高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课时作业文(含解析)新人教A版
高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线(含答案)
第4节双曲线课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C 1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线Cc1==1,双曲线C2的半焦距=1,故选D.c2=3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.故选A.4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵c2=2+2=4,∴c=2,2c=|F1F2|=4,由题可知|PF 1|-|PF2|=2a=2,|PF1|=2|PF2|,∴|PF 2|=2,|PF1|=4,由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:在椭圆C1中,因为e=,2a=26,即a=13,所以椭圆的焦距2c=10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.二、填空题6.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF 的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:447.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案:x2-=18.(2013韶关模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan ∠PF2F1=3,则双曲线的离心率为.解析:依题意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1==3,|PF1|=3|PF2|,设|PF1|=k,则|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,∴e==,即双曲线的离心率为.答案:9.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF 2|=c,|PF1|=c,|PF 1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e===+1.答案:+110.设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴=,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答题11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x0==.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB 的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2013南京质检)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由已知c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=4.|=2,又|F∴cos∠F1PF2===.13.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且²=0.求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2==,∴+===.B组14.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故选C.15.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( B )(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a (D)不确定解析:如图所示,取双曲线的右焦点为F',∵M为PF的中点,∴|MF|=|PF|.Rt△OFT中,|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b,连接OM,PF',则|OM|=|PF'|,∴|MO|-|MT|=|PF'|-(|MF|-|FT|)=|PF'|-|PF|+b=-a+b=b-a.故选B.16.设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤. 答案:1<e≤。
2022版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线学案新人教A版202105192134
8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质图形续表2 2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>1.过双曲线x2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a2,即k AB =b 2x0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a.6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2−y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0,即xm±yn=0.()(3)关于x,y的方程x2m −y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m −y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m−y2n=λ(λ≠0).()(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.“m>0”是“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为()A.x212-y2=1 B.x29−y23=1C.x2-y23=1 D.x223−y232=14.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是√5,则a=() A.√6 B.4C.2D.125.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.(2)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2的内切圆与边AB ,BF 2,AF 2分别相切于点M ,N ,P ,且|AP|=4,则a 的值为 .解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 29=1(a>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M 在双曲线C 上,且|MF 2|=6,则|MF 1|=( )A.2或14B.2C.14D.2或10(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 22+y 214=1(x ≥√2) D.x 22+y 214=1(x ≤-√2)(2)在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2),渐近线方程为y=±√2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 22=1 B.x 27−y 214=1C.x 23−y 26=1D.y 214−x 27=1(3)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( ) A.x 24−y 23=1B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1共渐近线的方程可设为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0);(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax ,则双曲线的方程可设为x 2a2−y 2b 2=λ(λ≠0);(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x 2m +y 2n=1(mn<0)或mx 2+ny 2=1(mn<0).对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (c ,0)作其渐近线y=√32x 的垂线,垂足为M ,若S △OMF =4√3(O 为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 23=1 B.x 28−y 26=1 C.x 216−y 212=1D.x 232−y 224=1(2)过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与双曲线C 的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C 的右焦点F 为圆心,4为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 212=1 B.x 27−y 29=1 C.x 28−y 28=1 D.x 212−y 24=1(3)经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7)的双曲线的标准方程为 .考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1 求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F ,点A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB 为直径的圆过点F 且交双曲线C 的左支于M ,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)中a ,b 的值或a 与b 的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )A.y=±√33x B.y=±√3x C.y=±√22xD.y=±√2x考向2 求双曲线的离心率【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),F 为双曲线C 的右焦点,A 为双曲线C 的右顶点,过点F 作x 轴的垂线,交双曲线C 于M ,N 两点.若tan ∠MAN=-34,则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.43D.√2解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法 (1)求a ,b ,c 的值,由e=ca =√1+b 2a 2直接求出e.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化为关于e 的方程(或不等式)求解.对点训练4(2019全国2,理11)设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√5考向3 与双曲线有关的取值范围问题【例5】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点,若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36) C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33)解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决. 对点训练5已知焦点在x 轴上的双曲线x 28-m+y 24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .考点双曲线与圆的综合问题【例6】已知点P 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F 2|,且直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±43x B.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x对点训练6过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆O :x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A ,B ,双曲线的左顶点为C ,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±√2x D.y=±√22x8.6 双曲线 必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)> 3.坐标轴 原点 (-a ,0) (a ,0) (0,-a )(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A由“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x 2m −y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.3.C由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得{2a2-3b2=1,b a =√3,解得{a=1,b=√3.故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.4.D∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a2+b2,∴√a2+1a=√5,解得a=12.故选D.5.5 3由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=√1+b2a2=√1+169=53.关键能力·学案突破例1(1)2√2(2)2(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,所以S△AF1F2=2√3,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=2√3,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.