2021高考数学二轮专题复习
2021高考数学二轮复习专题练多选题专练含解析
高考数学二轮复习专题练：多选题专练专练(一) 不等式多选题 1.下列说法正确的有( )A.若a >b ，则ac 2>bc 2B.若a c 2>bc 2，则a >bC.若a >b ，则2a >2bD.若a >b ，则a 2>b 2解析 对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 不正确.对于B ，若a c 2>b c 2，则c ≠0，则c 2>0，则a c 2·c 2>b c 2·c 2，化简得a >b ，故B 正确.对于C ，若a >b ，则根据指数函数y ＝2x 在R 上单调递增，得2a >2b ，故C 正确. 对于D ，取a ＝－1，b ＝－2，则a 2＝1<b 2＝4，故D 不正确. 故选BC. 答案 BC2.给出下面四个推断，其中正确的是( ) A.若a ，b ∈(0，＋∞)，则b a ＋ab≥2B.若x ，y ∈(0，＋∞)，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若a ∈R ，a ≠0，则4a ＋a ≥4D.若x ，y ∈R ，xy <0，则x y ＋yx≤－2解析 对于A ，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋ab≥2b a ×a b ＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号，故A 正确.对于B ，当x ，y ∈(0，1)时，lg x ，lg y ∈(－∞，0)，lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y 显然不成立，故B 错误；对于C ，当a <0时，4a ＋a ≥4显然不成立，故C 错误；对于D ，xy <0，则－y x >0，－x y >0，则x y ＋y x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ×⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2，当且仅当－x y ＝－y x，即x ＝－y 时取等号，故D 正确.故选AD. 答案 AD3.若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式中正确的有( ) A.ab ≤1 B.a ＋b ≤ 2 C.a 2＋b 2≥2D.1a ＋1b≥2 解析 由题意得a >0，b >0，a ＋b ＝2.对于A ，由基本不等式可得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a＝b ＝1时，等号成立，故A 正确；对于B ，当a ＝b ＝1时，a ＋b ＝2>2，故B 错误；对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝4，即a 2＋b 2≥2，故C 正确；对于D ，1a ＋1b ≥2ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立，故D 正确. 答案 ACD4.若a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，则( ) A.a ＋b 有最小值2＋2 2 B.a ＋b 有最大值2＋2 2 C.ab 有最大值1＋ 2 D.ab 有最小值3＋2 2解析 由ab －(a ＋b )＝1，得ab ＝1＋(a ＋b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋2，故A 正确； 由ab －(a ＋b )＝1得，ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，即ab －2ab －1≥0，且ab >1，解得ab ≥3＋22，∴ab 有最小值3＋22，故D 正确.故选AD. 答案 AD专练(二) 平面向量多选题1.已知向量a ，b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是( ) A.若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a 与b 共线 B.若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b ＝λaC.若a 与b 不共线，则对平面α内的任意向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μbD.若对平面α内的任意向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μb ，则a 与b 不共线 解析 根据平面向量共线的知识可知A 正确.对于B ，若a 与b 共线，可能a ＝0，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b ＝λa ，所以B 错误.根据平面向量基本定理可知C 、D 正确.故选ACD. 答案 ACD2.设向量a ＝(k ，2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A.若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角 B.|a |的最小值为2C.与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎫22，－22 D.若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2解析 对于A ，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 正确； 对于B ，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎫22，－22或⎝⎛⎭⎫－22，22，C 错误；对于D ，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 错误.故选CD.答案 CD3.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0 C.|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，A 错误.以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝⎛⎭⎫13，233，设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝⎛⎭⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以B 正确. |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以C 正确.ED →＝⎝⎛⎭⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以D 正确.故选BCD. 答案 BCD4.P 为△ABC 所在平面内一点，下列结论正确的是( ) A.若P A →＋PB →＋PC →＝0，则P 为△ABC 的重心 B.若P A →·PB →＝PB →·PC →＝P A →·PC →，则P 为△ABC 的内心C.若AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 D.