高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线(含答案)
2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何高考大题规范解答__解析几何pptx课件
x1＋x2＝－1＋4k2mk2， 则x1x2＝21m＋2－2k42 .
(7 分)
因为 kMA·kMB＝1，所以x1y－1 2·x2y－2 2＝1， 所以(k2－1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2－4＝0， 整理得(m＋2k)(m＋6k)＝0.(9 分)
[解析] 解法一：(1)依题意，A(－2,0)，B(2,0)．(1 分) 设 C(x1，y1)，则x421＋y321＝1， 直线 AC 方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 令 x＝4 得 yP＝x16＋y12，(2 分) 直线 BC 方程为 y＝x1y－1 2(x－2)， 令 x＝4 得 yQ＝x12－y12，k＝k(x－2)， 则直线 l 过定点 M(2,0)，与题意矛盾； 若 m＝－6k，则 y＝kx－6k＝k(x－6)， 则直线 l 过定点(6,0)．(10 分) 因为圆 D 的圆心为(6,0)，半径 r＝2， 所以直线 l 被圆 D 截得的弦长为 4.(12 分)
2．(2024·福建福州质检)(12 分)已知椭圆 E：x42＋y32＝1 的右焦点为 F，
左、右顶点分别为 A，B．点 C 在 E 上，P(4，yP)，Q(4，yQ)分别为直线
AC，BC 上的点． (1)求 yP·yQ 的值； (2)设直线 BP 与 E 的另一个交点为 D，求证：直线 CD 经过 F.
3．(2024·广东深圳罗湖区模拟)(12 分)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|＝4，若 C 上的点 M 满足||MF1| －|MF2||＝2 恒成立．
2016高考数学(文)大一轮复习配套课件：第八章 平面解析几何8-4
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考点1 直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的 半径为r)
第八章 第4讲
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[答案] B
第八章 第4讲
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(2)[2014·安徽高考]过点P(－ 3 ，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1
有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
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考向一 直线与圆的位置关系
[案例探究]
例1 (1)[2013·陕西高考]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1
外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
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答案： 23
第八章 第4讲
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第八章 第4讲
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高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何4精品训练 理(含解析)新人教B版
2014年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何4精品训练 理（含解析）新人教B 版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年海淀模拟)设m >0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m－2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离．答案：C2．(2012年高考重庆卷)设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：利用直线过圆心，则所截弦长恰为直径长求解．由于直线y ＝x 过圆心(0,0)，所以弦长|AB |＝2R ＝2.答案：D3．(2013年烟台模拟)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最大时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．2x ＋y －4＝0解析：易知点M (1,2)在圆C 的内部，当∠ACB 最大时，|AB |应最大，此时线段AB 恰好是圆C 的直径，由两点式，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0.答案：D4．(2013年长沙调研)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6解析：由|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|知OA ⊥OB ， 所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.答案：C5．(2013年青岛模拟)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，半径r ＝2，由题意得，22＝⎝⎛⎭⎪⎫2|a ＋b －1|4a 2＋b 22＋22，即得a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.答案：D 二、填空题6．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为________． 解析：由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是2k 2＋1>1，解得－3<k < 3.答案：－3<k < 37．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：48．(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：解法一 设直线上一点(t ，kt －2)， 则圆心距满足t －2＋kt －2≤2对t ∈R 有解，即(1＋k 2)t 2－(4k ＋8)t ＋16≤0有解， 所以有(4k ＋8)2－4×16(1＋k 2)≥0， ∴0≤k ≤43.解法二 由题意，圆心C 到直线的距离不大于2，d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.答案：439．(2012年高考江西卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：利用数形结合求解．直线与圆的位置关系如图所示，设P (x ，y )，则∠APO ＝30°，且OA ＝1.在直角三角形APO 中，OA ＝1，∠APO ＝30°，则OP ＝2，即x 2＋y 2＝4.又x ＋y －22＝0，联立解得x ＝y＝2，即P (2，2)．答案：(2，2) 三、解答题10．(2013年枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解析：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．(2013年湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.12． (能力提升)(2013年徐州月考)已知数列{a n }，圆C 1：x 2＋y 2－2a n x ＋2a n ＋1y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若a 1＝－3，则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 1的方程． 解析：(1)证明：由已知，圆C 1的圆心坐标为(a n ，－a n ＋1)， 半径为r 1＝ a 2n ＋a 2n ＋1＋1，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝2.又圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长，∴|C 1C 2|2＋r 22＝r 21. ∴(a n ＋1)2＋(－a n ＋1＋1)2＋4＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1，∴a n ＋1－a n ＝52.∴数列{a n }是等差数列．(2)∵a 1＝－3，∴a n ＝52n －112.则r 1＝a 2n ＋a 2n ＋1＋1 ＝12n －2＋n －2＋4＝1250n 2－170n ＋161. ∵n ∈N *，∴当n ＝2时，r 1可取得最小值， 此时，圆C 1的方程是：x 2＋y 2＋x ＋4y －1＝0.[因材施教·学生备选练习]1． (2013年成都模拟)直线l ：x ＋2y ＝4与圆C ：x 2＋y 2＝9交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，则sin α＋sin β＝( )A.165B.1615 C.85 D.815解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x 2＋y 2＝9，消去x 得5y 2－16y ＋7＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝165，∴sin α＝y 13，sin β＝y 23，∴sin α＋sin β＝13(y 1＋y 2)＝13·165＝1615.答案：B2．(2013年桂林模拟)直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析：由于△AOB 为直角三角形，OA ＝OB ＝1， 故应为等腰直角三角形， 故圆心到直线AB 的距离为22， 即12a2＋b2＝22，∴2a2＋b2＝2(－1≤a≤1，－2≤b≤2)．P(a，b)与(0,1)的距离为d ＝a2＋b－2＝2－b22＋b2－2b＋1＝12b－2＝22|b－2|，∵b∈[－2，2]，∴b－2∈[－2－2，2－2]，∴|b－2|∈[2－2，2＋2]，故点P与点(0,1)之间的距离的最大值为2＋1. 答案：2＋1。
2020版数学习题：第八篇 平面解析几何(必修2、选修1-1) 第4节 椭 圆
第4节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,2,3,7椭圆的几何性质4,6,8,9 直线与椭圆的位置关系5,10,11,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.已知椭圆+ =1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于(B)(A)2 (B)3 (C)4 (D)9解析:4= (m>0)⇒m=3,故选B.2.(2018·宝鸡三模)已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是(C)(A) + =1 (B) + =1(C) + =1 (D) + =1解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.所以椭圆的方程是+ =1.故选C.3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F( ,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(C)(A) +y2=1 (B)x2+ =1(C) + =1 (D) + =1解析:依题意,设椭圆方程为+ =1(a>b>0),则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+ =1,选C.4.(2018·广西柳州市一模)已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(A)(A) (B) (C) (D)解析:因为点P是以F1,F2 为焦点的椭圆+ =1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,所以=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,所以x= ,所以|PF2|= ,则|PF1|= ,由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,所以解得c= a,所以e= = ,选A.5.过椭圆+ =1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(B)(A) (B) (C) (D)解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立椭圆方程解得交点为(0,-2),( , ),所以S△OAB= ·|OF|·|y A-y B|= ×1×= ,故选B.6.若椭圆的方程为+ =1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=.解析:由题可知c=2. ①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.答案:4或87.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1( ,1),P2(- ,- ),则椭圆的方程为.解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.则得所以所求椭圆方程为+ =1.答案: + =18.(2018·安徽模拟)已知F1,F2是长轴长为4的椭圆C: + =1(a>b>0) 的左右焦点,P是椭圆上一点,则△PF1F2面积的最大值为.解析:F1,F2 是长轴长为4 的椭圆C: + =1(a>b>0) 的左右焦点,a=2,b2+c2=4,P是椭圆上一点,△PF1F2 面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc≤=2,当且仅当b=c= 时,三角形的面积最大.答案:2能力提升(时间:15分钟)9.(2018·河南一模)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(A)(A) (B) (C) (D)解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3 的对称点为A′(m,n),则得所以A′(-3,2).