轴对称垂直平分线
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
第12讲轴对称与垂直平分线-尖子班
轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ∆是轴对称图形．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点．轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，垂直平分线出等腰三角形；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．轴对称与垂直平分线【例1】（1）如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）．A B C D（2）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）．、为折痕，折叠后'A B与'E B在同一条直【例2】（1）将一矩形纸片按如图方式折叠，BC BD∠的度数（）．线上，则CBDA．大于90︒B．小于90︒C．等于90︒D．不能确定（2）图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（）A ．30°B ．32.5°C ．35°D ．37.5°（3）如图，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A ．∠A=∠1+∠2B ．2∠A=∠1+∠2C ．3∠A=2∠1+∠2D ．3∠A=2（∠1+∠2）（4）如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为cm ．【例1】如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则（1）PAC △≌_____；（2）PA ＝_____；（3）APC ∠＝_____；（4）A ∠＝_____．【例2】（1）如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是18厘米，则BC 的长为厘米．（2）如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．（3）如图所示，在ABC △中，106BAC EF MN ∠=︒，、分别是AB AC 、的垂直平分线，点E M 、在BC 上，则EAM ∠=（4）如图，在ABC △中，=AB AC ，=36∠︒BAC ，作出AB 边的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，①BD 平分ABC ∠；②==AD BD BC ；③BDC △的周长等于+AB BC ；④点D 是AC 中点；下列结论正确的是（）A ．②③B ．①②④C ．①②③D ．①②③④【例2】如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．试探索BF 与CF 的数量关系，写出你的结论并证明．【例3】如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF 的度数；（2）若EF=4，BF ：FD=5：3，S △BCF=10，求点D 到AB 的距离．【例4】（1）如图，AC AD =，BC BD =，则有（）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分ACB ∠（2）如图，ABC △中90∠=o ACB ，AD 平分∠BAC ，⊥DE AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．（3）已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．（4）如图，P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点，且∠PBC=12∠A,BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E．求证：BE=CD.【例5】已知直角△ABC中，I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作BC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，那么IH的值为__________【例6】ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，⑴若BC=8，求△ADE的周长；⑵若150BAC DAE∠+∠=︒，求BAC∠．【例7】如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E，求证：⑴∠EAD=∠EDA；⑵DF∥AC；⑶∠EAC=∠B．【例8】⑴如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是．⑵如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是．⑶如下图3，在ABC∠∠=，DE BC⊥，E是BC的ABD DBE∠=︒，:2:3A△中，90中点，求C∠的度数．【题1】将一个正方形纸片依次按图1中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（）图1A．B．C．D．【题2】如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【题3】如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒195∠=︒，则2∠的度数为（）A ．24︒B ． 35︒C ． 30︒D ． 25︒【题4】如图，在ABC △中，=28A ∠ ，E 为AC 上一点，以BE 为轴将三角形翻折，AB 交CE于D ，再以BA 为轴继续翻折，使得点C 恰好落在BE 上，若82∠=︒CDB ，则原三角形的∠ABC 为（）A ．81︒B ．76︒C ．78.5︒D ．73.5︒【题5】如图，ABC △中，EF 垂直平分，AB GH 垂直平分AC ，设EF 与GH 相交于O ，则点O 与边BC 的关系如何？请用一句话表示：______________________________．【题6】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．【题7】如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．【题8】已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．【题9】如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A=50°，AB+BC=6．求：（1）△BCF的周长；（2）∠E的度数．【题10】已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，⊥EC OA ，⊥ED OB ，垂足分别为、C D ．求证：（1）∠=∠ECD EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．EBDAC O。
