高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题5 第24练 常考的递推公式问题的破解方略 文 新人教版
高考数学专题复习题：数列的递推公式
高考数学专题复习题：数列的递推公式一、单项选择题（共8小题）1.已知数列｛a n ｝满足a n =4a n -1+3（n ≥2，n ∈N *），且a 1=0，则此数列的第5项是（ ） A.15B.255C.16D.632. 已知数列a n =-n 2+4n +2，则该数列中最大项的序号是（ ） A .2B .3C .4D .53.已知数列｛a n ｝满足a n =1a n−1+1（n ≥2，n ∈N *），如果a 4=53，那么a 1等于（ ） A.1B.32C.2D.854.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）A.a n +1=a n +n ，n ∈N *B.a n =a n -1+n ，n ∈N *，n ≥2C.a n +1=a n +(n +1)，n ∈N ，n ≥2D.a n =a n -1+(n −1)，n ∈N *，n ≥25.已知数列｛a n ｝满足a 1=2，a n +1-a n +1=0（n ∈N *），则此数列的通项公式a n 等于（ ） A.n 2+1 B.n +1C.1-nD.3-n6.设a n =1n+1+1n+2+1n+3+…+12n （n ∈N *），那么a n +1-a n 等于（ ）A.12n+1B.12n+2C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+27.在数列｛a n ｝中，a 1=12，a n +1=1-1a n，则a 2 024等于（ ） A.12B.-1C.2D.38.某书中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足a n +2=a n +1+a n （n ≥1），那么1+a 2+a 4+a 6+…+a 2022等于（ ） A.a 2021B.a 2022C.a 2023D.a 2024二、填空题（共4小题）9.在数列｛a n ｝中，a n +1=a n +2-a n ，a 1=2，a 2=5，则a 5=________. 10.已知数列｛a n ｝中，a 1a 2…a n =n 2（n ∈N *），则a 9=________. 11.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =12n −15，其最大项为________，最小项为________.12.在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n +1a n +2=k （k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列｛a n ｝是等积数列，且a 1=1，a 2=2，公积为8，则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.三、解答题（共4小题）13.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n 2-n +2. （1）求数列｛a n ｝的通项公式.（2）若b n =a n +100n -2n ，求数列｛b n ｝的最大项是该数列的第几项. 14.在数列｛a n ｝中，a 1=2，且a n +1=a n +ln (1+1n )，求数列｛a n ｝的通项公式.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=12，a n =n−1n+1a n -1（n ≥2），求数列｛a n ｝的通项公式.16.已知数列｛a n ｝满足：a 1=m （m 为正整数），a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数.若a 4=4，求m 所有可能的取值.。
数列的递推公式知识点、例题、练习
4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。
高考数学中的数学归纳法及递推公式
高考数学中的数学归纳法及递推公式数学归纳法是数学方法中的一种，用于证明所有自然数或其某些子集上的陈述。
在高考数学考试中，数学归纳法是一个重要的主题，涵盖了递推公式、数列、不等式等等。
在高考数学的数列问题中，数学归纳法是一个非常重要的概念。
这种场景下，通过数学归纳法来找到递推公式，可以使我们更快地找到数列公式，从而计算出所需的结果。
例如，一个常见的问题是找到斐波那契数列的公式。
在这种情况下，数学归纳法可以帮助我们找到递推关系，快速计算出所需的结果。
数学归纳法从基础情况开始，以这个情况为“基础”。
然后，假设对于某个自然数，这个情况成立，并证明对于下一个自然数，相同的情况也成立。
通过这种方式，我们可以证明所有自然数上的情况都成立。
具体来讲，这个方法有以下步骤:1. 证明基础情况2. 假设某个情况成立（归纳假设）3. 证明对于比这个情况大1的自然数，相同的情况也成立（归纳过程）在高考数学考试中常常被用来推导递推公式的概念，其实就是一种应用数学归纳法的方法。
