4 双曲线
双曲线考点精讲
考点一 双曲线的定义及运用
1．已知 M 3, 0, N 3, 0, PM PN 6 ，则动点 P 的轨迹是
。
【答案】一条射线
【解析】因为 PM PN 6 MN ，故动点 P 的轨迹是一条射线，其方程为： y 0, x 3 ，
1 / 14
2．已知双曲线 C : y2 x2 25 144
又在直角三角形 F1QF2 中，由勾股定理得 9t2 (3t 2a)2 4c2 ，
所以 c2 5a2 ，又 c 2 a 2 b 2 ，所以 b 2a ， 所以双曲线的渐近线方程为 y b x 2x ，
a
3．设
F1
、
F2
是双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1
(a
0,b 0) 的两个焦点， P 是 C 上一点，若
【答案】5
【解析】如下图所示，设点 M 为第一象限的点，设点 F1 、 F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，
设 MF1 m ，由双曲线的定义可得 MF1 MF2 2a ，则 MF2 m 2a ，
由已知条件可得 MF2 、 MF1 、 F1F2 成等差数列，且公差为 2a ， F1F2 m 2a ，
2．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，过 F1 的直线与 C 的左、右支分别交
于 P 、 Q 两点，若 PQ 2F1P ， F1Q F2Q 0 ，则 C 的渐近线方程为 。
【答案】 y 2x
【解析】设 PF1 t ， 由已知条件及双曲线的定义得 | PQ | 2t ， PF2 t 2a, QF2 3t 2a ， 因为 F1Q F2Q ，所以在直角三角形 PQF2 中， 由勾股定理得 4t2 (3t 2a)2 (t 2a)2 ，解得 3t 4a ．
高中数学精讲(4)双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．2.双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴，标准方程是 。
思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,b a3. 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．例3：双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．1练习：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.3．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．双曲线的简单几何性质1.（1）双曲线22221x y a b-=的几何性质范围：x ： y ： 。
高中数学讲义：解析几何专题双曲线(解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。
专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。
2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。
假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。
三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。
（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。
双曲线重难点题型归纳
双曲线常考重难点题型归纳必考点1： 双曲线的定义1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ．222B 410C 7D 10【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22:149x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．【解析】根据题意，双曲线22:149x y C -=的左焦点(13,0)F -，所以点(13,0)A 是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：||||24PF AP a -==① ||||24QF QA a -== ②而||12PQ =，①＋②得：||||||8PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32．【小结】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3： 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.【小结】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．必考点2： 双曲线的实际应用例题4： 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【解析】如图以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，设炮弹爆炸点为(,)P x y ，由题知：3402680800PA PB -=⨯=<. 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，2680a =的抛物线的右支. 即340a =，400c =，22244400b c a =-=.所以P 的轨迹方程为22111560044400x y -=(340)x ≥.【小结】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．焦点三角形问题例题5： 设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【解析】5ca =，5c a ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.例题6： 设12,F F 是双曲线221916x y -= 的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，求△12F PF 面积【解析】双曲线221916x y -=的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -==22212121202cos6F F PF PF PF PF =+-⋅︒，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 1264,PF PF ⋅=故12121sin 601632F PF PF P S F =⋅⋅︒=△【小结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形． 令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a ．(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ．一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决．已知双曲线的方程，研究其几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)例题7： 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故， ， 面积为：双曲线，其焦距为当且仅当取等号， 的焦距的最小值：8例题8： 已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，2，则点(4,0)到C 渐近线的距离为（ ） A 2B ．2C ．322D ．2【解析】2e 1()2c ba a==+=1b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d 2211==+ D例题9： 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，双曲线C= 【小结】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ===可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．必考点3： 由双曲线的性质求双曲线的方程例题10：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择A 选项. 【小结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．必考点4： 求双曲线的离心率(或范围)例题11：双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒ 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，选D例题12：已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+， 由ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈，则()1t 2,4t +∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+例题13：设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a === 【小结】1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用c e a ==必考点5： 与双曲线有关的综合问题例题14：在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.【解析】依题意知，()14,0F 为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F ，则(4,0)F -， 设点P 为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，1||||4PF PF -=，12||||2PF PF a +=，则2||||24PF PF a +=+222||(48)(09)15FF ≥=--+-=，所以有112a ≥. 所以椭圆的通径为222222222b a c c a a a a-==-，这里22122||(48)(09)97c F F ==-+-=， 所以由函数的单调性可知，当112a =时，椭圆的通径最小，最小值为9722441111112⨯-=.