所以抛物线方程是24y x =； (2)易知直线1y =与抛物线C 只有一个交点，直线0x =与抛物线相切了，只有一个公共点，设直线1y kx =+(0)k ≠与抛物线相切，214y kx y x =+⎧⎨=⎩，2104k y y -+=，10k ∆=-=，1k =，切线方程为1y x =+，所以所求直线方程为：0x =，1y =，1y x =+．。

圆锥曲线基础练习题

圆锥曲线基础练习题（1）一、选择题1.椭圆15322=+y x 的焦距是（） .A 22 .B 24 .C 2 .D 22.抛物线y x =2的准线方程是（）A.014=+xB.014=+yC.012=+xD.012=+y3.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k 等于（）.A 1- .B 5 .C 1 .D 5-4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（）A.2B.52C.3D.5 5.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A.2B.3C. 4D.56.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于（）.A 41- .B 4- .C 4 .D 41 7.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 ( )A.163B.83C.316D.38 8.抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1617 B.1615 C.87 D.0 二．填空9.抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点的距离为a ，则点M 到准线的距离是10.过点)2,3(-A 的抛物线的标准方程是11.在抛物线)0(22>=p px y 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值是12.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 13.已知双曲线2222-=-y x ，则渐近线方程是准线方程是14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥则点P 到x 轴的距离为15.方程x 224–k+ y 216 + k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是 . 16.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是．17.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为23，则b a 的值为____________。

高中数学备课资料圆锥曲线基础练习题(1)

圆锥曲线基础题训练一、选择题：1．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线4．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线5．方程11122=-++k yk x 表示双曲线，则k 的取值范围是（）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥k D ．1>k 或1-<k6．双曲线14122222=--+m ym x 的焦距是（）A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=19．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （） A ．1或5 B ． 6 C ． 7 D ． 910．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）A ．25B ．5C ．215D ．1011．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±12.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．013.抛物线28x y =-的准线方程是（）A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y二、填空题14．若椭圆221x my +=长为_______________.15．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

圆锥曲线大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

圆锥曲线大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与直线2y x =+相切．(1)求C 的方程；(2)过C 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，AB 的中垂线与C 的准线交于点P ，若PA =，求l 的方程．2．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．3．（2022秋·海南海口·高三校考期中）椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .4．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知1l ，2l 是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l 与椭圆22:14x y Γ+=相交于A ，B 两点，2l 与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线1l 的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．6．（2022秋·重庆长寿·高三统考期末）已知曲线22:1C ax by +=过点1,2⎛ ⎝⎭和1,2⎛- ⎝⎭．(1)求曲线C 的方程，并指出曲线类型；(2)若直线2x －y －2＝0与曲线C 的两个交点为A ，B ，求△OAB 的面积（其中O 是坐标原点）．7．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,A B 两点，且3AB =，如图．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点(0,1)的直线l 与椭圆Γ相交于,P Q 两点，求证：射线AO 平分PAQ ∠．8．（2022春·河北唐山·高三校考开学考试）如图，抛物线的顶点在原点，圆22(2)4x y -+=的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A 、B 、C 、D 四点，求||||AB CD +的值.9．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线C ；()220y px p =>，F 为抛物线的焦点，直线x m =和抛物线交于不同两点A ，B ，直线2p x =-和x 轴交于点N ，直线AF 和直线BN 交于点()00,M x y ．(1)若m p =，求三角形AMN 的面积AMN S （用p 表示）；(2)求证：点M 在抛物线C 上10．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,2P ，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在抛物线E ：24y x =上，求直线l 的斜率k 的取值范围．11．（2022·重庆·统考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.12．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>两个焦点分别为12,F F ，且过点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 是椭圆C 上的点，且123F PF π∠=，求三角形12F PF 的面积.14．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图所示，椭圆221169x y +=的左､右焦点分别为1F ､2F ，一条直线l 经过1F 与椭圆交于A ､B 两点.（1）求2ABF ∆的周长；（2）若直线l 的倾斜角为45 ，求2ABF ∆的面积.15．（2022·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左焦点为()12,0F -，点(在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若直线()():20=+≠l y k x k 和椭圆交于,A B 两点，设点T 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，求线段OT 长度的取值范围．16．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x y a b a b +=>>（，短轴长为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．17．（2022·海南海口·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且经过点3⎫⎪⎪⎭．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆22:1O x y +=相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．18．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，1A ，右焦点为点F ，点P 是椭圆E 上一动点，1APA △面积的最大值为2，当PF x ⊥轴时，12PF =.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，直线l 与直线x =N ，过点F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：FM FN 为定值.19．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）点()00,N x y 是曲线22:1ax by Γ+=上任一点，已知曲线Γ在点()00,N x y 处的切线方程为001ax x by y +=．如图，点P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆22:4O x y +=于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求OPM 面积的最大值．20．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为()1,0F -，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若在y 轴上的截距为2的直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA ，OB 的斜率之和等于12，求ABF △的面积．21．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.22．（2022秋·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2.（1）椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B两点，且AB =m 的值.23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．24．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得12311k k k λ+=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．25．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.26．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为2，点P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12(1,0),(1,0)F F -，过1F 的直线l 交椭圆C 于M ､N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.27．（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知双曲线2222C :1x y a b-=(a>0,b>0)(1)求双曲线C 的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点在圆225x y +=上,求m 的值.28．（2022秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在抛物线21:4C y x =上，圆2222:(2)(02).C x y r r -+=<<(1)若1r =，Q 为圆2C 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；(2)若点P 的纵坐标为4，过P 的直线,m n 与圆2C 相切，分别交抛物线1C 于,A B （异于点P ），求证：直线AB 过定点．29．（2022秋·湖北襄阳·高三期末）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22163x y +=，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左，右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆2C 的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H ．求证：12A H PA ⊥30．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线的准线2x =-上的动点．(1)求p 的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且,MF AB AF MB ⊥⊥，求直线l 在x 轴上截距b 的取值范围．。

