现代控制理论-第二章
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现代控制理论复习
1 x2 ax1 ( x12 x22 ) x 2 x1 ax2 ( x12 x22 ) x
试证明 a 0 时系统平衡状态 xe 0 是大范围渐近稳定的。 六、 （15 分）已知连续系统的动态方程为：
0 3 2 x x 1 u, 1 1
3
加油
一、判别题（对的打“√”,错的打“×”, 每小题 1 分，共 10 分） （1） 描述系统的状态方程不是唯一的。 （2） 用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3） 线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （4） 一个单输入单输出系统和它的对偶系统,它们的状态变量和输出变量将不 同，则它们的传递函数也一定不相同。 （5） 对单输入单输出系统， 如果传递函数存在零极点对消，则系统一定不可控 或者不可观测。 （6） 李雅普诺夫第二法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （7） 李雅普诺夫函数是正定函数， 李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳 定性。 （8） 若系统是李雅普诺夫意义下稳定, 则系统在经典意义下也稳定。 （9） 用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）对一个线性定常的单输入单输出 5 阶系统，假定系统状态可控可观测，通 过设计输出至输入的反馈矩阵 F 的参数能任意配置系统的闭环极点。 ##（15 分）已知系统传递函数
2
加油
Q = I),判断 P 矩阵是否正定。P 正定一致渐近稳定,当||x||→∞,V(x,t)→∞大范围渐近稳定 李雅普渃夫方法在线性系统中的应用： 1 求最优参数：J=V[x(t0)]=x(t0)`Px(t0) 2 动态响应的快速性：∩min = imin(QP-1) 克拉索夫斯基方法 第六章 状态反馈和状态观测器 状态反馈不会改变系统的阶次及其能控性。 极点配置：进行极点配置的系统必须完全能控。 算法 1：a(s)=det(sI-A)=s^n+a1s^n-1+„„+an-1s+an a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* K﹋=[an*-an an-1*-an-1 „„a1*-a1] |an-1„„ a1 1| Q = [B AB „„A^(n-1)B]|„„ 0| |a1 | |1 | P = Q-1 K = K﹋P 算法 2：K = [k1 k2 „„ kn] a(s)=det(sI-A+BK)=s^n+a1(K)s^n-1+„„+an-1(K)s+an(K) a*(s)=(s-p1*)(s-p2*)„„(s-pn*)= s^n+a1*s^n-1+„„+an-1*s+an* 比较系数求 K 解耦控制：实现解耦控制的充要条件是存在常量矩阵 E 为非奇异。其中，K = E-1F E = [E1 E2„„Ep] F = [c1A^(d1+1) c2A^(d2+1)„„cpA^(dp+1)] L = E-1 di = min(di1,di2„„dip)–1 Ei=︾lim s^(di+1)gi(s)(s→∞) di = u,ciA^kB=0,k=0,1,2„„u-1, ciA^uB≠0 di = n-1,ciA^kB=0,k=0,1,2„„n-1 Ei = ciA^diB 状态观测器： 第七章 最优控制 1 泛函 宗量 变分基本概念 2 欧拉方程 3 横截条件 4 条件极值 6 自由端问题 7 固定端问题 8 末端受限问题 9 终端时间 T 自由的问题 10 最大值原理与最小值原理 11 动态规划
浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
现代控制理论-第二章 状态空间分析法 2006 9
第一篇线性系统分析和综合第一章绪论第二章状态空间分析法大纲状态空间与状态方程的基本概念由状态方程到传递函数的数学模型转换由传递函数到状态方程的数学模型转换状态方程的求解系统的能控性系统的能观性系统结构分析状态变量反馈状态观测器李雅普诺夫稳定性分析2.1基本概念60s'以前,研究自动控制系统的传统方法主要使用传递函数作为系统的数学描述,研究对象是SISO系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂（MIMO，时变，不确定，耦合，大规模）,传统的研究方法难以适应新的形势。
在50s'后期,Bellman等人提议使用状态变量法,即状态空间法来描述系统,时至今日,这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组,这在力学和电工上早已使用,并非什么新方法,但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于MIMO、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统,而经典法主要适用于线性定常的SISO系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程,因而简化数学符号,方便推导,并很适合于计算机的处理,而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明I-O关系,还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样, 能用Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题,显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型,这妨碍了它的推广和应用。
―――继续发展：鲁棒控制、不确定系统控制理论。
综上,现代控制理论并不能完全取代经典法，而是各有长短，互相补充。
第2章(1) 控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()()()()[]T=t x t x t x t x n 21()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：()()()()[]T=t u t u t u t u r 21那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:()()()[]t t u t x f t x,,= 其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 =称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程:()()()[]t t u t x g t y ,,=其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙ 线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
现代控制理论(第二章)
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
e t e 2 t e t 2 e 2 t
x ( t ) L 1 ( s I A ) 1 x ( 0 ) L 1 ( s I A ) 1 B ( s ) U
s3
1
sIA1bU(s)(s1)(s2)
2
(s1)s(s2)1 01s
(s1)(s2) (s1)(s2)
eAtPeAtP1Pe0 1t
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
线性时变系统的非齐次状态方程为：
且
的元素在时间区间
（17） 内分段连续，则其解为：
（18）
证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
现代控制理论第二章
（2）在e At 定义中，用（1 ）的方法可以消去 A的n及n以上的幂次项，即 e At = I + At + 1 2 2 1 1 A t +⋯+ An −1t n −1 + An t n + ⋯ 2! ( n − 1)! n!