故答案为：2411 例题15：已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 【解析】如图所示，由题意可得360OA a AN AM b MAN AP ===∠=︒∴=，，，，，OP ∴=22223||||4OA PA a b -=-C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34AP OP a b =-．又tan θ=b a ，223234b a a b =-，得a 2=3b 2，∴221231133b a +=+= 【小结】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是5 则a =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．12【解析】∵双曲线的离心率5c e a == ，21c a =+ ，∴215a a+= ，解得12a = ，故选D. 2．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（ ）． A.2B.22C.4D.42【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．3.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为( )A 5B 3C ．2D 2【解析】由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴= 在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c +-∠==，)2222246322b c a bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴= B.4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）AB．2C．D．【解析】由2,a b c====．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．5.（2020·山东海南省高考真题）【多选题】已知曲线22:1C mx ny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则CC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D．若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】对于A，若0m n>>，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，因为0m n>>，所以11m n<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0m n=>，则221mx ny+=可化为221x yn+=，此时曲线C B不正确；对于C，若0mn<，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，此时曲线C表示双曲线，由220mx ny+=可得y=，故C正确；对于D，若0,0m n=>，则221mx ny+=可化为21yn=，yn=±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6.（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：327.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.8.（2017·上海高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【解析】 由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF，所以2||11PF =.9.（2019·浙江高三月考）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.【解析】因为1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，所以1(2,0)F -，设点),sin P θθ，由2213cos sin 2cos OP OF c θθθ=⇒+==⇒=，不妨取正即P ⎝⎭， 代入双曲线方程得：2262144a b-=， 又224a b +=，即1a b ==；即2C 的渐近线方程为y x =±.10.（2020·全国高三课时练习（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.11.（2019·陕西高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，122MF a MF =+，则22b a=______.【解析】不妨设点M 在第一象限，设1MF m =，2MFn =，则2m a n =+，而12MF MF ⊥，故2224m n c +=，联立两式可得，2222mn c b =-，联立222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，可得(),M a b ，由三角形的面积公式可得11222mn cb =⋅，即22c b cb -=，故a bc =2，即422a b c =，故()4222a b a b =+，故42240b a b a +-=，则4210b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =12.（2019·湖南高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=，解得53e =13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y ，则2112224{4y x y x ==，所以22121244y y x x -=-，所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴，因为M(-1,1)，所以01y =，则122y y +=即k 2=14．（2020·浙江吴兴 湖州中学高三其他）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______. 【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为by x a=±，设右焦点()2,0F c ， 不妨令直线l 垂直于直线b y x a =，则直线l 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc P a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为222+=a b c ，所以点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc Q a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 又223F Q F P =，所以223abc ab a b c-=⋅-即()2222223333c a b a c a -=-=--，所以223c a =，所以该双曲线的离心率c e a ===15．（2020·湖北黄石港 黄石二中高二月考（理））已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】设焦距为2c ，在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+，即22a c m c -=+，所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1，即1c c a m ⨯= ，即2c a m=，所以2c m c m +=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以e =16．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___. 【解析】由题意，(),0A a -，双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线b y x a =-垂直，则AM a k b =-，AN ak b=， 所以直线AM 的方程为：a yx a b ；直线AN 的方程为：()ay x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：3222a x c bay c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以222ba MN c =， 又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b -+=，解得：2a b =或2ba =（不满足a b >），所以此双曲线的离心率是2c e a ====.。
双曲线第四定义
双曲线第四定义整理如下：一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
下面是整理的双曲线的定义及标准方程，供参考。
1双曲线的定义(1)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点。
(2)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为x=±a²/c(焦点在x轴上)或y=±a²/c(焦点在y轴上)。
(3)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
(4)在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)2双曲线的标准方程标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
1、双曲线顶点A(-a,0)，A'(a,0)。
同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b)，B'(0,b)。
同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0，-c),F2(c,0)或(0，c)。
F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c22、双曲线离心率第一定义：e=c/a 且e∈(1，+∞)第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
双曲线及其标准方程解答
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．②①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c =3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||s i n s i n ||||222||sin ||21262BC AB A C BC AB a R R AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