图形的轴对称线段的垂直平分线
图形的轴对称线段的垂直平分线pptxx年xx月xx日CATALOGUE 目录•轴对称线段的基本性质•轴对称线段的垂直平分线•与轴对称线段垂直平分线相关的定理•轴对称线段的应用•如何做一个好的轴对称线段垂直平分线•轴对称线段垂直平分线的实际应用案例分析01轴对称线段的基本性质轴对称线段是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形。
轴对称线段的对称轴垂直平分线段，且垂直平分线段上的点到线段两端的距离相等。
1 2 3轴对称线段上任意一点到对称轴的距离相等。
轴对称线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
对于任意一条线段，其垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
在轴对称线段上任取两点，分别连接这两点并延长至对称轴的一侧，若延长的线段长度相等，则这两点与对称轴组成的三角形为等腰三角形。
若一个三角形有两边分别平行于对称轴，且第三边垂直于对称轴，则该三角形为等腰三角形。
轴对称线段的等腰三角形定理02轴对称线段的垂直平分线垂直平分线定义总结图形的轴对称线段是一条直线，将轴对称图形分成两个全等的图形，并且这条直线与轴对称图形的两个对称轴都垂直。
垂直平分线的表示方法常用符号“perp”表示垂直平分线，也可以用字母表示，如“直线l垂直平分线段AB”。
垂直平分线的定义垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
垂直平分线的性质性质1线段两端点关于其垂直平分线对称。
性质2垂直平分线在和一条直线如果成轴对称的话，那么这条直线和垂直平分线成一直角。
性质3垂直平分线的证明方法•方法1：三角形全等证明法•画出轴对称图形，确定对称轴；•连接对称轴与图形两个对称点的线段，得到三角形；•根据全等三角形对应边相等，得到垂直平分线的长度；•用直尺画出垂直平分线。
•方法2：中垂线性质证明法•画出轴对称图形，确定对称轴；•在对称轴上任取一点，作一条与对称轴垂直的直线；•根据中垂线性质，这条直线与线段两个端点距离相等；•用直尺画出这条直线即为垂直平分线。
垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)
02 垂直平分线的做法
已知线段和点，求作垂直平分线
第一步
第三步
通过给定点作线段的平行线，与线段 交于两点，分别记为A和B。
连接CD，则CD为线段的垂直平分线。
第二步
分别以A、B为圆心，大于 $frac{AB}{2}$的距离为半径作圆弧， 两圆弧交于两点，分别记为C和D。
已知三角形，求作高线、中线、角平分线
高线
从三角形的一个顶点向对边作垂 线，即为高线。
中线
连接三角形的一边的中点与对角的 顶点，即为中线。
角平分线
通过三角形的一个角的顶点，作对 边的平行线，与对边交于一点，再 从这一点作另一边的垂线，即为角 平分线。
已知垂直平分线，求作线段的中点
01
02
03
第一步
在垂直平分线上任取一点， 记为O。
第二步
轴对称图形是全等图 形，即它们的大小和 形状完全相同。
对称轴两侧的对应点 连线与对称轴垂直并 平分。
对称轴两侧的对应点 到对称轴的距离相等。
轴对称的应用
在几何学中，轴对称是研究图形性质 的重要工具。通过对称轴的性质，可 以推导出许多图形的性质和定理。
在物理学中，许多物理现象也具有轴对称 的性质，例如磁场、电场等。通过对称性 分析，可以更好地理解和研究这些现象。
01
如果一条线上的任意一点到线段 两端的距离相等，那么这条线就 是所求的垂直平分线。
02
如果一条线是线段的中垂线，那 么它也是这条线段的垂直平分线 。
垂直平分线的性质定理
定理
如果一条线是线段的中垂线，那么这 条线也是这条线段的垂直平分线。
应用
在几何问题中，常常需要找到一个线 段的中点或者确定一个点是否在线段 的中垂线上，这时就可以利用垂直平 分线的性质定理来解决。
轴对称 垂直平分线 角平分线
线段的垂直平分线的性质【知识点介绍】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 【例题精讲】例1、 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【同步练习】m图1DABCm图2DABC已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC=例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
《线段的垂直平分线》数学教学PPT课件(3篇)
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长 转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两 个即可求得第三个．
轴对称线段的垂直平分线
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合
A
B
M
N
P
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
拓展：
如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。 求证：PA=PB次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？
下图是在方格纸上画出的一半，以树干为对称轴画出数的另一半。
M
N
B
C
A
水泵站修在什么地方？
如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.
如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
张村
李庄
A
B
A’
C
应用新知
A工厂
如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C, 使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择?