对点训练1(1)C(2)92(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6<a+c=9,知点M在双曲线C的右支上.由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.例2(1)A(2)B(3)D(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=2√2<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22−y214=1(x≥√2).(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,所以可设所求双曲线的方程为2x 2-y 2=k (k ≠0).又点P (2√2,-√2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x 2-y 2=14,所以双曲线的标准方程为x 27−y 214=1.故选B .(3)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即c a=53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .对点训练2(1)C (2)A (3)y 225−x 275=1(1)由题意易得|FM|=b ,又|OF|=c ,FM ⊥OM ,所以|OM|=√|OF |2-|FM |2=a.联立{ba =√32,12ab =4√3,解得{a =4,b =2√3, 所以双曲线的标准方程为x 216−y 212=1.故选C .(2)不妨设渐近线y=ba x 与直线x=a 交于点A ,则点A (a ,b ).依题意,c=4,√(4-a )2+b 2=4,a 2+b 2=c 2=16,解得a 2=4,b 2=12,故双曲线的标准方程为F 24−y 212=1.(3)设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7), 所以{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =-175,n =125.故所求双曲线的方程为y 225−x 275=1.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=b a x 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,b a x 0),B -x 0,-bax 0.因为以AB 为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a2x 02=c 2-c 2a2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2bax 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a 2-y 2b 2=1,得y=±b 2c ,则|MN|=2b 2F=2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=√c 2-b 2=2√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3A 由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a 22−y 2b 22=1的焦点相同,可得a 2-b 2=a 22+b 22,即a 2=3b 2,所以ba =√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A .例4B 由题意可知tan ∠MAN=2tan∠MAF1-tan 2∠MAF =-34,解得tan ∠MAF=3.令x=c ,则y=±b 2a , 可得tan ∠MAF=b 2ac -a =c 2-a 2ac -a=c+a a=3,则e=ca =2.故选B .对点训练4A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c2. ∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c24+c 24=a 2,即c22=a 2,∴e 2=c2a 2=2,∴e=√2.故选A .例5A 因为点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),x 022−y 02=1,所以MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0)·(√3-x 0,-y 0)=x 02+y 02-3<0,即3y 02-1<0,解得-√33<y 0<√33.对点训练5(0,2) 因为双曲线x 28-m+y 24-m =1的焦点在x 轴上,所以{8-m >0,4-m <0,解得4<m<8.所以焦点到渐近线的距离d=√m -4∈(0,2).例6A 如图.由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=√c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc =(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.对点训练6A如图,连接OA,OB.设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=√c2-a2=√(2a)2-a2=√3a.所以双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√3x.。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线教学案 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三
第六节双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [常用结论]1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为2b2a.2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．双曲线3x 2－y 2＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x C [由3x 2－y 2＝0得y ＝±3x .故选C.]3．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2D ．2A [由题意可知b ＝2a ，∴e ＝c a ＝1＋b 2a2＝5，故选A.] 4．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为________．x24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.]双曲线的定义及其应用【例1】 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________.(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34[(1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42， 所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34.] [母题探究] (1)将本例(2)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？(2)将本例(2)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] (1)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.[规律方法] 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(1)方程x ＋102＋y 2－x －102＋y 2＝12的化简结果为( )A.x 236－y 264＝1B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝1(x ＞0) D.x 264－y 236＝1(x ＞0) (2)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．(1)C (2)17 [(1)设F 1(－10,0)，F 2(10,0)，动点P (x ，y )，则由题意可知 |PF 1|－|PF 2|＝12，又|F 1F 2|＝20，∴动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支． 又2a ＝12,2c ＝20，∴a ＝6，c ＝10，b ＝8. 即所求方程为x 236－y 264＝1(x ＞0)．(2)由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的右支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.]双曲线的标准方程【例2】 (1)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 (2)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 (1)C (2)C [(1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.(2)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x, 即y3＝±x .所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.][规律方法] 求双曲线标准方程的主要方法1定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，得双曲线方程.2待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 (2)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D.]双曲线的几何性质►考法1 双曲线的离心率问题【例3】 (2018·广州一模)如图，在梯形ABCD 中，已知|AB |＝2|CD |，AE →＝25AC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为( ) A.7 B ．2 2 C ．3D.10A [如图，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由梯形的性质与双曲线的对称性知C ，D 关于y 轴对称．设A (－c,0)，则B (c,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，h (其中h 为梯形的高)，因为AE →＝25AC →，所以x E ＝－25c ，y E ＝25h .设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)，因为点C ，E 在双曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧425·c 2a 2－425·h2b2＝1，14·c 2a 2－h2b 2＝1，解得c 2a2＝7，所以双曲线的离心率e ＝c a＝7，故选A.] ►考法2 双曲线的渐近线问题【例4】 (2019·福州模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a2a 2＋b 2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.] ►考法3 双曲线几何性质的综合应用【例5】 (1)(2019·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5] C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)(2)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线C 2的一条渐近线上，且OM ⊥MF 2(O 为坐标原点)，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4(1)C (2)B [(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意，得b a ＞2，∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＞1＋4＝5，即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．(2)双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率为52，设F 2(c,0)，双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝b a x ，可得|MF 2|＝bc a 2＋b 2＝b ，|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32.又a 2＋b 2＝c 2，且ca＝52，得a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 2的实轴长为16.]1求双曲线的离心率或范围.依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式或不等式，解方程或不等式即可求得.2求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.(1)(2019·海口模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43 B.54 C.169D.2516(2)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(3)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴、y 轴上，渐近线方程为y ＝±1ax (a ＞0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．(1)B (2)A (3)22 [(1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，与圆相切的只能是直线by －ax ＝0，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，化简得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，e 2＝2516，故e ＝54，故选B.