若|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，则P 为△ABC 的外心解析 对于A ，若P A →＋PB →＋PC →＝0，则P A →＋PB →＝－PC →，以P A →，PB →为邻边作平行四边形P ADB ，M 为PD 的中点，则P A →＋PB →＝PD →，所以PD →＝－PC →，又PD →＝2PM →，所以|PC →|＝2|PM →|，所以P 为△ABC 的重心，故A 正确；对于B ，由P A →·PB →＝PB →·PC →，则P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，所以BP ⊥CA ，同理由P A →·PB →＝P A →·PC →，可得P A ⊥BC ，所以P 为△ABC的垂心，故B 错误；对于C ，在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使AE →＝AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE→|＝|AF →|＝1，以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，连接AG ，则AG 为∠BAC 的角平分线，由AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在角平分线AG 上，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故C 错误；对于D ，若|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，则点P 到△ABC 的顶点的距离相等，所以P 为△ABC 的外心，故D 正确.故选AD. 答案 AD专练(三) 三角函数、解三角形多选题1.已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称B.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 C.函数f (x )的最小正周期是π D.函数f (x )的值域为[－2，2]解析 对于A ，函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，因为f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π4≠f ⎝⎛⎭⎫3π4，所以函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，cos x >0，所以f (x )＝2cos x sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，故B 正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝f ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫π3≠f ⎝⎛⎭⎫4π3，所以函数f (x )的最小正周期不是π，故C 错误；对于D ，当cos x ≥0时，f (x )＝2cos x sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，其最大值为2，最小值为－2，当cos x <0时，f (x )＝－2cos x sin x ＋sin 2x ＝0，所以函数f (x )的值域为[－2，2]，故D 正确.故选BD. 答案 BD2.已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( ) A.cos(β－α)＝12B.cos(β－α)＝－12C.β－α＝π3D.β－α＝－π3解析 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∴A 正确，B 错误.∵α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α， ∴β－α＝π3，∴C 正确，D 错误.故选AC.答案 AC3.已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移4π3个单位长度D.向右平移4π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6，又P ⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位时， 得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数，同理当f (x )向左平移4π3个单位时，得y ＝2cos x2为偶函数.答案 BC4.已知等边三角形ABC 的边长为3，点D 在BC 边上，且BD >CD ，AD ＝7.下列结论中正确的是( ) A.BDCD＝2 B.S △ABD S △ACD ＝2 C.cos ∠BAD cos ∠CAD＝2D.sin ∠BAD sin ∠CAD＝2解析 如图所示，∵点D 在BC 边上，且BD >CD ，∴BD >12BC ＝32，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos π3，整理得BD 2－3BD ＋2＝0，又BD >32，解得BD ＝2，∴CD ＝1，∴BDCD ＝2，故A 正确；∵S △ABD S △ACD ＝BDCD ＝2，故B 正确；由余弦定理得cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝277，同理可得cos ∠CAD ＝5714，则cos ∠BAD cos ∠CAD ＝277×1457＝45≠2，故C 错误；由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin π3＝CDsin ∠CAD ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝BD CD ＝2，故D 正确.故选ABD.答案 ABD专练(四) 数列多选题1.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，则下列说法正确的是( ) A.d <0 B.S 11>0 C.S 12<0D.数列{S n }中的最大项为S 11解析 由S 6>S 7，得S 7－S 6＝a 7<0.由S 7>S 5，得S 7－S 5＝a 6＋a 7>0.由S 6>S 5，得S 6－S 5＝a 6>0.对于A ，因为a 6>0，a 7<0，所以d <0，故A 正确；对于B ，因为S 11＝11a 6>0，故B 正确；对于C ，因为S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)>0，故C 错误；对于D ，因为a 6>0，a 7<0，所以数列{S n }中的最大项为S 6，故D 错误.故选AB. 答案 AB2.在等比数列{a n }中，公比q 为整数，S n 是数列{a n }的前n 项和.若a 1·a 4＝32，a 2＋a 3＝12，则下列说法正确的是( ) A.q ＝2B.数列{S n ＋2}是等比数列C.S 8＝510D.数列{lg a n }是公差为2的等差数列解析 因为{a n }为等比数列，且a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32.