高三数学平面解析几何平面解析几何精粹

平面解析几何精粹

一、选择题

1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A.

2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0

D ．x ＋2y －1＝0

[答案] A

[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1

2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.

(理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1

2 C ．－12

D ．－1

[答案] A

[解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2)

D ．(2，－2)

[答案] D

[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

⎩⎪⎨⎪⎧

x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1

，解之得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2

y ＝－2，

特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C

B

. 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1]

B ．[0,2]

C ．[－1,0]

D ．[－2,0]

[答案] D

[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，

∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1

kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0.

5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞)

C.⎝⎛⎭

⎫－∞，43∪(10，＋∞)

D.⎝⎛⎭

⎫43，10

[答案] D

[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )

A ．5

B ．－5

C ．4

D ．－4

[答案] C

[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0， ∴31

8

6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →

＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( ) A ．1 B.32 C.12

D.33

[答案] C

[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l ′，则OA →、OB →

在l ′上的射影也相等，故A 、B 到直线l ′的距离相等，设l ′：y ＝kx ，则|k －3|

1＋k2＝|－3k －1|1＋k2

，∴k ＝－2或1

2， ∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.

[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k)，由OA →，OB →

在a 上射影的长度相等可得|a·OA →||a|＝|a·OB →|

|a|，可解出k.

7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(16，－12) B ．(8，－6) C ．(4，－3)

D ．(－4,3) [答案] A

[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．

8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0

D ．x －y －1＝0

[答案] B

[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0， ∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.

(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为( ) A ．－log20102009 B ．－1 C ．log20102009－1

D ．1

[答案] B

[解析] 由y ＝xn ＋1得y ′＝(n ＋1)xn ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，xn ＝n n ＋1，

∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009 ＝log2010(x1·x2·…·x2009)

＝log2010⎝

⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( )

A ．(－22，22)

B ．(－2，2)

C.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

－

24，24

D.⎝⎛⎭

⎫－18，18

[答案] C

[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±2

4.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－24，24.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( ) A ．3x －y －20＝0(x≠13) B ．3x －y －10＝0(x≠13) C ．3x －y －9＝0(x≠－8)

D ．3x －y －12＝0(x≠－8)

[答案] A

[解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭

⎫52，－2，设B(x ，y)，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y)在

直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x －y －20＝0. ∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x≠13.