(2)∵0＜k ＜9，∴9－k ＞0,25－k ＞0.∴x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表示双曲线，又25＋(9－k )＝34－k ＝(25－k )＋9， ∴它们的焦距相等，故选A. (3)e 1＋e 2＝1＋1a 2＋a 2＋1＝a 2＋1·a ＋1a≥2a ×2a＝22，当且仅当a ＝1时取等号，故e 1＋e 2的最小值是2 2.]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.]2.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．4B [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －2，y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.]3．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3)D ．(0，3)A [若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为 y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.] 4.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．233 [如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.] 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．126 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)． 当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1， 得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.]。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第6讲 双曲线创新教学案(含解析)新人教版-新人教版高三全册
第6讲 双曲线[考纲解读] 1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(X 围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2．掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做□01双曲线．这两个定点叫做双曲线的□02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□03焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当□04a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当□05a ＝c 时，P 点的轨迹是两条□06射线； (3)当□07a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)性质X围x≥□01a或x≤□02－a，y∈Rx∈R，y≤□03－a或y≥□04a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1□05(0，－a)，A2□06(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1□07(0，－c)，F2□08(0，c)渐近线y＝±ba x y＝□09±ab x离心率e＝□10ca，e∈□11(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴实轴：|A1A2|＝□122a；虚轴：|B1B2|＝□132ba，b，c的关系c2＝□14a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)假设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，那么1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)设双曲线C的两个焦点分别为(－2,0)，(2,0)，一个顶点是(2，0)，那么C 的方程为________．答案x22－y22＝1解析由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，设其方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由得a＝2，c＝2，所以b2＝c2－a2＝2，b＝2，所以C的方程为x22－y22＝1.(2)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，假设|PF1|＝9，那么|PF2|＝________.答案17解析由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，那么有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.(3)(2018·高考)假设双曲线x2a2－y24＝1(a>0)的离心率为52，那么a＝________.答案 4解析由，b2＝4，e＝ca＝52，即c2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫522＝54，又因为a2＋b2＝c2，所以a2＋4a2＝54，a2＝16，a＝4.(4)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，那么双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±2 2x解析由，得2b＝2,2c＝23，所以b＝1，c＝3，所以a＝c2－b2＝2，所以双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba x，即y＝±22x.题型一双曲线的定义及应用1．假设双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，那么|PF|＋|P A|的最小值是()A．8 B．9C．10 D．12 答案 B解析由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，那么B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|P A|＝4＋|PB|＋|P A|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|P A|的最小值为9.应选B.2．F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，那么cos∠F1PF2＝________.答案3 4解析由条件及双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，那么cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.条件探究将本例中的条件“|PF1|＝2|PF2|〞改为“∠F1PF2＝60°〞，那么△F1PF2的面积为________．答案2 3解析不妨设点P在双曲线的右支上，那么|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以42＝(22)2＋|PF1|·|PF2|.∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|sin60°＝2 3.1．利用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离〞．假设定义中的“绝对值〞去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．利用焦点三角形需注意的问题在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a两边平方，建立与|PF1|·|PF2|有关的方程．见举例说明2及条件探究．1．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，那么|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 易知双曲线的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，所以|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6.2．(2020·某某普宁市华侨中学月考)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，假设|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，那么△PF 2Q 的周长是________．答案 12解析 由双曲线的定义知，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2a ＝2，所以|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝4，又|PQ |＝4，所以|PF 2|＋|QF 2|－4＝4，|PF 2|＋|QF 2|＝8，所以△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝12.题型二 双曲线的标准方程及应用1．动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 答案 A解析 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故其标准方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)．条件探究 将本例中的条件改为“动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9都外切〞，那么动圆圆心M 的轨迹方程为____________．答案 x 2－y28＝1(x ≤－1)解析如下图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．2．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)与双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解(1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)由，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 因为此双曲线经过点(2,2)，所以22－4×22＝λ， 解得λ＝－12，所以双曲线方程为x 2－4y 2＝－12，即y 23－x 212＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．见举例说明1.(2)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．见举例说明2(1)．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．见举例说明2(2)．注意：求双曲线的标准方程时，假设焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解．见举例说明2(3)．1．(2019·某某模拟)双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，那么C 的方程是( )A ．x 2－y 22＝1B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1答案 B解析 因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.2．设F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，假设F 1，F 2，P (0,2b )为等边三角形的三个顶点，且双曲线经过点Q (5，3)，那么该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 22－y 22＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析F 1和F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，∵F 1，F 2，P (0,2b )构成正三角形，∴2b ＝3c ，即有3c 2＝4b 2＝3(a 2＋b 2)，∴b 2＝3a 2.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点Q (5，3)，∴5a 2－33a 2＝1，解得a 2＝4，∴b 2＝12，∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.应选D.题型三 双曲线的几何性质角度1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点 及X 围问题1．M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．假设MF 1→·MF 2→<0，那么y 0的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，那么F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，那么MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33.应选A.2．(2019·某某武昌区调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，那么C 的实轴长等于________．答案 8解析 双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y a ±x b ＝0，即ax ±by ＝0，因为焦点(0，c )到直线ax ＋by ＝0的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝3，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3，又因为2c ＝10，c ＝5，所以a ＝c 2－b 2＝4，所以C 的实轴长为8.