双曲线及其标准方程
2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1、F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－7)，(0，7)答案：B3．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.y236－x264＝1B.x264－y236＝1C.x236－y264＝1D.x236－y264＝1或y236－x264＝1答案：D4．设双曲线x216－y29＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是________．答案：7探究点一 求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；[解] (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16. 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20.①因为双曲线经过点(32，2)，所以18a 2－4b 2＝1.②由①②得a 2＝12，b 2＝8，所以双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.求双曲线的标准方程的步骤求双曲线的标准方程通常采用待定系数法，步骤归结如下：1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)经过点(3，0)，(－6，－3)．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－（15）2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，所以⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.探究点二 双曲线定义的应用设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0， 所以△F 1PF 2为直角三角形．S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积．解：由双曲线方程为x 2－y 212＝1，可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0 所以△PF 1F 2为直角三角形．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．2.(1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点F 2的距离为8，则点P 到它的左焦点F 1的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6(2)已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：(1)选C.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， 所以||PF 1|－8|＝4，所以|PF 1|＝4或12.(2)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，不妨设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4.两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4 S△F1MF2＝16，即4 S△F1MF2＝52－16，所以S△F1MF2＝9.探究点三利用双曲线的定义求轨迹问题动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]设动圆半径为R，因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1，所以|MC1|－|MC2|＝4.所以点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以所求轨迹方程为x24－y25＝1(x≥2)．本例中圆的方程不变，若动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：如图，设动圆半径为R，根据两圆外切的条件，得|MC2|＝R ＋1，|MC1|＝R＋3，则|MC 1|－|MC 2|＝2.这表明动点M 与两定点C 1，C 2的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的右支(点M 与C 1的距离大，与C 2的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)．用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)．(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．3.(1)若动点M 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)(2) 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解：(1)选D.由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎨⎧2c ＝10，2a ＝6，所以a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >0)，因此选D.(2)以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ，所以2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.所以a ＝2，c ＝22，b 2＝6，所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >0，y ≠0)．1．对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a 和b ，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定．并且有b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别．(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上，若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．(3)在双曲线的标准方程中，因为a ，b ，c 三个量满足c 2＝a 2＋b 2，所以长度分别为a ，b ，c 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c 的线段是斜边，如图所示．2．对双曲线定义的理解设M (x ，y )为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的任意一点，左、右焦点分别为F 1，F 2.若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|－|MF 2|＝－2a .因此得到|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这与椭圆的定义中|MF 1|＋|MF 2|＝2a 是不同的．[注意] 双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．3．双曲线方程的其他形式(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，。
经典双曲线知识点
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
双曲线及其标准方程4
1. 椭圆的第一定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹
问题：平面内与两定点F1、F2的距离的差等于 常数的点的轨迹是什么呢？
思考： 1、动点到两个定点之间的“距离之差”在 拉链上如何体现？ 2、比较“距离之差”与两个定点之间的距 离的大小
双曲线定义:
练习：已知双曲线的焦点为（0，－6）、 （0，6），且经过点（2，－5）， 求双曲线的标准方程。
椭圆
双曲线
定义 方程 a b c关系
图象
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
+ y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数2a (2a < |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
问题：类比椭圆，常数2a是否有条件限制呢？
1、2a < |F1F2| 2、2a = 0
双曲线 F1F2的中垂线
3、2a = |F1F2| 4、2a > |F1F2|
x2 a2
y2 b2
1
这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
双曲线的标准方程
y
M
y M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
高中数学新人教A版选修4-4 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
由 kPA＝x－y 1，又 k MN＝xy11－－xy22＝y1＋8 y2＝4y， ∴x－y 1＝4y.∴y2＝4(x－1)． ∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测(十一)” (单击进入电子文档)
是________．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解； (2)利用代入法消去 t. [解析] (1)将yx＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴上，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2 即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3) (2)y＝x2
二 圆锥曲线的参数方程
2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1 的参数
方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ，
规定参数 φ 的取值范围为[0,2π)且 φ≠π2，
φ≠32π.