连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2 ,所以2a≥2 .所以椭圆C的离心率的最大值为= = .故选A.10.(2018·临沂三模)直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于(A)(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则+ =1, + =1两式相减,=- ·,结合直线的斜率为- ,AB中点横坐标为1,所以AB中点纵坐标为,将点(1, )代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.11.(2018·珠海一模)过点M(1,1)作斜率为- 的直线l与椭圆C:+ =1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,k AB= =- ,+ =1, ①+ =1, ②①-②整理,得=- ·,即= ,所以离心率e= = = .答案:12.(2018·天津卷)设椭圆+ =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|= .(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2 倍,求k 的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有= ,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|= = ,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+ =1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2) ,由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2= .由方程组消去y,可得x1= .由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=- 或k=- .当k=- 时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=- 时,x2=12,x1= ,符合题意.所以k的值为- .13.(2018·和平区校级一模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为( ,0),且经过点(-1,- ),点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若=2 ,且直线l与圆O:x2+y2= 相切于点N,求|MN|的长.解:(1)由题意知,即(a2-4)(4a2-3)=0,因为a2=3+b2>3,解得a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l与圆O:x2+y2= 相切,所以= ,即m2= (k2+1), ①由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由韦达定理,得x1+x2=- ,x1x2= ,由=2 ,有x1=-2x2,解得x1=- ,x2= ,所以- = ,化简得- =m2-1, ②把②代入①可得48k4+16k2-7=0,解得k2= ,m2= ,在Rt△OMN中,可得|MN|= = . 故|MN|的长为.。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：高考零距离8平面解析几何 Word版含答案
平面解析几何年份卷别具体考查内容及命题位置2022 甲卷抛物线的基本性质·T5直线与椭圆的位置关系、面积问题及证明问题·T21乙卷直线与圆的位置关系及圆的面积问题·T15求椭圆的离心率·T5直线与抛物线的位置关系、存在性问题·T20丙卷直线与圆的位置关系·T15直线与抛物线的位置关系、证明问题及轨迹方程的求法·T202021 Ⅰ卷椭圆与抛物线的方程与几何性质·T5直线与圆的综合问题·T20Ⅱ卷两点间的距离公式、三角形的外心·T7双曲线的标准方程·T15椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系·T202022 Ⅰ卷双曲线的标准方程及离心率·T4抛物线的定义·T10轨迹方程的求法及直线与圆的位置关系·T20Ⅱ卷抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系·T10椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系·T201．直线与圆的方程问题单独考查的次数较少，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题，直线与圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题中消灭．2．圆锥曲线仍为高考考查的热点，一般为“一大一小”的形式，小题多考查圆锥曲线的标准方程与简洁性质，解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围、探究性问题，难度较大．题示参数真题呈现考题溯源题示对比(2022·高考全国卷乙，T20)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.(选修11 P42习题2.1A组T7)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？题材评说(1)考题取自于教材中的几何背景，将形(圆与点)具体数字化，将垂线变为平行线，殊途同归得出相同的结论(2)考题中将原问题推断轨迹类型“具体化”为求证|EA|＋|EB|为定值，使得问题目标化，从而便于求解问题．可有的放矢地进行平面几何中的元素关系转化(3)第(2)问是问题的升华，将点与直线和圆锥曲线的位置关系用面积目标紧紧联系在一起，形成合力，充分呈现了数与形的结合，思想与方法的相映．考题源于教材、高于教材，将教材的“散点”有机结合，体现了考题的风采1．(选修11 P35例3改编)如图，A、B是椭圆C长轴上的两个顶点，M是C上一点，∠MBA＝45°，tan∠MAB＝13，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．32 C ．33D ．63D 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝13(x ＋a )，y ＝－x ＋a .联立解得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22b 2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63.2．(选修11 P61例4改编)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12B 如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC ＝m ，直线l 的倾斜角为α. 则|BE |＝m |cos α|，所以|AD |＝|AF |＝|AB |－|BF |＝|AB |－|BE |＝m (1－|cos α|)， 所以|cos α|＝|AD ||AC |＝m （1－|cos α|）2m.解得|cos α|＝13.由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2psin 2α得 |AB |＝81－19＝9.故选B.或：由|cos α|＝13得tan α＝±2 2.所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0.所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9.故选B.3．(选修11 P52例5改编)双曲线x 216－y 29＝1上任一点P 到点A (5，0)的距离与到直线5x －16＝0的距离之比为( )A ．53B ．54C ．35D ．45B 法一：取P (4，0)，则|PA |＝1，P 到直线x ＝165的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－165＝45，所以所求的比值为145＝54.法二：设P (x 0，y 0)，则x 2016－y 209＝1，即y 20＝916(x 20－16)， 所以|PA |d ＝（x 0－5）2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－165＝（x 0－5）2＋916（x 20－16）⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－165＝14|5x 0－16|15|5x 0－16|＝54.故选B. 4．(选修11 P42习题2.1A 组T6改编)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)在y 轴上的一个顶点为M ，两个焦点分别是F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，△MF 1F 2的面积为 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)过椭圆G 长轴上的点P (t ，0)的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q (Q 与P 不重合)，交椭圆G 于A ，B 两点．若|AQ |＝|BP |，求实数t 的值．(1)由椭圆性质，知|MF 2|＝a ， 于是c ＝a sin 60°＝32a ，b ＝a cos 60°＝12a . 所以△MF 1F 2的面积S ＝12·(2c )·b ＝12·(3a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝3， 解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)明显，直线l 与y 轴不平行，可设其方程为y ＝k (x －t )． 由于直线l 与圆O 相切，则圆心O 到l 的距离d ＝|kt |k 2＋1＝1，即k 2t 2＝k 2＋1.①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝k （x －t ），化简得(1＋4k 2)x 2－8tk 2x ＋4(t 2k 2－1)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝8tk21＋4k2.设Q (x 0，y 0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k （x 0－t ）y 0x 0＝－1k ， 解得x 0＝tk 21＋k2.由已知可得，线段AB ，PQ 中点重合， 即有x 1＋x 2＝t ＋x 0.因此8tk 21＋4k 2＝t ＋tk 21＋k 2，化简得k 2＝12，将其代入①式，可得t ＝± 3.。
2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：第八章 平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．2．直线的斜率3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系4.直线方程的五种形式续表5.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图象为：(2)当倾斜角为时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测]1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33 答案：A2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________． 答案：π4或34π4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0考点一 直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透 [例1] (1)(2019·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围．解析：(1)k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1.则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：(1)(π2，π) (2)见解析1．三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，则实数x 的值为________．解析：因为三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x 2＋2x ＋6－3x －2，解得x ＝－1或－53，当x ＝－1时，点C ，B 重合，舍去．所以x ＝－53.答案：－53 2．(2019·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________． 解析：如图所示，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞考点二 求直线方程◄考能力——知法 [例2] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)求过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程． (3)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解析：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和P (3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)法一：由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ＝6，①又直线过点(2,1)，则2k ＋b ＝1.② 由①②得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (3)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0， 综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.1．求直线方程的方法2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？ 