角度2 与双曲线渐近线有关的问题3．(2019·某某模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，假设∠F 1MF 2＝45°，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba ＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .4．(2019·某某四地七校联考)直线x ＝4与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，假设OP →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R ，O 为坐标原点)，那么以下不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12 B ．a 2＋b 2≥18 C ．a 2＋b 2≤12 D ．a 2＋b 2≤18答案 B解析 因为双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线为y ＝±x2，与直线x ＝4交于A (4,2)，B (4，－2)，设P (x ，y )，那么OP→＝(x ，y )，OA →＝(4,2)，OB →＝(4，－2)，因为OP →＝aOA→＋bOB →，所以x ＝4a ＋4b ，y ＝2a －2b ，由于点P (x ，y )在双曲线上，故(4a ＋4b )24－(2a －2b )2＝1，解得ab ＝116，那么a 2＋b 2≥2a 2b 2＝18(当且仅当a 2＝b 2且ab ＝116时取“＝〞)．应选B.角度3 与双曲线离心率有关的问题5．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．假设F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，那么C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由F 1A →＝AB →， 得A 为F 1B 的中点． 又O 为F 1F 2的中点， ∴OA ∥BF 2. 又F 1B →·F 2B →＝0， ∴∠F 1BF 2＝90°. ∴OF 2＝OB ， ∴∠OBF 2＝∠OF 2B .又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，不妨设B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－32c .∵点B 在直线y ＝－b a x 上，∴ba ＝3， ∴离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.解法二：∵F 1B →·F 2B →＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点， ∴|OF 2|＝|OB |＝c .如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ， 且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又F 1A →＝AB →，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝ca ＝2.1．与双曲线有关的X 围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，那么借助此关系直接转化求解．见举例说明1. (2)假设条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标X 围，方程中Δ≥0等来解决．2．与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．1．(2020·潍坊高三月考)双曲线C：x29－y216＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的选项是()A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变答案 C解析当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程x29－y216＝λ中，令λ＝0，得y＝±43x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．应选C.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，假设S△AOF2S△AOB＝2，那么双曲线的离心率为()A. 2B. 3C．2 D. 5 答案 B解析由题意，知|F2A|＝|bc|a2＋b2＝b，又S△AOF2S△AOB＝2，那么|AB|＝b2，|OA|＝|OF 2|2－|F 2A |2＝c 2－b 2＝a ，所以a 2＝b 22，得2a 2＝c 2－a 2，即3a 2＝c 2，e 2＝c 2a 2＝3，从而e ＝ 3.应选B.3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，那么双曲线离心率的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D ．[53，＋∞]答案 B解析 由双曲线定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，结合|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 2|＝2a 3，从而2a 3≥c －a ，得5a 3≥c ，所以e ＝c a ≤53，又双曲线的离心率大于1，所以双曲线离心率的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.题型四 直线与双曲线的综合问题1．过双曲线M ：x 2－y 23＝1的左焦点F 作圆C ：x 2＋(y －3)2＝12的切线，此切线与M 的左支、右支分别交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点到x 轴的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意知，切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，且切线斜率存在，不妨设切线方程为y －0＝k (x ＋2)，易知|2k －3|1＋k 2＝22，解得k ＝1或k ＝177.当k ＝177时，切线不与双曲线M 的右支相交，故舍去，所以切线方程为y ＝x ＋2，与双曲线方程联立，消元得2y 2－12y ＋9＝0，所以y 1＋y 2＝6，即线段AB 中点的纵坐标为3，所以线段AB 的中点到x 轴的距离为3.2．双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)假设l 与C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)假设l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值．解(1)假设双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，那么方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值X 围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2<k <2且k ≠±1，所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．判断直线与双曲线位置关系的三个步骤2．一个易错点联立直线与双曲线方程消元后，一定要注意二次项系数是否为零的判断或讨论．3．一组常用结论 直线与双曲线位置关系与右支交于两个不同点与左支交于两个不同点与左、右两支各有一个交点满足条件⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0⎩⎨⎧Δ>0，x 1x 2<01．(2019·某某4月调研)过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，假设P 为线段AB 的中点，那么|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3答案 D解析 解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－8k (2k －1)1－2k 2＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2＝10. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.应选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 212－y 21＝1， ① x 222－y 22＝1. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4,2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.那么直线AB 的方程为y ＝x －2.由⎩⎨⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4 3.2．过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段称为双曲线的通径，其长等于2b 2a (a ，b 分别为双曲线的实半轴与虚半轴长)．双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，假设M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ ⊥l 于点Q ，且|MQ |＋|MF 1|的最小值为3，那么双曲线C 的通径长为________．答案 2解析 如下图，连接MF 2，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MQ |＋|MF 1|＝|MF 2|＋|MQ |＋2a ≥|F 2Q |＋2a ，当且仅当Q ，M ，F 2三点共线时，|MQ |＋|MF 1|取得最小值3.此时，F 2(c,0)到直线l ：y ＝－1a x 的距离|F 2Q |＝c 1＋a2，∴c 1＋a2＋2a ＝3⇒c c ＋2a ＝3⇒a ＝1，由定义知通径长为2b 2a ＝2.组 基础关1．(2019·某某统考)“k <9〞是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9〞是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线〞的充分不必要条件，应选A. 2．(2019·某某高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2答案 C解析 由题意可得ba ＝1，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.应选C.3．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±512，0. 4．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，假设曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，那么曲线C 2的标准方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 2169－y 225＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 2169－y 2144＝1答案 A解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，那么||PF 1|－|PF 2||＝8<10＝|F 1F 2|.由双曲线的定义知曲线C 2为双曲线且a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.应选A.5．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，那么该双曲线的实轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为C (2,0)，半径r ＝1.双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆C 相切，所以圆心到渐近线的距离d ＝|2b |a 2＋b2＝1，所以3b 2＝a 2.由x 2a 2－y 23＝1，得b 2＝3，那么a 2＝9，所以2a ＝6.应选B.6．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，那么|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a ＝2，即e ＝ 2.应选A.7．双曲线C ：x 2－y 24＝1，经过点M (2,1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，那么直线l 的方程为( )A ．8x －y －15＝0B ．8x ＋y －17＝0C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0答案 A解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，4x 22－y 22＝4，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝162＝8，故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.8．(2019·东北三省四市教研联合体模拟)矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为________．答案 32解析 解法一：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么c ＝a 2＋b 2＝6.①如图1，在x 2a 2－y 2b 2＝1中，令x ＝6，得y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2－1b 2＝25.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝20，所以a ＝4，所以离心率e ＝c a ＝32.解法二：如图2，不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，易知AC ＝13.