第12讲轴对称与垂直平分线-尖子班

轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ∆
是轴对称图形．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是
对称点．
轴对称的两个图形有如下性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，垂直平分线出等腰三角形；
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
轴对称与垂直平分线
【例1】（1）如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）．
A B C D
（2）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）．
、为折痕，折叠后'A B与'E B在同一条直【例2】（1）将一矩形纸片按如图方式折叠，BC BD
∠的度数（）．
线上，则CBD
A．大于90︒B．小于90︒C．等于90︒D．不能确定
（2）图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（）
A ．30°
B ．32.5°
C ．35°
D ．37.5°
（3）如图，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A ．∠A=∠1+∠2
B ．2∠A=∠1+∠2
C ．3∠A=2∠1+∠2
D ．3∠A=2（∠1+∠2）
（4）如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为cm ．
【例1】如图，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则
（1）PAC △≌_____；（2）PA ＝_____；（3）APC ∠＝_____；（4）A ∠＝_____．
【例2】（1）如图，ABC ∆中，BC 边的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AC 于E ，5BE =厘米，BCE ∆的周长是18厘米，则BC 的长为厘米．
（2）如图，已知40AOB ∠=︒，CD 为OA 的垂直平分线，求ACB ∠的度数．
（3）如图所示，在ABC △中，106BAC EF MN ∠=︒，、分别是AB AC 、的垂直平分线，点E M 、
在BC 上，则EAM ∠=
（4）如图，在ABC △中，=AB AC ，=36∠︒BAC ，作出AB 边的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，
交AB 于点E ，连接BD ，①BD 平分ABC ∠；②==AD BD BC ；③BDC △的周长等于+AB BC ；④点D 是AC 中点；下列结论正确的是（
）
A ．②③
B ．①②④
C ．①②③
D ．①②③④
【例2】如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．试探索BF 与CF 的数量关系，写出你的结论并证明．
【例3】如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF 的度数；
（2）若EF=4，BF ：FD=5：3，S △BCF=10，求点D 到AB 的距离．
【例4】（1）如图，AC AD =，BC BD =，则有（）
A ．A
B 垂直平分CD
B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 与C
D 互相垂直平分D ．CD 平分ACB ∠
（2）如图，ABC △中90∠=o ACB ，AD 平分∠BAC ，⊥DE AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．
（3）已知：如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．
（4）如图，P为△ABC的BC边垂直平分线上的一点，且∠PBC=1
2∠A,BP、CP的延长线分
别交AC、AB于D、E．求证：BE=CD.
【例5】已知直角△ABC中，I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作BC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，那么IH的值为__________
【例6】ABC
△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
⑴若BC=8，求△ADE的周长；
⑵若150
BAC DAE
∠+∠=︒，求BAC
∠．
【例7】如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于
F、E，求证：
⑴∠EAD=∠EDA；
⑵DF∥AC；
⑶∠EAC=∠B．
【例8】⑴如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是．
⑵如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，
则P点到直线AB的距离是．
⑶如下图3，在ABC
∠∠=，DE BC
⊥，E是BC的
ABD DBE
∠=︒，:2:3
A
△中，90
中点，求C
∠的度数．
【题1】将一个正方形纸片依次按图1中a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（）
图1
A．B．C．D．
【题2】如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【题3】如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若60A ∠=︒195∠=︒，则2∠的度数为（）
A ．24︒
B ． 35︒
C ． 30︒
D ． 25︒
【题4】如图，在ABC △中，=28A ∠ ，E 为AC 上一点，以BE 为轴将三角形翻折，AB 交CE
于D ，再以BA 为轴继续翻折，使得点C 恰好落在BE 上，若82∠=︒CDB ，则原三角形的∠ABC 为（）
A ．81︒
B ．76︒
C ．78.5︒
D ．73.5︒
【题5】如图，ABC △中，EF 垂直平分，AB GH 垂直平分AC ，设EF 与GH 相交于O ，则
点O 与边BC 的关系如何？请用一句话表示：______________________________．
【题6】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．
【题7】如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．
【题8】已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．
【题9】如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A=50°，AB+BC=6．求：
（1）△BCF的周长；
（2）∠E的度数．
【题10】已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，⊥EC OA ，⊥ED OB ，垂足分别为、C D ．求证：（1）∠=∠ECD EDC ；
（2）OE 是CD 的垂直平分线．
E
B
D
A
C O。