2.7.2__二次根式的乘除(2)_北师大版
北师大版八年级数学上册2.7《二次根式》教案
举例：讲解(√2 + √3)(√2 - √3)的运算过程，强调平方差公式的运用。
2.教学难点
（1）二次根式的性质理解：特别是乘除法则和加减法则，学生容易混淆，需要通过实例反复讲解和练习。
举例：解释为何√a * √b = √(ab)，以及合并同类项时如何识别同类二次根式。
在讲授二次根式的应用时，我发现学生对于如何将实际问题转化为数学模型的这个过程比较生疏。以后，我打算引入更多贴近生活的案例，让学生感受到数学知识在实际中的应用，从而提高他们解决问题的能力。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生在交流中能够互相启发，碰撞出思维的火花。但我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，今后我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，表达自己的观点。
3.数学抽象：理解二次根式的概念及其性质，发展学生的数学抽象思维，提高对数学符号和表达式的理解和运用能力。
4.数学运算：掌握二次根式的化简与运算方法，培养学生的数学运算能力，使其准确快速地进行数学计算。
5.数据分析：在解决实际问题时，能运用二次根式进行数据分析，培养学生的数据敏感性和分析能力，为科学决策提供依据。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的概念、性质、化简方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它是解决非完全平方数开平方运算的重要工具，广泛应用于数学和实际生活中。
北师大版2.7 第2课时 二次根式的运算公开课课件
的值.
即 mn
4 1 6 . 3 2 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程 求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 3a 8 与
xa
17 2a 可
以合并，那么要使式子 4a 2 x 有意义，求x的取 值范围. 解：由题意得3a-8=17-2a,
二次根式的 乘法法则和除法 法则
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
典例精析
例1：计算:
2 (1) 6 ； 3 6 3 (2) ； 2 2 (3) . 5
2 2 解： (1) 6 6 4 2; 3 3
6 3 63 63 (2) 9 3; 2 2 2
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
例6 若最简根式 2n 1 3m 2n 与 3 可以合并，求
4 m , 3 2n 1 2, 解：由题意得 解得 1 n , 3m 2n 3, 2
27 3 2 9 18.
归纳 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项 式乘单项式的法则计算，即 m a n b mn ab a 0, b 0.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a b c n abc n a 0, b 0, c 0 n 0
试回顾如何计算3a2· 2a3= 例3 计算: 6a5 .
提示：可 类比上面 的计算哦
北师大版八年级数学上册：2.7.2《二次根式的乘除与加减》
图 Z4－1
解析：根据规律找出每个半圆的半径，第 n 个半圆的直径 为 2n－1. 1 1 则第 4 个半圆的面积：第 3 个半圆面积＝2π(2×16)2∶
1 1 2 π( × 8) ＝4. 2 2 1 1 第 n 个半圆的面积为2π(2×2n－1)2＝π22n－5.
答案：4 π22n－5
规律方法：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部分 发生了变化，是按照什么规律变化的．
择或解答．
数字或代数式的猜想 例 1：(2012 年广东珠海)观察下列等式： 12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组 成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等 式为“数字对称等式”． (1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称 等式”：
2.(2014上海)计算的结果是( A. C.2 B. D.3
轻松尝试应用轻 松尝试应用轻松 尝试应用轻松尝 试应用 1 2 3 4 5
1.计算的结果是(
A.2 B.4
)
C.8 D.16
关闭
2 × 8 用轻 松尝试应用轻松 尝试应用轻松尝 试应用 1 2 3 4 5
几何图形中的猜想
例 2：(2012 年广东广州)如图 Z4－1，在标有刻度的直线 l
上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；
以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径画
半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4 个
半圆……按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的________倍，第 n 个半圆的面积为__________(结 果保留π)．
最新北师大版八年级数学上2.7第2课时二次根式的运算ppt公开课优质课件
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讲授新课
一 二次根式的乘除运算
8 根据什么法则化成 2 2 ?
a b a b（a≥0，b≥0），
还记得吗?
