高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案

自主学习导引

真题感悟

1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．

若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A

2．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2

＋y 2

＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于

A ．25

B ．23C.3D ．1

解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|

12＋3

2

＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2

－d 2

＝222

－12

＝2 3. 答案 B

考题分析

圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．

网络构建

高频考点突破

考点一：直线方程及位置关系问题 【例1】(2012·江西八所重点高中

联考)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[审题导引] 求出l 1∥l 2的充要条件，利用定义判定．

[规范解答] 当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，此时l 1∥l 2， 所以“a ＝0”是“直线l 1与l 2平行”的充分条件； 当l 1∥l 2时，a (a ＋1)－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1.

当a ＝1时，l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y －3＝0，此时l 1与l 2重合， 所以a ＝1不满足题意，即a ＝0.

所以“a ＝0”是“直线l 1∥l 2”的充要条件． [答案]C

【规律总结】

直线与直线位置关系的判断方法

(1)平行：当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；如果直线l 1和l 2的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，则l 1∥l 2.

(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． (3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．

[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】

1．(2012·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0

C ．x －2y ＋3＝0

D ．x －2y ＋5＝0

解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →

|＝10，则点C 的坐标是________．

解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)．

OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，

则⎩⎪⎨⎪

⎧

|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨

⎪

⎧

a ＝－1，

b ＝－3.

∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3)

考点二：圆的方程

【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线x 29－y 2

16＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆

的方程是________．

[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．

[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，

即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±4

3x ，

即4x ±3y ＝0，∴r ＝

|4×5±3×0|42

＋±3

2

＝4，

∴所求圆的方程为(x －5)2

＋y 2

＝16. [答案](x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】

圆的方程的求法

(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2

＝d 2

＋⎝

⎛⎭

⎪⎫|AB |22等．

(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷． 【变式训练】

3．(2012·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．

解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|

12＋12

＝2， 解得a ＝－2， 即(x ＋2)2

＋y 2

＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系

【例3】(2012·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．

[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．

[规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42

＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx

－y －4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2

＝3，解得k ＝5

12，所以直线方程为y ＝5

12

(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4.