又a 2＋a 3＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 3＝4，q ＝12.又公比q 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2，即a n＝2n，S n＝2×（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.对于A ，由上可得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为S n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；对于C ，S 8＝29－2＝510，故C 正确；对于D ，lg a n＋1－lg a n ＝lg 2，即数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选ABC.答案 ABC3.已知数列{a n }满足a 1＝2，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋1)a n (n ∈N *)，则( ) A.a n ＝3n －1 B.a n ＝4n －2 C.S n ＝n 2D.S n ＝2n 2解析 由题意得a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1，所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝2·31·53·…·2n －12n －3＝4n －2，则数列{a n }为等差数列，即S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋4n －2）2＝2n 2，故选BD.答案 BD4.已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且S n ＝2(a n －a )(其中a 为常数)，则下列说法正确的是( )A.数列{a n }一定是等比数列B.数列{a n }可能是等差数列C.数列{S n }可能是等比数列D.数列{S n }可能是等差数列解析 由题意知，S n ＝2(a n －a )，S n －1＝2(a n －1－a )，n ∈N *，n ≥2，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1，n ≥2.若a ＝0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－0)，a 1＝0，则a n ＝0，此时是等差数列，不是等比数列，若a ≠0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－a )，a 1＝2a ，则a n ＝2a n －1，n ≥2，此时不是等差数列，所以数列{a n }不一定是等比数列，可能是等差数列，故A 错误，B 正确；又S n ＝2(a n －a )＝2(S n －S n －1－a )，n ≥2，n ∈N *，得S n ＝2S n －1＋2a ，若a ＝0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－0)，a 1＝0，则a n ＝0，S n ＝0，此时{S n }是一个所有项均为0的常数列，所以{S n }不可能为等比数列，所以C 错误，D 正确.故选BD. 答案 BD专练(五) 立体几何多选题1.已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( ) A.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B.若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n C.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α∥β解析 由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，A 正确；若m ∥α，α∩β＝n ，则m 与n 的位置关系不确定，B 不正确；由m ⊥α，m ⊥β，得α∥β，C 正确；由m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，得α⊥β，D 不正确.故选AC. 答案 AC2.(2020·青岛模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A.直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于π4B.点C 到平面ABC 1D 1的距离为22C.异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π4D.三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球的半径为32解析 对于A ，直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1＝π4，A 正确.对于B ，连接B 1C .因为B 1C ⊥平面ABC 1D 1，所以点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 的一半，即为22，B 正确.对于C ，因为BC 1∥AD 1，所以异面直线D 1C 和B 1C 所成的角为∠AD 1C .连接AC ，则△AD 1C 为等边三角形，则异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π3，C 错误.对于D ，因为A 1A ，A 1B 1，A 1D 1两两垂直，所以三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球也是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，所以外接球的半径r ＝12＋12＋122＝32，D 正确.故选ABD.答案 ABD3.(2020·东营调研)如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18，则当该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是( )A.棱锥的高与底面边长的比为22B.侧棱与底面所成的角为π4C.棱锥的高与底面边长的比为 2D.侧棱与底面所成的角为π3解析 如图，O 为正四棱锥S －ABCD 的底面中心，连接SO ，则SO 是正四棱锥S －ABCD 的高.设点E 为BC 的中点，连接OE ，SE .设该正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，则V S －ABCD ＝13a 2h ＝18，即h ＝54a 2，所以该正四棱锥的侧面积为4S △SBC ＝4×12BC ×SE ＝4×12a ×h 2＋a 24＝2a542a 4＋a 24＝a 4＋1082a 2.令f (a )＝a 4＋1082a 2(a >0)，则f ′(a )＝4a 3－2×1082a 3. 令f ′(a )＝0，得a ＝3 2.当a ∈(0，32)时，f ′(a )<0，f (a )单调递减，当a∈(32，＋∞)时，f′(a)>0，f(a)单调递增，所以当a＝32时，f(a)取得最小值，即该正四棱锥的侧面积最小，此时h＝3.