如果想要得到一个递推公式，我们需要通过两种方法进行推导。
第一种方法是正向递推，通常从小到大来计算数列元素的值。
为了证明这个方法的有效性，我们需要遵循数学归纳法。
具体而言，首先证明基础情况成立，然后假设对于某个自然数，递推公式成立，并证明对于下一个自然数，递推公式也成立。
通过这种方式，我们就可以得到一个递推公式，并成功地使用它来计算除基础情况之外的任何自然数。
这种方法通常比较直观，因为它从数列开始，逐渐向前推导，而且递推公式也很容易理解和使用。
第二种方法是逆向递推，通常从大到小来计算数列元素的值。
为了证明这个方法的有效性，我们需要使用数学归纳法。
首先证明基础情况成立，然后假设对于某个自然数，逆推公式成立，并证明对于前一个自然数，逆推公式也成立。
通过这种方式，我们就可以得到一个逆推公式，同样可以成功地使用它来计算除基础情况之外的任何自然数。
这种方法比较复杂，因为它从数列的末端开始计算，但在某些情况下，逆推公式更容易理解和使用。
最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版
an 1 an
(b a)( 2 )n 1 。 3
把 n 1,2,3, , n 代入，得 a2a1源自b a ，a3a2
(b a) ( 2) ， a4
a3
22 (b a) ( ) ，
3
3
an
an 1
(b
a)(
2) n
2
。把以上各式相加，得
3
22
an a1 (b a)[1
()
33
( 2)n 2] 3
1 ( 2)n 1 3 (b 2
a1
a2
3, a4 a3
4, , an an 1
n ，将以上 n 个式子相乘，得 a n
n! (n 2)
2
类型 3 an 1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：
an 1 t p(an t ) ，其中 t
q ，再利用换元法转化为
1)
K
,
k
a2k+1 =a2k+3 , 其中 k=1,2,3, …… .
（ I ）求 a3, a5； （ II ）求 { an}的通项公式 .
解： a2 k a2 k 1 ( 1) k ， a2 k 1 a2k 3k
a2k 1 a2k 3k a2 k 1 ( 1)k 3k ，即 a2k 1 a2 k 1 3k ( 1) k
3
3
解：由 an 2
2 an 1
1 a n 可转化为 an 2
san 1
3
3
t (an 1 san )
即 an 2 (s t )an 1 stan
2 st
3 1 st 3
高中数学数列的递推公式及推导过程
高中数学数列的递推公式及推导过程数列是高中数学中的重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成。
在数列中，递推公式是一种常见的描述数列规律的方式。
本文将详细介绍数列的递推公式及其推导过程，并通过具体题目的分析，帮助读者理解数列的考点和解题技巧。
一、等差数列的递推公式及推导过程等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都相等。
对于等差数列，我们可以通过递推公式来描述其规律。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如，考虑等差数列1，4，7，10，13，...，其中首项a₁=1，公差d=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第10项a₁₀的值，根据递推公式可以得到：a₁₀ = a₁ + (10-1)×3 = 1 + 9×3 = 28通过递推公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。
二、等比数列的递推公式及推导过程等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之比都相等。
对于等比数列，我们同样可以使用递推公式来描述其规律。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ × q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n为项数。
例如，考虑等比数列2，6，18，54，162，...，其中首项a₁=2，公比q=3。
我们可以使用递推公式来求解该数列的任意一项。
例如，我们要求第6项a₆的值，根据递推公式可以得到：a₆ = a₁ × 3^(6-1) = 2 × 3^5 = 486通过递推公式，我们可以轻松地求解等比数列中任意一项的值。
三、斐波那契数列的递推公式及推导过程斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的递推公式可以通过观察数列的规律得到。
假设斐波那契数列的第n项为Fₙ，则斐波那契数列的递推公式为：Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂其中，F₀=0，F₁=1。
最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版
(n 1)bn1 nbn 2 0 令 n 1, 得 b1 2. bn 2 (n 1)d .