第九单元圆锥曲线( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

第九单元圆锥曲线A 卷基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2020全国高三课时练习（理）】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若1221,tan 2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22x a+2yb =1（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1=2，∴12PF PF =2，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴x=23a ，∴|PF 2|=23a ，则|PF 1|==43a，由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2，∴解得， ∴e=c a故选A.2.【2020四川资阳高三其他（理）】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2b ，且C 的离心率为12，则C 的方程是（） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选A.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2 B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选C ．4. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选B ．5. 【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选D ．6. 【2020山东青岛高三二模】已知曲线C 的方程为()222126x y k k k-=∈--R ，则下列结论正确的是（）A ．当8k时，曲线C 为椭圆，其焦距为4B ．当2k =时，曲线C C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当3k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆()2249x y -+=相切【答案】B【解析】对于A ，当8k 时，曲线C 的方程为221622x y +=，轨迹为椭圆，焦距22622415c =-=，A 错误；对于B ，当2k =时，曲线C 的方程为22124x y -=，轨迹为双曲线，则2a =，6c =，∴离心率3==ce a，B 正确；对于C ，若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则26020k k -<⎧⎨-<⎩，解集为空集，∴不存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，C 错误；对于D ，当3k =时，曲线C 的方程为22173x y -=，其渐近线方程为217y x =±，则圆()2249x y -+=的圆心到渐近线的距离4214323035214910d ±===≠+，∴双曲线渐近线与圆()2249x y -+=不相切，D 错误.故选B.7.【2020陕西西安高三二模（理）】设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（）A ．27±B ．23±C ．7±D ．3±【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ．设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒．又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为32±．故选D ．8.【2020山东高三其他】如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A ．233B ．54C ．53D ．322【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sinbc θ==，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=，即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==．故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选ACD ．10.【2020山东德州高三一模】 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确；12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选ABD .11. 【2020山东济南外国语学校高三月考】我们通常称离心率为51-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误；对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e =故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误；对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得2e =（舍去）或2e =12e ∴=故D 正确故选BD.12.【2020山东泰安高三其他】已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（） A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆的方程为222x y += C ．点M的横坐标为 D ．12MF F △的面积为【答案】ACD【解析】由双曲线方程22142-=y x知2,a b ==y轴，渐近线方程为a y x b =±=，A正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是226x y +=，B 错；由226x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，由对称性知M点横坐标是，C 正确；12121122MF F M S F F x ==⨯=△D 正确．故选ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】联立22222221x cx ya ba b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x cbya=⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBFa=.依题可得，3BFAF=，AF c a=-，即()2223bc aac a a c a-==--，变形得3c a a+=，2c a=,因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．