由双曲线的定义可知2a ＝|AC |－|BC |＝8，即a ＝4.又c ＝12|AB |＝6，所以离心率e ＝c a ＝32.9．(2020·某某摸底)双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么P A 1→·PF 2→的最小值为________．答案 －2解析 由题意可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，那么P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x－2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2. 10．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，那么△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．答案 a解析 ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，假设设△PF 1F 2的内切圆圆心在x 轴上的投影为A (x,0)，那么该点也是内切圆与x 轴的切点．设B ，C 分别为内切圆与PF 1，PF 2的切点．由切线长定理，那么有|PF 1|－|PF 2|＝(|PB |＋|BF 1|)－(|PC |＋|CF 2|)＝|BF 1|－|CF 2|＝|AF 1|－|F 2A |＝(c ＋x )－(c －x )＝2x ＝2a ，所以x ＝a .所以内切圆圆心的横坐标为a .组 能力关1．(2019·某某一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，假设|MN |＝2，△ABF 的面积为8，那么C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为F ′，由OA ＝OB ＝OF ＝OF ′＝c ，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，点F (－c,0)到直线y ＝－ba x (即bx ＋ay ＝0)的距离为|b ·(－c )|a 2＋b2＝b ，所以S △ABF ＝12·2c ·b ＝8，即bc ＝8.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2c ，所以|MN |＝2b 2c ＝2，所以b 2＝c ，所以b ＝2，c＝4，所以a ＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2019·某某六市第二次联考)直线y ＝2b 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的斜率为正的渐近线交于点A ，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，假设tan ∠AF 2F 1＝15，那么双曲线的离心率为( )A.1611 B ．2 C ．4或1611 D ．4答案 D解析由⎩⎨⎧y ＝2b ，y ＝b a x ，得点A (2a,2b )，所以tan ∠AF 2F 1＝2b |c －2a |＝15.所以4b 2＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即4(c 2－a 2)＝15(4a 2－4ac ＋c 2)，即64a 2－60ac ＋11c 2＝0，所以11e 2－60e ＋64＝0.解得e ＝4或e ＝1611.经检验，当e ＝1611时，tan ∠AF 2F 1＝－15，不符合题意，所以双曲线的离心率为4.3．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2＝0时，不符合题意，当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 2·16(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4， 解得k ＝±22.综上可知，这样的直线有3条．4．(2019·某某七中高三上学期入学考试)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在点P 与右焦点F 关于其渐近线对称，那么该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 D解析 过右焦点F 且与渐近线垂直的直线方程为y ＝±a b (x －c )，不妨取直线y ＝－a b (x －c )．设渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－ab (x －c )的交点为M .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝－a b (x －c )，解得x ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ，y ＝abc ，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .由中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c －c ，2ab c .将其代入双曲线的方程，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2b 2c 2＝1，化简，得c 2＝5a 2，由此，得e ＝ca ＝ 5.5．等腰三角形ABC 的底边端点A ，B 在双曲线x 26－y 23＝1的右支上，顶点C 在x 轴上，且AB 不垂直于x 轴，那么顶点C 的横坐标t 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，那么x 0> 6.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216－y 213＝1，x 226－y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，于是x 0(x 1－x 2)－2y 0(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 02y 0.又k MC ＝y 0x 0－t ，由k MC ·k AB ＝y 0x 0－t·x 02y 0＝－1，得x 0＋2(x 0－t )＝0，即t ＝3x 02>362.6．F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析 如图，设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1，可知a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如下图)．由题意可知直线AF 1的方程为 y ＝26x ＋66，由⎩⎨⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6.7．(2020·某某摸底)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，那么双曲线E 的离心率e ＝________；假设双曲线E 的实轴长为2，过双曲线E 的右焦点F 可作两条直线与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋m ＝0相切，那么实数m 的取值X 围是________．答案 3 (－3,5)解析 因为双曲线E 的一条渐近线的方程是22x －y ＝0，所以ba ＝22，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋(22)2＝3.又因为双曲线E 的实轴长为2，所以2a ＝2，即a ＝1，所以c ＝3，F (3，0)．由题意得右焦点F 在圆C 外，所以需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧32＋02－2×3＋4×0＋m >0，(x －1)2＋(y ＋2)2＝5－m >0，解得－3<m <5，故实数m 的取值X 围是(－3,5)．组 素养关1．双曲线C 的中心在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C 交于A ，B 两点，当k 为何值时，以线段AB 为直径的圆过原点？解(1)设双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝233，b a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝33，b ＝1，故双曲线的方程是3x 2－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0， 由Δ>0且3－k 2≠0，得－6<k <6且k ≠±3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又因为x 1＋x 2＝－2k k 2－3，x 1x 2＝2k 2－3， 所以y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1， 所以2k 2－3＋1＝0，解得k ＝±1.综上，当k ＝±1时，以线段AB 为直径的圆过原点．2．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解(1)由题意，知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ， 即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 那么x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，x 0>23，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM→＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
2020届高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课件理新人教A版
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解析：(1)(1)∵PF1⊥PF2，△APF1 的内切圆 半径为 r，
∴|PF1|＋|PA|－|AF1|＝2r， ∴|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝2r， ∴|AF2|－|AF1|＝2r－4， ∵由图形的对称性知：|AF2|＝|AF1|， ∴r＝2. 故答案为：2.
轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
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3.等轴双曲线的定义及性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)，
离心率 e＝ 2.渐近线方程为__y_＝__±___x__.它们互相__垂__直____，并且平分实
轴和虚轴所成的角．
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【重要结论】 1．双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦 长为2ab2. 2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长． 3．已知双曲线ax22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)求其渐近线的方程只需把 λ 改写为 0 整理即可．
故选：C.
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(2)因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e＝ac＝54，所以 c
＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为1x62 －9y2＝1，故选 C.
(3)解析：由题意，设双曲线 C 的方程为y42－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲
线 C 过点(2,2)，则242－22＝λ，解得 λ＝－3，所以双曲线 C 的方程为y42－
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【即时训练】 (1)已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.6双曲线
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常用结论
1.与双曲线定义及标准方程相关结论
（1）在双曲线定义中，当2 = 1 2 时，点的轨迹为以1 ,2 为端点的两条射线；
当2 > 1 2 时，轨迹不存在.
（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可
得到渐近线方程.
（3）双曲线与椭圆的标准方程可统一为 2 + 2 = 1的形式，当 > 0,
两个
（1）Δ > 0时，直线与双曲线有______不同的公共点.
一个
（2）Δ = 0时，直线与双曲线有______公共点.
没有
（3）Δ < 0时，直线与双曲线______公共点.
一个
当 = 0时，直线与双曲线的渐近线平行，若方程有解,则直线与双曲线有______
公共点.
注：直线与双曲线的关系中,一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
第八章 平面解析几何
8.6 双曲线
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课时作业
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
2.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
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【教材梳理】
1.双曲线的定义
绝对值
（1）定义：一般地，我们把平面内与两个定点1 ，2 的距离的差的________等
1 2
焦点
于非零常数（小于_______）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_____，
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的______.
