轴对称和线段垂直平分线新

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线段垂直平分线的性质和判定用

AC=CB（已知）
∠ACP=∠BCP（已证）
A
PC=PC（公共边）
C
B
∴△ACP≌△BCP(SAS)
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
以后知道直线MN是线段AB的垂直平分线时，可以直接得到PA=PB 。书写格式如下：
数学表达： ∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上 ∴PA=PB
DB
线段AB的垂直平分线
求证：AB垂直平分CD。
已知:如图,AC=AD，BC=BD，通过演示可以发现，点P,P,到点A的距离与它们到点B的距离分别相等。
∵直线MN⊥AB于C，AC=CB，点P在MN上
求证：AB垂直平分CD。已知：如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
∴PD⊥AB,AC=CB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
D
线用段尺垂规直作平线分段线的的垂个性直质平端和分判线点定. 用距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上） ∠ACP=∠BCP（已证）
1、分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.
∴PD⊥AB,AC=CB
同理， ∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条
l
线段两个端点的距离相等(垂直
P
平分线的性质)
∵PC⊥AB,AC=CB ∴PA=PB
A
C
B
老师希望同学们证明这个命题!
已知：PC⊥AB , AC=CB 注意：文字叙述题要根据题
求证：PA=PB 证明：∵ PC⊥AB
意画出图形写出已知求证
l P
∴ ∠ACP=∠BCP=90º 在△ACP和△BCP中，

关于线段垂直平分线的尺规作图

轴对称它的对称轴是线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上1通过经历探究尺规作图过程掌握用尺规作已知线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线2通过作图培养学生的动手能力和语言表达能力要求
冀教2011课标版八年级上册
线段的垂直平分线
——尺规作图
河北省承德市滦平县第三中学齐占仓
1、线段是轴对称对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线
2、线段的垂直平分线的性质定理是 :
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
•c
A
B
• 3、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理是 : 到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
.C
A
B
.D
谈谈这节课你的收获:
。
当堂测评
已知两点A、B
求作：直线 l ，使点A、B关于 l 对称
A . .B
学习目标
1、通过经历探究尺规作图过程，掌握用尺规作已知线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线
2、通过作图培养学生的动手能力和语言表达能力
探究一
已知：线段AB
A
B
求作：线段AB的垂直平分线
要求：1、先独立思考下面的问题：
1）你是怎样思考的？ 2）你是怎样作图的？ 3）你这样作图的理由是什么？ 2、如果自己没有思路可以小组合作完成上面的问题。
探究二
已知：直线 l 和直线外一点 P. 求作：经过点 P，且垂直于 l 的直线
l
•P
l
பைடு நூலகம்
l
已知：直线 l 和直线上一点 P.
求作：经过点 P，且垂直于 l 的直线

新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习

第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。

八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质教案 (新版)新人教版教案

13.1.2 线段垂直平分线◆教学目标◆◆知识与技能：理解线段垂直平分线的性质和判定，及其应用。

◆过程与方法：通过动手实践与观察体会两个图形成轴对称的性质，培养抽象思维能力.◆情感态度和价值观：通过探究活动来发现结论，经过知识的再发现过程，在探究活动的过程中培养创新思维能力，改变学习方式.◆教学重点与难点◆◆重点：线段垂直平分线的性质和判定和应用及成轴对称的两个图形的性质．◆难点：线段垂直平分线的性质和判定和应用及成轴对称的两个图形的性质。

◆教学过程◆一、温故知新：1.什么是轴对称图形？什么是轴对称？二、新知讲解：1．情景引入：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段A A′、B B′、C C′与直线MN有什么关系？解题方法：1）可以利用直尺、圆规度2）可以利用轴对称的定义解题．．．．．．．．．．．．结论：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直这条线段。

2．结论总结：线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

也叫这条的线段的中垂线.（课本32页）注：垂直平分线与线段有两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分3.性质探究：图形轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（3）两个图形成轴对称如果它们的对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

注：包含两层含义：已知一对对应点就能做出它们的对称轴，已知一点和对称轴就能做出该．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点关于对称轴的对称点。

．．．．．．．．．．．的性质归纳：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条直线的两个端点距离相等.几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在垂直平分线上，∴PA=PB。

垂直平分线的性质及做法(轴对称的性质)

