初中数学中考一轮复习第4章几何初步知识与三角形第14课时三角形与全等三角形课件
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角边”或“HL”.
考点五 定义、命题、定理、公理
1.定义
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.
2.命题
判断一件事情的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那么……”的形
式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.
(2)命题的真假:判断为真的命题称为真命题;判断为假的命题称为假命题.
角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角
互余.
4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
5.三角形具有稳定性.
考点三 三角形中的重要线段
1.三角形的角平分线
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的
线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个
表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来
△ABM和△BCM的面积再求比值.
解:(1)∵AM=MC,∴△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).
(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.
∵AM=MC,
1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边的差小于
第三边.
2.三角形的外角及其外角和
(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理
(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(2)推论:①三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;②三
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或
“SAS”.
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或
“ASA”.
(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角
边”或“AAS”.
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直
点叫做三角形的内心.
2.三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线
段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一
点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:
三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.
第四章
第14课时 三角形与全等三角形
学
习
导
航
01
自主导学
02
方法探究
自主导学
考点梳理
考点一 三角形的有关概念
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.分类
直角三角形
按角分
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
不等边三角形
等边三角形
等腰三角形
底边不等于腰的等腰三角形
考点二 三角形的性质
答案:B
2.已知三角形的两边分别为5和9,则此三角形的第三边可能是(
A.3
答案:C
B.4
C.9
D.14
)
3.如图,AB=AC,要说明△ADC≌△AEB,需添加的条件不能是(
A.∠B=∠C
B.AD=AE
C.∠ADC=∠AEB
D.DC=BE
答案:D
)
4.下面的命题中,判断为真的是(
)
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
根据三角形的三边关系,
得1<x-1<7,
所以2<x<8.
答案:B
命题点2
利用“三线”的性质解题
【例2】 如图,BM是△ABC的一条中线,AB=5 cm,BC=3 cm.
求:(1)△ABM与△BCM的周长之差;
(2)S△ABM∶S△CBM.
分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将△ABM和△BCM的周长分别
△
∴
△
=
1
·
2
=1,
1
·
2
即 S△ABM∶S△CBM=1∶1.
变式训练1已知在△ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中
线,AD∶AB=4∶5,且△ABD的周长为12 cm,求△ABC各边的长及AD的长.
4.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平
行于第三边,且等于它wenku.baidu.com一半.
考点四 全等三角形的性质与判定
1.概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
(
)
A.14 cm
B.18 cm
C.24 cm
D.28 cm
答案:A
方法探究
命题点1
三角形的边角关系
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是(
A.0<x<8
B.2<x<8
C.0<x<6
D.2<x<6
)
解析:已知三角形两边a,b的长,确定第三边c的取值范围,c应满足
|a-b|<c<a+b.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,
而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.
每一个命题都有逆命题.
3.定理
经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不
是所有的定理都有逆定理.
4.公理
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判
B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等
答案:D
5.如图,在△ABC中,BD,CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F,G分别
是BO,CO的中点,连接AO.若AO=6 cm,BC=8 cm,则四边形DEFG的周长是
断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
考点六 证明
1.证明
从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,得出它的
结论成立,从而判断该命题为真命题,这个过程叫做证明.
2.证明的一般步骤
(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学
语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根
据,要推理严密.
3.反证法
先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或定义、定理等相矛盾,从
而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法
叫做反证法.
自主测试
1.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
考点五 定义、命题、定理、公理
1.定义
对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.
2.命题
判断一件事情的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果……那么……”的形
式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.
(2)命题的真假:判断为真的命题称为真命题;判断为假的命题称为假命题.
角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③直角三角形的两锐角
互余.
4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
5.三角形具有稳定性.
考点三 三角形中的重要线段
1.三角形的角平分线
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的
线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个
表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来
△ABM和△BCM的面积再求比值.
解:(1)∵AM=MC,∴△ABM与△BCM的周长之差=AB+AM+BM(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).
(2)如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H.
∵AM=MC,
1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边的差小于
第三边.
2.三角形的外角及其外角和
(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.
(2)外角和:三角形的外角和是360°.
3.三角形的内角和定理及推理
(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
(2)推论:①三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;②三
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或
“SAS”.
(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或
“ASA”.
(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角
边”或“AAS”.
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直
点叫做三角形的内心.
2.三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线
段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一
点,这个点叫做三角形的垂心.
3.三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:
三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心.
第四章
第14课时 三角形与全等三角形
学
习
导
航
01
自主导学
02
方法探究
自主导学
考点梳理
考点一 三角形的有关概念
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.分类
直角三角形
按角分
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
不等边三角形
等边三角形
等腰三角形
底边不等于腰的等腰三角形
考点二 三角形的性质
答案:B
2.已知三角形的两边分别为5和9,则此三角形的第三边可能是(
A.3
答案:C
B.4
C.9
D.14
)
3.如图,AB=AC,要说明△ADC≌△AEB,需添加的条件不能是(
A.∠B=∠C
B.AD=AE
C.∠ADC=∠AEB
D.DC=BE
答案:D
)
4.下面的命题中,判断为真的是(
)
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
根据三角形的三边关系,
得1<x-1<7,
所以2<x<8.
答案:B
命题点2
利用“三线”的性质解题
【例2】 如图,BM是△ABC的一条中线,AB=5 cm,BC=3 cm.
求:(1)△ABM与△BCM的周长之差;
(2)S△ABM∶S△CBM.
分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将△ABM和△BCM的周长分别
△
∴
△
=
1
·
2
=1,
1
·
2
即 S△ABM∶S△CBM=1∶1.
变式训练1已知在△ABC中,AB=AC,且周长为16 cm,AD是底边BC上的中
线,AD∶AB=4∶5,且△ABD的周长为12 cm,求△ABC各边的长及AD的长.
4.三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平
行于第三边,且等于它wenku.baidu.com一半.
考点四 全等三角形的性质与判定
1.概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.判定
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
(
)
A.14 cm
B.18 cm
C.24 cm
D.28 cm
答案:A
方法探究
命题点1
三角形的边角关系
【例1】 若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是(
A.0<x<8
B.2<x<8
C.0<x<6
D.2<x<6
)
解析:已知三角形两边a,b的长,确定第三边c的取值范围,c应满足
|a-b|<c<a+b.
(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,
而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.
每一个命题都有逆命题.
3.定理
经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不
是所有的定理都有逆定理.
4.公理
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判
B.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等
答案:D
5.如图,在△ABC中,BD,CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F,G分别
是BO,CO的中点,连接AO.若AO=6 cm,BC=8 cm,则四边形DEFG的周长是
断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.
考点六 证明
1.证明
从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,得出它的
结论成立,从而判断该命题为真命题,这个过程叫做证明.
2.证明的一般步骤
(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学
语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根
据,要推理严密.
3.反证法
先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或定义、定理等相矛盾,从
而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法
叫做反证法.
自主测试
1.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是(
)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形