设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 （1）当 n 1, 2 时，等式成立
新疆 源头学子小屋
/wxc/
a2k 1 a2k 3k a2k 1 (1) k 3k ，即 a2k 1 a2k 1 3k (1) k a3 a1 3 (1) ， a5 a3 32 (1) 2 ……
将以上 k 个式子相加，得 …… a2k 1 a2k 1 3k (1) k
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, nbn2 (n 1)bn1 2 0.
-3-
③－④，得
nbn2 2nbn1 nbn 0, 即 bn2 2bn1 bn 0,
1 ___
n 1 n2
解：由已知，得 an1 a1 2a2 3a3 (n 1)an1 nan ，用此式减去已知式，得 当 n 2 时， an1 an nan ，即 an1 (n 1)an ，又 a2 a1 1，
a1 1,
b 1 b 1 b 1
(an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}
是等差数列；（Ⅲ）证明：
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2
（I）解： an1 2an 1(n N * ), an1 1 2(an 1), an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的 等比数列 an 1 2n.
高考数学“数列的递推公式”专题复习
所以
1 2
S100
3
.故选
A.
环节三 课堂小结，应用迁移
等差等比是基础，通法通则须掌握， 形异质同找规律，构造待定皆化归， 和积下标看仔细，奇偶分类要讨论。
“THANKS”
an1 an
q
； an2
an1
an1
常见的递推构造：
① an1=an +f (n) an1 an f (n) 累加法；
② an1 =an
f (n)
an1 an
f
(n)
累乘法；
③ an1=pan q 待定系数法 an1+x=p(an x) ；
④ an1 =
Aan Ban
A
倒数法 1 an1
构造
an1
x
2n1
(an
x
2n
)
，则
x
1 3
，所以
an1
1 3
2n1
(an
1 3
2n
)
.
又因为 a1
1 21 3
1 3
，则 an
1 3
2n
0 ，所以
an1 an
1
3 1
3
2n1 2n
1 ，
所以{an
1 3
2n}
是首项为
1 3
，公比为
1的等比数列,
则
an
1 3
2n
=
1 3
(1)n1
，所以
an
an
2. n 1
再局部放缩得到
an1
an 1
an
an 1+ 2
n n
1 3
an
，即
an1 an
高考数学：最常考的数列的递推式，以及如何构造新数列（很全面）
高考数学：最常考的数列的递推式，以及如何构造新数列（很全面）数列这一块，除了基本的等差等比数列外，还有两大块内容：各种求和，各种递推。
数列的递推式，我们需要掌握的最常考的主要是以下几个：类型一：a（n+1）=a（n）+f（n）这个很简单，就是把a（n+1）-a（n）=f（n）然后累加法（左边相加，右边相加）。
类型二：a（n+1）=a（n）·f（n）这个也很简单，就是把式子变成a（n+1）/a（n）=f（n）然后累乘。
类型三：a（n+1）=pa（n）+q这个也很简单，a（n+1）-t=p[a（n）-t]，也就是构造a（n）-t 是一个等比数列。
类型四：这个也比较简单，就是两边取倒数，变成类型三，然后再按照类型三的方法来计算。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------前四种类型，想要数学达到及格水平必须要掌握。
后面的几种类型都是从上面的四个类型扩展延伸出来的，其实并不难理解，如果想要达到135分以上也是要掌握的。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------类型五：a（n+1）=pa（n）+q^n这个类型是类型三的变形，将后面的常数q变成了q^n，所以我们需要先把两边都除以q^（n+1）。
变成a（n+1）/q^(n+1)=pa(n)/q^n·q+1/q 设bn=a（n）/q^n 那么b（n+1）=pb（n）/q+1/q实际上，也就变成了类型三，利用类型三继续计算。
类型六：a（n+2）=pa（n+1）+qa（n）这个式子其实也是类型三的变形，只不过之前是构造a（n）-t是一个等比数列，现在构造的是a（n+2）-ta（n+1）是一个等比数列。
高中高考递推数列题型分类归纳解析总结计划.doc
