高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课件 理
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高考数学一轮总复习 第八章 第4节 双曲线课件
为 y＝±43x，即 4x＋3y＝0 或 4x－3y＝0.
[答案] 4x＋3y＝0或4x－3y＝0
5．给出下列命题： ①平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于 6 的点的 轨迹是双曲线． ②平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． ③方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
图形
范围
x∈R，y≤－a 或 x≥a 或 x≤－a，y∈R
y≥a
性 对称性 质 顶点
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0， a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，
⑤正确．等轴双曲线：x2－y2＝a2(a＞0)的渐近线方程为 x2 －y2＝0，即 y＝±x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均 为 2a，所以 c＝ 2a，
所以 e＝ac＝ a2a＝ 2. [答案] ④⑤
[典例透析]
考向一 双曲线的定义及应用
例1 (1)(2015·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左
P 在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．5
B．3
C．7
D．3 或 7
[解析] 因为||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7 或 3. 故选 D. [答案] D
高考理科数学一轮复习课件双曲线
参数法适用于一些较复杂的双 曲线问题，如求轨迹方程、最 值问题等。
数形结合思想在求解中应用
数形结合思想是将代数问题和几何问题相互转化，通过图形直观理解问题并求解的 方法。
在双曲线问题中，可以通过画出双曲线的图形，利用几何性质来理解和求解问题。
数形结合思想在求解双曲线问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解问题，并找 到正确的求解方法。
切线问题及其性质探讨
80%Байду номын сангаас
切线的定义
与双曲线只有一个公共点的直线 称为双曲线的切线。
100%
切线的性质
双曲线的切线满足切线方程与双 曲线方程联立后，判别式为零的 条件。
80%
切线的求解
通过联立切线方程和双曲线方程 ，消元后得到一元二次方程，由 判别式为零求得切线的斜率，从 而得到切线方程。
弦长公式应用举例
典型例题分析与解答
• 解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线 实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1| |PF2| = 2a2，由椭圆定义|PF1| + |PF2| = 2a1，可得|PF1| = a1 + a2，|PF2| = a1 - a2，又|PF1|⊥|PF2|，可得 |PF1|^{2} + |PF2|^{2} = 4c^{2}，即有(a1 + a2)^{2} + (a1 - a2)^{2} = 4c^{2}，化为a1^{2} + a2^{2} = 4c^{2}，即 有\frac{1}{{e{1}}^{2}} + \frac{1}{{e{2}}^{2}} = 4，可得 e{1}e{2} = \frac{c^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(a{1} + a{2})}^{2}}{a{1}a{2}} = \frac{1}{4}(1 + \frac{a{1}}{a{2}} + \frac{a{2}}{a{1}}) ≥ 1，当且仅当a{1} = a{2}时等号成立．即有e{1}e{2} ≥ 1．故选A．
高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课件理新人教版
3
3
2
± 3 ⇒ D( 1 ,± 3 ),渐近线方程为 y=± 3 x,设双曲线方程为 y2- 1 x2=m 将 D 代入
2
22
3
3
可得 m= 2 ,双曲线方程为 3y2 - x2 =1.故选 D.
3
22
答案:(2)D
(3)已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),求过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的
x2 y2 4,
双曲线的渐近线方程为
y=±
b 2
x,联立
y
b 2
x
解得在第一象限内的交点为( 4 , 2b ), 4 b2 4 b2
四边形 ABCD 的面积为 4· 4 · 2b ,则 4· 4 · 2b =2b,
4 b2
4 b2
4 b2
4 b2
解得 b2=12,
8
8
考点二 双曲线的几何性质★★★★
考查角度 1:求双曲线的离心率 【例 2】 (1)导学号 38486177(2015·全国Ⅱ卷)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°, 则 E 的离心率为( ) (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2
跟踪训练 1:(1)导学号 18702462 已知双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a2 b2
为 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 ()
(A) x2 - y 2 =1 (B) x2 - y 2 =1
16 9
4 a2
a2
等于( B )
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
9
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6 双曲线课件
＝ 实虚轴
；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它
的长|B1B2|＝ a；2＋ab2叫做双曲线的实半轴长，
答案
知识拓展
巧设双曲线方程 (1)与双曲线ax22－by22＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22 ＝t (t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为xm2＋yn2＝1 (mn<0).