（2）等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为
2
= ±
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何
当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时， 若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
1234
②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0， 则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)， 此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1， 消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章 直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，
人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-6 双曲线 练习学生版 精品
高三一轮 第八章 平面解析几何8.6 双曲线（检测学生版）时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 2.(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝13.(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 23－y 24＝1 4.(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 35.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24D.236.(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.8．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．9.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.10．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O为原点)，求k 的取值范围．12.(2013·大纲全国，21)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6. (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列.。
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业58
课时作业58 双曲线一、选择题1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：因为双曲线的焦距为10，所以c ＝5. 又因为P (2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y ＝b ax ， 所以1＝2ba，即a ＝2b .又因为c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝25，所以b 2＝5，a 2＝20. 即双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：由题知a 2＋3a 2＝2，解得a ＝1. 答案：D3．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：渐近线平行于l ，则b a＝2，又焦点为(－5,0)，则c ＝5，可得c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，得a 2＝5，b 2＝4a 2＝20，选A.答案：A4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( ) A.32 B.52C.352D.52解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案：A5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m解析：由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a>2. ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2>1＋4＝ 5.答案：C二、填空题7．(2014·北京卷)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线为y ＝±2x ，故C 的渐近线为y ＝±2x ，设C ：y 24－x 2＝m ，并将点(2,2)代入C 的方程，解得m ＝－3，故C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x 8．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．(2014·浙江卷)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．解析：由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 和y ＝－b ax ，分别与x －3y ＋m ＝0联立，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，由|PA |＝|PB |得，AB 中点Q 的坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，由PQ 与已知直线垂直，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54，故e ＝c a ＝52. 答案：52三、解答题10．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．已知|OA →|，|AB →|，|OB →|成等差数列，且BF →与FA →同向．(1)求双曲线的离心率．(2)设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：(1)设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ， 由勾股定理可得(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2， 得d ＝14m ，tan ∠AOF ＝b a，tan ∠AOB ＝tan2∠AOF ＝AB OA ＝43，由倍角公式，得2×b a 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝43，解得b a ＝12，则离心率e ＝52. (2)不妨设过F 与l 1垂直的直线方程为y ＝－a b (x －c )，与双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1联立，将a ＝2b ，c ＝5b 代入，化简有154b 2x 2－85bx ＋21＝0， 4＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b2|x 1－x 2|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]，将数值代入，有4＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325b 152－4·28b 25， 解得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 236－y 29＝1.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 是x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是F 1，F 2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P (3，1)，则PF 1→＝(－2－3，－1)，PF 2→＝(2－3，－1)．所以PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.答案：C2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a2，取点A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案：A3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为________．解析：∵(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，∴OB ⊥PF 2，且B 为PF 2的中点．又O 是F 1F 2的中点，∴OB ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1→|＝3|PF 2→|，∴|PF 2|＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a ，∴由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得(12＋63)a 2＋(4＋23)a 2＝4c 2，∴e 2＝4＋23，∴e ＝3＋1.答案：3＋14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a 、b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8. ①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1·x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1， 即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1·x 2＝－199. 由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1.故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2，所以|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等比数列．。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
2021年高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．(xx·吉林市期中复习检测)设双曲线y 29－x 2a 2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.74D.7解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，故选B. 答案：B2．(xx·北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.答案：B3．(xx·湖北武汉高三调研测试)已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化解析：如图，对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )， 而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B. 答案：B4．(xx·山东滨州模拟)圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，若此曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以离心率为e ＝2c 2a ＝3x 6x ＝12，若此曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，此时离心率e ＝2c 2a ＝3x 2x ＝32，故选D. 答案：D5．(xx·马鞍山第一次质检)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知b a>3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2. 答案：D6．(xx·河北沧州质量监测)已知双曲线的方程为x 2m －y 24＝1，且右顶点到直线y ＝x －4的距离为22，则双曲线的离心率等于( ) A.133B.295C.53或215D.133或295解析：双曲线的右顶点为(m ，0)，它到y ＝x －4的距离为d ＝|m －0－4|2＝22，解得m ＝25或9.∴a ＝5或3，∴e ＝ca ＝133或295. 答案：D7．(xx·郑州第二次质量预测)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12 D.3＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，选B.答案：B8．(xx·重庆市模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OG OP ＝OA OF 1＝a c ＝13得e ＝ca ＝3，故选B.答案：B 二、填空题9．(xx·茂名市第一次模拟)已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为________．解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y＝±bax ＝±2x .答案：y ＝±2x10．(xx·浙江五校第二次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y2－4x ＋2＝0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：渐近线与圆有交点，即圆心(2,0)到直线y ＝bax 的距离小于等于半径r ，则d ＝2ba 2＋b2≤2⇒c 2≤2a 2⇒1<e ≤ 2. 答案：(]1，211．(xx·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，根据双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝2a 所以|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，则△ABF 1为等腰直角三角形，所以|AB |＝|BF 1|＝2 2.所以S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4 三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．(xx·江西红色六校高三第二次联考)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点P (m,0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP →＝λPN →，问在x 轴上是否存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN →)？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则B (－c,0)，D (a,0)，C (c,0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，得c ＝2a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a .解之得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3. ∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t,0)，使BC →⊥(GM →－λGN →)． 设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0. 即λ＝－y 1y 2①∵BC →＝(4,0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0③把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0其中3k 2－1≠0且Δ>0，即k 2≠13且3k 2＋m 2>1.y 1＋y 2＝－6km 3k 2－1，y 1y 2＝3m 2－13k 2－1. 代入③，得6km 2－13k 2－1－6km m －t3k 2－1＝0， 化简得kmt ＝k ，当t ＝1m时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC →⊥(GM →－λGN →)． [热点预测]14．(1)(xx·南平质检)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，则∠AFB ＝( )A ．45° B．60° C．90° D．120°(2)(xx·石家庄质检(二))F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15解析：(1)双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，由题可得如图，所以∠AFB ＝60°.(2)画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a＝7，故选B.答案：(1)B (2)B 23103 5A3F 娿F31863 7C77 籷O!20339 4F73 佳-Y 121679 54AF 咯28376 6ED8 滘31502 7B0E 笎38730 974A 靊。
双曲线(高三一轮复习)
双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝7＋6＝13.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 13 —
5．(易错题)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的焦距为2 10，则该双曲线的
标准方程为 x2－y92＝1或y92－x2＝1
.
解析 双曲线的焦距为2 10，所以c＝ 10. 当双曲线的焦点在x轴时， 因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x， 所以ba＝3⇒b＝3a，
tan 2
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(5)与双曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为
x2 a2
－
y2 b2
＝
t(t≠0)．
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基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
y2 9
－x2＝1.因此该
双曲线的标准方程为x2－y92＝1或y92－x2＝1.