高中高考递推数列题型分类归纳解析总结计划.doc高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型 1an 1a n f (n)解法：把原递推公式转化为 an 1a nf (n) ，利用累加法 ( 逐差相加法 ) 求解。
例 1. a n 满足 a 11a n 1 ，求 a n 。
已知数列， a n1n2n 2变式 : 已知数列 { a n }中 a 11，且 a =a +( －1) , a=a +3 ,其中 k=1,2,3, .2k2k －1K2k+1 2kk（ I ）求 a 3, a 5；（ II ）求 { a n } 的通项公式 . 类型 2a n 1f (n)a n解法：把原递推公式转化为an 1f (n) ，利用累乘法 ( 逐商相乘法 ) 求解。
a n例 1: 已知数列 a n 满足 a 12 ， a n 1 n na n ，求 a n 。
31例 2: 已知 a 13 ， a n 13n 1a n (n 1) ，求 a n 。
3n 2变式 : （ 2004，全国 I, 理 15．）已知数列 { a n } ，满足 a 1=1，a na 1 2a 2 3a 3(n 1)a n 1 ( n ≥ 2) ，则 { a n } 的通项 a n1n 1 ___ n2类型 3n 1pa n q （其中 p ，q 均为常数， ( pq ( p 1) 0) ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an 1tp(a n t) ，其中 tq ，再利用换元法转化为等比数列求解。
1p例 : 已知数列 a n 中， a 1 1， a n 12a n 3，求 a n .变式 : （ 2006，重庆 , 文,14 ）在数列a n 中，若a 1 1,a n 1 2a n 3(n 1) ，则该数列的通项a n _______________变式 : （ 2006. 福建 . 理 22. 本小题满分 14 分）已知数列 a n 满足 a 1 1,a n 12a n 1(n N * ).（ I ）求数列a n 的通项公式；（ II ）若数列 { b } 滿足b 1 1 b 2 1b n 1b n*n44( a n 1)(nNn（Ⅲ）证明：n1a 1 a 2 ... a n n( n N * ).23 a 2 a 3 a n 12类型 4an 1pa n q n （其中 p ， q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ）。
数学高考解题技巧如何迅速解决数列题中的递推关系问题
数学高考解题技巧如何迅速解决数列题中的递推关系问题数学高考中，数列题是考察学生对数列递推关系的掌握和运用能力的重要题型之一。
其中，解决数列题中的递推关系问题是考生们经常遇到的难点之一。
本文将介绍一些解决数列题中递推关系问题的技巧和方法，以帮助考生迅速应对这类题目。
一、观察找规律法1. 逐项尝试法对于给定的数列，可以逐项进行尝试，观察相邻项之间的关系。
通过观察，可以发现数列中的递推关系，从而准确地找出递推公式。
尝试的过程需要细心和耐心，相邻项之间的变化可能存在一定的规律。
2. 数学归纳法对于规律不明显的数列，可以考虑利用数学归纳法。
首先猜测递推关系的公式，然后利用归纳法证明该公式的正确性。
具体步骤为：先证明公式在某一项成立，然后再证明若前n项成立，则第n+1项也成立。
如果步骤中的条件都能满足，那么递推公式就是正确的。
3. 相邻项之差法对于等差数列，相邻项之间的差值是恒定的。
因此，可以通过计算相邻项之间的差值，找到递推公式。
同理，对于等比数列，相邻项之间的比值也是恒定的。
二、直接拆解法1. 和项拆解法对于给定的递推关系，可以通过拆解和项的方式得到递推公式。
例如，对于等差数列，可以将和项分解成前一项的和与当前项之间的差值。
2. 等式拆解法对于一些特殊的递推关系，可以通过等式拆解的方式解决。
例如，对于斐波那契数列，可以通过将递推关系等式两边同时乘以一个常数，然后再进行拆解得到递推公式。
三、辅助方法法1. 通项公式法对于常见的数列，存在通项公式，利用通项公式可以直接求解任意项的值。
因此，对于一些计算量较大的递推关系题目，可以考虑寻找数列的通项公式，从而迅速解决问题。
2. 制表法对于复杂的递推关系问题，可以通过制表的方式记录数列的项，进而分析数列的规律和递推关系。
通过制表，可以更好地观察和把握数列中的规律，从而解决问题。
通过以上的解题技巧和方法，相信考生们在解决数列题中的递推关系问题时会更加灵活和准确。
然而，使用这些方法并不一定适用于所有的数列题目，因此在解题过程中，考生还应灵活运用不同的方法，并在平时的练习中不断提高自己的解题能力。
高中数学专题复习 提优点4 数列的递推关系
规律方法
若 an＋1＝paqn(p>0，an>0)，则构造lglgaan＋n＋1＋qlq－gl－gp1p1＝q，最终求得通项.