解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y ＝23x ， 即2x －3y ＝0.(2)若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y－a＝1，∴3a －2a ＝1，∴a ＝1，方程为x －y －1＝0.综上，直线方程为2x －3y ＝0或x －y －1＝0.2．在本例(3)中，改为“过点A (－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋2b ＝112|ab |＝92，∴⎩⎨⎧a ＝－3b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝152b ＝65.∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0. 考点三 两条直线的位置关系◄考基础——练透[例3] (1)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1a ，解得a ∈，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C. 答案：C(2)已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A. 答案：A两直线位置关系的判断方法1．如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，求ab .解析：法一：由题意， 得⎩⎨⎧a ·(－2)－(1－b )·1＝0，(1＋a )·(－2)－(－1)×1＝0.解得a ＝－12，b ＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.法二：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a 1－b ＝－1＋a －1，解得a ＝－12，b ＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.2．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－8逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误. 1.对倾斜的概念与范围理解有误[例1] 已知直线l 过点(2,1)，且与x 轴的夹角为45，求直线l 的方程． 解析：由直线l 与x 轴的夹角为45知，直线l 的倾斜角为45或135．当直线l 的倾斜角为45时，其斜率为k ＝tan 45＝1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1；当直线l 的倾斜角为135时，其斜率为k ＝tan 135＝－1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.综上所述，所求直线方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋3.2.忽略两直线平行与重合的区别 例2已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0与l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0平行，则实数m ＝________.解析：(1)若两直线的斜率都存在，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则k 1＝－1m 2，k 2＝－m －23m ，b 1＝－6m 2，b 2＝－23.因为l 1∥l 2，故k 1＝k 2且b 1≠b 2，即－1m 2＝－m －23m 且－6m 2≠－23，解得m ＝－1. (2)若两直线的斜率都不存在，则m ＝0. 综上所述，m ＝－1或0. 答案：－1或0课时规范练 A 组 基础对点练1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：因为sin α＋cos α＝0， 所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1. 而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－ab ， 所以－ab ＝－1，即a －b ＝0. 答案：D2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：B3．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．3x ＋4y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0 D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A．－1＜k＜1 5B．k＞1或k＜1 2C．k＞1或k＜1 5D．k＞12或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－2 k，则－3＜1－2k＜3，解得k＞12或k＜－1.答案：D5．(2019·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3 x－y＝33的倾斜角的2倍，则( )A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－3n，即－3n＝－3，n＝1.因为3x－y＝33的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线3x－y＝33的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m＝ 3.答案：D6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为( )A ．5x ＋2y ＝0或x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0D ．2x ＋5y ＝0解析：当截距为零时，直线方程为y ＝－25x ；当截距不为零时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，因为直线过点A (－5,2)，所以－52b ＋2b ＝1，计算得b ＝－12，所以直线方程为x －1＋y－12＝1，即x ＋2y ＋1＝0，所以所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x＋2y ＋1＝0. 答案：C7．若直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0,1)，且k PB ＝3－12－0＝1，k P A ＝2－13－0＝13，结合图象可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，18．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．解析：由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，角变为60°，所以所求直线的斜率为 3.又因为直线过点(1，3)，所以直线方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x9．已知点A (－1，t )，B (t,4)，若直线AB 的斜率为2，则实数t 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝2，即4－t t ＋1＝2，解得t ＝23.答案：2310．已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以mn ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为(0，12)．答案：(0，12)B 组 能力提升练11．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R )交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x －2y ＋8＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4kk ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12(2＋4k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时，等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0. 答案：B12．设直线l 的方程为x ＋y cosθ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C 13．(2019·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D 14．(2019·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12， ∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：5 16．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sinx －b cosx (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为________． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z .所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4第二节 直线的交点与距离公式[基础梳理] 三种距离1．点到直线的距离公式 (1)直线方程为一般式． (2)公式中分母与点无关． (3)分子与点及直线方程都有关． 2．两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离． [四基自测]1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12B.32C.22D.322答案：D2．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________． 答案：233．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．答案：－4或124．已知两平行线l 1：2x ＋3y ＝6，l 2：2x ＋3y －1＝0，则l 1与l 2间距离为________．答案：51313考点一 直线的交点及应用◄考基础——练透 [例1] 求满足下列条件的直线方程：(1)经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0.(2)经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y ＋2 018＝0.(3)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解析：(1)解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0，所以所求直线的斜率为k ＝－23，所以所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －8＝0，x －2y ＋1＝0得两条直线的交点坐标为(3,2)，因为所求直线平行于直线4x －3y ＋2 018＝0，所以所求直线的斜率为k ＝43，所以所求直线方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0. (3)法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1. 解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1.由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. 法二：如图所示，作直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0.l 1与x 、y 轴的交点A (－1,0)、B (0，－1)， l 2与x 、y 轴交点C (－6,0)、D (0，－6)． ∴|BD |＝5，|AC |＝5.过点(3,1)与l 1、l 2截得的线段长为5. 即平行x 轴或y 轴．∴所求直线方程为x ＝3或y ＝1.1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2)直线系法：①设过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. ②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．③验证A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否符合题意． (3)数形结合法，求直线截得的线段长．1．将(1)中的条件改为“经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且与坐标轴围成的三角形的面积为1”．解析：解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，设所求直线的斜率为k (k ≠0)，直线方程为y －2＝k (x ＋2)，所以两个截距分别为2k ＋2，－2k ＋2k ，所以直线与坐标轴围成三角形的面积为S ＝12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋2k ＝1，解方程得k ＝－2或－12，所以所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 2．本例(3)改为过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎨⎧y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎨⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2. 因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ， 即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. ∴所求直线为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0考点二 距离问题◄考能力——知法[例2] (1)已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n－1，所以⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18. 