02 垂直平分线的做法
已知线段和点，求作垂直平分线
第一步
第三步
通过给定点作线段的平行线，与线段交于两点，分别记为A和B。
连接CD，则CD为线段的垂直平分线。
第二步
分别以A、B为圆心，大于 $frac{AB}{2}$的距离为半径作圆弧，两圆弧交于两点，分别记为C和D。
已知三角形，求作高线、中线、角平分线
高线
从三角形的一个顶点向对边作垂线，即为高线。
中线
连接三角形的一边的中点与对角的顶点，即为中线。
角平分线
通过三角形的一个角的顶点，作对边的平行线，与对边交于一点，再从这一点作另一边的垂线，即为角平分线。
已知垂直平分线，求作线段的中点
01
02
03
第一步
在垂直平分线上任取一点，记为O。
第二步
轴对称图形是全等图形，即它们的大小和形状完全相同。
对称轴两侧的对应点连线与对称轴垂直并平分。
对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。
轴对称的应用
在几何学中，轴对称是研究图形性质的重要工具。通过对称轴的性质，可以推导出许多图形的性质和定理。
在物理学中，许多物理现象也具有轴对称的性质，例如磁场、电场等。通过对称性分析，可以更好地理解和研究这些现象。
01
如果一条线上的任意一点到线段两端的距离相等，那么这条线就是所求的垂直平分线。
02
如果一条线是线段的中垂线，那么它也是这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质定理
定理
如果一条线是线段的中垂线，那么这条线也是这条线段的垂直平分线。
应用
在几何问题中，常常需要找到一个线段的中点或者确定一个点是否在线段的中垂线上，这时就可以利用垂直平分线的性质定理来解决。

【初中数学】部编本新人教版八年级上册数学13.1.2 第1课时线段垂直平分线的性质教案

第十三章轴对称13.1 轴对称11.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB 的对称轴l ，交AB 与O. （1）点A 的对称点是_______（2）量出AO 与BO 的长度，它们有什么关系？（3）AB 与直线l 在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l 垂直平分线段AB ，交AB 与O.点C 是l 上任意一点,连接AC,BC. （1）量出AC,BC 的长度，它们有什么关系？（2）另在l 上任找一点D ，量出AD,DB 的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________. 三、自学自测如图所示，直线CD 是线段PB 的垂直平分线，点P 为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB 的长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套课件二维码导学案WORD 版二维码一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( )A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2：已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.课堂探究教学备注配套PPT 讲授1.导入新课（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-15）B ACM N M ' N ' PBAC例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F. 求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等. 针对训练1.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18cm ，BC ＝10cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点，则△BCD 的周长为_________.3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90゜，BE 平分∠ABC ，交AC 于E ，DE 垂直平分AB ，交AB 于D ，求证：BE+DE=AC ．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图② （1）如图①要使CO 垂直于AB ，需要添加什么条件？为什么？点C 在_____________上.（2）如图②，拉动C ，到达D 的位置，若AD=DB ，那么点D 在__________上. （3）由（1），（2），你得到什么猜想？教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片16-21）D A B O O B AC要点归纳：与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上. 2.证一证：已知：如图，PA =PB ．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C,D ，连接CD.求证：OE 是CD 的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P ，量得PA=3cm ，PB=3cm ，则点P 一定（） A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上 C ．在边AB 的高上 D ．在边AB 的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH ，ED=FD ，小明说不用测量就知道DH 是EF 的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC 中，AD 是高，在线段DC 上取一点E ，使BD=DE ，已知AB+BD=DC ，求证：E 点在线段AC 的垂直平分线上．二、课堂小结PA B 教学备注配套PPT 讲授4.课堂小结线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测温馨提示：配套课件及全册导学案WORD 版见光盘A BDC教学备注配套PPT 讲授5.当堂检测（见幻灯片22-27）。

《线段的垂直平分线》数学教学PPT课件(3篇)

（2）由结论想到哪个定理？
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个．

轴对称线段的垂直平分线

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合
A
B
M
N
P
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
拓展：
如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。
已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？
下图是在方格纸上画出的一半，以树干为对称轴画出数的另一半。
M
N
B
C
A
水泵站修在什么地方？
如图所示，水泵站修在 C 点可使所用的水管最短.
如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？
张村
李庄
A
B
A’
C
应用新知
A工厂
如图,在公路L的同侧有两个工厂A 、B,要在路边建一个货场C, 使A、B两厂到货场C的距离之和最小,问点C的位置如何选择?
11.3 角的平分线
O
D
E
A
B
P
C
定理1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
12.1 线段的垂直平分线
定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
P
A
B
C
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。

轴对称和垂直平分线

课题：10.1.2轴对称的再认识一复习：1.轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

2.两个图像成轴对称1、归纳：轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。

3、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别: 轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形。

联系：都能沿着某条直线。

这条直线是对称轴。

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4.关于某条直线成轴对称的图形的性质特征（1）成轴对称的两个图形全等：两个图形的面积和周长相等；对应线段，对应角相等。