训练4
在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a2n，则数列{an}的通项公式为_a_n_＝__2_2_n_－_1_.
取以2为底的对数，
得到 log2an＋1＝log2a2n，log2an＋1＝2log2an，
板块二 数列
知识拓展
1.由递推关系求数列的通项公式是数列中常见的题型之一.解答此类问题 的关键是分析已知的递推关系式，找出其中的规律，将问题转化为常规 数列的求通项公式或求和问题来解决. 2.构造法是求数列通项公式的一种重要方法，其总的思路是转化为特殊 的数列，转化方向有：(1)构造常数列；(2)构造等差数列；(3)构造等比数 列；(4)构造为可以利用累加法、累乘法求和的数列.
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋3n，则an＝__n_·_3_n_－_1_.
∵an＋1＝3an＋3n，∴a3nn＋ ＋11－a3nn＝13， ∴数列a3nn是等差数列，公差为13， 又a31＝31，∴a3nn＝31＋(n－1)×31＝n3， ∴an＝n·3n－1.
类型二 形如an＋1＝pan＋qan－1(其中a1＝a，a2＝b)型
取以2为底的对数，得到 log2an＋1＝log22a2n，log2an＋1＝log22＋2log2an， log2an＋1＝1＋2log2an，设 bn＝log2an， 则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2(bn＋1)， 所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列， 所以bn＋1＝2n－1， 所以bn＝2n－1－1，log2an＝2n－1－1，an＝22n－1－1.
数学数列递推公式知识点
数学数列递推公式知识点在我学习数学的漫漫长路中，数列递推公式这一知识点就像一座神秘的城堡，充满了未知和挑战。
记得那是一个阳光明媚的上午，教室里弥漫着一股紧张的学习氛围。
数学老师带着神秘的微笑走进教室，在黑板上写下了数列递推公式几个大字。
我当时心里就“咯噔”一下，预感这不是个容易对付的家伙。
老师开始讲解，他说：“数列递推公式啊，就像是数列家族里的密码，通过这个密码，我们能一步步找到数列中的每一个成员。
”说着，他写下了一个简单的例子：a₁＝ 1，aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥ 2）。
我盯着黑板，努力理解着。
这意思不就是从第二项开始，每一项都比前一项大 2 嘛！老师接着说：“那大家算算，a₂是多少呀？”我赶紧在本子上写写画画，心里想着，a₂不就是 a₁＋ 2 嘛，a₁是 1，那a₂就是 3 呗。
老师看着我们算出来，满意地点点头，又出了一个稍微复杂点的：a₁＝ 2，aₙ ＝ 2aₙ₋₁ 1 （n ≥ 2）。
这一下，我有点懵了。
2 乘以前一项再减 1，这可咋算？我咬着笔头，苦思冥想。
旁边的同桌倒是很快有了思路，他小声跟我说：“先算出 a₂啊，a₂不就是 2×a₁ 1 嘛，a₁是 2，那 a₂就是 3 。
”我恍然大悟，赶紧接着往下算。
就这么着，我们在老师的引导下，做了一道又一道的例题。