a a （a≥0，b＞0）． b b
a b a b（a≥0，b≥0），
二次根式的乘 法法则和除法法则
a a （a≥0，b＞0）． b b
典例精析
例1：计算:
(1) 3 5；
1 (2) 27； 3
24 (3) . 3
解： (1) 3 5 3 5 15;
(2) 1 1 27 27 9 3; 3 3
24 24 (3) 8 4 2 2 2. 3 3
二 二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这时，以前
4 2 2. 把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式= 2 2
课堂小结
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
课后作业
见本课时练习
(2)原式= 6 4 2 3 2 4 2 2;
1 2 3 4 3 (3)原式= 2 3 2 3 3 3. 2 2 3 3 3 3
2
当堂练习
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ 2 ）＝ 4； （2） 2 5 （ 5 ）＝10； （ 1 ）8
（3）
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点） 2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）
导入新课
八年级数学上册2.7二次根式2.7.2二次根式的乘法教案北师大版
二次根式的乘法【知识与技能】理解=（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.【过程与方法】由具体数据发现规律，导出=（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.【情感态度】通过探究=（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】=（a≥0,b≥0），及它的运用.【教学难点】发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0）.二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为=（a≥0，b≥0）.：【教学说明】引导学生应用公式=（a≥0,b≥0）.三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.3cmB. 3cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定=（a≥0,b≥0）.【教学说明】教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出=（a≥0,b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.。
北师大版八上数学2.7二次根式知识精讲
知识点总结一、知识框图知识框架二.知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：4.积的算术平方根的性质：5. 商的算术平方根的性质：6.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．二次根式运算的技巧在二次根式运算中，有很多学生感到厌烦。
步骤复杂，用了很长时间，结果又不对，原因之一他们没有找到运算中的技巧。
不妨参考一下。
一、巧移因式，避繁就简例1. 计算分析:将根号外的因式移到根号内，然后运用平方差公式计算比较简便；或先把化简，然后利用平方差公式计算。
二、巧提公因数，化难为易三、巧分组，出奇制胜四、巧配方，独占鳌头五、整体代入，别开生面六、巧换元，干净利索所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果图文导学。
北师大版八年级上册数学第8讲《二次根式的乘除运算》知识点梳理
b 北师大版八年级上册数学第 8 讲《二次根式的乘除运算》知识点梳理【学习目标】1. 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2. 能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：要点诠释：（ a ≥0， b ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.(1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0， ≥0，….. ≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成 的形式，则应化简，如. 要点二、二次根式的除法1.除法法则：= a (或 b ÷ = a ÷ b ) （ a ≥0， b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释：(1) 在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数 a 、b 的取值范围应特别注意， a ≥0， b >0， 因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.(2) 运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1. 分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因 a b aa a -b a - b b a b x x 式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用别互为有理化因式.a ⋅ = a 来确定，如： a 与 ， a +b 与 ， 与 等分 ② 两 项 二 次 根 式 ： 利 用 平 方 差 公 式 来 确 定 . 如 a +与 a - ， + b 与 - ，a +b y 与a - b 分别互为有理化因式. 要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1．(1) × ； (2)× ； (3) ； (4) ； 【答案与解析】(1) × = ；(2) × = = ；(3)= = =2；(4) = = ×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1) ；(2) × =4× × =4 × =4 =8 .【答案】(1)不正确．改正： = ＝ × =2×3=6；a a +b b a ya +b (b - a )2 a - b a 2b 2 (a + b ) - 3 + 2 1 2 -1 - 3 + 23 1 5 + 2 (2)不正确．改正： × = × = = = ＝4 . 2. （2016 春•德州校级月考）计算：． 【思路点拨】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．【答案与解析】解：=3×（﹣ ）×2=﹣×5=﹣． 【总结升华】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．a +b b 2 - 2ab + a 23. 已知 0＜ a ＜ b ,化简 a - b a 3b 2 + a 2b 3 .a +b ⨯ b - a 1⨯(a + b ) 1 【答案与解析】原式= = a - b ab (a + b )(a + b ) = - aba +b 【总结升华】 = a 成立的条件是a ＞0；若a ＜0,则 = -a .类型二、分母有理化4. 把下列各式分母有理化：(1) (2) 1 (3) 【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1） = （2）1 = =2 +1 = 1 +1 = 1= - - （3） = = 5 - 2 = 1 - 2 a 2 a 2 12 -1 1 5 + 2 1• ( 2 +1) ( 2 -1) • ( 2 +1) 2 1• (-3 - 2 ) (- 3 + 2 ) • (- 3 - 2 ) - 3 - 2 2 1• ( 5 - 2) ( 5 + 2) • ( 5 - 2)5a b a b 【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，± 与 ，a ± 与 a ，± b 与 举一反三：b 都是互为有理化因式. 【变式】（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式： ①== ﹣1 ②== ﹣ ③== ﹣ ……回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…+ +． 【答案】解：（1）= ； 故答案为：． （2）+++…+ +=…+ =﹣1 ． b b a a。
2.7二次根式的四则运算及混合运算 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
பைடு நூலகம்
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归纳总结
考
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
+
+ − = − .