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
现代控制理论第二章答案
cos2t
e At
TeAtT 1
1 0
0 cos2t 2sin 2t
cos2t 0.5sin 2t
2sin 2t
c os 2t
sin 2t1
c os 2t
0
0 0.5
(2)
1 1
I A
2 3 0
4 1
1 1
2 3
1
1
P1 2 P2 2
1 1 T 2 2
0.25
s 0.5
3
s 1 s 3
e At
L1[(sI
A)1]
0.5et 0.5e3t
et e3t
0.25et 0.25e3t
0.5et 0.5e3t
解法四:凯莱—哈密顿定理法
(1) 特征方程:
I A
1 2 4 0
4
0 (t)
1
(t
)
1 1
1 2
1
e1t e2t
s
0
s2 1
1 0
t 1
s
t
x(t) (t)x(0) o (t )Bu( )d
1 0
t1 t 1 11 0 0
t
1
101(
)d
1 2
t
2
t
t 1
1
【习题2－10 】有离散系统如下,求x(k)
1
x(k
1)
2 1
8
1
8 1
x(k
)
1 0
2
0 u1 (k ) 1u2 (k)
(et
(et
e3t ) e3t )
141((eet tee33t t))
1 2
(et (et
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
第二章现代控制理论状态空间表达式
diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
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30 中南大学信息学院自动化系
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3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
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2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论第二章
U(s)
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1
k1 s s1
k2 s s2
kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
1 s 1 1 s
Y(s)
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
方块图导出状态空间模型的步骤 （1）将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和 惯性环节的组合。 （2）以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量 的拉氏变换。 （3）列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变 换关系式。 （4）对所有（3）中的拉氏变换关系式求拉氏反变换 得到一阶微分方程组。 （5）把（4）中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示 的状态方程与输出方程。
例2.7
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（一）方块图方法的思路 当系统的描述以方块图形式给出时，常常无须求 出系统的总传递函数和状态变量图，可以直接由方块 图导出其相应的状态空间模型. 方法：把系统中二阶以上的环节化为由惯性环节 和积分环节组成。
2.5 由系统方块图导出状态空间描述
（二）典型二阶系统状态空间描述
2.6
习题课
2.7 系统状态空间描述与传递函数
设线性连续定常系统的状态空间模型为
x Ax Bu y C x Du
对以上两式分别做拉氏变换,得
sX s AX s BU s
Y s CX s DU s
从以上两式中消去 X s , 则
s a1 s
n 1
k1 s s1
k2 s s2
kn s sn
k i lim W s s s i
例2.5
s si
2.3 系统的频域描述化为状态空间描述
（二）控制系统传递函数的极点为重根 （1） 传递函数的极点为一个重根
W s Y s U s k 11 k 12 k 1n s s1
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
精品推荐-现代控制理论课后题答案(第二章-第六章)清华大学出版社
1 3s2
s3
，
E( s) U ( s) 21s E( s) 32 s E(s)3 s E( s)
Y ( s) s1 E( s) 22s E( s) 33 s E( s)
8
u
e
+ ++
x3
x2
2
x1
3
-2
-3
-1
状态表达式如下：
++ y
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有