可我总觉得，这些公式在脑子里乱成了一团麻。
到了做练习题的时候，我看着题目直发愣。
有一道题是这样的：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 3，aₙ ＝ 3aₙ₋₁＋ 2 （n ≥ 2），求 a₃。
我心里那个着急啊，手心里都出汗了。
我先算出 a₂＝ 3×3 ＋ 2 ＝ 11，然后再算 a₃＝ 3×11 ＋ 2 ＝ 35。
当我终于算出答案，心里别提多有成就感了。
可这还只是开始，接下来的日子里，数列递推公式就像个影子，时刻跟着我。
做作业的时候遇到，考试的时候也遇到。
有一次考试，最后一道大题就是关于数列递推公式的。
高中数学数列的递推公式
高中数学数列的递推公式
哎呀，高中数学里的数列递推公式，这可真是个让人头疼又好奇的东西！
你说数列就数列吧，还弄出个递推公式来。
就好像你正在爬一座山，本来以为顺着一条路就能上去，结果半道上又出现了新的岔路，还得琢磨走哪条才能到山顶。
还记得有一次上数学课，老师在黑板上写下了一个数列的递推公式，然后问我们：“同学们，你们能看出这里面的规律吗？”我当时就懵了，心里想：“这啥呀？咋能看出规律呢？”我瞅瞅旁边的同桌，他也是一脸的迷茫。
老师看我们都不吭声，就开始讲解。
“同学们，你们看啊，这个公式就像是一个密码锁，每一个数字都是一把钥匙，只有按照正确的顺序排列，才能打开数学的宝藏大门。
” 我在下面小声嘀咕：“这宝藏大门也太难开了吧！”
后来老师给我们举了个例子，说：“假如有一群小兔子，第一个月有1 只，第二个月开始，每个月的兔子数量都是前两个月兔子数量的总和，那这兔子的数量不就形成了一个数列嘛。
” 我一听，好像有点明白了。
又有一次做作业的时候，碰到一道数列递推公式的题，我绞尽脑汁地想啊，算啊，草稿纸都用了好几张。
我一边算一边自言自语：“这题怎么这么难啊，我就不信搞不定你！” 就在我快要放弃的时候，突然灵光一闪，找到了思路，我兴奋地叫起来：“哈哈，我算出来啦！”
经过这一次次的折磨和突破，我发现数列的递推公式虽然难，但只要你用心去琢磨，就像解开一个神秘的谜题一样，一旦解开，那种成就感简直爆棚！
所以啊，我觉得数列的递推公式就像是藏在数学世界里的神秘宝藏，虽然寻找的过程充满了挑战，但当你找到的那一刻，你会发现一切的努力都是值得的！。
高考必会题型篇：高考常考的递推公式问题破解法(四十九)
谢谢您的观看！
变式题.已知数列{an }满足 a1 + 2a2 + 22 a3 +
+2n-1 an
=
n 2
，n∈
N*
.则 an
=
_____.
题型归纳：给出 f (n)an 的前 n 项和，求通项 an .
四、备考指津
备考建议：
1.由递推关系式求通项公式问题，是数列部分一个难点，但在转化递推关 系为通项公式的过程中，一般有固定的模式，只要善于积累、勤于动脑就 能真正理解其内在的联系及区别，找到合适的解题模板，这个难点也就可 以突破.
三、题型突破
题型归纳：数列{an } 满足 an+1 - an = f (n) 且以 f (n)a 为通项的数列可求和.
变式题:已知数列{an } 中， a1 = 1 ， (2n + 1)an = (2n - 3)an-1 (n≥2)，则数列{an } 的通项公式为 .