(2)如果一个图形是轴对称图形，那么连接对称点的线段的垂直平分线是该图形的___________.(3)如果一个图形是轴对称图形且对应线段所在直线如果有交点，则交点必在_______________. 做一做1：连接对应点，观察对应点连接的线段和对称轴有何位置关系。

我们发现：对应点连接的线段被对称轴所_______和________.即对称轴是对应点连接的线段的__________________(或__________)做一做2：延长对应线段，观察它们的交点有何特征？我们发现：对应线段所在直线如果有交点，则交点必在_______________.做一做3：画出对称轴（1）（1）课题：垂直平分线一、垂直平分线的定义：1.经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线二线段垂直平分线的性质1、归纳，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的到这条线段的距离2、思考：反过来，如果PA ＝PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？3、归纳：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．（三）应用1、如下图，AD ⊥BC ，BD=DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB 、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？2、如下图，AB=AC ，MB=MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？3.如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相等吗?为什么?4、△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE ＝3cm ，△ABD 的周长为13cm ，求△ABC 的周长。

图形的轴对称线段的垂直平分线

线段垂直平分线的性质
垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
经过两点有且只有一条直线。
到线段两端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的定理
定理1
垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
VS
定理2
如果两个点到线段两端点的距离相等，那么这两个点关于这条线段的垂直平分线对称。
将所学的几何学知识应用到实际生活中，解决实际问题，如建筑设计、机械设计等。
发展几何学的思考方式
培养几何学的思维方式，如空间感知、逻辑推理、结构分析等，以更好地理解和应用几何学知识。
感谢您的观看
THANKS
3
求解角度
利用线段垂直平分线，可以求解三角形内角度的大小，或者证明角平分线的性质定理。
在物理学中的应用
01
02
03
力的平衡
在物理学中，线段垂直平分线可以用于表示重力的方向，以及物体在力的作用下保持平衡的点。
光学路径
在光学中，线段垂直平分线可以表示光线经过透镜或其他光学元件后行进的路径。
轴对称和线段垂直平分线的应用
在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

对未来学习的展望和期待
深入学习轴对称和线段垂直平分线…
更深入地理解轴对称和线段垂直平分线的性质和特点，包括在更高维度的空间中的拓展。
学习更多的几何学知识
了解更多的几何学概念、定理和应用，如微分几何、拓扑学等。
理论与实践相结合
05
总结与展望
对轴对称、线段垂直平分线的回顾
轴对称
一个图形如果关于某一直线对称，那么它具有轴对称性。这条直线称为轴对称轴。