所以棱锥的高与，A正确，C错误.底面边长的比为22，连接AO，则侧棱与底面所成的角为∠SAO，由a＝32，得AO＝3，而h＝3，所以∠SAO＝π4 B正确，D错误.故选AB.答案AB4.如图(1)，点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将此菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，如图(2)，则在翻折过程中，下列结论正确的有()A.MN∥BDB.MN∥平面ABDC.异面直线AC与MN所成的角为定值D.在二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径先变小后变大解析因为点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN为△BCD的中位线，所以MN∥BD，A正确.又因为MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，B正确.对于C，如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则AC⊥DO，AC⊥BO.因为BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BOD，所以AC⊥平面BOD，所以AC⊥BD.因为MN∥BD，所以AC⊥MN，即异面直线AC与MN所成的角为定值π，C正确.对于D，借助极限状态，当平面DAC与平面2ABC重合时，三棱锥D－ABC的外接球的球心是△ABC的外接圆的圆心，球的半径是△ABC 的外接圆的半径，当二面角D－AC－B逐渐变大时，球心离开平面ABC，但是球心在平面ABC 的投影仍然是△ABC的外接圆的圆心，所以二面角D－AC－B不为0时，外接球的半径一定大于△ABC的外接圆的半径，故二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径不可能先变小后变大，D错误.答案ABC专练(六)概率与统计多选题1.(2020·济南一模)原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势，下面是2008年至2019年国际原油价格高低的对比图.下列说法正确的是()A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶解析由折线统计图，知2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样价格波动超过100美元/桶，而其他年份都没有这么大，所以2008年原油价格波动幅度最大，A正确；2008年至2019年，原油价格平均值有起伏，B不正确；2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样2008年原油价格平均值在90美元/桶左右，而2013年原油价格最低大于100美元/桶，最高大于110美元/桶，接近120美元/桶，因此2013年原油价格平均值在110美元/桶左右，所以2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值，C正确；2013年、2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D不正确.故选AC. 答案AC2.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( ) A.该软件通过考核的概率为18B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D.该软件至多进入第三轮考核的概率为58解析 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)·P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A －3)＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＝56×35×14＝18，B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A －1)－P (A 1A －2)＝1－16－56×25＝12，C 不正确；该软件至多进入第三轮考核的概率为P (A －1＋A 1A －2＋A 1A 2A －3)＝P (A －1)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2A －3)＝16＋56×25＋56×35×14＝58，D 正确.故选ABD.答案 ABD3.已知随机变量X 的分布列如表所示，则当a 变化时，下列说法正确的是( )A.E (X )随着a 的增大而增大B.E (X )随着a 的增大而减小C.D (X )随着a 的增大而减小D.D (X )随着a 的增大而增大解析 由题意知，E (X )＝0×13＋1×⎝⎛⎭⎫12－a ＋2a ＋3×16＝1＋a ，显然E (X )随着a 的增大而增大.D (X )＝(1＋a －0)2×13＋(1＋a －1)2×⎝⎛⎭⎫12－a ＋(1＋a －2)2×a ＋(1＋a －3)2×16＝－a 2＋a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋54，又12－a >0，a >0，所以0<a <12，所以D (X )随着a 的增大而增大，故选AD. 答案 AD4.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且每位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰有k 人骑行共享单车的概率为P (x ＝k )，则( )A.P (x ＝4)＝P (x ＝5)B.P (x ＝4)>P (x ＝5)C.P (x ＝5)>P (x ＝6)D.P (x ＝5)＝P (x ＝6)解析 由题意得，P (x ＝4)＝C 49⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫125，P (x ＝5)＝C 59⎝⎛⎭⎫125·⎝⎛⎭⎫124，P (x ＝6)＝C 69⎝⎛⎭⎫126⎝⎛⎭⎫123.因为C 49＝C 59，所以P (x ＝4)＝P (x ＝5)，故A 正确，B 错误.又C 59>C 69，所以P (x ＝5)>P (x ＝6)，故C 正确，D 错误.故选AC. 答案 AC专练(七) 解析几何多选题1.已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a 的可能取值是( ) A.－1B.1C.3D.5解析 由题意得两圆内切或外切，∴|O 1O 2|＝2＋1或|O 1O 2|＝2－1，∴|a |＝3或|a |＝1，∴a ＝±3，或a ＝±1.故选ABC. 答案 ABC2.设椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上任意一点，则下列结论正确的是( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝4 2 B.离心率e ＝62C.△PF 1F 2面积的最大值为4 2D.以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －22＝0相切解析 对于A ，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，所以A 正确.