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1 的参数 方程是yx＝＝absteacnφφ.，
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
四：双曲线渐近线的常用性质
四：双曲线渐近线的性质前言：渐近线在高考中的考题一般以中等题目为主，对于其性质只做简单介绍1:2----x 坐标法（因为渐近线是过原点直线，计算难度不大）渐近线问题：几何法利用渐近线和轴夹角构造三角形以下性质的证明和高考实例模拟实例主要采取上去两种思路性质一：x a（把方程中nx （把方程中注1：双曲线可渐近线不是一一对应的------------一个双曲线只有一对渐近线，一对渐近线可以有无数双曲线。
222222x y2x y2-=1a>0,b>0-=a>0,b>0a b a b ，（）,，（）具有共同渐近线2：渐近线无限接近不相交的解释222222222y x x -a b =-1=y=x -a b a aa222222b b b abx-x -a =x-x -a =a a a x+x -a x+0AB AB （），3:平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点的解释22222x-=1a bx y2-=1a b byx a a 整理得二次项系数为一个交点。
2=b DG定值2=b DG定值利用坐标证明即可，此处略2=a +b AC利用坐标证明即可（同下题），此=AC4PE证明：证明过程中采用了切线方程的结论和齐次化的方法，具体的实例（不含这么多字母）会简单很多,b b a a2OB，2OD在曲线上，但不涉及焦点。
而渐近线夹角不好用，所以选择坐标法去证明，自己动手试一下，通过下面的练习来体会两种方法如何选择高考典例：【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4 B ．8C ．16D ．32直接坐标法，或几何法由面积为8得到ab=8，在求22c a b 的最小值即可【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率是 32． 主要考察双曲线渐近线定义，送分题附件：双曲线渐近线专项练习16道（高考版） 模拟典例：（利用几何法的2道例题）例1．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点为1F 、2F ，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是________．设()2,0F c 关于渐近线by x a=的对称点为N ，其中垂足为M ， 由对称性知12FON F OM NOM ∠=∠=∠, 所以260F OM ∠=︒， 所以渐近线by x a=倾斜角为60︒，所以tan 60ba=︒=所以双曲线的离心率为2e ==．例2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ∠=︒，则双曲线的C 的渐近线方程为——3y x =±解：连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥， 则在12Rt PF F 中，1212F O c F P ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos a PON c∠=， 又ON a =，则由余弦定理得：2222cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠， 解得PN b =，由222OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥， 所以在Rt PMN 中，tan MN MPN PN∠=，即2a b =3b a =，所以所求渐近线方程为：3y x =±.附件：双曲线渐近线专项练习（高考版）1．（2011·湖南高考真题（文））设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（2010·全国高考真题（文））中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC ．2D3．（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．4．（2010·辽宁高考真题（理））设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．√3+12 D ．√5+125．（2015·重庆高考真题（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．1±D ．6．（2018·全国高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．47．（2018·天津高考真题（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．（2015·重庆高考真题（理））设双曲线22221x y a b -=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．((0,2)D ．(,(2,)-∞+∞9．（2010·浙江高考真题（文））（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F=60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为A ．B y=0C ．="0" D ±y=010．（2013·江苏高考真题）双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.11．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y=1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 12．（2017·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是________．14．（2017·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．15．（2015·上海高考真题（文））已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .16．（2008·江西高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．10参考答案1．由双曲线的几何性质可得，双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±，又因为渐近线方程为320x y ±=，即32y x =±，故2a =，选C ．2．D 由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-bax,∴-2=-b a×4,∴a=2b.设b=k,则∴e=c a=2k.3．A由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=， 又P在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 4．