=
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；
第二课时 二次根式的四则运算
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二次根式乘除法的应用
重 ■题型
难
3 的长方体，它的高为
例
现有一个体积为
120
cm
题
型
）
突 2 cm，长为 3 cm，则这个长方体的宽为 （
整式的形式.
第三课时 二次根式的混合运算
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
计算：
（1） ×( + ) ；
（2） −
+ ÷ .
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第三课时 二次根式的混合运算
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［解题思路］（1）类比单项式乘多项式；（2）既可按
考
点
清 二次根式混合运算的顺序计算，也可将除法转化为乘法后，
型
突
破
第二课时 二次根式的四则运算
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2.7.2二次根式的运算(教案)
-教学策略：引导学生将实际问题转化为数学模型，明确每个参数在数学表达式中的意义，进而解决问题。
四、教学流程
（一）导入学习的是“2.7.2二次根式的运算”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算不规则图形面积或体积的情况？”（如计算花园的面积、不规则物体的体积等）这个问题与我们将要学习的二次根式运算密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式运算的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的概念及其运算规则。二次根式是含有平方根的表达式，它在几何图形的面积和体积计算中有广泛应用。它是我们解决实际问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，计算一个边长为√5的正方形面积，通过这个案例，展示二次根式在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
-化简二次根式乘除表达式的方法。
3.能够解决实际问题时，运用二次根式运算。
-生活实例中的二次根式运算；
-应用题目的分析及解答。
4.了解二次根式运算的性质，如乘方、开方等。
-二次根式的乘方运算；
-二次根式的开方运算。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理与数学思维能力，通过二次根式的运算，理解数学运算的基本规律，提高学生的抽象思维和推理能力。
-教学策略：引导学生发现根号内数的因数分解，进而进行化简。
-二次根式的乘除运算：在乘除过程中，如何正确处理根号内外数的运算，是学生容易出错的地方。
-难点举例：计算(3√2) / (√6)；
-教学策略：通过分步骤演示，让学生理解乘除运算中根号内外数的处理方法。
北师大八年级上册.2二次根式课件
问题：二次根式能进行加减运算吗？
例5 计算：
(1) 48 3;
(4) 45 27
(2) 5 1 ; 5
(3)
4 3
3
6.
结果能合并的， 必须合并。
2、判断下列计算是否正确？
(1) 2 3 5; (2)2 2 2 2; (3) 8 4. 2
知识小结
1、二次根式的乘除法法则：
a b a b（a≥0，b≥0），
2
2
25
10 ;
5 5 55 5
随堂练习
1、计算：
(1) 5 9 ; 20
(2) 12 6 ; 3
以前学习的实数运算法则、运算律有哪些？ 在二次根式的乘除这里能用吗？
例4 计算：
2
(1)3 2 2 3; (2) 12 3 5; (3) 5 1 ;
(4) 13 3 13 3 ;
(5) 12
1 3
3;
(6) 8 18 . 2
解 ： （1）3 2 2 3 3 2 2 3 6 6
乘法交换律
乘法法则
（2） 12 3 5 12 3 5 36 5 6 5 1
2
(3) 5 1
2
5 2
5 12 5 2
5 1 6 2
5
(4) 13 3 13 3 13 2 32 13 9 4 完全平方公式
第二章 实数
2.7.2 二次根式 （乘除运算与法则）
忆一忆
1、二次根式的概念 2、怎样化简为最简二次根式？
48, 18 , 1 . 25 45
问题:下面正方形的边长分别是多少？
面积8
面积2
边长 8
边长 2
82 2
8 根据什么法则化成 2 2 ?