11.3 角的平分线
O
D
E
A
B
P
C
定理1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
12.1 线段的垂直平分线
定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
P
A
B
C
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。
轴对称和垂直平分线
课题：10.1.2轴对称的再认识一复习：1.轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
2.两个图像成轴对称1、归纳：轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别: 轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形。
联系：都能沿着某条直线。
这条直线是对称轴。
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4.关于某条直线成轴对称的图形的性质特征（1）成轴对称的两个图形全等：两个图形的面积和周长相等；对应线段，对应角相等。
(2)如果一个图形是轴对称图形，那么连接对称点的线段的垂直平分线是该图形的___________.(3)如果一个图形是轴对称图形且对应线段所在直线如果有交点，则交点必在_______________. 做一做1：连接对应点，观察对应点连接的线段和对称轴有何位置关系。
我们发现：对应点连接的线段被对称轴所_______和________.即对称轴是对应点连接的线段的__________________(或__________)做一做2：延长对应线段，观察它们的交点有何特征？我们发现：对应线段所在直线如果有交点，则交点必在_______________.做一做3：画出对称轴（1）（1）课题：垂直平分线一、垂直平分线的定义：1.经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 二线段垂直平分线的性质1、归纳，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的 到这条线段 的距离2、思考：反过来，如果PA ＝PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？3、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上． （三）应用1、如下图，AD ⊥BC ，BD=DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB 、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？2、如下图，AB=AC ，MB=MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？3.如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?4、△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长。
图形的轴对称线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质
垂直平分线上的点 到两端点的距离相 等。
经过两点有且只有 一条直线。
到线段两端点距离 相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的定理
定理1
垂直平分线上的任意一点到线段两端点的 距离相等。
VS
定理2
如果两个点到线段两端点的距离相等，那 么这两个点关于这条线段的垂直平分线对 称。
将所学的几何学知识应用到实际 生活中，解决实际问题，如建筑 设计、机械设计等。
发展几何学的思考 方式
培养几何学的思维方式，如空间 感知、逻辑推理、结构分析等， 以更好地理解和应用几何学知识 。
感谢您的观看
THANKS
3
求解角度
利用线段垂直平分线，可以求解三角形内角度 的大小，或者证明角平分线的性质定理。
在物理学中的应用
01
02
03
力的平衡
在物理学中，线段垂直平 分线可以用于表示重力的 方向，以及物体在力的作 用下保持平衡的点。
光学路径
在光学中，线段垂直平分 线可以表示光线经过透镜 或其他光学元件后行进的 路径。
轴对称和线段垂直 平分线的应用
在几何学、物理学、工程学等领 域都有广泛的应用。
对未来学习的展望和期待
深入学习轴对称和 线段垂直平分线…
更深入地理解轴对称和线段垂直 平分线的性质和特点，包括在更 高维度的空间中的拓展。
学习更多的几何学 知识
了解更多的几何学概念、定理和 应用，如微分几何、拓扑学等。
理论与实践相结合
05
总结与展望
对轴对称、线段垂直平分线的回顾
轴对称
一个图形如果关于某一直线对称 ，那么它具有轴对称性。这条直 线称为轴对称轴。
轴对称---垂直平分线
(第1题)（第1题）、如图，在△ABCA B CF E D 二、课堂练习与订正（一）、选择：1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ） A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定 （二）、填空：1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。
2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。
3、△ABC 中，∠A=500，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。
4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。
第2题 第4题 第5题6、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。
7、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC=8、如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D 到边AB 的距离为_____．9、如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．若S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC ＝（ ）A ．4 B ．3 C ．6 D ．5 10、在Rt 三角形ABC 中，AC=4，BC=3，AB=5，点P 是三角形三个内角平分线的交点，则点P 到AB 的距离PE=_____．11、如图所示，在四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，若∠DAB 的平分线AE 交CD•于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE ⊥BE B ．CE=DE C ．AD+DE=BE D ．AB=AD+BC （三）、解答：1、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
图形的轴对称角平分线的性质
对于任何一个图形，如果它关于某条直线对称， 那么该图形在这条直线的两侧的部分是全等的。
3
应用
在几何学中，轴对称角平分线可以用于解决各种 问题，例如找到图形的重心、证明图形的相等或 全等等。
02
轴对称角平分线的性质
轴对称角平分线的性质定理
轴对称角平分线将对 应的三角形分成两个 全等三角形。
轴对称角平分线将对 应的四边形分成两个 全等梯形。
轴对称角平分线所在 的直线也是三角形的 高线。
证明轴对称角平分线的性质定理
证明方法一
利用轴对称的性质，通过作辅助 线将轴对称角平分线转化为角平 分线，再利用通 过轴对称角平分线将三角形分成 两个全等三角形，再利用全等三 角形的性质证明。
轴对称角平分线的性质的应用
等腰三角形的高线
在等腰三角形中，底边的中垂线（即角平分线）也是高线。利用这一性质，我们可以更容 易地找到等腰三角形的顶点。
三角形内角平分线定理
在三角形中，内角平分线定理指出，三条内角的平分线将三角形的边分为三段，这三段与 对应的角的两边成正比。利用这一性质，我们可以解决一些与比例有关的几何问题。
在解析几何中的应用
图形的轴对称角平分线的性 质
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目录
• 轴对称角平分线的定义 • 轴对称角平分线的性质 • 轴对称角平分线的应用 • 轴对称角平分线的扩展知识 • 总结与展望
01
轴对称角平分线的定义
轴对称角平分线的定义
01
轴对称角平分线是指将图形划分 为两个对称部分的直线。
02
当图形关于某条直线对称时，该 直线即为轴对称角平分线。
01
在几何问题中，可以利用轴对称角平分线的性质进行证明和计 算。
初中数学专题复习线段的垂直平分线、轴对称和轴对称图形、勾股定理(含解答)