答案
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)与bx22－ay22＝1(a>0，b>0)的离心率分别是 e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
答案
2
考点自测
1.若双曲线ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则
解析答案
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
解 设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0). 由题意知，2b＝12，e＝ac＝54.∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
解析答案
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)； 解 ∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点 在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为1y424－2x52 ＝1.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨 迹是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即 mx ±ny＝0.( √ )
高考一轮复习理科数学课件双曲线
焦距
两焦点之间的距离称为焦距，用 $2c$表示。
离心率
离心率$e$定义为$e = frac{c}{a}$，表示双曲线的扁平
程度。
渐近线方程与性质
渐近线方程
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方 程为$y = pm frac{b}{a}x$。
性质
双曲线特点
双曲线有两支，分别位于平面两侧 ，且两支无限接近于两条渐近线。
椭圆、抛物线和双曲线异同点比较
异同点概述
三种圆锥曲线在形状、方程、性质等 方面存在差异。
性质比较
双曲线具有渐近线、离心率等独特性 质，与椭圆和抛物线不同。
方程比较
椭圆和双曲线方程均为二次方程，但 系数和符号不同；抛物线方程为一次 方程。
04
最后根据双曲线的定义 和性质，对图形进行深 入的分析和判断。
03
双曲线与直线、圆位置 关系判断
双曲线与直线交点求解方法
01
02
03
代数法
联立双曲线与直线方程， 通过求解方程组得到交点 坐标。
几何法
利用双曲线和直线的几何 性质，通过作图直观判断 交点个数及位置。
数值法
对于难以求解的方程组， 可以采用数值方法进行近 似求解。
利用双曲线与直线、圆的位置 关系解决实际问题，如求解最
短距离、最大面积等。
练习
提供多个双曲线与直线、圆相 关的练习题，加强学生对知识
点的掌握和应用能力。
04
圆锥曲线中双曲线知识 点整合
圆锥曲线概述及分类标准
圆锥曲线基本概念
由平面截圆锥得到的曲线，包括 椭圆、双曲线、抛物线等。
分类标准
一轮复习双曲线ppt(共47张PPT)
3．(2009年全国Ⅰ高考)设双曲线
(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的那一支．
顶 顶点(坐a,0)标，
点 A1
，A2
y≤－a或y≥a
坐标轴
对称轴： 原点 对称中心：
(0，－a)
顶点坐标：A1 (0，a) ， A2
渐近 线
离心 率
e＝，e∈(1，＋∞)
，其中c＝
实虚 轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的 长|2Aa 1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲
2b
线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a 叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲
线的虚半轴长. a、b、
3．等轴双曲线 实轴和虚等轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
离心率e＝ ，渐近线方程为
.
y＝±x
A．k＞5
B．2＜k＜5
C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2或k＞5
【解析】 由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，
解得－2＜k＜2或k＞5.
【答案】 D
课时作业
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(a＞0，b＞0)
(2)可根据(1)中k的范围及|AB|＝6 求出k的值，得到直线AB的方程，再求m的值及C点的坐标，从而可得△ABC的面积．
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．
1．将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？
高考理科数学一轮复习双曲线课件
渐近线是双曲线另一条重要的几何特性线，它与双曲线的形状和方向密切相关。渐近线的方程可以通 过将双曲线方程中的x或y替换为其极限值来求得。
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
$number {01}
目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
$number {01}
目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
高考数学一轮复习经典课件——双曲线
32m－9n＝1 则方程组化为 81 25m－ n＝1 16
，
高考调研 · 新课标高考总复习
m＝ 1 16 解得 1 n＝ 9
a ＝16 ，即 2 b ＝9
2 2 2
，
y x 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 16 9
高考调研 · 新课标高考总复习
•
授人以渔
高考调研 · 新课标高考总复习
解析
∵双曲线焦点在 y 轴上，所以设双曲线的标准
2 2
y x 方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 将 P1，P2 点的坐标代入方程
(－4 2) －3 ＝1 b a 9 ( ) 25－ 4 ＝1 b a
2 2 2 2 2 2 2
，
1 1 令 m＝ 2，n＝ 2， a b
• (4)根据双曲线的某些几何性质求双曲线 方程，一般用待定系数法转化为解方程 (组)，但要注意焦点的位置，从而正确的 选择方程的形式，要善于利用双曲线的对 称性简化作图步骤和减少运算量，记住口 诀：“巧设方程立好系，待定系数求 a ，b； 结合图形用性质，避免繁锁有定义．”
高考调研 · 新课标高考总复习
2 2
高考调研 · 新课标高考总复习
3．(2010²辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(
• 答案
A. 2 C. 3＋1 2
)