对于B ，依题意知a ＝22，b ＝2，c ＝2，所以e ＝c a ＝222＝22，所以B 不正确；或者由椭圆的离心率0<e <1知B不正确.对于C ，|F 1F 2|＝2c ＝4，当P 为椭圆短轴的端点时，△PF 1F 2的面积取得最大值，最大值为12×2c ·b ＝c ·b ＝4，所以C 错误.对于D ，以线段F 1F 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x ＋y －22＝0的距离为222＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －22＝0相切，所以D 正确.故选AD. 答案 AD3.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点.若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( ) A.双曲线的离心率为 3B.双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC.∠P AF 2＝45°D.直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点解析 因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a 2＋4c 2－4a 22·4a ·2c ＝32，解得c ＝3a ，所以e ＝3，故A 正确；e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝3，所以b 2a 2＝2，即b a＝±2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠P AF 2≠45°，故C 错误；联立直线方程与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x 2a 2－y 22a 2＝1，化简得7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，故D 正确.故选ABD. 答案 ABD4.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4解析 对于A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1相切，进而与直线x ＝－32相离，A 正确；对于B ，显然线段BM 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此B 错误；对于C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)·(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－4m 2＋4m 2＋1＝1，若设A (4a 2，4a )，则B ⎝⎛⎭⎫14a 2，－1a ，于是|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4a 2＋14a 2＋2≥4，|AB |的最小值为4；当AF →＝2FB →时，可得y 1＝－2y 2，4a ＝－2⎝⎛⎭⎫－1a ，所以a 2＝12，|AB |＝92.故选ACD. 答案 ACD专练(八) 函数与导数多选题1.若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( ) A.f (x )＝e x ＋e －x2B.g (x )＝e x －e －x2C.f (－2)<g (－1)D.g (－1)<f (－3)解析 因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②.联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x2，g （x ）＝ex－e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e4<0，所以g (－1)<f (－2)，g (－1)<f (－3)，故选AD.答案 AD2.若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中不具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 BCD3.已知函数f (x )对∀x ∈R ，满足f (x )＝－f (6－x )，f (x ＋1)＝f (－x ＋1).若f (a )＝ －f (2 020)，a ∈[5，9]，且f (x )在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是( ) A.f (3)＝0 B.a ＝8C.f (x )是周期为4的周期函数D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 因为f (x )＝－f (6－x )，所以f (3)＝－f (6－3)＝－f (3)，所以f (3)＝0，A 正确.由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，用x 代替－x ＋1后可得f (x )＝f (2－x )，则f (x )＝－f (6－x )＝f (2－x ).再由x 代替2－x 后可得f (x )＝－f (x ＋4)，则f (x ＋4)＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，因此函数f (x )是周期为8的周期函数，C 不正确.f (a )＝－f (2 020)＝－f (252×8＋4)＝－f (4)＝－f (6－2)＝f (2)＝f (1＋1)＝f (－1＋1)＝f (0)＝f (8).又a ∈[5，9]，且f (x )在[5，9]上为单调函数，所以a ＝8，B 正确.由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 不正确.故选AB. 答案 AB4.若0<x 1<x 2<1，则下列判断错误的是( ) A.e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B.e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C.x 2e x 1>x 1e x 2D.x 2e x 1<x 1e x 2解析 构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x ，故f (x )＝e x －ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x －ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0，1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，x 2e x 1>x 1e x 2，故选ABD. 答案 ABD。
2021届高考数学二轮复习常考题型大通关(全国卷理数)