北师大版数学八年上册《2.7.2二次根式的四则运算》教学设计
北师大版数学八年上册《2.7.2二次根式的四则运算》教学设计一. 教材分析《2.7.2二次根式的四则运算》这一节内容是北师大版数学八年上册的重点内容。
教材通过引入实际问题，让学生了解二次根式的加减乘除运算方法，并掌握运算规律。
本节课的内容与实际生活紧密相连，有利于培养学生的学习兴趣和解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和简单运算。
但部分学生对于二次根式的四则运算规律理解不深，容易出错。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算规律。
2.能够熟练地进行二次根式的四则运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的加减运算。
2.二次根式的乘除运算。
3.二次根式四则运算中的易错点。
五. 教学方法1.实例导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.讲解演示：通过讲解和演示，让学生掌握二次根式的四则运算方法。
3.练习巩固：通过大量练习，让学生熟练掌握二次根式的四则运算。
4.小组合作：引导学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
5.总结拓展：引导学生总结二次根式四则运算的规律，提高学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作二次根式四则运算的PPT课件，以便于教学演示。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生进入学习状态，激发学生的学习兴趣。
例如：某商场举行抽奖活动，奖品为一个边长为4的的正方形桌子，桌子下面有一个边长为2的正方形抽奖箱。
假设抽奖箱里的奖金为x元，请你计算抽到奖金的概率。
2.呈现（10分钟）讲解演示二次根式的加减乘除运算方法，让学生理解并掌握运算规律。
例1：计算二次根式的加减法。
(√2 + √3) + (√3 - √2) = 2√3例2：计算二次根式的乘法。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式(教案)
-二次根式的应用：运用二次根式解决实际问题，如求长度、面积等，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力。
-举例：计算矩形对角线长度，其中一边长为a，另一边长为b。
2.教学难点
-二次根式的化简：对于某些含有复杂因数的二次根式，学生难以迅速找到化简的方法，特别是涉及到无理数的化简。
-举例：化简根号下含有非平方数和非质数的二次根式，如√(18) = √(9×2) = 3√2。
-二次根式的加减运算：学生在合并同类项时可能会出现错误，特别是当根号下的数不同时，如何正确处理。
-举例：合并√3 + √2类型的二次根式，需明确这类根式不能直接合并。
-二次根式的乘除运算：在进行乘除运算时，学生可能会忽略乘除法则中关于系数和根号下数的乘除关系。
2.提升逻辑推理素养：引导学生运用二次根式的性质和运算法则进行推理，培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
3.发展数学建模素养：让学生在实际问题中运用二次根式建立数学模型，提高解决实际问题的能力，体会数学在现实生活中的应用价值。
4.增强数学运算素养：通过二次根式的化简和运算练习，提高学生的数学计算准确性和熟练度，培养高效运算能力。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.7二次根式（教案）
一、教学内容
本节选自北师大版八年级数学上册第二章实数中的2.7节，主要教学内容包括：
1.二次根式的定义与性质：理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，如乘除法则、加减法则等。
2.二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法。
-二次根式的化简：学会将复杂的二次根式化简为最简形式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，这是解决二次根式相关问题的关键。
二次根式的乘除法北师大版八年级数学上册精品课件1
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2 二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2 二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
=2.
4. （例3） 若 的值等于（ C ） A. 4 C. 2
，则x
B. ±2 D. ±4
5. 计算：
6. 计算：
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
7. 计算：
重难易错
二次根式的乘除法北师大版八年级数 学上册 精品课 件2
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8. 计算：
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三级检测练
一级基础巩固练
9. 已知
，
则x3y+xy3= 10 .
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10. 计算： .
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=
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二级能力提升练
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2.7.2 二次根式的运算 北师大版 八年级 数学 上
二次根式
2.7.2 二次根式的运算
常乐中学 八年级（2）班
冯洋
前面我们学习了二次根式的两个性质： 积的算术平方根和商的算术平方根的两个式子， 即
ab a·（b a 0，b 0）
a a（a 0，b 0） bb
现在把等号的左边与右边交换，就可得到 二次根式的乘法法则和除法法则：
a·b ab（a 0，b 0） a a（a 0，b 0） bb
★计算下面各式
注：能约分的可以先约分，运算结果必须都是最简二次根式
发现
同样的，二次根式也可以进行加减运 算，它和以前学过的实数的运算法则、 运算律仍然适用。
一试 ★
你行吗？
★
注：对于化简运算的结果中，如果被开方数相同，应当将这 些项合并。根号前面是带分号的要化成假分数.