理分式，即 m 是否小于 n ，若 m n 需作如下处理
Y (s)
5s3 7
10s2 15s 18
U (s) s3 2s2 3s 5 5 s3 2s2 3s 5
再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
x1 x 2
a d
c b
x1 x2
c 0
0 u1
d
u2
y1 y2
1 0
0 x1
1
x2
2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
(1)
x1 x 2
0 5
1 6
x1 x2
0 1
u
(2)
x1 0
x2
3
x3 12
1 0 7
0 x1 2
1 11s2
6s3
，
即：
7
E(s) U (s) 6s1E(s) 11s2E(s) 6s3E(s) Y (s) 6s1E(s) 10s2E(s) 5s3E(s)
由上式可得状态变量图如下：
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
现代控制理论-第二章+状态空间描述2讲-561
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sI A 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sI A 0 的根
Page: 3
ys CsI A 1 B D us Gsus
其展开式为
mr
传递函数矩阵
y1s
y2
s
g11s
g
21 s
一系统动态行为的描述。
Page: 29
2.6 系统状态方程的线性变换
状态向量
x x1, x2 , , xn T
非奇异变 换矩阵
x Ax bu y cx
xPx
x Ax b u
y
cx
新状态
向量
A P1AP b P1b c cP
x P1APx P1Bu
若含有D阵的话， 易知有：
0
0 b
0
1
C 0 , 1 n1
注意：A阵仍为友矩阵；
若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控
标准型。
Page: 21
2）当
G(s)
bn
N(s) D(s)
即bn 0时
有A，b不变，只是
y Cx b u n
系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形 实现。
Page: 22
u
n1
Ts 1
s2 2 s 2
1 b1 a1b2
而b2 0, b1 T , b0 1
a11 2T
0 1 a0 2
Page: 24
y 2 y 2 y Tu u
GS
ys us
s2
Ts 1
2 s
2
x Ax bu y Cx
现代控制理论课件chapter2
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
(t ) Ax(t ), 对应于 t 的同次幂系数相等 x
1 1 2 1 2 b1 Ab0 ,2b2 Ab1 b2 Ab1 A b0 A b0 2 2 2! 1 1 1 3 3 3b3 Ab2 b3 Ab2 A b0 A b0， ， b0 x(0) 3 3 2! 3! 1 k bk A b0 k!
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
1 2 2 1 k k 所以 x(t ) [ I At A t A t ]x(0) 2! k! 1 2 2 1 k k 因为 e 1 at a t a t 2! k!
2.2状态转移矩阵
转移矩阵的计算
Modern Control Theory
2.1 线性定常系统齐次状态 方程的解 (自由解)
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
定义：自由解 矩阵指数法 拉氏变换法
为一阶齐次微分方程组。
自由解：系统在没有输入的情况下，由初始状 态引起的自由运动。
Modern Control Theory
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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• 令：
U i (S ) bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 G( S ) b n U o (S ) S n an1S n1 an2 S n2 a1S a0
bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 Y (S ) Y (S ) Z (S ) n U i (S ) S an1S n1 an2 S n2 a1S a0 Z (S ) U i (S )
•输出方程
0 x1 0 x 0 2 1 u 1 xn 1 n 1 an 1 xn n
0 bn 1 bn 1 an 1 0 2 bn 2 an 11 an 2 0
•得状态方程
x n x n 1 n 1u
1 0 1 x x 0 0 2 0 0 x n 1 x a0 a1 n
• 另有： Y (S )
bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 Z (S ) 1
U o (S ) Y (S ) bn U i (S ) U i (S )
Uo (S ) Y (S ) bnUi (S ) (bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 )Z (S ) bnUi (S )
y 3 y 2 y u
• 例：已知系统微分方程如下，求状态空 间表达式
y
( 4)
4 y 3 y 2 y 5 y 6u
6 y ( 6) 5 y (5) 4 y ( 4) 3 y 2 y y 10 y 26u
y ( 4) 6 y (3) 10 y 15 y 21y 7 u 21u
• 例2：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
G(S ) 2( S 4)(S 5) ( S 1)(S 2)(S 3)
第二节 线性系统的状态空间描述
• （三）根据系统传递函数建立 • 1.直接实现法 • 设系统的闭环传递函数为：
y1 ( S ) g11 ( S )u1 ( S ) g12 ( S )u2 ( S ) g1m ( S )um ( S ) y2 ( S ) g 21 ( S )u1 ( S ) g 22 ( S )u2 ( S ) g 2 m ( S )um ( S ) yn ( S ) g n1 ( S )u1 ( S ) g n 2 ( S )u2 ( S ) g nm ( S )um ( S ) y1 ( S ) g11 g12 y ( S ) g g 22 Y ( S ) 2 21 y ( S ) n g n1 g n 2 g1m u1 ( S ) u (S ) g 2m 2 G ( S )U ( S ) g nm um ( S )
第二节 线性系统的状态空间描述
• • • • • 二.状态空间表达式的建立方法 （一）从系统的物理模型建立 1.机械系统：牛顿定律、达朗贝尔原理、虚位移 2.电网络系统：电流定律、电压定律 例题
第二节 线性系统的状态空间描述
• • • • （二）根据系统的微分方程建立 1.微分方程输入项中无微分项 (n) ( n 1) 微分方程为： y an1 y a1 y a0 y b0u(t ) x y x x 设状态变量
( n2)
x1 x2 x 2 x3 x 3 x4 x n 1 xn x n a0 x1 a1 x2 an 1 xn ui
xn x n 1 z ( n 1)
1.直接实现法
• 状态方程为：
1 0 1 x x 0 0 2 0 0 x n 1 x a0 a1 n 0 x1 0 x 0 0 2 u 1 xn 1 0 an 1 1 xn
第二节 线性系统的状态空间描述
• 一.有关概念 • 1.状态：描述系统动态行为的最少一组物理量 • 2.状态变量：可以完全表征系统状态的一组变量，是 时间的函数，不唯一 • 3.状态向量：由状态变量构成的列向量，简称状态 • 4.状态空间：以状态向量为坐标轴所构成的n维空间， 随着时间的推移，状态向量在状态空间中描述出一条 轨迹。将向量的代数结构和几何概念联系起来 • 5.状态方程：由系统状态变量过程的一阶微分方程组 • 6.输出方程：在输出指定情况下，系统输出与状态变 量之间的函数关系 • 7.状态空间表达式：状态方程和输出方程构成一个系 统的完整描述，称为状态空间表达式
第一节 线性系统的传递函数描述
• 2.有关概念 • 系统的零极点：使传递函数为零的点称为零点，使 传递函数分母为零的点称为极点 • 叠加原理：对于线性系统，一个输入的存在并不影 响由另一个输入所引起的输出 • 最小相位系统：在[S]右半平面上无零极点的传递函 数称为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数 的系统称为最小相位系统 • 相似系统：不同物理系统具有形式相同的传递函数
bn 1S n 1 bn 2 S n 2 b1S b0 Y (S ) Y (S ) Z (S ) n U i ( S ) S an 1S n 1 an 2 S n 2 a1S a0 Z ( S ) U i ( S ) bn 1S n 1 bn 2 S n 2 b1S b0 1 n 1 S an 1S n 1 an 2 S n 2 a1S a0
1 1 2
x2 y x n 1 y
( n2)
x 2 x3 x n 1 xn x n y ( n ) a0 x1 a1 x2 an 1 xn b0u
0 x1 0 0 x2 0 u 0 1 xn 1 0 a1 an 1 xn b0 1 0 0x
第二章 线性系统的数学描述
• • • • 第一节 线性系统的传递函数描述 一.单输入-单输出系统 1.传递函数 线性定常系统，其输出-输入关系为：
( n 1) n 1 o
a x (t ) a x
(n) n o
(t ) a1 xo (t ) a0 xo (t ) b x (t ) b x
uo (t ) bn 1 z
( n 1)
bn 2 z
( n2)
b1 z b0 z (t ) bnui (t )
x1 x 2 bn ui bn 1 x n 1 xn
bn 1 xn bn 2 xn 1 b1 x2 b0 x1 bnui (t )