2023届高考数学二轮复习常考题型大通关（全国卷理数） 解答题：解三角形1.在ABC △中，sin 3cos A B a b=． （1）求角B 的值；（2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．2.已知ABC △的内角,,A B C 对应的边分别为,,,33cos sin a b c a c B b C =+.（1）求角C 的大小；（2）如图，设P 为ABC △内一点，1,2,PA PB ==且π,APB ACB ∠+∠=求AC BC +的最大值.3.如图,平面四边形ABCD 中,30CAD BAD ∠=∠=︒(1)若75,10ABC AB ∠=︒=,且//AC BD ,求CD 的长；(2)若10BC =,求AC AB +的取值范围.4.在ABC △中, ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边, 且cos cos 2B b C a c=-+. (1)求角B 的大小;(2)若13b =4a c +=,求ABC △的面积.5.在 ABC △ 中, 角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c a =.(1)若sin 1sin sin A a b B C a c -=-+-求B ; (2) 若2c b =,当角B 最大时,求ABC △的面积.6.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sinsin 2A C a b A +=. (1)求B ； (2)若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围.7.已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c a c +=,2cos cos C B a c b-= (1)求b 的最小值;(2)若,2a b b <=,求πcos()6A +的值. 8.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,)cos cos a B b A ac +=,且sin2sin A A =.(1)求A 及a ；(2)若2b c -=,求BC 边上的高.答案以及解析1.答案：解：（1）∵sin A a ∴ 由正弦定理知：sin sin a b A B =∴ sin B B =，即有tan B =∵ 0πB <<∴ π3B =．（2）∵ 由（1）知，sin B ，a A =，2π3A C =- ∴112π2sin 2sin sin sin 222233ABC S ab C C C C C C C π⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯=-⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△π26C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．∴ ABC △∴ ABC △2.答案：（1）33cos sin a B b C =+，cos sin sin A C B B C =+，)cos sin sin B C C B B C +=+，cos sin cos )cos sin sin B C C B C B B C ++，cos sin sin ,tan B C B C C =∴=，又π(0,π),3C C ∈∴=. （2）由（1）与π,APB ACB ∠+∠=得2π3APB ∠=. 由余弦定理，得2222π2cos 14212cos73AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 又22222cos ()3AB AC BC AC BC ACB AC BC AC BC =+-⋅∠=+-⋅222()()324AC BC AC BC AC BC ++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 27AC BC ∴+（当且仅当AC BC =时取等号）.AC BC +∴的最大值为 3.答案：(1) 30,75CAD BAD ABC ︒︒=∠=∠=,可得45ACB ∠=,∴在ABC △中,由10sin 45sin60CB =,可得CB =在ABD △中, 30ADB BAD ∠∠==,10DB AB ==∴在BCD △中, 45510CD ==(2) 10AC AB BC +>=,22100cos602AB AC AB AC+-=⋅,可得2()1003AB AC AB AC +-=⋅, 而22AB AC AB AC +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭, 22()10032AB AC AB AC +-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭, 20AB AC +≤,故AB AC +的取值范围为(]10,20.4.答案：(1)∵cos cos 2B b C a c =-+,∴由正弦定理得cos sin cos 2sin sin B B C A C =-+, 即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=,∴2sin cos sin()0A B B C ++=.∵B C A π+=-,∴2sin cos sin 0A B A +=.∵sin 0A ≠,∴1cos 2B =-. ∵(0,π)B ∈,∴2π3B =.(2)将b =4a c +=,2π3B =代入2222cos b a c ac B =+-得11216212ac ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭, ∴3ac =,∴11sin 322ABC S ac B ==⨯△5.答案：(1)因为sin 1sin sin A a b B C a c -=-+-,所以得sin sin sin A b c a B C a c b c-==+-+ 得:2220a c b ac +--=,1cos 2B ∴=,B 为三角形的内角,π3B ∴=. (2)在ABC △中,2222cos ,2b a c ac B c b =+-=所以243cos 8b B b +=b =时將取等号 此时ππ,62B C ==所以S . 6.答案：(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A C B +=.由180A B C ++=︒,可得sin cos 22A CB +=,故cos 2sin cos 222B B B =. 因为cos 02B ≠,故1sin 22B ==,因此60B =︒.(2)由题设及(1)知ABC △的面积ABC S =△.由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2c A C a C C ︒-===+. 由于ABC △为锐角三角形,故090,090A C ︒<<︒︒<<︒.由(1)知120A C +=︒,所以3090C ︒<<︒,故122a <<,ABC S <△因此,ABC △面积的取值范围是⎝⎭. 7.答案：(1)由题意cos (2)cos b C a c B =-,由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =- 得 sin cos cos sin 2sin cos ,sin()2sin cos B C B C A B B C A B +=+= 因为 sin()sin(π)sin ,sin 0B C A A A +=-=≠ 所以1cos 2B =.因为0πB <<,所以 π3B = . 