13.1.2 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定人教版数学八年级上册同步课堂教案

第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质与判定一、教学目标1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容.2.熟练运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.3.会用尺规过直线外一点作已知直线的垂线.二、教学重难点重点：线段垂直平分线的性质和判定的内容.难点：运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.什么是轴对称图形？（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.）2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.）3.什么是线段的垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.）教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为这节课做准备,尤其强调线段的垂直平分线的定义.【新知探究】知识点1 线段垂直平分线的性质[提出问题]如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？[动手操作]1.学生用练习本上先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3…连接AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3…2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3的长度…之后小组讨论发现了什么样的结论？．(经测量可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，即 P1A =P1B，P2A = P2B，P3A=P3B.)[提出问题]如果把线段AB沿直线l对折，还有同样的发现吗？[动手操作]学生把线段AB沿直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.[提出问题]你能证明你得到的结论吗？[小组讨论]学生之间进行讨论，教师提醒学生科利用三角形全等来证明.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又CA=CB，PC =PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．[归纳总结]线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.该性质定理的几何语言：∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.同时提醒学生，该性质定理可判断两线段是否相等.[课件展示]跟踪训练如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D ,交AC于点F，交BC的延长线于点E,若BF=6，CF=2，则AC的长为 8 .知识点2 线段垂直平分线的判定[提出问题]将线段垂直平分线的性质定理的条件与结论反过来，即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？[小组交流]学生小组间讨论，画出图形，写出已知、证明，之后代表发言.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，P是线段AB外一点，且PA=PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．证明：如图，过点P 作PC⊥AB 于点C，则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．[归纳总结]线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．该判定定理的几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.同时提醒学生，该判定定理可判断一个点是否在线段的垂直平分线上.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道例题：例1 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，连接AP，BP，CP.求证：AP=BP=CP.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴AP=BP.同理 BP=CP.∴AP=BP=CP.例2 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：连接AP，BP，CP.∵AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，∴PA=PB, PB=PC.∴PA=PC.∴点P在AC的垂直平分线上.由例1和例2可知：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.[归纳总结]小结：从线段垂直平分线的性质和判定可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B 的距离都相等，反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.知识点3尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C(如图） .求作：AB的垂线，使它经过点C .作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（3）分别以点D和点E为圆心，大于12（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.[提出问题]为什么直线CF就是所求作的垂线？[小组讨论]学生分组讨论，之后代表回答，其他代表补充，之后教师纠错.（因为DF=EF，根据垂直平分线的判定定理即可得到.）【课堂小结】【课堂训练】1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，AD=3，PD=4，则线段PB的长为（ B ）A. 6B. 5C. 4D. 32.（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　C　）A．10.5 B．12 C．15 D．18【解析】∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15．故选C．3.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.则图中相等的线段有 OC=OD，AO=OB，且AC=BC=AD=BD .4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB交AB于点E，若DE=1 ,BD=2，则AC=3.【解析】∵DE垂直平分AB，BD=2,∴AD=BD=2.∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∴AC=AD+CD=2+1=3.故答案为3.【变式】（2021•杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝ 1:3 ．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴S△AED=S△BED.∵∠C=∠BDE=90°，∠1=∠2，BE=BE，∴△BDE≌△BCE（AAS）.∴S△BED=S△BEC，∴S△ABC=3S△AED，∴S△AED：S△ABC=1：3．故答案为1：3．5.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.又OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.∴OE是CD的垂直平分线.6.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD=DE.证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.7.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.证明：连接DB.∵AB=AD，BC=DC,∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴线段AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.∵E是AC上的一点，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，AB=AD，BE=DE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AF,请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明如下：方法一（定义法）：设AD与EF的交点为O.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF（SAS）.∴EO=FO，∠EOA=∠FOA.又∠EOA+∠FOA=180°.∴∠EOA=∠FOA=90°，即AO⊥EF.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.方法二（判定定理法）：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）.∴DE=DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.又AE=AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.提醒学生：判断线段垂直平分线的方法：（1）定义法；（2）判定定理法.应用时可根据题目特点灵活选择.【教学反思】本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，再通过跟踪训练和课堂训练这两个环节，不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．。

冀教版初中数学八年级上册教学课件第十六章轴对称和中心对称线段的垂直平分线(第2课时)

与点A,B的距离相等,这样的点有1个.故选D.
3.如图所示,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠, 应该蹲守在 ( A ) A.ΔABC三边垂直平分线的交点上 B.线段AB上 C.ΔABC三条高所在直线的交点上 D. Δ ABC三条中线的交点
线段两个端点的距离相等进行证明.
那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?
活动一:线段垂直平分线性质定理的逆定理
学习新知
. 与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?
已知:如图所示,P是线段AB外一点,
且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
新课标冀
数学
8年级/上
八年级数学·上新课标 [冀教]
第十六章轴对称和中心对称
学习新知
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给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个? 如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?
利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂
直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.
在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条
O
证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
PA PB,
在ΔPOA和ΔPOB中, PO PO,
AO BO,
∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS)，∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端

轴对称与线段垂直平分线性质定理(解析版)