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关键能力 互动探究
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命题点1 双曲线的定义及应用
例1 (1)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在( D )
(新课标)高考数学一轮总复习第八章平面解析几何86双曲线课时规范练文(含解析)新人教A版
（新课标）高考数学一轮总复习第八章平面解析几何86双曲线课时规范练文（含解析）新人教A 版课时规范练 A 组 基础对点练1．(2018·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( A )A ．y ＝±2x B.y ＝±12xC ．y ＝±4xD.y ＝±2x2．(2018·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( C ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)．由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( A )A. 5B. 2 C ．2D.524．(2018·贵阳期末)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C ) A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D.y 2－x 22＝1解析：由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝ 3.又e ＝c a＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C .5．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( B ) A ．2 B.4 C ．6D.86．(2018·德州模拟)在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)且离心率为3的双曲线的标准方程为( B ) A.x 24－y 22＝1B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 214－y 27＝1 解析：由题意得e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b 2＝2a 2.当双曲线的焦点在x 轴上时，有8a 2－22a 2＝1，解得a 2＝7，b 2＝2a 2＝14，所以双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，有2a 2－82a 2＝1，此方程无解，综上，双曲线的标准方程为x 27－y214＝1，故选B . 7．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( A ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D.3x 25－3y220＝1 8．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( B ) A ．11 B.9 C ．5D.39．(2018·洛阳统考)若圆锥曲线C ：x 2＋λy 2＝1的离心率为2，则λ＝ －13 .解析：由圆锥曲线C 的离心率为2可知该曲线为双曲线，故曲线C 的方程为x 21－y 2－1λ＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1λ，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1－1λ＝4，解得λ＝－13.10．(2018·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 (1，2) .解析：由直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1联立方程组，消y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. 因为该方程有两个不等且都大于1的根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2>0，－k1－k 2>0，1－k 2＋2k －21－k2>0，解得1<k < 2.11．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__8__.12．已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±53x .B 组 能力提升练1．已知A ，B 分别为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D ) A. 5 B.2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在第一象限，则|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D.2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( C ) A ．±12B.±22C ．±1D.± 2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.4．(2018·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( A ) A ．1＋ 3 B. 3 C.233D.2＋ 3解析：因为△OPF 是正三角形，且|OF |＝c ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，±32c ，把点P 的坐标代入双曲线的方程可得c 24a 2－3c 24b2＝1，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－23(舍去)，所以e ＝1＋ 3.故选A .5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( D ) A.223B. 2C. 3D.2解析：由题意得ab ＝34c 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4，整理得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又0<a <b ⇒a 2<c 2－a 2⇒c 2>2a 2⇒e 2>2，故e 2＝4.∴e ＝2.6．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A.52 B.53 C.132D.133解析：设A (x 0，y 0)，由题意，得x 0＝c ，代入渐近线方程y ＝b a x 中，得y 0＝bc a，即A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a，同理可得B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，则12×2bc a ×c ＝13bc 3.整理，得c a ＝133，即双曲线的离心率为133.故选D.7．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( A )A.7B.4C.233D. 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c .根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a＝7，故选A.8．已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( A )A ．－38B.316C ．－38D.不能确定解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，故选A. 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( B ) A.5＋12 B. 2 C.3＋12D.32解析：设P (x 0，x 0)，因为函数y ＝x 的导数为y ′＝12x ，所以切线的斜率为12x 0.又切线过双曲线的左焦点F (－2,0)，所以12x 0＝x 0x 0＋2，解得x 0＝2，所以P (2，2)．因为点P在双曲线上，所以4a 2－2b2＝1 ①.又c 2＝22＝a 2＋b 2②，联立①②解得a ＝2或a ＝22(舍)，所以e ＝ca＝22＝2，故选B.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( B ) ①双曲线C 上的任意一点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0.A ．1个 B.2个 C ．3个D.4个解析：①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，③不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．故选B.11．(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是 (27，8) .解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．12．(2018·郑州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线C 的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线C 的渐近线方程为 y ＝±33x . 解析：由题意得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，F (c ，0)，则|MF |＝b ，由2MF →＝FN →，可得|MF ||FN |＝12，所以|FN |＝2b .在Rt △OMF 中，由勾股定理， 得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝a .因为∠MOF ＝∠FON ，所以由角平分线定理可得|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，|ON |＝2a .在Rt △OMN 中，由|OM |2＋|MN |2＝|ON |2，可得a 2＋(3b )2＝(2a )2,9b 2＝3a 2，即b 2a 2＝13，所以ba＝33， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x . 13．(2018·湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为__3π__.解析：由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，3.记y ＝3与y 轴交于点M (0,3)，则π|MB |2－π|MN |2＝134π－94π＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.14．(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是__2__.解析：如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.。