B. 3 D.
D
5＋1 2
高考调研 · 新课标高考总复习
解析
b 直线 FB 的斜率为－ ， 与其垂直的渐近线的斜率 c
双曲线
高考调研 · 新课标高考总复习
双曲线高三数学一轮复习考点课件
。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
人教版高三数学一轮复习课件：双曲线及其标准方程(共10张PPT)
1 2
• 思考1：笔尖在运动的过程中，所满足的几 何条件是什么？并将其用数学符号表示出 来。
• 思考2 类比椭圆的定义，对上面式子中的 常数有什么要求吗？为什么？
探究点二 双曲线的标准方程
• 思考1：类比椭圆的标准方程推导过程，思 考怎样求双曲线的பைடு நூலகம்准方程？
• 思考2：如何判断双曲线焦点位置？填写设 计上的表格，并记忆！
同 学 们 再 见 ！
双曲线及标准方程
平面内到两个定点 距离的和为常数的点的 轨迹是椭圆（其中常数 大于两定点距离），那 么如果差为常数的话， 轨迹是什么？
F1
探究点一 双曲线定义
活动设计： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉 开的两边上各选择一点，分别固定在 F , F上， 把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭 笼，笔尖所经过的点可画出一条曲线，观 察曲线形状。
• 四、典例应用 • 例1 （1）已知双曲线两个焦点分别为F1（5,0）F2（5,0），双曲线上一点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方 程。 x y • 求与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 （3，2）的双曲线方程
2 2
• 练习 • 1.平面内有两个定点F1（-5,0）和F2（5，0）， 动点P满足|PF1|-|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是 （ ） • A.x² /16-y² /9=1（x≤-4） B.x² /9-y²/16=1 (x≤-3) • C.x² /16-y² /9=1（x≥4） D.x² /9-y² /16=1 （x≥3） • 2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 （3，-4）和（,5）求双曲线的标准方程。
• 思考1：笔尖在运动的过程中，所满足的几 何条件是什么？并将其用数学符号表示出 来。
• 思考2 类比椭圆的定义，对上面式子中的 常数有什么要求吗？为什么？
探究点二 双曲线的标准方程
• 思考1：类比椭圆的标准方程推导过程，思 考怎样求双曲线的பைடு நூலகம்准方程？
• 思考2：如何判断双曲线焦点位置？填写设 计上的表格，并记忆！
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双曲线及标准方程
平面内到两个定点 距离的和为常数的点的 轨迹是椭圆（其中常数 大于两定点距离），那 么如果差为常数的话， 轨迹是什么？
F1
探究点一 双曲线定义
活动设计： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉 开的两边上各选择一点，分别固定在 F , F上， 把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭 笼，笔尖所经过的点可画出一条曲线，观 察曲线形状。
• 四、典例应用 • 例1 （1）已知双曲线两个焦点分别为F1（5,0）F2（5,0），双曲线上一点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方 程。 x y • 求与双曲线 16 4 1 有公共焦点，且过点 （3，2）的双曲线方程
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• 练习 • 1.平面内有两个定点F1（-5,0）和F2（5，0）， 动点P满足|PF1|-|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是 （ ） • A.x² /16-y² /9=1（x≤-4） B.x² /9-y²/16=1 (x≤-3) • C.x² /16-y² /9=1（x≥4） D.x² /9-y² /16=1 （x≥3） • 2、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 （3，-4）和（,5）求双曲线的标准方程。
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右焦点,双曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离
心率为( D )
(A) 2 (B) 15 (C)4 (D) 17
解析:根据已知条件,知||PF1|-|PF2||=2a, 所以 4a2=b2-3ab, 所以 b=4a,
双曲线的离心率 e= c = a
故选 D.
方程为
.