通过这节课你有哪些收获？谈谈自己的想法。
北师版八年级数学上册 2.7.2 二次根式的乘除
1 下列计算正确的是( B )
A. 3 5 1 3 5
C. 125 5 5
B. 3 25 1 3 5
D. x x x
通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流.
1.必做: 完成教材P43,习题2.9T1
第二章 实数
2.7 二次根式 第2课时 二次根式的乘除
二次根式的乘法 二次根式的除法
回顾旧知
1.什么叫二次根式？
式子 a (a≥0)叫做二次根式.
2.两个基本性质：
( a )2 a(a≥0)
a2
a
a(a≥0)
a(a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开 方数相乘，根指数不变；
即： a b ab (a 0, b 0).
总结
(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的 一定要开方；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式相 乘的法则进行运算，如 a b c d ac bd (b≥0， d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式) 相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为 积的被开方数．
1 (中考·新疆)下列运算结果，错误的是( C )
A.
1 2
1 2
B.( 1)0 1
C.( 1) ( 3)
D. 2× 3 6
知识点 2 二次根式的除法
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把 被开方数相除，根指数不变， 即： a a (a 0, b 0)
bb
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
例2 化简：(1) 8 15 20;(2) 5 8 1 1 3 54; 27 4
2.7.2__二次根式的乘除(2)_北师大版精编版
(5) 2 27
(7) 0.1
(2) 4a2b3
(3) x2 2 y 3x
(6) 3 ab
(3)4 1 1 2
(4) x 2 2 y 3x
(3)4 1 1 4 3 4 3 2
2
2
22
思路启迪：化去根号2中的分6母，可以将被开方数
(4的从将)而分二x使子 次2 被和 根开分 式23方母 进xy数同行中乘化的以简xx分一了2母个. 能适6够当23x开的xyy的数尽(33或,xx这代样数式也就)， 3
2＝ 4 3
2；
（5） 3 20 45 1 3 4 5 9 5 5
5
25
3
4
5
9
5
5 25
6 5 3 5 5 14 55
5；
（6） 3 2
2 3
6 4
6 9
6 4
6
6
6 5
92 3 6
6．
例2、化简(字母为正数)
(1) 54
2
2
二次根 式的混合 运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
做一做
例2.计算:
(1) 75 ( 6 12)
(2) 2 5 50
解：(1)原式 75 6 2 75 62
5 3 2 5 6 6 2 2 12
计算繁琐。
1 1 1
3
3
1.732
0.577
3 3 33 3 3
计算简便。
4.在括号内填写适当的数或式子 使等式成立。
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72 6
72 ) 2a
b (4) 5
6a
2a 6a
2a 6a
1 3
3 3 2 3 3
4a 2 2a
b 2 20a
b b 2 5 20a
b 20a 2 5 b
随堂练习
1. 判断下列算法是否正确，不正确的 请予以改正。
二次根式的性质：
a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）． b b
二次根式的乘除法法则： （a≥0，b≥0）， a b a b
a a （a≥0，b＞0）． b b
实数的运算法则对二次根式仍然适用
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0，
练一练
化简： （1） 128 ； （2） 9000 ； （3） 2 12 48 ；
2 1 3 2 （4） 50 32 ； （5） 3 20 45 ； （6） ． 9 5 2 3
解： （1） 128 64 2 64 2 8 2 ;
（2） 9000 900 10 900 10 30 10 30 10 ； （3） 2 12 48 2 4 3 16 3 2 4 3 16 3
二次根式的乘除