第二节 线性系统的状态空间描述
•2.微分方程输入项中有微分项 (n) ( n 1) ( n) ( n 1) •微分方程为： y an1 y a1 y a0 y bnu bn1u b1 u b0u(t ) x1 y 0u x1 x2 1u •设状态变量
• 输出方程
uo b0 b1 bn 2
1.直接实现法
• 例1：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
2( S 4)(S 5) G(S ) ( S 1)(S 2)(S 3)
( m) m i
( m1) m1 i
(t ) b1 xi (t ) b0 xi (t )
• 若输入输出的所有初态均为零，则输出拉氏变换与 输入拉氏变换之比即为线性定常系统的传递函数。
bm S m bm1S m1 b1S b0 G( S ) an S n an1S n1 a1S a0
• 得 • 状态方程 • 输出方程
xn y
( n 1)
0 1 x x 0 2 0 1 xn x a0 n y 1 0
例：已知系统微分方程： 求状态空间表达式
i bn i an 1 i 1 an 2 i 2 an i 0
y 1 0 0x 0u
n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a0 0
例1：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
x2 x1 1u x32 x2 2u x n 1 x n 2 n 2u
x 2 x3 2u x 3 x 4 3u x n 1 xn n 1u x n a0 x1 a1 x2 an 1 xn nu
1 ic dt C di uL L L dt uc
第一节 线性系统的传递函数描述
• 二.多输入-多输出系统 • 1.求传递函数利用叠加原理 • 2.传递函数矩阵 • 多输入-多输出线性定常系统，输入u={u1,u2,…um}， 输出y={y1,y2,…yn} ，输入输出的所有初态均为零， 根据叠加原理,得
Y ( S ) bn1S n 1 bn2 S n2 b1S b0 Z (S ) 1 Z (S ) 1 n U i ( S ) S an1S n1 an2 S n2 a1S a0
U i (S ) bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 G( S ) b n U o (S ) S n an1S n1 an2 S n2 a1S a0
bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 Y (S ) Y (S ) Z (S ) n U i (S ) S an1S n1 an2 S n2 a1S a0 Z (S ) U i (S )
•输出方程
0 x1 0 x 0 2 1 u 1 xn 1 n 1 an 1 xn n
0 bn 1 bn 1 an 1 0 2 bn 2 an 11 an 2 0
•得状态方程
x n x n 1 n 1u
1 0 1 x x 0 0 2 0 0 x n 1 x a0 a1 n
• 另有： Y (S )
bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 Z (S ) 1
U o (S ) Y (S ) bn U i (S ) U i (S )
Uo (S ) Y (S ) bnUi (S ) (bn1S n1 bn2 S n2 b1S b0 )Z (S ) bnUi (S )
y 3 y 2 y u
• 例：已知系统微分方程如下，求状态空 间表达式
y
( 4)
4 y 3 y 2 y 5 y 6u
6 y ( 6) 5 y (5) 4 y ( 4) 3 y 2 y y 10 y 26u
y ( 4) 6 y (3) 10 y 15 y 21y 7 u 21u
• 例2：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
G(S ) 2( S 4)(S 5) ( S 1)(S 2)(S 3)
第二节 线性系统的状态空间描述
• （三）根据系统传递函数建立 • 1.直接实现法 • 设系统的闭环传递函数为：
y1 ( S ) g11 ( S )u1 ( S ) g12 ( S )u2 ( S ) g1m ( S )um ( S ) y2 ( S ) g 21 ( S )u1 ( S ) g 22 ( S )u2 ( S ) g 2 m ( S )um ( S ) yn ( S ) g n1 ( S )u1 ( S ) g n 2 ( S )u2 ( S ) g nm ( S )um ( S ) y1 ( S ) g11 g12 y ( S ) g g 22 Y ( S ) 2 21 y ( S ) n g n1 g n 2 g1m u1 ( S ) u (S ) g 2m 2 G ( S )U ( S ) g nm um ( S )
第二节 线性系统的状态空间描述
• • • • • 二.状态空间表达式的建立方法 （一）从系统的物理模型建立 1.机械系统：牛顿定律、达朗贝尔原理、虚位移 2.电网络系统：电流定律、电压定律 例题
第二节 线性系统的状态空间描述