故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22. 故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案：2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0 (2)(2019·昆明模拟)点P 到点A ′(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于22，这样的点P 共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：设点P (x ，y )，由题意知(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，且22＝|x －y |2，所以⎩⎨⎧ y 2＝4x ，|x －y |＝1，即⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －y ＝1， ①或⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －y ＝－1，② 解①得⎩⎨⎧ x ＝3－22，y ＝2－22或⎩⎨⎧x ＝3＋22，y ＝2＋22，解②得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，因此，这样的点P 共有3个．答案：C (3)(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 故选A. 答案：A1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；2．两平行线间的距离公式，两直线方程中x ，y 的系数分别相同； 3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．1．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－62．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0 考点三 对称问题◄考基础——练透 角度1 对称问题的求法[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解析：(1)设对称点A ′的坐标为(m ，n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2m ＋1·23＝－1，2·m －12－3·n －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3313，n ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如B (2,0)，则B 关于l 的对称点必在m ′上，设对称点为B ′(a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2·a ＋22－3·b ＋02＋1＝0，b －0a －2·23＝－1，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．设直线m ′上任意一点的坐标为(x ，y )，由两点式得直线m ′的方程为y －33013－3＝x －4613－4，即9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)．则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设直线l 关于点A 的对称直线l ′上的任意一点P (x ，y )，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )． ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 角度2 对称问题的应用 [例4] (1)(2019·淮安模拟)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．(2)已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小．解析：(1)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)． 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. (2)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解方程组⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． 答案：(1)6x －y －6＝0 (2)见解析有关对称问题的规律方法续表1．(2019·岳阳模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.法二：根据直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1上知选D.答案：D2．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为_________________ _________________________________________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上． 设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝直观想象、逻辑推理——求直线方程易错问题(二) 一、混淆截距与距离[例1] 求过点(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程．解析：利用直线的截距式方程求解 可得4a ＋5b ＝－ab .又直线与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10. 联立方程组⎩⎨⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. 所以，所求直线的方程为x－52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1，即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.二、对位置情形考虑不全[例2]求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)距离相等的直线方程．解析：(1)若A，B两点位于所求直线的同一侧，则所求直线与直线AB平行，故其斜率与直线AB的斜率相等，即k＝k AB＝－4.又所求直线过点P(1,2)，故其方程为y－2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋6.(2)若A，B两点位于所求直线的两侧，则所求直线经过线段AB的中点(3，－1)．又所求直线过点P(1,2)，故其方程为y－(－1)2－(－1)＝x－31－3，即y＝－32x＋72.综上所述，所求直线方程为y＝－4x＋6或y＝－32x＋72.3.忽略平行线间距离公式的应用条件[例3]已知两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋8y－15＝0，求与l1，l2等距离的直线l的方程．解析：l2：6x＋8y－15＝0的方程等价变形为l2：3x＋4y－152＝0.由题意，直线l与两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0、l2：3x＋4y－152＝0平行，故可设其方程为3x＋4y＋C＝0.因为l与l1，l2的距离相等，即|5－C|32＋42＝|－152－C|32＋42，解得C＝－54.所以，直线l的方程为3x＋4y－54＝0，即12x＋16y－5＝0.课时规范练A组基础对点练1．若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行，则m的值为( )A.83 B ．－83 C ．－6D ．6解析：由题设可得，m 3＝42≠11－1，则m ＝6.答案：D 2．(2019·长沙模拟)已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )}|ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝，则a ＝( ) A ．－2 B ．－6 C ．2D ．－2或－6解析：由题意可知，集合M 表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去点(2,3)，而集合N 表示一条直线，该直线的斜率为－a2，且过点(－1,0)，若M ∩N ＝，则有两种情况：①集合M 表示的直线与集合N 表示的直线平行，即－a2＝3，解得a ＝－6；②集合N 表示的直线过点(2,3)，即2a ＋2×3＋a ＝0，解得a ＝－2.综上，a ＝－2或－6. 答案：D 3．(2019·石家庄模拟)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( ) A ．－24 B ．24 C ．6D ．±6解析：直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，可设交点坐标为(a,0)，则⎩⎨⎧ 2a －k ＝0，a ＋12＝0即⎩⎨⎧a ＝－12，k ＝－24.答案：A 4．(2019·郑州模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A.85 B.32C．4 D．8解析：因为直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋12＝0，所以直线l1与l2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：B5．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.答案：A6．(2019·哈尔滨模拟)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B.13 2C.21313 D.71326解析：由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B.答案：B7．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条． 答案：0<d <28．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2，解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝09．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段A B 上，则ab 的最大值为________．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：1210．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0B 组 能力提升练11．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( ) A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C. 答案：C12．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A13．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图所示，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.答案：D14．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( ) A ．3x －y ＋5＝0 B ．3x ＋y ＋1＝0 C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足 ⎩⎨⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝5.因此直线l 的方程为y －2＝5－2－2＋1(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.答案：B15．光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的点B 后被直线y ＝x 反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程为________．解析：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的 对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得 A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由反射角等于入射角可得 A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方 程为y －6＝－4－6－2－1(x －1)，即10x －3y ＋8＝0.答案：10x －3y ＋8＝016．△ABC 的边AB ，AC 所在直线方程分别为2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，边BC的中点为D (2，－1)，则这个三角形的面积是________． 解析：设点B (x ，y )，则C (4－x ，－2－y )，所以⎩⎨⎧ 2x －y ＋1＝0，4－x ＋3(－2－y )－9＝0，解这个方程组得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3，，所以B (－2，－3)，C (6,1)． 所以边BC 所在直线方程为y ＋1－3＋1＝x －2－2－2， 即x －2y －4＝0，由方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，解得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫67，197，所以高为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－2×197－45＝6075，|BC |＝82＋42＝45，所以三角形的面积为S ＝12|BC |d ＝12×45×6075＝1207.答案：1207第三节 圆的方程[基础梳理] 1．圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F ＞0.2．以A (x 1，y 1)，B (x 1，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. [四基自测]1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)答案：D2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．△AOB 中，A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，则△AOB 外接圆的方程为________． 答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的圆心到直线y ＝x ＋1的距离为________． 答案：2考点一 求圆的方程◄考基础——练透[例1] (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)(2019·长沙模拟)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213 C.253D.43(3)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：(1)由题意可得圆的半径为r ＝2，则圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )，由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋(b －3)2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为 d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.(3)因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝(1＋m )21＋m 2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m 2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(1)D (2)B (3)见解析求圆的方程的方法续表1．将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B. 答案：B2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0考点二 与圆有关的最值问题◄考能力——知法[例2] (1)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．35 B ．6 5 C ．415D ．215解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦AC 为圆的直径为25，BD 为最短弦，则AC 与BD 互相垂直，ME ＝2，BD ＝2BE ＝2×5－2＝23， 四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BDC＝12×BD ×EA ＋12×BD ×EC ＝12×BD ×AC ＝12×23×2 5 ＝215，选D. 答案：D(2)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求yx 的最大值与最小值； ②求y －x 的最大值、最小值； ③求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．(2019·广西南宁联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B.15 C.1215D.1155解析：由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示圆(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.故选B. 答案：B2．(2019·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解析：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以，所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.数学运算、直观想象——利用圆求最值的学科素养在数学中，涉及的代数式或者线段长度最值时，如果动点在圆上运动，可借助圆求解.[例1] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋c ＝2b ，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 的长度的最大值是________．解析：由已知a ＋c ＝2b ，可知动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点Q (1，－2)，所以点M 在以PQ 为直径的圆x 2＋(y ＋1)2＝2上，因为圆心(0，－1)到点N 的距离为5，故可得MN 的长度的最大值是5＋ 2. 答案：5＋ 2[例2] 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：记a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则可得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即(x －。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 第八章 解析几何(含解析)
第八章 解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1. [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程． 解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测四十五一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． (二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一 两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测四十六一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1， 解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)． 答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即a b＝1－a .③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )， 因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立． 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一 圆的定义及标准方程(一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题．(二)小题查验1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 基础盘查二 点与圆的位置关系(一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)．(二)小题查验1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( )答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4.即a 2<1，故－1<a <1.答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧ B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12 D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0.∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12. ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3. ∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二 与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等；(5)建立目标函数求最值问题.角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最。
高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第8章+平面解析几何(17份)新课标
解析：（1）错误.∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴点 M 的轨迹是线 段 F1F2. （2）正确.椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. （3）错误.椭圆离心率 e 的取值范围是（0，1）. （4）错误.若 a＜b，则长轴长为 2b.
25 16 代入得 a2 ＋b2＝1
c5
c2 a2－b2 1
又离心率 e＝a＝ 5 ⇒e2＝a2＝ a2 ＝5，解得 a2＝45，b2＝
36，
x2 y2 故椭圆的方程为45＋36＝1.
x2 5、椭圆25＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2， 则点 P 到另—个焦点的距离为 .
解析：∵a＝5，|PF1|＝2，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2×5 －2＝8.故答案为 8.
x2 y2 已知椭圆 C： ＋ ＝1（a＞b＞0）与抛物线
a2 b2 y2＝4x
有共同的焦点 F，且两曲线在第一象限的交 5
点为 M，满足|MF|＝ . 3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 y＝kx－2 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 且O→P＝13O→A，O→N＝23O→B，若原点 O 在以 PN 为 直径的圆外，求实数 k 的取值范围.
是
.
思路点拨：分别求出 a，c 的值，得出离心率.（2）得到关
于 a，c 的不等关系，得出离心率的范围.
91
规范解答：由题意知 ＋ ＝1，设椭圆左、右焦点为 a2 b2
F1
（－c，0），F2（c，0）∴P→F1＝（－c－3，－1），P→F2＝（c －3，－1）.∴9－c2＋1＝－6.∴c2＝16，即 a2－b2＝16.又 9 ＋ 1 ＝1，∴a2＝18，b2＝2. a2 b2
高三数学一轮复习 第8章第1节 平面解析几何课件 文 (广东专用)
即 3x－y－2 3－3＝0，
化成斜截式为 y＝ 3x－2 3－3.
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
(1) (2012·福州模拟)若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，
Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线 l 的斜率为( )
1 A.3
B．－13
即 2x＋y－10＝0 或 8x＋9y－60＝0.
已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点，如图8－1－1所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方 程．
图8－1－1 【思路点拨】 本题中条件与截距有关，可设直线方程为截距式，也 可根据直线过点P(3,2)，把直线方程设为点斜式，然后求出横纵截 距．
C．－32
2 D.3
(2)直线 xcos α＋ 3y＋2＝0 的倾斜角的范围是( )
A．[π6，π2)∪(π2，56π]
B．[0，6π]∪[56π，π)
C．[0，56π]
D．[π6，55π]
【思路点拨】 (1)分别设出P、Q点的坐标，利用中点坐标公式求解．
(2)根据cos α的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角
A．－1 B．1 C．3 D．－3 【解析】 化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)． ∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 【答案】 B
3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
【解析】 由已知得－x－1－53＝74－ －53，∴x＝－3. 【答案】 －3
【规范解答】 (1)当 k＝0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在 的直线方程为 y＝12.
第八章平面解析几何阶段集训8课件-2025届高三数学一轮复习
准方程为y2 = 8x.故选D.
2.已知双曲线x2 + y2 = 1的渐近线方程为y = ± 5x，则m =(
)
m
A.5
√B.−5
C.−
1 5
D.−25
解：易知双曲线的标准方程为x2
−
y2 −m
=
1，m
<
0，则其渐近线方程为y
=
±
−mx.
又该双曲线的渐近线方程为y = ± 5x，所以 −m = 5，解得m = −5.
=1
2
MF2
= 32.
故选A.
5.若抛物线C: x2 = 2py p > 0 上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物
线C的标准方程是( )
A.x2 = 4y
B.x2 = 6y
√C.x2 = 8y
解：由抛物线定义,得6
+
p 2
=
8，解得p
=
4.
所以抛物线C的标准方程为x2 = 8y.
D.x2 = 16y
第八章 平面解析几何
阶段集训8
范围：8.5椭圆~8.7抛物线
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.准线方程为x = −2的抛物线的标准方程为( )
A.x2 = 4y
B.x2 = 8y
C.y2 = 4x
√D.y2 = 8x
解：因为抛物线的准线方程为x = −2，所以p = 4，且焦点在x轴上，所以抛物线的标
椭圆离心率为( )
A.23
B.13
C.