D 设该双曲线方程为x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0），可得它的渐近线方程为y =±ba x ，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为k FB =0−b c−0=−b c ，∵直线FB 与直线y =b a x 互相垂直，∴−b c ×ba=−1，∴b 2=ac,∵b 2=c 2−a 2，∴c 2−a 2=ac，∴e 2−e −1=0,∴e =1±√52∵双曲线的离心率e ＞1，∴e=√5+12,故选：D5．C 试题分析：，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，6．B 分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和y x =联立，求得3(,22M N -，所以3MN ==，故选B.7．A 详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.8．A 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由 BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC的距离小于a，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．9．D 不妨设12(,0),(,0)F c F c -，则11221222OF F P OF F P F P F POP ++++==因为1260F PF ∠=，所以121212cos602F P F PF P F P F P F P ⋅⋅=⋅=，22212121212||||1cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅所以2221212||4PF PF PF PF c +=⋅+因为P 在双曲线上，所以122PF PF a -=则2222212121212()||244PF PF PF PF PF PF c PF PF a -=+-⋅=-⋅=所以221244PF PF c a ⋅=-，故122212222F P F PF P F P c a ⋅⋅==-222221212||484PF PF PF PF c c a +=⋅+=-因为OP ，所以1272F P F POP +== 故22121212||274F P F P F P F Pa ++⋅=，即222327c a a -=故22237b a a +=，解得b = 所以双曲线的渐近线方程为0x a =0y ±=，故选D 10．34y x 令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 11．32双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x=，即2b a a =⇒=，所以3c===，所以双曲线的离心率为32c a =. 故答案为：3212如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=2b，∴=设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ，则tanθ=||||APOP=．又tan θ=ba，ba=，解得a2=3b2，∴==13．2详解：因为双曲线的焦点(c,0)F到渐近线,by xa=±即0bx ay±=的距离为,bcbc==所以b=，因此22222231,44a cbc c c=-=-=1, 2.2a c e== 14．x==y x=，设P，则Q，1(F，2F，则S==．15．【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上， 设的方程为，所以，所以的方程为.16．223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.。
双曲线及其标准方程4(PPT)5-1
1. 椭圆的第一定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹
问题：平面内与两定点F1、F2的距离的差等于 常数的点的轨迹是什么呢？
思考： 1、动点到两个定点之间的“距离之差”在 拉链上如何体现？ 2、比较“距离之差”与两个定点之间的距 离的大小
围的工作）。⑩动担保：～你没错儿｜～你满意。?动约定专用：～车｜～场｜～了一只船。?（）名姓。 【包办】动①一手办理，单独负责：这件事你一个 人～了吧。②不和有关的人商量、合作，独自做主办理：把持～｜～婚姻｜～代替。 【包保】动在某些方面包下来，并提供保证：～贫困学生完成学业。
【包袱底儿】?〈方〉名①指家庭多年不动用的或最贵重的东西。②比喻隐私：抖～。③比喻最拿手的本领：抖搂～（显示绝技）。 【包袱皮儿】?名包衣服 等用的布。 【包干儿】动①承担一定范围的工作，保证全部完成：分段～｜剩下的扫尾活儿由我们小组～。②指对某种工作全面负责，经费上的损益由自己
双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。
两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。
(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线.(4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-by a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba ．②， 又222cb a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-by a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==ace ，由双曲线的定义，得ca PF PF ==-221．由余弦，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ．三、巩固测试题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ D）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C）A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（ D）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点5．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．126．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．23 B ．2 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.7．以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）AA ．15322=-y xB ．13522=-y xC ．181322=-y xD ．151322=-y x8．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．9．经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的方程为 （ ）CA ．1257522=-y xB ．1257522=-x yC ．1752522=-y xD ．1752522=-x y10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y B ．221124x y C ．221106x y D ．221610x y11．已知P 是双曲线191622=-y x 上的一点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且 12021=∠PF F 则21F PF ∆的面积为 （ ）DA ．316B ．39C ．34D ．3312．双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ． 13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =________12．6414．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 。