• • • • （二）根据系统的微分方程建立 1.微分方程输入项中无微分项 (n) ( n 1) 微分方程为： y an1 y a1 y a0 y b0u(t ) x y x x 设状态变量
( n2)
x1 x2 x 2 x3 x 3 x4 x n 1 xn x n a0 x1 a1 x2 an 1 xn ui
xn x n 1 z ( n 1)
1.直接实现法
• 状态方程为：
1 0 1 x x 0 0 2 0 0 x n 1 x a0 a1 n 0 x1 0 x 0 0 2 u 1 xn 1 0 an 1 1 xn
第二节 线性系统的状态空间描述
• 一.有关概念 • 1.状态：描述系统动态行为的最少一组物理量 • 2.状态变量：可以完全表征系统状态的一组变量，是 时间的函数，不唯一 • 3.状态向量：由状态变量构成的列向量，简称状态 • 4.状态空间：以状态向量为坐标轴所构成的n维空间， 随着时间的推移，状态向量在状态空间中描述出一条 轨迹。将向量的代数结构和几何概念联系起来 • 5.状态方程：由系统状态变量过程的一阶微分方程组 • 6.输出方程：在输出指定情况下，系统输出与状态变 量之间的函数关系 • 7.状态空间表达式：状态方程和输出方程构成一个系 统的完整描述，称为状态空间表达式
第一节 线性系统的传递函数描述
• 2.有关概念 • 系统的零极点：使传递函数为零的点称为零点，使 传递函数分母为零的点称为极点 • 叠加原理：对于线性系统，一个输入的存在并不影 响由另一个输入所引起的输出 • 最小相位系统：在[S]右半平面上无零极点的传递函 数称为最小相位传递函数，具有最小相位传递函数 的系统称为最小相位系统 • 相似系统：不同物理系统具有形式相同的传递函数
bn 1S n 1 bn 2 S n 2 b1S b0 Y (S ) Y (S ) Z (S ) n U i ( S ) S an 1S n 1 an 2 S n 2 a1S a0 Z ( S ) U i ( S ) bn 1S n 1 bn 2 S n 2 b1S b0 1 n 1 S an 1S n 1 an 2 S n 2 a1S a0
1 1 2
x2 y x n 1 y
( n2)
x 2 x3 x n 1 xn x n y ( n ) a0 x1 a1 x2 an 1 xn b0u
0 x1 0 0 x2 0 u 0 1 xn 1 0 a1 an 1 xn b0 1 0 0x
第二章 线性系统的数学描述
• • • • 第一节 线性系统的传递函数描述 一.单输入-单输出系统 1.传递函数 线性定常系统，其输出-输入关系为：
( n 1) n 1 o
a x (t ) a x
(n) n o
(t ) a1 xo (t ) a0 xo (t ) b x (t ) b x
uo (t ) bn 1 z
( n 1)
bn 2 z
( n2)
b1 z b0 z (t ) bnui (t )
x1 x 2 bn ui bn 1 x n 1 xn
bn 1 xn bn 2 xn 1 b1 x2 b0 x1 bnui (t )
第二节 线性系统的状态空间描述
•2.微分方程输入项中有微分项 (n) ( n 1) ( n) ( n 1) •微分方程为： y an1 y a1 y a0 y bnu bn1u b1 u b0u(t ) x1 y 0u x1 x2 1u •设状态变量
• 输出方程
uo b0 b1 bn 2
1.直接实现法
• 例1：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
2( S 4)(S 5) G(S ) ( S 1)(S 2)(S 3)
( m) m i
( m1) m1 i
(t ) b1 xi (t ) b0 xi (t )
• 若输入输出的所有初态均为零，则输出拉氏变换与 输入拉氏变换之比即为线性定常系统的传递函数。
bm S m bm1S m1 b1S b0 G( S ) an S n an1S n1 a1S a0
• 得 • 状态方程 • 输出方程
xn y
( n 1)
0 1 x x 0 2 0 1 xn x a0 n y 1 0
例：已知系统微分方程： 求状态空间表达式
i bn i an 1 i 1 an 2 i 2 an i 0
y 1 0 0x 0u
n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a0 0
例1：已知系统微分方程如下，求状态空间表达式
x2 x1 1u x32 x2 2u x n 1 x n 2 n 2u
x 2 x3 2u x 3 x 4 3u x n 1 xn n 1u x n a0 x1 a1 x2 an 1 xn nu
1 ic dt C di uL L L dt uc
第一节 线性系统的传递函数描述
• 二.多输入-多输出系统 • 1.求传递函数利用叠加原理 • 2.传递函数矩阵 • 多输入-多输出线性定常系统，输入u={u1,u2,…um}， 输出y={y1,y2,…yn} ，输入输出的所有初态均为零， 根据叠加原理,得
Y ( S ) bn1S n 1 bn2 S n2 b1S b0 Z (S ) 1 Z (S ) 1 n U i ( S ) S an1S n1 an2 S n2 a1S a0