3 2
√D.12
解：伞柄与地面夹角的正切值为2 × 3 =
高考数学(文科)大一轮复习配套课时训练：第八篇 平面解析几何 大题冲关集训(五)(含答案)
大题冲关集训(五)1.经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D 在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M 交于点B、C.(1)求轨迹M的方程;(2)证明:∠BAD=∠CAD.(1)解:法一设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|.整理得x2=4y.所以轨迹M的方程为x2=4y.法二设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线.且其中定点F(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=x2,则y'=x.设点D(x0,),由导数的几何意义知,直线l的斜率为k BC=x0.由题意知点A(-x0,).设点C(x1,),B(x2,),则k BC===x0,即x1+x2=2x0.因为k AC==,k AB==.由于k AC+k AB=+==0,即k AC=-k AB.所以∠BAD=∠CAD.2.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点分别为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P,证明:·为定值.(O为坐标原点)(1)解:依题意得a=2,b=c,∴b2=2,故椭圆方程为+=1.(2)证明:C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM的方程为y=(x+2),即y=x+y0,代入椭圆方程得(1+)x2+x+-4=0.解得x1=-,y1=x1+y0=,即=(-,),∴·=-+==4(定值).3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A、B,求△OAB面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有=b,所以b=.又e==,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则y0=kx0,设AB交x轴于点D,如图,由对称性知:S △OAB=2S△OAD=2×x0y0=k.由解得=.所以S△OAB=k·=≤=.当且仅当=3k,即k=时取等号.所以△OAB面积的最大值为.4.如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、BP与直线l:y=-2分别交于点M、N.(1)设直线AP、BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;(2)求线段MN的长的最小值;(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.(1)证明:∵A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0,∴直线AP的斜率k1=,PB的斜率k2=,又点P在椭圆上,所以+=1(x0),从而有k1k2=·==-.解:(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),由⇒由⇒∴直线AP与直线l的交点M(-,-2),直线BP与直线l的交点N(-,-2).又k1k2=-,∴|MN|=|-|=|+4k 1|=+4|k1|≥2=4,当且仅当=4|k1|,即k 1=±时取等号,故线段MN长的最小值是4.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆恒过定点.设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则·=0,故有(x+)·(x+)+(y+2)(y+2)=0,又k1k2=-,所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+(-4k1)x=0,令x=0,得(y+2)2-12=0,解得y=-2+2,或y=-2-2,所以以MN为直径的圆恒过定点(0,-2+2)或(0,-2-2).5.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上的动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE 的面积之比.解:(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),得|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程是x2=4y.(2)直线PA,PB的方程分别是y=-x-1,y=x-1,曲线C在点Q处的切线l的方程是y=x-,且与y轴的交点为F(0,-),分别联立方程组解得D,E的横坐标分别是x D=,x E=,则x E-x D=2,|FP|=1-,故S△PDE=|FP|·|x E-x D|=·(1-)·2=,而S△QAB=×4×(1-)=,则=2.即△QAB与△PDE的面积之比为2.6.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,直线l过点M(4,0).(1)写出抛物线C2的标准方程;(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.解:(1)由题意,抛物线C 2的焦点F(1,0),则=1,p=2,所以抛物线C2的方程为y2=4x.(2)法一设P(m,n),则OP的中点为,.因为O,P两点关于直线y=k(x-4)对称,所以即解得将其代入抛物线方程,得(-)2=4·,所以k2=1.联立消去y得(b2+a2)x2-8a2x+16a2-a2b2=0.由Δ=(-8a2)2-4(b2+a2)(16a2-a2b2)≥0,得a2+b2≥16,注意到b2=a2-1,即2a2≥17,所以a≥,即2a≥,因此,椭圆C 1长轴长的最小值为.法二设P(,m),因为O,P两点关于直线l对称, 则|OM|=|MP|=4,即=4,解得m=±4,即P(4,±4),根据对称性,不妨设点P在第四象限,且直线与抛物线交于A,B,如图,则k AB=-=1,于是直线l的方程为y=x-4.联立消去y得(b2+a2)x2-8a2x+16a2-a2b2=0.由Δ=(-8a2)2-4(b2+a2)(16a2-a2b2)≥0,得a2+b2≥16,注意到b2=a2-1,即2a2≥17,所以a≥,即2a≥,因此椭圆C 1长轴长的最小值为.7.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:x-y+2=0与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是C2上不同的点,且AB⊥BC,求y0的取值范围.解:(1)e=,所以e2===,所以2a2=3b2,又因为直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,所以=b,b2=2,a2=3,所以椭圆C1的方程是+=1.(2)因为|MP|=|MF2|,所以,动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点F2(1,0)的距离, 所以,动点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,y2=4x.=1,所以点M的轨迹C(3)由(1)知A(1,2),B(,y2),C(,y0),y0≠2,y0≠y2,则=(,y2-2),=(,y0-y2),又AB⊥BC,所以·=0,于是×+(y2-2)(y0-y2)=0,整理得+(y0+2)y2+16+2y0=0,此方程有解,所以Δ=(y0+2)2-4(16+2y0)≥0,解得y0≤-6或y0≥10,所以,点C的纵坐标y0的取值范围是(-∞,-6]∪[10,+∞).第11页共11页。
高考一轮总复习高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第8章+平面解析几何(
阶段测试卷第八章平面解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. “直线l的方程为x－y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的(A)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件若直线l的方程为x－y＝0，则直线l一定平分圆x2＋y2＝1的周长；但要平分圆x2＋y2＝1的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l的方程为x －y＝0”是“直线l平分圆x2＋y2＝1的周长”的充分不必要条件．故选A.2. 在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(B)A. (－2，1)B. (1，2)C. (2，1)D. (－1，2)设直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号. ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A，C，D.故选B.3. (2013·朝阳练习)若直线y＝x＋m与圆x2＋y2＋4x＋2＝0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是(D)A. (2－2，22)B. (－4，0)C. (－2－2，－2＋2)D. (0，4)圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝2，∴圆心为(－2，0)，半径为 2.由题意知|－2＋m|2<2，即|m－2|<2，解得0<m<4.故选D.4. 设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(C)A. (0，2)B. [0，2]C. (2，＋∞)D. [2，＋∞)圆心到抛物线准线的距离为p，即为4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线的定义，知|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．5. 已知双曲线C：x24－y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1→·PF2→等于(C)A. 24B. 48C. 50D. 56由已知得|PF2|＝|F1F2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF1|＝10，在△F1PF2中，根据余弦定理可得cos∠F1PF2＝56，∴PF→1·PF→2＝10×6×56＝50.6. 记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是(D)A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线设圆心为C ，半径为r ，当点A ，P 在圆C 外时，可得|PA|＝|PC|－r ，即|PC|－|PA|＝r ，轨迹可以是双曲线的一支；当点A 在圆C 内且A 不是圆心，点P 也在圆内时，可得r －|PC|＝|PA|，即|PA|＋|PC|＝r ，轨迹可以是椭圆；当点A 是圆心时，|PA|＝12r ，轨迹可以是圆．7. 已知椭圆的方程为x 2＋y 2a 2＝1(0<a<1)，椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，－a)，则a 的取值范围是(B)A. (0，1)B. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1C. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1D. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33 任取椭圆上一点P(x ，y)，则有|PA|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2y 2－2ay ＋a 2＋1，由题设知，当y ＝－a 时，|PA|有最大值，则对称轴y ＝a 3a 2－1满足－a≥a 3a 2－1，解得22≤a<1.8. (2013·烟台诊断)已知抛物线y 2 ＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点F 的距离为5，则以M 为圆心且与y 轴相切的圆的方程为(A)A. (x －1)2＋(y －4)2＝1B. (x －1)2＋(y ＋4)2＝1C. (x －1)2＋(y －4)2＝16D. (x －1)2＋(y ＋4)2＝16抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，∴|MF|＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝8，即抛物线为y 2＝16x ，又m 2＝16，∴m ＝4，即M(1，4)，∴所求圆的半径为1，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －4)2＝1.故选A.9. (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为(C)A. y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12x D. y ＝±xe ＝ca＝1＋b 2a 2＝52，故b 2a 2＝14，即b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x .10. (2013·石家庄模拟)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y＝0，则该双曲线的标准方程为(C)A. x 29－y 216＝1B. x 216－y 29＝1C. y 29－x 216＝1D. y 216－x 29＝1∵抛物线x 2＝20y 的焦点为(0，5)，∴c ＝5且双曲线的焦点在y 轴上，∵渐近线方程为3x±4y＝0，∴ab ＝34，∴a ＝3，b ＝4，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1，故选C.11. (2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是(D)A.2 B.3 C. 32 D. 62设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，由|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a ，∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝4c 2＝12，∴(2＋a)2＋(2－a)2＝12， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝62.