线段的垂直平分线、轴对称和轴对称图形、勾股定理一、重点：线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理、勾股定理;难点：线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用.1.线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理性质：线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;结论：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合;线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理可以同角平分线的性质定理和逆定理对照进行理解，特别在书写理由时要分清是用线段的垂直平分线的性质定理还是它的逆定理。
2.轴对称和轴对称图形（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（也叫轴对称）。
(2)轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
(3)定理1：关于某条直线轴对称的两个图形是全等形;定理2：如果两上图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
3.勾股定理勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系。
2345¡ã30¡ã1112勾肌定理的证明方法很多，主要是用面积法进行证明。
勾肌定理主要用来解决直角三角形中的计算问题。
常见类型是已知两边x、y求第三边z，此时要注意第三边是直角边还是斜边。
如果第三边是直角边，则：z2=x2－y2（或z2= y2－x2）；如果第三边是斜边，则：z2=x2+y2。
常见的直角三角形边长：（3，4，5）（5，12，13）（7，24，25）（1，1，2）（1，2，3）注意：在上面的常见勾股数中稍作变化（如同时扩大或缩小相同的倍数）可得到更多勾股数，如（6，8，10）等。
三角形轴对称角平分线和垂直平分线应用集锦
角平分线和线段的垂直平分线知识点讲解：1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。
那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。
4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。
其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。
5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
例题分析第一阶梯例1.已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点。
求证：（1）当 1= 2时，OB=OC （2）当OB=OC时， 1= 2点拨：要证OB=OC，只须证Rt△CEO与Rt△BDO全等，由对顶角相等与 1= 2的条件，即可得证，反之成立。
此例是证明互逆命题。
答案：证明（1）∵ 1= 2，OE⊥AC，OD⊥AB∴OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）∴OB=OC在△OEC与△ODB中∴△OEC≌△ODB（ASA）（2）∵OE⊥AC，OD⊥AB ∴△OEC≌△ODB（AAS）∴ OEC= ODB ∴OE=OD在△OEC与△ODB中说明：利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件。
例2.写出命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题，并判断它的真假。
点拨：在判断逆命题时，要明确互余的两角必是锐角，另外在未对一个三角形作出判断之前一般不称“锐角”。
答案：解：逆命题是：有两个角互余的三角形是直角三角形。
说明：在写一个命题的逆命题时，并不是将原命题的题设和结论简单地互换，要注意命题本身的逻辑性。
19.3_用尺规作图(作线段的垂直平分线)
图 24.4.9
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
E F B D C
2，书本上的练习
作业
课堂作业：书本P37 上的7,9,11题 （画在书本上） 家庭作业（周末）：精析精练
生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线， DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A
2.如图，如果点C不在直线l上，试和 同学讨论，应采取怎样的步骤，过点 C画出直线l的垂线？
图 24.4.10
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为 半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线另一侧画弧． (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直 线另一侧画弧，交前一条弧于点D． (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
轴对称与线段垂直平分线性质定理(解析版)
专题08 轴对称与线段垂直平分线性质定理【知识点睛】❖ 轴对称与轴对称图形【类题训练】1．如图图案中不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A 、这个图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；B 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．2．下列汉字中，能看成轴对称图形的是（ ）A ．坡B ．上C ．草D ．原【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A ，B ，D 选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．3．观察下面A ，B ，C ，D 四幅图，其中与如图成轴对称的是（ ） 轴对称 轴对称图形定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果他能够有另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 ，这条直线叫做对称轴 ，折叠后重合的点是对应点 ，叫对称点 如果一个图形沿某一直线对折后 ，直线两旁的部分能够互相重合 ，这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做它的对称轴 ，这是我们也说这个图形关于这条直线成轴对称区别 轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形是轴对称图形；（2）如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质 （1）对应点的连线被对称轴垂直平分 ；（2）对应线段相等；（3）对应线段或延长线的交点在对称轴上；（4）成轴对称的两个图形全等A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义判定即可．【解答】解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．4．如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（）A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG，故B、C、D不符合题意；∵△ECD不一定是等边三角形，∴EC≠CD，故A符合题意；故选：A．5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：D．6．如图，点P是∠AOB内部一点，点P′，P″分别是点P关于OA，OB的对称点，且P′P″＝8cm，则△PMN的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】根据点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，得到PP′被OA垂直平分，PP″被OB 垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到MP＝MP′，NP＝NP″，即可得出△PMN的周长．【解答】解：∵点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，∴PP′被OA垂直平分，PP″被OB垂直平分，∴MP＝MP′，NP＝NP″，∴△PMN的周长＝MN+MP+NP＝MN+MP′+NP″＝P′P″＝8（cm）．故选：D．7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN 的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．故选：A．8．如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（）A．110°B．135°C．145°D．155°【分析】根据对称的性质得出∠C+∠D＝∠CPD，再根据四边形内角和是360°得出∠CPD的度数，即可得出结论．【解答】解：根据对称知，∠C＝∠OPC，∠D＝∠OPD，∵∠COD＝70°，∴∠C+∠D＝∠CPD＝（360°﹣70°）＝145°，故选：C．9．如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是．