14.【2020肥城市教学研究中心高三其他】双曲线22:1916x yC-=的右支上一点P在第一象限，1F，2F分别为双曲线C的左、右焦点，Q为△12PF F的内心，若内切圆Q的半径为1，则直线1PF的斜率等于_____. 【答案】1663【解析】设1212PF PF F F、、与圆的切点分别为,,M N H.则,PM PN=11,MF HF=22NF HF=，所以121226,PF PF HF HF a-=-==又12+=10HF HF，解得18,F H=12.F H=连接1,F Q HQ11tan,8HFQ∴∠=则112168tan2163164k HFQ⨯=∠==-，故答案为：1663.15.【2020山东高三其他】已知抛物线22(0)y px p=>与直线:4320l x y p--=在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若||||AF FBλ=，则λ=________.【答案】4【解析】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=，解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=， 4AF FBλ==.故答案为416. 【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=故答案为：()3,0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a +=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线P A 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++，即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++=解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）．若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.18．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.19．【2020浙江湖州中学高三其他】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q . 【解析】（1）由已知，点2,1)在椭圆E 上.因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB . 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x xkxx x x++==.易知，点B关于y轴对称的点的坐标为22(,)B x y'-.又121122122111,QA QBy yk k k k kx x x x x'--==-==-+=--，所以QA QBk k'=，即,,Q A B'三点共线.所以12||||||||||||||||xQA QA PAQB QB x PB==='.故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||=QA PAQB PB恒成立.20．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12xC y+=，抛物线22:2(0)C y px p=>，点A是椭圆1C与抛物线2C的交点，过点A的直线l交椭圆1C于点B，交抛物线2C于点M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若116p=，求抛物线2C的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p=得2C的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t=+≠≠，点00(,)A x y．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m =，10t =时，p 取到最大值10． 21. 【2020山东高三其他】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，||42OA =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线于P ，Q （点M 在点P ，Q 之间），记OAM △的面积为S ，求23||2S PQ +的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）23【解析】（1）当直线OA 的斜率为1时，可得直线OA 的方程为y x =，联立抛物线方程22y px =，解得2x p =，即(2,2)A p p ，||242OA ==2p =，抛物线的方程为24y x =；（2）由（1）可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，00(,)M x y ，22(,)P x y ，33(,)Q x y ，且2114y x =，由题意可得0OA FM ⋅=，即101010x x y y x +-=，又0OM AM ⋅=，即220100100x x x y y y -+-=，整理可得22001x y x +=，又22222222110011||||||()3AM OA OM x y x y x x =-=+-+=+，则1||||2S AM OM =⋅=221111(3)4S x x x =+，又PQ 的斜率存在且不为0，:1PQ x ky =+，联立抛物线方程可得2440y ky --=，可得234y y k +=，234y y =-，则2||4(1)PQ k ===+，由PQ OA ⊥，可得11PQx k y =-，即11y k x =-，可得212114||4(1)4(1)y PQ x x =+=+，则221111314||(3)6(1)24S PQ x x x x +=+++，可令214()(3)6(1)4f x x x x x =+++，4323232()4x x f x x+-'=⋅，显然43()232g x x x =+-在0x >递增，且(2)0=g ，当02x <<时，()0<g x ，2x >时，()0>g x ，可得()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，可得2x =时，()f x 取得最小值23．即求23||2S PQ +的最小值为23． 22. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.。

15圆锥曲线选填题(解析版)

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
2．(2021年高考全国乙卷理科)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．