故选D.12. (2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(D)A.33 B.38 C.233 D.433由题设知抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，双曲线的焦点F 2(2，0)，∴直线FF 2为y ＝－p 4x＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12p x 2，y ＝－p 4x ＋p 2得x 2＝－p 22x ＋p 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x p 2＝－x 2＋1，双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±33x ，又由y′＝1p x 得x p ＝33，解得13＝－x2＋1，∴x ＝43，故p ＝433.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·乌鲁木齐模拟)设F 1，F 2 分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F 1的直线与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，则|AB|的长为__43__．∵|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列，∴2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，又由椭圆的定义知|AF 2|＋|AF 1|＋|BF 2|＋|BF 1|＝4，即|AF 2|＋|BF 2|＋|AB|＝4，∴3|AB|＝4，即|AB|＝43.14. 直线l ：y ＝k(x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，若|AB|＝22，则实数k ＝__±7．直线l ：y ＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0，设圆心到直线l 的距离为d ，则d 2＝（0－0＋3k ）2k 2＋1，可得|AB|＝22＝2r 2－d 2＝24－d 2，∴d 2＝2，∴（0－0＋3k ）2k 2＋1＝2，k 2＝27， ∴k ＝±147.15. 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__－2__． 设点P(x ，y)，其中x≥1.依题意得A 1(－1，0)，F 2(2，0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝(x ＋1)(x －2)＋y 2 ＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －182－8116，其中x≥1. 因此，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.16. (2013·江西高考)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__6__．抛物线的焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1得|x|＝3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x|p＝3＋p 24p＝33，解得p 2＝36，p ＝6.三、 解答题(共70分)17. (10分)如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，它依次截抛物线和圆于A ，B ，C，D 四点，求|AB|＋|CD|的值．(1)圆的方程化为(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为F(2，0)，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x.(4分)(2)由题意知直线AD 的方程为y ＝2(x －2)，即y ＝2x －4，代入y 2＝8x 得x 2－6x ＋4＝0，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6. (7分)∴|AD|＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，又圆直径|BC|＝4，∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6. (10分)18. (10分)(2013·湖北八校联考)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)设C 1，C 2的标准方程分别为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，x 2＝2py.将⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，116和(4，1)代入抛物线方程中得到的解相同，∴2p ＝16，(3分) ∴点(0，－22)和(2，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a ＝22，b ＝2，故C 1，C 2的标准方程分别为y 28＋x 24＝1，x 2＝16y. (5分)(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，将其代入y 28＋x 24＝1中，消去x 并化简整理得，(1＋2m 2)y 2＋4mny ＋2n 2－8＝0.∵直线l 与C 1相切，∴Δ＝16m 2n 2－4(1＋2m 2)(2n 2－8)＝0，∴n 2＝4(1＋2m 2), (7分)设切点P(x 0，y 0)，则y 0＝－2mn1＋2m 2＝－8m n ，x 0＝my 0＋n ＝n 2－8m 2n ＝4n . 又直线l 与C 2的准线y ＝－4的交点为Q(n －4m ，－4)，∴以PQ 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －4n (x －n ＋4m)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋8m n (y ＋4)＝0. (9分) 化简并整理得x 2－4n x ＋(4m －n)x ＋8m n (y ＋2)＋(y ＋2)2＝0恒成立，故x ＝0，y ＝－2，即存在定点M(0，－2)符合题意. (10分)19. (12分)已知圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP→·OQ →＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.(1)设圆心C(a ，a)，半径为r.∵圆C 经过点A(－2，0)，B(0，2)， ∴|AC|＝|BC|＝r ，易得a ＝0，r ＝2，∴圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(4分)(2)∵OP→·OQ →＝2×2×cos<OP →，OQ →>＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ，∴cos ∠POQ ＝－12，即∠POQ＝120°，根据解三角形的相关知识可得，圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离为12r.即圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1， 又d ＝1k 2＋1，解得k ＝0. (8分)(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S. ∵直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又易知|PQ|＝2×4－d 2，|MN|＝2×4－d 21，(10分)∴S ＝12·|PQ|·|MN|＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21·d 2 ＝212＋d 21·d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时等号成立，∴四边形PMQN 面积的最大值为7. (12分) 20. (12分)(2013·全国高考)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.(3分) ∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，因此a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.∴a 2＝6，b 2＝3.∴M 的方程为x 26＋y 23＝1. (6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB|＝463. (8分)由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ，设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3，4＝－2n±2（9－n 2）3. (10分)∵直线CD 的斜率为1，∴|CD|＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知得四边形ACBD 的面积S ＝12|CD|·|AB|＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863(此时直线CD 与圆有两个交点)．∴四边形ACBD 面积的最大值为863. (12分)21. (12分)如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py(p>0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12).(1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.(3分)∵OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4) ＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y. (6分)(2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋22·（－4）2－4·（－4）＝410. (9分)设P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，－12t 2(－2－22<t<－2＋22)，∵|AB|为定值，∴当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t ＋12t 2－222＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（t ＋2）2－45，又－2－22<t<－2＋22，∴当t ＝－2时，d max ＝455.∴当P 点坐标为(－2，－2)时，△ABP 面积的最大值为410×4552＝82.(12分)解法二：设P(x 0，y 0)，依题意，抛物线在点P 处的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．∵y ′＝－x ，∴x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，∴P(－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离为|2·（－2）－（－2）－2|22＋（－1）2＝45＝455.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y 得x 2＋4x －4＝0，∴|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋22·（－4）2－4×（－4）＝410，故△ABP 面积的最大值为410×4552＝82. (12分)22. (14分)(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(6分)(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x∈[－4，4])．(8分)设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又x 1∈(－4，4)，∴上式当x ＝2x 0时取最小，从而x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.∵PQ ⊥P ′Q ，且P′(x 1，－y 1)，∴QP →·QP′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 2116＝0.解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263.从而|QP|2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2632＋y 2＝163.(14分)。
2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何阶段集训7
解：易知双曲线的标准方程为 ， ，则其渐近线方程为 ,又该双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，解得 .故选B.