所以222229()3939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-= ⎪⎝⎭当且仅当 32a c ==时,等号成立,故b 的最小值为32.(2)因为,sin sin sin a b c a A A B C ===,c C =由3a c +=2πsin sin 33A A ⎤⎛⎫+-= ⎪⎥⎝⎭⎣⎦, 整理可得π3sin 64A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又π,3a b B <=,π3A ∴<,故πππ662A <+<,所以πcos 6A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭8.答案：(1))cos cos a B b A ac +=,根据正弦定理得,sin cos sin cos sin ,A B B A C +sin sin ,C C ∴=又因为sin 0,C ≠,a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴= 因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =, (0,),.3A A π∈π∴= (2)由(1)知,.3a A π== 由余弦定理得2222cos ,abc bc A =+- 2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+ 因为2b c -=,所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11sin 322ABC S bc A ∴==⨯△11,22ABC S ah =∴△h ∴即BC 边上的高为.。
高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3],则下列关于函数f(x)的说法正确的是()3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe xA.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减,无极小值C.有极大值3eD.有极小值3,无极大值e4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是()A.ln 2>2e B.ln 3<3eC.ln π>πe D.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)={2x+2,−2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可能是()A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax与直线y=2x-1相切,则a=.12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f(x)=e x-2x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则2a+b的最大值是.四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x的单调递增区间是[0,1],极大值是3e.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f(x)=a e x-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f(x)=a2ln x-1ax2-(a2-a)x(a≠0).2(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案及解析1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立,令g(x)=2x+1x (1<x<e),则g'(x)=2-1x2=2x2-1x2=(√2x+1)(√2x-1)x2>0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1−x)e x.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切于点P(x0,x0-a ln x0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1-ax ,则以P为切点的切线方程为y-x0+a ln x0=1-ax0(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+a ln x0=1-ax0(-x0),因此ln x0=1,即x0=e,所以k=1-ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A.5.A解析f'(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f'(1)=0, f(1)=6,即{6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6,解得{m=5,n=−18或{m=−2,n=3.当m=5,n=-18时,f'(x)=6x2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0, 则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析 由题得y'=cosx·e x -sinx·e x(e x )2=cosx-sinxe x.设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC 解析 函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:f (x ) 单调递减单调递增所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析 令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnx x,x>0,则g'(x )=1−lnx x 2,当0<x<e时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD .10.BC 解析 画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m-22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=e m+1-m-22m=m e m+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1.因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析 由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx-a e x的定义域为R ,f'(x )=cosx-sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx-a e x有极值,所以f'(x )=cosx-sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cosx=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减;当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a-b)x+b-ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1].