题型归纳：数列{bn } 满足
高考常考的递推公式破解法
一、真题展示
二、题型透析
题型归纳：1.数列{an}满足 an1
an
f
(n)
或数列
{bn
}ห้องสมุดไป่ตู้
满足
bn1 bn
g(n) 求通项；
2.形如 an1 an n（其中 ， ， 为常数）的递推关系式，求通项；
3.给出 an 与 Sn 间的递推关系，求通项.
破题秘籍： 熟练掌握各种递推关系式的处理的固定模式，善于联想，巧妙变形.
bn+1 bn
=
g(n) 且以 g(n) 为通项的数列可求乘积.
题型归纳:给出形如 an+1 = αan + βγ n （其中 α, β, γ 为常数）的递推关系式，求通项.
2021高考数学必考点解题方式秘籍 递推数列 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：递推数列1 一阶递推数列咱们第一回忆递推数列的概念，参见文献[1]。
概念1 关于任意+∈N n ，由递推关系),(,21n k n k n k n a a a f a -+-++=确信的数列{}n a 成为递推数列（或递归数列），k 为阶数。
假设f 是线性的，那么称此数列为线性递推数列，不然称为非线性递推数列。
本节通过度析几种一阶递推数列类型，给出其的求通项公式方式，并分析两种常见方式的区别和联系。
一阶线性递推数列本节要紧讨论下面两种一阶线性递推数列。
等差数列、等比数列[2]作为最大体的一阶线性递推数列由于篇幅所限，在那个地址再也不赘述。
)(1n f a a n n +=+类这种递推数列的解题方式与等差数列求通项公式的方式一样，都是叠加法，下面就以高考题为例来讲明其解题方式和进程。
例（2007北京高考理第15题） 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式.解（I ）由题知：12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，因此2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，因此1(1)[12(1)]2n n n a a n c c--=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，因此22(12)na n n n =-+=，，．)0)1((,1≠-+=+p pq q pa a n n 类此类递推数列是高考最多见的一种，能够用两种方式进行解答，下面咱们先来解出他的通项公式，然后通过典型例题运用两种方式来解析。
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第24练 常考的递推公式问题的破解方略[内容精要] 数列的通项公式可以说是数列问题的核心问题，如果可以由题目条件求得通项公式，可以说数列问题便可迎刃而解，因此求通项公式显得尤为重要，本节主要介绍由条件求通项公式的一些方法技巧．题型一 由相邻两项关系式求通项公式例 1 已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( ) A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n破题切入点 对条件因式分解． 答案 B解析 由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0， 得[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0， 又a n >0，所以(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ， 即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n ， 所以a n ＝nn ＋1·n －1n ·…·23a 1＝2n ＋1a 1(n ≥2)， 所以a n ＝2n ＋1(n ＝1适合)， 于是所求通项公式为a n ＝2n ＋1. 题型二 已知多项间的递推关系求通项公式例2 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，则数列{a n }的通项公式为________．破题切入点 求证{1a n －1a n －1}为等差数列，再利用累加法求得1a n，便可求得a n .答案 a n ＝1n ＋1解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+1442443个＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 题型三 构造法求通项公式例3 (1)已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，求a n ； (2)已知a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋1，求a n .破题切入点 观察条件，联想学过的数列来构造． 解 (1)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＋1＝2≠0，于是可知{a n ＋1}为以2为首项2为公比的等比数列． 即a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1， ∴所求通项公式为a n ＝2n－1. (2)由a n ＋1＝a na n ＋1得1a n ＋1－1a n＝1(常数)， 又1a 1＝1，∴{1a n}为1为首项，1为公差的等差数列，∴1a n＝n ，从而a n ＝1n，即所求通项公式为a n ＝1n.总结提高 求数列通项公式常见的方法：(1)观察法：利用递推关系写出前n 项，根据前n 项的特点观察，归纳猜想出a n 的表达式．(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .(4)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n .(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的人数，如果a 1＝300，则a 10为( )A ．350B ．300C ．400D ．450 答案 B解析 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝45a n ＋310b n ，a n ＋b n ＝500，消去b n ，得a n ＋1＝12a n ＋150.