√
4.（2022届江苏苏州八校高三下三模）已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为3，则 ( )
A. B. C. D.
代入抛物线 的方程可得 ，则 ，则直
线 的斜率为 ，A正确.对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 .
设 ，则 ，则 ，代入抛物线 的方程得 ，解得 ，则 则 ，B错误.对于C，由抛物线定义知， ，C正确.对于D， ，则 为钝角.又 ，
解：由③得 ， ，则双曲线的渐近线方程为 .显然②与③不能同时成立.若③成立，又该双曲线的焦点在 轴上，则显然 在双曲线外部，即①③也不能同时成立.故该双曲线满足①②.则 解得 则双曲线 的方程为 .故填 .
16.（2023届广东部分学校高三10月联考）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，若 ，则 的面积为_ __．
A. B. C. D.
√
解：抛物线 的准线方程为 ，则 ， ， .不妨设点 在第二象限，联立 可得 即点 .因为 ，且 ，所以 为等腰直角三角形，且 ，即 ，可得 .所以 解得 因此，双曲线的标准方程为 .故选C.
6.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点．若 的面积为8，则 的焦距的最小值为( )
√
2.已知椭圆 上一点 到左焦点 的距离为5， 是 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
解：设椭圆右焦点为 ,由题意可得 ，所以 ，又 ，所以 .因为 是 的中点， 为 的中点，所以 故选A.
√
3.（2023届广东湛江高三上调研）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ( )
2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何阶段集训6
解：如图所示，设 ，
令 ，则 ，所以 .易得 ，所以当 时， ；当 时， .故填 ．
10.已知直线 ，其中 ，下列说法正确的是( )
A.当 时，直线 与直线 垂直B.若直线 与直线 平行，则 C.直线 过定点 D.当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等
√
√
解：对于A，当 时，直线 的方程为 ,故 的斜率为1，直线 的斜率为 ，因为 ，所以两直线垂直，A正确.对于B，若直线 与直线 平行，则 ，解得 或 ，B错误.对于C，当 时， ，所以直线过定点 ，C正确.对于D，当 时，直线 的方程为 ，易得在 轴、 轴上的截距分别是 ， ，D错误.故选AC.
15.直线 与圆 交于 ， 两点，且 ．若 ，则直线 的斜率为____．
解：易知圆的圆心坐标为 ，设直线 的方程为 ，即 ，圆心到直线 的距离为 ，圆的半径 .因为 ，所以 ，解得 .故填 .
16.已知圆 的方程为 ， 是圆 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 的取值范围为_ ______.
√
5.直线 与圆 有两个不同交点的一个必要不充分条件是 ( )
A. B. C. D.
解：圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 .若直线与圆有两个不同的交点，则直线与圆相交，则圆心到直线的距离 ，即 ，解得 . 的一个必要不充分条件是 .故选C.
√
6.（2023届广西北海高三上一模）已知圆 与 恰好有4条公切线，则实数 取值范围是( )
A.直线 与圆 相切 B.圆 上恰有两点到直线 的距离为1C.存在点 ，使 D.存在点 ，使 为等边三角形
√
√
√
解：对于A，圆 的半径 ,圆心 到直线 的距离 ，所以直线 和圆 相离，故A错误.对于B，圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ,最大值为 ，故B正确.对于C，当 时，易得 ，故C正确.对于D，根据C易知，当 向两侧移动时， 变小，则必存在两点使 ，又由圆的对称性有 ，可知此时 为等边三角形，故D正确.故选BCD.
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第4节双曲线课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C 1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线Cc1==1,双曲线C2的半焦距=1,故选D.c2=3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.故选A.4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵c2=2+2=4,∴c=2,2c=|F1F2|=4,由题可知|PF 1|-|PF2|=2a=2,|PF1|=2|PF2|,∴|PF 2|=2,|PF1|=4,由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:在椭圆C1中,因为e=,2a=26,即a=13,所以椭圆的焦距2c=10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.二、填空题6.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF 的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:447.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案:x2-=18.(2013韶关模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan ∠PF2F1=3,则双曲线的离心率为.解析:依题意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1==3,|PF1|=3|PF2|,设|PF1|=k,则|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,∴e==,即双曲线的离心率为.答案:9.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF 2|=c,|PF1|=c,|PF 1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e===+1.答案:+110.设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴=,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答题11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x0==.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB 的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2013南京质检)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由已知c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=4.|=2,又|F∴cos∠F1PF2===.13.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且²=0.求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2==,∴+===.B组14.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故选C.15.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( B )(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a (D)不确定解析:如图所示,取双曲线的右焦点为F',∵M为PF的中点,∴|MF|=|PF|.Rt△OFT中,|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b,连接OM,PF',则|OM|=|PF'|,∴|MO|-|MT|=|PF'|-(|MF|-|FT|)=|PF'|-|PF|+b=-a+b=b-a.故选B.16.设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤. 答案:1<e≤。