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12.4 双曲线、一 知识点整理 1.双曲线的定义平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即2．双曲线的标准方程：12222=-by ax12222=-bx ay3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx ay (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,4.双曲线第二定义平面内到一个定点F 的距离与一条定直线l 的距离的比等于常数(1)e e >的定点的轨迹叫做双曲线，定点F 为焦点，定直线l 称为准线，常数e 称为离心率。
5．范围：由标准方程知，双曲线上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y ab≥≥，∴22x a ≥，22y b ≥，∴||x a ≥，||y b ≥，6．对称性：双曲线关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心.7．离心率：双曲线的焦距与长轴的比c e a=叫椭圆的离心率.8．双曲线的准线方程： （1）22221x y ab-=，对应焦点(,0)F c 的准线方程：2ax c=，右准线； 对应焦点(,0)F c -的准线方程：2ax c=-，左准线．（2）22221y x ab-=，对应焦点(0,)F c 的准线方程：2ay c=； 对应焦点(0,)F c -的准线方程：2ay c=-9. 3．双曲线的渐近线(1) 求双曲线的渐近线方程方法是：化成标准方程后，把等号右边的1换成0，分解因式即可．如2222by ax -=1，令2222by ax -=0，即：bx ±ay=0．(2) 已知渐近线方程，求双曲线方程的一般方法是：设以bx ±ay=0为渐近线的双曲线方程为2222by ax -=λ（λ≠０）或2222y a x b -=λ（λ≠0），再利用另一条件确定λ的值．二 典型例题例１ 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１） 焦距为16，准线方程为29±=y ；（２） 虚轴长为12，离心率为45；（３） 顶点间的距离为6，渐近线方程为x y 23±=．分析 要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a 和b ．解 （１）由准线方程为29±=y ，可知双曲线的焦点y 在轴上设所求双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a bx ay由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.29,1622ca c 解得6=a ， 8=c ． 所以 283664222=-=-=a c b ．因此，所求双曲线的方程为1283622=-xy．（２）当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by ax -=1．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.45,122ac b解得8=a ，10=c ． ∴3664100222=-=-=a c b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1366422=-yx．同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为1366422=-xy．因此，所要求的双曲线的方程为1366422=-yx和1366422=-xy．（3）方法一：当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为2222by ax -=1由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧==.23,122ab a 解得3=a ， 29=b ．所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1481922=-yx．同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为14922=-xy．因此，所要求的双曲线的方程为1481922=-yx和14922=-xy．方法二：设以x y 23±=为渐近线的双曲线的方程为)0(9422≠=-λλyx当λ＞０时，642=λ，解得，λ＝49．此时，所要求的双曲线的方程为1481922=-yx．当λ＜０时，692=-λ，解得，λ＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为14922=-xy．因此，所要求的双曲线的方程为1481922=-yx和14922=-xy．点评 １．常用的待定系数法求双曲线标准方程一般步骤是：（1）根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；（2）由已知条件求出待定的系数a 、b ；（3）将求得的系数a 、b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．２．双曲线的四个主要参数：半实轴的长a ，半虚轴的长b ，半焦距c ，离心率e ．它们之间有以下关系：222b a c =-和ac e =．３．已知渐近线方程为bx ±ay=0时，可借助于共渐近线的双曲线系方程解之． 例２ 在中，固定，顶点移动．设|BC|=m ，，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC －sinB|=12sinA 时，求顶点的轨迹方程．分析 利用正弦定理实现边角转换，再根据双曲线的定义知顶点的轨迹是双曲线．根据双曲线的标准方程，直接写出所求的轨迹方程．解 以BC 所在直线为轴，线段BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B （－m2，0），（m2，0）设点坐标为（x ，y ）．由题设，得|sinC －sinB|=12sinA ．根据正弦定理，得|c －b|=12a ，即|AB －AC|=12m ，可知A 在以B 、C 为焦点的双曲线上，这里2a=12，∴a=14m ．又c= 12m ， ∴b 2=c 2－a 2= 14m 2－1162=316m 2．故所求顶点的轨迹方程为16x 2m 2 － 16y 23m 2= 1 （y ≠0）．点评 求轨迹要做到不重不漏，应把不满足条件的点去掉，这里是的顶点，所以应去掉与B 、C 共线的点．例３．