由a 1＝300，得a 2＝300； 由a 2＝300，得a 3＝300； ……从而得a 10＝300，故选B.3．已知f (x )＝log 2x 1－x ＋1，a n ＝f (1n )＋f (2n )＋…＋f (n －1n)，n 为正整数，则a 2 015等于( )A ．2 014B ．2 009C ．1 005D ．1 006 答案 A解析 因为f (x )＝log 2x1－x＋1，所以f (x )＋f (1－x )＝log 2x 1－x ＋1＋log 21－xx＋1＝2.所以f (1n )＋f (n －1n)＝2，f (2n )＋f (n －2n)＝2，…， f (n －1n )＋f (1n)＝2， 由倒序相加，得2a n ＝2(n －1)，a n ＝n －1， 所以a 2 015＝2 015－1＝2 014，故选A.4．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝5n－3×2n －1解析 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25.所以b n －1＝(－35)×(25)n －1，即b n ＝1－35×(25)n －1＝a n5n ，故a n ＝5n－3×2n －1.5．数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，2(2n －3)(2n －5)(n ≥2，n ∈N *)解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 则2S n S n －1＝S n －S n －1， 即1S n －1S n －1＝－2，又1S 1＝1a 1＝1，故{1S n}是首项为1，公差为－2的等差数列，则1S n＝1＋(n －1)(－2)＝－2n ＋3，所以S n ＝1－2n ＋3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－2n ＋3－1－2(n －1)＋3＝2(2n －3)(2n －5)，验证a 1＝1不满足，故所求通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，2(2n －3)(2n －5)(n ≥2，n ∈N *).6．设函数f (x )＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f (0)＝12，数列{a n }满足f (1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________. 答案1n (n ＋1)解析 由f (0)＝12，得a 1＝12，由f (1)＝n 2a n (n ∈N *)， 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 整理得a n a n －1＝n －1n ＋1， 所以a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝12×13×24×35×…×n －1n ＋1 ＝1n (n ＋1)，显然a 1＝12也符合．即{a n }的通项为a n =1n (n ＋1).7．若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10，f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2 014(4)＝________.答案 8解析 因为42＋1＝17，f (4)＝1＋7＝8，则f 1(4)＝f (4)＝8，f 2(4)＝f (f 1(4))＝f (8)＝11，f 3(4)＝f (f 2(4))＝f (11)＝5， f 4(4)＝f (f 3(4))＝f (5)＝8，…，所以f k ＋1(n )＝f (f k (n ))为周期数列． 可得f 2 014(4)＝8.8．数列{a n }，{b n }满足a n ＝ln n ，b n ＝1n，则数列{a n ·b n }中第________项最大．答案 3解析 设函数f (x )＝1x ln x ，则f ′(x )＝1－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e.分析知函数f (x )在(0，e]上是增函数，在[e ，＋∞)上是减函数， 又f (2)＝12ln 2＝ln 68<f (3)＝13ln 3＝ln 69，所以a n ·b n ＝1nln n (n ∈N *)在n ＝3时取得最大值，即数列{a n ·b n }中第3项最大． 9．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2n ＋12n解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n.10．(2014·课标全国Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12. 11．(2014·大纲全国)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.12．(2014·湖南)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为{a n }是递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13，p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾． 故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0， 于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 但122n <122n －1， 所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此 a 2n －a 2n －1＝(12)2n －1＝(－1)2n22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得a 2n ＋1－a 2n <0， 故a 2n ＋1－a 2n ＝－(12)2n ＝(－1)2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋12－122＋…＋(－1)n2n －1＝1＋12·1－(－12)n －11＋12＝43＋13·(－1)n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·(－1)n2n －1.。