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高考数学一轮复习第八篇平面解析几何第4节双曲线课时作业文（含解析）新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )(A)x 25－y 220＝1(B)x 225－y 220＝1 (C)x 220－y 25＝1 (D)x 220－y 225＝1 A 解析：因为圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心为(5，0)，所以c ＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a ＝5，b ＝25，故选A.2．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )(A) 2 (B)2 (C)1＋ 2(D)2＋ 2C 解析：由已知得b 2a＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2，1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )(A)x 220－y 25＝1 (B)x 25－y 220＝1(C)x 280－y 220＝1 (D)x 220－y 280＝1 A 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.故选A.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2＝15°，∠PF 2F 1＝105°，则该双曲线的离心率为( )(A) 6 (B) 3 (C)2＋62(D)62D 解析：由正弦定理可得：|PF 1|∶|PF 2|∶|F 1F 2|＝sin 105°∶sin 15°∶sin 60° ＝(6＋2)∶(6－2)∶2 3不妨设|PF 1|＝(6＋2)m ，|PF 1|＝(6－2)m ，|F 1F 2|＝23m (m ＞0)， 结合双曲线的定义有：2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝22m ，2c ＝|F 1F 2|＝23m ，双曲线的离心率为：e ＝c a ＝2c 2a ＝62.故选B.5．将双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C ：x 2－y 2＝4的“黄金三角形”的面积是( )(A)2－1 (B)22－2 (C)1(D)2B 解析：∵双曲线C 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别是(22，0)、(2，0)、(0，2)，∴所求面积S ＝12×(22－2)×2＝22－2.故选B.6．(2018合肥三模)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点．若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，则双曲线C 的方程为( )(A)y 22－x 28＝1(B)y 28－x 22＝1(C)y 2－x 24＝1(D)y 24－x 2＝1C 解析：双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点，若M 为AF 的中点，且|AF →|＝6，可得F (0，c )，M (b ，0)则A (2b ，－c )，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝9c 2a 2－4b2b 2＝1c 2＝a 2＋b2，解得a ＝1，b ＝2，所以双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1，故选C.7．(2018益阳4月)设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c ，0)，直线3x－y ＋3c ＝0与双曲线Γ在第二象限交于点A ，若|OA |＝|OF | (O 为坐标原点)，则双曲线Γ的渐近线方程为( )(A)y ＝±102x (B)y ＝±22x (C)y ＝±62x (D)y ＝±52x C 解析：由题意知，双曲线右焦点F ′(c ，0)，又|OA |＝|OF | ，所以|OA |＝|OF |＝|OF ′|，则△AFF ′为直角三角形，即FA ⊥F ′A ，则|AF ′|＝|3c ＋3c |32＋1＝6c 10，|AF |＝|FF ′|2－|AF ′|2＝2c10，由双曲线定义得2a ＝|AF ′|－|AF |＝4c 10，即a ＝2c10，则b ＝c 2－a 2＝6c 10，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±62x .故选C. 8．(2018抚顺模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ，若线段FA 的垂直平分线与双曲线C 没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．解析：∵焦点在x 轴上的双曲线C 的左焦点为F ，右顶点为A ∴F (－c ，0)，A (a ，0),∵线段FA 的垂直平分线与双曲线C 没有公共点 ∴a －c2＞－a∴ e ＝c a＜3 ∵ e ∈(1，＋∞) ∴ 1＜e ＜3 答案：1＜e ＜39．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．解析：双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c ，0)．根据题意：|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233. 答案：23310．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析：由a ，b ，c 之间的关系确定c ，再写出焦距2c .由双曲线的标准方程，知a 2＝7，b 2＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝10，所以c ＝10，从而焦距2c ＝210.答案：210能力提升练(时间：15分钟)11．(2018新乡三模)已知双曲线C ：x 2b 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝233，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF ＝∠OAF ，△OAF 的面积为33，则双曲线C 的方程为( )(A)x 236－y 212＝1(B)x 23－y 2＝1(C)x 212－y 24＝1 (D)x 29－y 23＝1D 解析：由题点A 所在的渐近线为bx －ay ＝0三个该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝b a ，∵∠AOF ＝∠OAF ，所以直线AF 的倾斜角为2a ，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2ab a 2－b2. 则AF ：y ＝2ab a 2－b 2(x －c )与bx －ay ＝0联立解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c ，2ab c ，∴S △AOF ＝12×c ×2ab c ＝ab＝3 3.因为双曲线的离心率e ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴b a ＝13与ab ＝33联立得a ＝3，b ＝3，故双曲线的方程为x 29－y 23＝1.故选C.12．(2018烟台二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，第一象限的点M 在双曲线C 的渐近线上且|OM |＝a ，若直线MF 的斜率为－ba，则双曲线C 的离心率为( )(A)10 (B) 5 (C) 2(D)17C 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，第一象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，ba x 0，则k MF ＝b ax 0x 0－c＝－b a，∴x 0＝c 2，故而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，∴|OM |＝c 24＋b 2c 24a2＝a ，整理得c 2＝2a 2， 即e 2＝2，所以e ＝ 2. 故选：C.13．(2018衡水中学)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 做A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则双曲线的渐近线的斜率为( )(A)±12(B)±22(C)±1(D) 2C 解析：A 1(－a ，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A 2(a ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以A 1B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，b 2a ，A 2C ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a ，根据A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，代入后得c 2－a 2－b 4a 2＝0，整理为b 2a 2＝1，所以该双曲线渐近线的斜率是k ＝±ba＝±1，故选C.14．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆：(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )(A)3或62(B)2或 3 (C)233或2(D)233或62C 解析：设双曲线的其中一条渐近线方程为kx －y ＝0(k ＞0)，因为直线kx －y ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝33；当焦点在x 轴上时，b a ＝33，c 2－a2a 2＝13，解得e ＝233；当焦点在y 轴上时，a b ＝33，a 2c 2－a 2＝13，解得e ＝2.故选C. 15．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解析：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k 2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0， ∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 16．已知圆锥双曲线E ：x 2－y 2＝1.(Ⅰ)设曲线E 表示曲线E 的y 轴左边部分，若直线y ＝kx －1与曲线E 相交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(Ⅱ)在条件(Ⅰ)下，如果AB →＝63，且曲线E 上存在点C ，使OA →＋OB →＝mOC →，求m 的值． 解析：(Ⅰ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组；⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1（x ＜0）⇒(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0(x ＜0) 1－k 2≠0Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)＞0 x 1＋x 2＝－2k1－k2＜0 从而有：x 1·x 2＝－21－k 2＞0⇒－2＜k ＜－1为所求． (Ⅱ)63＝|AB →|＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2（1＋k 2）（2－k 2）（1－k 2）2， 整理得28k 4－55k 2＋25＝0⇒k 2＝57或k 2＝54，注意到－2＜k ＜－1，所以k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0 设C (x 0，y 0)，由已知OA →＋OB →＝mOC →⇒(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(mx 0，my 0)， 又x 1＋x 2＝－2k 1－k 2＝－45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m ，8m . C 在曲线E 上，得80m 2－64m2＝1⇒m ＝±4但当m ＝－4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以m ＝4为所求．。