专题08 轴对称与线段垂直平分线性质定理【知识点睛】❖ 轴对称与轴对称图形【类题训练】1．如图图案中不是轴对称图形的是（） A ． B ． C ． D ．【分析】根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A 、这个图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；B 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．2．下列汉字中，能看成轴对称图形的是（）A ．坡B ．上C ．草D ．原【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A ，B ，D 选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．3．观察下面A ，B ，C ，D 四幅图，其中与如图成轴对称的是（）轴对称轴对称图形定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果他能够有另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫对称点如果一个图形沿某一直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴，这是我们也说这个图形关于这条直线成轴对称区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形是轴对称图形；（2）如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质（1）对应点的连线被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等；（3）对应线段或延长线的交点在对称轴上；（4）成轴对称的两个图形全等A．B．C．D．【分析】根据轴对称的定义判定即可．【解答】解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．4．如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（）A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答．【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG，故B、C、D不符合题意；∵△ECD不一定是等边三角形，∴EC≠CD，故A符合题意；故选：A．5．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：D．6．如图，点P是∠AOB内部一点，点P′，P″分别是点P关于OA，OB的对称点，且P′P″＝8cm，则△PMN的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】根据点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，得到PP′被OA垂直平分，PP″被OB 垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到MP＝MP′，NP＝NP″，即可得出△PMN的周长．【解答】解：∵点P′，P″分别是P关于OA，OB的对称点，∴PP′被OA垂直平分，PP″被OB垂直平分，∴MP＝MP′，NP＝NP″，∴△PMN的周长＝MN+MP+NP＝MN+MP′+NP″＝P′P″＝8（cm）．故选：D．7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN 的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．故选：A．8．如图，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，若∠COD＝70°，则∠CPD的度数是（）A．110°B．135°C．145°D．155°【分析】根据对称的性质得出∠C+∠D＝∠CPD，再根据四边形内角和是360°得出∠CPD的度数，即可得出结论．【解答】解：根据对称知，∠C＝∠OPC，∠D＝∠OPD，∵∠COD＝70°，∴∠C+∠D＝∠CPD＝（360°﹣70°）＝145°，故选：C．9．如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是．【分析】镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：05．10．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有个．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：①角；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形是轴对称图形，故答案为：4．11．等边三角形有条对称轴．【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：等边三角形有3条对称轴．故答案为：3．12．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF＝S△CEF，∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×6×5＝15，∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝．故答案为：．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为．【分析】如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．证明△EMN是等边三角形，根据CD≤DM+MN+NC，可得结论．【解答】解：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN．由翻折的性质可知，AD＝DM＝3．AE＝EB＝EM＝EN＝3，CB＝CN＝3，∠AED＝∠MEB，∠EBC ＝∠NEC，∵∠DEC＝120°，∴∠AED+∠BEC＝180°﹣120°＝60°，∴∠DEM+∠NEC＝60°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴MN＝EM＝EN＝3，∵CD≤DM+MN+CN，∴CD≤9，∴CD的最大值为9，故答案为：9．14．在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．15．在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）：16．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD 交OA于点M，交OB于点N．（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．②若∠AOB＝n°，则∠COD＝°（用含n的代数式表示）．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．【分析】（1）根据轴对称的性质，可知∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，可以求出∠COD的度数；（2）根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN，根据周长定义可以求出△PMN的周长．【解答】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2×60°＝120°；②∵点C和点P关于OA对称，∴∠AOC＝∠AOP，∵点P关于OB对称点是D，∴∠BOD＝∠BOP，∴∠COP＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB＝2n°，故答案为：2n；（2）∵点C和点P关于OA对称，∴CM＝PM，∵点P关于OB对称点是D，∴DN＝PN，∵CD＝4，∴CM+MN+DN＝4，∴PM+MN+PN＝4，即△PMN的周长为4，故答案为：4．17．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）图中点C的对应点是点，∠B的对应角是；（2）若DE＝5，BF＝2，则CF的长为；（3）若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．【分析】根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；故答案为：E，∠D．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3．故答案为：3．（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，再根据对称性，∴∠EAF＝∠CAF，∴∠EAF＝＝39°．18．如图所示，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5cm，求△PMN的周长．【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知P1P2与△PMN的周长是相等的，即可求解．【解答】解：∵P1，P2分别是点P关于OA、OB的对称点，∴PM＝MP1，PN＝NP2；∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+NP2＝P1P2＝5cm，∴△PMN的周长为5cm．【知识点睛】❖线段垂直平分线性质定理及其逆定理性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。

八年级数学上册 16 轴对称和中心对称图形专题练习线段垂直平分线与角平分线的综合应用 (新版)冀

专题一线段垂直平分线与角平分线的综合应用1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交O M于点B，过点A 作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm，则△OBC的面积为 ________cm2．3.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．专题二利用角平分线的性质求三角形的面积4.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC 的面积是______．5.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30 m，40 m，50 m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.参考答案1.C 解析：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA，∴△ADC≌△ADE.∴∠ADC=∠ADE ，AC=AE ，∵BE+AE=AB ，∴BE+AC=AB.因为在直角△BDE 中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC 中∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.∵△ADC ≌△ADE ，∴AC=AE ，DC=DE ，∴A 、D 两点在线段EC 的垂直平分线上.2.20 解析：作CE ⊥OM ，垂足为E.∵点B 在OA 的垂直平分线上，∴BO=BA=10 cm.∵OP 是∠MON 的角平分线，C A ⊥ON ，CE ⊥OM ，∴CE=CA=4 cm ，∴)(20410212cm S OBC =⨯⨯=∆. 3. 45° 解析：易证△AEF ≌△DEF ，∴∠ADF=∠DAF.又∵∠ADF=∠B+∠BAD ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ，∵∠BAD=∠DAC ，∴∠FAC=∠B=45°．4.42 解析：作OE ⊥AB ，作OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE=OF=OD=4, 1()4=422ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC =++=⨯++⨯△△△△. 5.解：如图所示：分别作∠ABC ，∠ACB 的平分线，交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，则::3:4:5ABD ADC BDC S S S =△△△.。