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解析:(1)设双曲线的右焦点为 F, 则 F(c,0)(其中 c= a2 b2 ), 且 c=|OF|=r=4,
不妨将直线 x=a 代入双曲线的一条渐近线方程 y= b x,得 y=b, a
则 A(a,b).
由|FA|=r=4,得 (a 4)2 b2 =4,即 a2-8a+16+b2=16,
【例 1】 (1)(2014 高考江西卷)过双曲线 C: x2 - y 2 =1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C a2 b2
的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐 标原点),则双曲线 C 的方程为( )
(A) x2 y2 =1 (B) x2 y2 =1(C) x2 y2 =1
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4.已知双曲线 x2 - y 2 =1 的一个焦点坐标为(- 3 ,0),则其渐近线 a2
方程为
.
解析:由 a+2=3,可得 a=1,
∴双曲线方程为 x2- y 2 =1, 2
∴其渐近线方程为 y=± 2 x.
答案:y=.(2014 高考北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2 ,0),
k 3 k 5
(A)(-∞,3)∪(5,+∞) (B)(3,5)
(C)(3,4)∪(4,5)
(D)(4,5)
解析:由方程表示双曲线可知(k-3)(k-5)<0, 解得3<k<5. 故选B.
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2.(2014
高考重庆卷)设
F1、F2 分别为双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的左、
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3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程为 x2-y2=λ(λ≠
0),离心率 e= 2 .渐近线方程为 y=±x .它们互相 垂直 ,并且平分实
轴和虚轴所成的角.
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基础自测
1.已知方程 x2 + y2 =1 表示双曲线,则 k 的取值范围为( B )
(提示:只有当0<2a<|F1F2|时,动点的轨迹才是双曲线,当2a=0时,动 点的轨迹是线段F1F2的中垂线;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在)
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5
2.双曲线的标准方程及简单几何性质 见附表
质疑探究2:方程Ax2+By2=1表示双曲线的条件是什么? (提示:若A>0,B<0表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0表示焦点 在y轴上的双曲线,当上述两种条件都不满足时,不表示双曲线,所以 Ax2+By2=1表示双曲线的条件是AB<0)
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夯基固本
考点突破
思想方法
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3
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 焦点 , 两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 .
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4
质疑探究1:平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的 动点的轨迹一定为双曲线吗?
(3)设动圆 M 的半径为 R,则|MC|=2+R,|MA|=R, ∴|MC|-|MA|=2, 由双曲线的定义知,M 点的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支, 且 a=1,c=3,∴b2=8,
4 12
79
88
(D) x2 y2 =1 12 4
(2)(2014 合肥模拟)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C
上,且∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|=
.
(3)已知圆 C:(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 M 的轨迹
a2 b2 = 17 , a2
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9
3.(2014 高考广东卷)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 x2 - y2 =1 与曲线 16 5 k
x2 - y 2 =1 的( A )
16 k 5
(A)焦距相等
(B)离心率相等
(C)虚半轴长相等 (D)实半轴长相等
解析:因为 0<k<5,所以 5-k>0,16-k>0,这两个方程表示的是双曲线.焦距 都是 2 21 k .故选 A.
第4节 双曲线
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最新考纲 1.了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程、知道它的简单几
何性质(范围、对称性、顶 点、离心率、渐近线). 2.理解数形结合思想的应用.
编写意图 双曲线是历年高考命题的重点热点,多与圆、椭圆、抛物 线等综合命题,常以选择题、填空题形式呈现,本节围绕双曲线的定 义及标准方程,双曲线的几何性质(离心率和渐近线等)以及直线与双 曲线的位置关系三个重点精心选题,重在巩固基础知识和基本方法, 突出方程思想、数形结合思想的应用.
所以 c2-8a=0,所以 8a=c2=42, 所以 b2=c2-a2=16-4=12,
解得 a=2,
所以所求双曲线 C 的方程为 x2 y2 =1. 4 12
故选 A.
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(2)由题意知 a=1,b=1,c= 2 ,∴|F1F2|=2 2 ,
在△PF1F2 中,由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2=8, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,① 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,② ①-②得|PF1||PF2|=4.
( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程为
.
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴 上,所以 a=1,c= 2 ,于是 b2=c2-a2=1,所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1. 答案:x2-y2=1
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考点突破
剖典例 找规律
考点一 双曲线的定义及标准方程