【分析】镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：05．10．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有个．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：①角；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形，故答案为：4．11．等边三角形有条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3．12．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×6×5＝15，∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝．故答案为：．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为．【分析】如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．证明△EMN是等边三角形，根据CD≤DM+MN+NC，可得结论．【解答】解：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．由翻折的性质可知，AD＝DM＝3．AE＝EB＝EM＝EN＝3，CB＝CN＝3，∠AED＝∠MEB，∠EBC ＝∠NEC，∵∠DEC＝120°，∴∠AED+∠BEC＝180°﹣120°＝60°，∴∠DEM+∠NEC＝60°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴MN＝EM＝EN＝3，∵CD≤DM+MN+CN，∴CD≤9，∴CD的最大值为9，故答案为：9．14．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．15．在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：16．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD 交OA于点M，交OB于点N．（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．②若∠AOB＝n°，则∠COD＝°（用含n的代数式表示）．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；②∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2n°，故答案为：2n；（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM＝PM，∵点P关于OB对称点是D，∴DN＝PN，∵CD＝4，∴CM+MN+DN＝4，∴PM+MN+PN＝4，即△PMN的周长为4，故答案为：4．17．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）图中点C的对应点是点，∠B的对应角是；（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为；（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；故答案为：E，∠D．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，再根据对称性，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．18．如图所示，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，求△PMN的周长．【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知P1P2与△PMN的周长是相等的，即可求解．【解答】解：∵P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，∴PM＝MP1，PN＝NP2；∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm，∴△PMN的周长为5cm．【知识点睛】❖线段垂直平分线性质定理及其逆定理性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
初二数学知识点精讲精练——轴对称之角平分线与垂直平分线
轴对称之角平分线及垂直平分线【考点】：从历年真题来看，两线问题常常与全等三角形综合考察，题型多为新题型，先验证猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类题是近几年中考试题的热点题型。
【知识点】一、轴对称1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴垂直平分“连接对应点的线段”。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上。
7、线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8、角平分线的定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫角的平分线。
9、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
10、角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。
【典型例题】例：在本学期我们学习了角平分线的性质定理和判定定理，那么，你还是否记得它们的具体内容．（1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整：角平分线性质定理：角平分线上的点到的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在．（2）老师在黑板上画出了图形，把判定定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=，求证：点P 在∠AOB的上（3）请你完成证明过程：（4）知识运用：如图2，三条公路两两相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有处．【解答】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上，故答案为：这个角的两边；角平分线上；（2）已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上．故答案为：PE；平分线上；（3）如图：作射线OP，∵PD⊥AO，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，{PD=PEOP=OP∴Rt△OPD≌Rt△OPE，∴∠DOP=∠EOP，∴OP是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB平分线上；（4）如图2，M、N、G、H即为所求，故答案为：4．【点评】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键．【练习】1．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．4．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．（1）求BC的长；（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．5．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．。
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图4
轴对称垂直平分线测试题
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是( )
2、下列图形中对称轴最多的是( )
A ：等腰三角形
B ：正方形
C ：圆
D ：线段 3．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在一条边上，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定
4．下列说法；（1）．若直线PE 是线段AB 的中垂线，则EA ＝EB ，PA ＝PB ；（2）．若EA ＝EB ，PA ＝PB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；（3）．若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的中垂线上的点；（4）若AE =BE ，则经过点E 的直线垂直平分线
AB ，其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个
6．下列图案是轴对称图形的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7、
(七)所示。
最后将图如图 为图(八)的展开图，则此图为（ ）
8
．下列分子结构模型平面图中，有三条对称轴的是（ ）.
