新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1-1-2正弦和余弦同步练习新版北师大版

新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数1-1-2正弦和余弦同步练习新版北师大版(二)[第一章 1 第2课时 正弦和余弦]一、选择题1．2018·一模在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sin A ＝AC AB B ．sin A ＝BC AB C ．sin A ＝AC BCD ．sin A ＝BC AC2．2018·孝感如图K －2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于( )图K －2－1A.35B.45C.34D.433．如图K －2－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( )图K －2－2A ．4B ．2 5 C.181313 D.1213134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则cos A 的值为链接听课例4归纳总结( )A.35B.45C.34D.555．等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是链接听课例1归纳总结( )A.513 B.1213 C.1013 D.5126．直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按图K －2－3所示方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则cos ∠CBE 的值为( )图K －2－3A.257 B.724 C.2425 D.725二、填空题7．如图K －2－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC 的顶点都在方格的格点上，则cos A ＝________．图K －2－48．如图K －2－5，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sin α＝23，则t 的值为________．图K －2－59．如图K －2－6所示，AE ，CF 是锐角三角形ABC 的两条高，若AE ∶CF ＝3∶2，则sin ∠BAC ∶sin ∠ACB ＝________．图K －2－610．2017·哈尔滨七十二中月考在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，若cos ∠BAD ＝23，BD ＝5，则CD 的长为________.链接听课例3归纳总结11．如图K －2－7，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．图K －2－7三、解答题12．如图K －2－8，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B ＝45，求∠BAD 的正弦值和余弦值及AC 的长度.链接听课例3归纳总结图K －2－813．如图K －2－9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝35.求：(1)点M 的坐标； (2)cos ∠MNO 的值．图K －2－914．如图K －2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值.链接听课例3归纳总结图K －2－1015．已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α为其最小的锐角，求角α的正弦值和余弦值．探究题如图K －2－11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5.(1)求sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)比较sin A 和cosB 的大小； (3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两问题相同的结果？若有，请说明理由．图K －2－11详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B 如图所示，sin A ＝BC AB.故选B.2．[解析] A 在Rt △ABC 中， ∵AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6，∴sin A ＝BC AB ＝610＝35.故选A.3．[解析] A 由余弦的定义可得cos B ＝BC AB ＝23.又∵AB ＝6，∴BC ＝4.故选A.4．[解析] B 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝BC AB，∴可设BC ＝3k ，AB ＝5k (k >0)，由勾股定理可求得AC ＝4k ，∴cos A ＝AC AB ＝45.故选B. 5．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值为513.6．[解析] C 设CE ＝x ，则AE ＝8－x ，根据折叠的性质可知BE ＝AE ＝8－x .在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得 BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x )2＝62＋x 2， 解得x ＝74，即BE ＝254，所以cos ∠CBE ＝BC BE ＝2425.7．[答案] 2 55[解析] 如图，在Rt △ACD 中，由勾股定理得AC ＝22＋42＝2 5，AD ＝4， ∴cos A ＝AD AC ＝42 5＝2 55.8．[答案] 2 5[解析] 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， ∴sin α＝AB OA. ∵sin α＝23，∴AB OA ＝23.∵A (t ，4)，∴AB ＝4，∴OA ＝6，∴t ＝2 5.9．[答案] 2∶3[解析] 由锐角三角函数的定义可知， sin ∠BAC ＝CF AC ，sin ∠ACB ＝AE AC， ∴sin ∠BAC ∶sin ∠ACB ＝CF AC ∶AEAC＝CF ∶AE ＝2∶3. 故答案为2∶3. 10．[答案] 1或5[解析] (1)如图①，若△ABC 为锐角三角形，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°.∵cos ∠BAD ＝AD AB ＝23，∴设AD ＝2x ，则AB ＝3x .∵AB 2＝AD 2＋BD 2，∴9x 2＝4x 2＋(5)2，解得x ＝1或x ＝－1(舍去)， ∴AB ＝AC ＝3x ＝3，AD ＝2x ＝2， ∴CD ＝AC －AD ＝1.(2)如图②，若△ABC 为钝角三角形，由(1)知，AD ＝2，AB ＝AC ＝3， ∴CD ＝AC ＋AD ＝5. 故答案为1或5.11．[答案] 18 19[解析] 如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .在Rt △BCE 中，sin B ＝CE BC，∴CE ＝BC ·sin B ＝10×910＝9，∴BE ＝BC 2－CE 2＝102－92＝19. ∵AC ＝BC ，CE ⊥AB ，∴AB ＝2BE ＝2 19.则▱ABCD 的面积是2 19×9＝18 19.12．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠CAD .∵cos B ＝BD AB ＝45，∴sin ∠BAD ＝BD AB ＝45，∴cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝35，∴tan ∠BAD ＝sin ∠BAD cos ∠BAD ＝43.∵cos ∠CAD ＝AD AC ＝cos B ＝45，AD ＝4，∴AC ＝5.13．解：(1)如图，过点M 作MP ⊥ON ，垂足为P .在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝35，即MP ＝6，由勾股定理，得OP ＝102－62＝8，∴点M 的坐标是(8，6)．(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12， ∴MN ＝62＋122＝6 5，∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝126 5＝2 55.14．解：(1)因为AC ＝15，cos A ＝35，∠ACB ＝90°，所以AC AB ＝35，所以AB ＝25.又因为D 为AB 的中点，所以CD ＝252.(2)由D 是AB 的中点，得DC ＝DB ， 从而sin ∠ECB ＝sin ∠ABC ＝35，又BC ＝AB 2－AC 2＝20，所以BE ＝12.由勾股定理得CE ＝16，所以DE ＝16－252＝72，而DB ＝252，所以sin ∠DBE ＝DE DB ＝72×225＝725.15．[解析] 要求最小锐角α的正弦值和余弦值，需先确定哪一个角是最小的锐角．因为在三角形中，最短的边所对的角最小，因此首先要求出哪条边最短．解：在直角三角形中，∵斜边与一直角边的比为7∶5， ∴可设这一直角边的长为5k (k ＞0)， 则斜边的长为7k .设第三边长为a ，由勾股定理，得a ＝（7k ）2－（5k ）2＝24k 2＝2 6k . ∵2 6k ＜5k ＜7k ，∴最短的边长为2 6k ，∴长为2 6k 的边所对的角为最小的锐角α， ∴sin α＝2 6k 7k ＝2 67，cos α＝5k 7k ＝57，∴角α的正弦值为2 67，余弦值为57.[素养提升]解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13，∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，cos B ＝BC AB ＝513.(1)∵sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝25169，cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝144169，∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144169＝1.(2)sin A ＝cos B .(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两问题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则必有sin A ＝cosB .理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC AB 2，cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2，∴sin 2A ＋cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC AB 2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.∵sin A ＝BCAB ，cos B ＝BC AB， ∴sin A ＝cos B .。