2.我们学了哪些二次根式的性质？
性质1
a ( a 0) a 2 a 0( a 0) a ( a 0)
2
性质2
性质3 性质4
a
a a 0
a a (a 0, b 0) b b
ab a b (a 0, b 0)
h1 h2 h2 h2
2 Rh2 2 R h2
2 R h1
h1h2 h2
72 b b 1.计算 : (1)) 18 2; (2) ; (3) 2a 6a ; (4) . 2 5 20a 6
(1) 18 2 18 2 18 2 9 3
(2)
2 2 4 25 2 16 2 5 24 2＝ 2 ； 3 3 3 1 5 3 4 5 9 5 （5） 3 20 45 5 25
5 5 14 3 4 5 9 5 6 53 5 5 ； 25 5 5 6 6 6 6 3 2 6 6 5 （6） 6 ． 4 9 4 9 2 3 2 3 6
例2、化简(字母为正数)
(1)
54
(2)
2
4a b
2
3
1 ( 2) 4 1 2 2 (5) 27
2y (3) x 3x 3 (6) ab
(7) 0.1
1 (3) 4 1 2 1 4 (3) 4 1 2
( 4) x
2
2y 3x
3 4 2
3 2 2 2
2 6 思路启迪：化去根号中的分母，可以将被开方数 的分子和分母同乘以一个适当的数(或代数式)， 2y 2 2y 3 2 从而使被开方数中的分母能够开的尽 ,x 这样也就 (4 )x x 3 x 将二次根式进行化简了. 3x 3x
－8 3 （） 1 8
－8 3 8 8 8
－8 24 8
2y （2） 4 xy
2 y 2 xy 2 xy xy
2
24
y 2 xy xy
y xy x
2 6
2 2 3 4 3 4 3 4 3 8 3 ；
化简： （1） 128 ; （2） 9000 ；（3）2 12 48 ；
2 1 3 2 （4） 50 32 ； （5） 3 20 45 ；（6） ． 9 5 2 3 2 2 解： 50 32 （4） 25 2 16 2 9 9
试一试
二次根式的混合运算顺 序与实数运算类似
1 (1) 0.2 0.125 2
2 1 2 (2) 1 2 1 3 3 5
2 5 (3) ab b
同级运算 从左到 右依次 进行
b 3 3 a b 3 a 2
看谁算得快
化简
2 Rh1
2 Rh1 2 Rh2
。
h1 h2
3 5 ( 2)( 10 8 ) 2 2
二次根 式的混合 运算，从 左向右依 次计算。
3 1 2 34 2 3 2 ( )( 10 8 ) 4 2 2 5
做一做
例2.计算: (1) 75 ( 6 12)
(2) 2 5 50
解： (1)原式 75 6 2 75 6 2 5 3 2 5 6 6 2 2 12 10 1 10 (2)原式 10 50 50 5 50 5 5
x 3 6 xy
(5) (5)
2 27
(6)
3 ab
思路启迪：化去分母中的根号的关键是选择一个 2 3 (或代数式)去乘 适当的数(或代数式 ) ，用这个数 分式的分子和分母，可以使分母不含根号．这个 9 3 3 a b 数 (6 或代数式 )叫有理化因式。分母的有理化因式 ( ) ab a b. a b 不是唯一的，应学会选择最简单的
（） 1 4 9 4 9
×
12 12 12 （2） 4 25 4 25 4 25 4 12 8 3 25 25 × 25
正确的算法如下：
（） 1 4 9 4 9 2 3 6
12 112 112 （2） 4 25 25 25 112 16 7 4 7 25 25 25
2 2 2 3 27 3 3 3 3 3
3
ab ab
想一想,填一填:
a （ 1 ）若 是二次根式，则 a，b应满足 b
2k 1 2k 1 (2)若 成立，则k的取值范围是 k 3 k 3
3 2 1 例1 计算： 30 2 2 2 2 3 2
3 8 5 解 : 原式 30 2 2 3 2
件是____________ 。 m>5
m3 m3 ＝ 2. 等式 m5 m5
成立的条
解：要想等式成立，必须满足：
m－3 ≥0
m－5 > 0
m ≥3 m>5 m >5
3. 已知：3 ＝1.732，如何求 出 的近似值?
1 3
一题 多解
1 1 1 0.577 3 3 1.732
b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
解（1） 解法一：
2 2 3 27 (1) (2) (3) 计算： 3 8 3x
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
计算繁琐。
3 1.732 1 1 1 3 0.577 3 3 3 3 3 3
计算简便。
4.在括号内填写适当的数或式子 使等式成立。 （1） 8 （ 2 ）= 4 （2）2 5（ 5 ）= 10
（3） a 1 （ a 1 ）= a－1
（4）
3
3 2
＝ 6
5. 化简。