已知双曲线C :12222=-bya x(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点， 点A 在x 轴正半轴上，且满足 O A O B O F||、||、||成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（Ⅰ）求证：FP PA OP PA ⋅=⋅； （Ⅱ）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的 离心率e 的取值范围．分析由已知设过F 作双曲线C 在第 一、三象限的渐近线的垂线的方程，求 点Ｐ的坐标，根据向量的坐标运算证明FP PA OP PA ⋅=⋅．由l 与双曲线C 的左、右两支分别相交得a 、b 、c 的齐次不等式关系，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解（Ⅰ）法一．:()a l y x c b=--，(),,a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,).a ab P c c 2|(0,).O A O B O F aA cab PA c∴∴=-||、||、| 成等比数列，（,0）.法二：同上得2(,).a abP c c 0.P A x P A O P P A F P P A O F P A O P P A F P∴⊥⋅-⋅=⋅=∴⋅=⋅轴．． （Ⅱ）222222(),,a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩22222222(,),(,),,..a ab b abO P FP c c c ca b a bPA O P PA FP c cPA O P PA FP ==-∴⋅=-⋅=-∴⋅=⋅422222244422222222422221242244222222)2()0,()0,.,.2a b x x c a b ba a a cb x cx a b bbba c ab bx x a b bb a b ac a a e e ∴--=-+-+=-+⋅=<-∴>>->∴>>（）．即（即．即点评 坐标运算是证明向量运算的主要方法，它是用代数方法证明几何问题的一种典型方法．【例4】 设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围分析：由|PM |－|PN |=2m ，得||PM |－|PN ||=2|m |．知点P 的轨迹是双曲线，由点P 到x 轴、y 轴距离之比为2，知点P 的轨迹是直线，由交轨法求得点P 的坐标，进而可求得m 的取值范围解：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0） ① 因此，点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线， 从而得 ||PM |－|PN ||<|MN |=2∵||PM |－|PN ||=2|m |>0， ∴0<|m |<1因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上 故22mx －221my-=1 ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(mm m --，∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0 解得0<|m |<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）解题点评：解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是——【例5】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
(1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y ab-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==bba c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-yx（Ⅱ）将得代入13222=-+=yxkx y .0926)31(22=---kx x k由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠kk且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则229,,22,1313A B A B A B A B x x x x O A O B x x y y kk-+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+++=++++22222937(1)2.131331k k kkk -+=+++=---于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k②由①、②得 .1312<<k故k的取值范围为(1,33--⋃提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．三 实战演练 一.选择题1．双曲线22154xy-=-的离心率为( )A．3 B．5 C ．23 D ．322．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（ ） A221412xy-= B221124xy-= C.221106xy-= D.221610xy-=3.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）3324.设F 1和F 2为双曲线-42xy 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25 C ．2 D ．55.已知双曲线22163xy-=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1M F x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ）（A5（B6（C ）65（D ）566.若椭圆154116252222=-=+yxyx和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2|的值为（ ） A.221 B.84 C.3 D.217.已知点(2,0),(3,0)A B -,动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-,则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 8.（北京3）“双曲线的方程为221916xy-=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞] 10.已知双曲线2212yx -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,M F M F ⋅=则点M 到x轴的距离为（ ）（A ）43（B ）53（C ）3（D11.（全国Ⅱ11）设A B C △是等腰三角形，120ABC ∠= ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12.如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br ax =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25 （D ）31+二。