圆锥曲线练习题含答案很基础很好的题

7B.— 46.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ 1 72 1 721 721 72(4-^) B.(8-7)C . (4,丁)D .(8,7)2 2—=1上一点P 与椭圆的两个焦点 F 1、F 2的连线互相垂直，则^ PF 1F 2的面积为49 2420 B . 22 C . 28 D . 24C .(1,72)D . (2,2)29.与椭圆一+ y 2=1共焦点且过点Q （2,1）的双曲线方程是（）4圆锥曲线练习题21抛物线y= 10x 的焦点到准线的距离是（ 5 A.— 2 2.若抛物线 B . 5 C . 15D . 10 2 y 2 =8x 上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ A . (7, ±774) B . (14,±714) C . (7,±2714) D . (-7,±2714) 3-以椭圆25 2 2 —+ =1的顶点为顶点，离心率为 16 2的双曲线方程（ 2 x A . 一 16 2 —1 48 B . 2 厶=1 27 2 x 16 2 2 丄=1或三 48 9 227 D .以上都不对2x 4. F 1,F 2是椭圆一 9 =1的两个焦点, A 为椭圆上一点，且/ AF 1F 2 =45° ,则△ AF 1F 2 的面积(5.以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x 2 + y 2 -2x + 6y + 9 = 0的圆心的抛物线的方程是2 2A . y = 3x 或 y = -3x 2B . y = 3x 2C . y = -9x 或 y = 3xD . y = -3x 2或2 y =9x7^5 27.椭圆 8 .若点 A 的坐标为（3,2）, 2F 是抛物线y =2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使 MF + M A 取得最小值的 M 的坐标为（22 2 2 2x 2 」 x 2 」 x y A. ——-y =1 B. ——-y =1 C . ——=12 43 3310.若椭圆宀吋2/的离心率为一，则它的长半轴长为11.双曲线的渐近线方程为 x±2y =0，焦距为10，这双曲线的方程为 12.抛物线y 2 =6x 的准线方程为. 13•椭圆5x 2+ ky2=5的一个焦点是（0,2），那么k = _____ 。

圆锥曲线基础练习题及答案

圆锥曲线基础练习题及答案一、选择题：x2y2??1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为 1．已知椭圆2516A．2B． C．D．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为x2y2x2y2x2y2x2y2??1B．??1 C．??1或??1 D．以上都不对A．9162516251616253．动点P到点M及点N的距离之差为2，则点P的轨迹是A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线4．抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是51 B．C． D．1025．若抛物线y2?8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 A．A．，那么k?三、解答题11．k为何值时，直线y?kx?2和曲线2x2?3y2?6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？12．在抛物线y?4x上求一点，使这点到直线y?4x?5的距离最短。

13．双曲线与椭圆有共同的焦点F1,F2，点P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

22214．已知双曲线x?y?1的离心率e?2，过A,B的直线到原点的距离是.223ab求双曲线的方程；已知直线y?kx?5交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.2y21 经过坐标原点的直线l与椭圆?1相交于A、B两2点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线l的倾斜角．16．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.参考答案1．D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a?10,10?3?72．C a?2b?18,a?b?9,2c?6,c?3,c2?a2?b2?9,a?b?1 x2y2x2y2??1或??1 得a?5,b?4，?251616253．D PM?PN?2,而MN?2，?P在线段MN的延长线上4．B p?10,p?5，而焦点到准线的距离是p5．C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线x?? 2的距离，得xP?7,yp??x2y2??1,a?1；．1,或2当m?1时，1my2x2a2?b231212??1,e??1?m?,m?,a??4,a?当0?m?1时，11a244mmx2y21设双曲线的方程为x2?4y2??,，焦距2c?10,c2?25．205当??0时，x2??y24?1,4?25,??20；x21,?25,20 当??0时，??4?48．??0,?0,k?1,或k??49．x??y23p32p?6,p?3,x22y2x25??1,c2??1?4,k?1 10．1焦点在y轴上，则51k k三、解答题11．解：由??y?kx?222?2x?3y?6，得2x2?32?6，即x2?12kx?6?0??144k2?24?72k2?48当??72k?48?0，即k?时，直线和曲线有两个公共点；或k??33 时，直线和曲线有一个公共点；或k??3 当??72k?48? 0，即k?2当??72k?48?0，即2时，直线和曲线没有公共点。