9．下列说法中错误的是（
）.
A ．两个关于某直线对称的图形一定能够完全重合
B ．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C ．成轴对称的两个图形，其对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D ．平面上两个能够完全重合的图形不一定关于某直线对称
10．如图2，△AOD 关于直线l 进行轴对称变换后得到△BOC ，下列说法中不正确的是（ ）.
A ．∠DAO=∠CBO ，∠ADO=∠BCO
B ．直线l 垂直平分AB 、CD
C ．△AO
D 和△BOC 均是等腰三角形 D ．AD=BC ，OD=OC 11．如图3，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将
△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则△ACD 的周长为（ ）. A ．10 cm B ．12cm
C ．15cm
D ．20cm
12．图4是小明在平面镜里看到的电子钟示数，这时的实际时间是（ ）．
A ．12:01
B ．10:51
C ．10:21
D ．15:10 二、填空题（每小题3分，共24分）
13．在一些缩写符号：① SOS ，② CCTV ，③ BBC ，④ WWW ，⑤ TNT 中，
成轴对称图
形的是__________
14．如图8，AD 是三角形ABC 的对称轴，点E 、F 是AD 上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是________.
15．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，则该车的后5位号码实际是 .
16．如图9，在ABC ∆中，，AB=AC=25cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE ∆的周长为
43cm ，则底边BC 的长为______.
17．如图10，把宽为2cm 的纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若△
PFH 的周长为10cm ，则长方形
ABCD 的面积为__________.
18、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________；
19．如图7—113，OE 是∠AOB 的平分线，BD ⊥OA 于D ，AC ⊥BO 于C ，则关于直线OE 对称的三角形有________对．
20、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC
于D 。
若BD ：DC=3：2，点D 到AB 的距离为4，则BC 的长为_____。
21、△ABC 的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD 将△ABC 分为面积比为3：5的两部分，且AB<AC ，则AB= ，AC= 。
图
图l O
C
B
D
A
(B (C (D
图9 图10
图8
B
三、解答题（共57分）
22、（本题8分）如图，A ，B ，C 是新建的三个居民小区，我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校，现规划修建居民小区D ，其要求是：
（1）到学校的距离与其它小区到学校的距离一样；
（2）控制人口密度，有利于生态环境建设，试确定居民小区D 的位置．
23、（本题10分）如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB
① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长； ② 若BC=4，求△BCD 的周长．
24、
（本题10分）
如图18所示，已知线段AC 与BD 相交于点O ，连接AB ，DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF ．
（1）添加条件∠A=∠D ，OE=OF ，说明：AB=DC ．
（2）分别将“∠A=∠D ”记为①，“OE=OF ”记为②，“AB=DC ”记为③，请你以其中①，③为条件，②为结论，推出一个正确的结果，并加以证明.
25．（本题10分）如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ． （1）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明． 你添加的条件是：___________证明：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）．
26．（本题9分）开放与探究：（1）观察图中①－④中阴影部分所构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个特征；（2）借助图中⑤的网格，请你设计一个新图案，使该图案同时具有你解答（1）中所写的两个共同的特征．
27．（本题10分）如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE 交于
点F ．
（1）求证：
AD CE =；
（2）求DFC ∠的度数．
图18
O
D
C
A
B E F
第25
题
⑤
④
①。