所以有{a>0,2a-ba=1,b-c-a=0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x 2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e,所以f(1)=3ae =3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x 2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0, m2+m+1e m,m>x0.15.解 (1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a ≤0时,f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f (x )在区间(-∞,-ln a )上单调递减,在区间(-ln a ,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C 1:y 1=a e x 与曲线C 2:y 2=x 2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C 1,C 2分别切于点(x 1,a e x 1),(x 2,x 22),显然x 1≠x 2.由于y 1'=a e x,y 2'=2x ,所以a e x 1=2x 2=ae x 1-x 22x 1-x 2,因此2x 2x 1-2x 22=a e x 1−x 22=2x 2-x 22,所以2x 1x 2-x 22=2x 2,即x 2=2x 1-2.由于a>0,故x 2>0,从而x 2=2x 1-2>0,因此x 1>1.此时a=2x2e x 1=4(x 1-1)e x 1(x 1>1).设F (x )=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a 与曲线y=F (x )有且只有一个公共点.又F'(x )=4(2−x)e x,令F'(x )=0,解得x=2,所以F (x )在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F (2)=4e 2,F (1)=0,当x →+∞时,F (x )→0, 所以F (x )的值域为0,4e 2,故a=4e 2. 16.解 (1)由题意得,当a=1时,函数f (x )=ln x-12x 2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x )=1x -x=1−x 2x.令f'(x )>0,即1-x 2>0,得0<x<1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x )<0,即1-x 2<0,得x>1,所以f (x )在区间(1,+∞)上单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由题意,函数f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0)的定义域为(0,+∞),11且f'(x )=a 2x -ax-(a 2-a )=-a(x+a)(x-1)x .当a<0时,-a>0, ①若-1<a<0,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1或0<x<-a ;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f (x )在区间(1,+∞),(0,-a )上单调递增,在区间(-a ,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f (x )取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x )=(x-1)2x ≥0,此时函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,函数f (x )无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>-a 或0<x<1,令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得1<x<-a ,所以函数f (x )在区间(1,-a )上单调递减,在区间(0,1),(-a ,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。
2021年高考数学二轮复习(文数)讲义+测试：专题01集合、复数、算法(含答案解析)
2021年高考数学二轮复习(文数)讲义：专题01集合、复数、算法集合[题组练透]1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案为：C；解析：∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0,1,2}，∴A∩B={1,2}.2.设全集U={x∈Z||x|≤2}，A={x|x＋1≤0}，B={-2,0,2}，则(∁U A)∪B=( )A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-1,2]∪{-2}答案为：C；解析：因为U={x∈Z|-2≤x≤2}={-2，-1,0,1,2}，A={x|x≤-1}，所以∁U A={0,1,2}，又B={-2,0,2}，所以(∁U A)∪B={-2,0,1,2}.3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x2-3x＋2<0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，1)B.(-∞，1]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案为：D；解析：集合B={x|x2-3x＋2<0}={x|1<x<2}，由A∩B=B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.4.已知集合A={(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4答案为：A；解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(-1，-1)， (-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，共有9个.故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5.已知集合P={4,5,6}，Q={1,2,3}，定义P⊕Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )A.32B.31C.30D.以上都不对答案为：B；解析：由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25-1=31.快审题1.看到集合中的元素，想到元素代表的意义；看到点集，想到其对应的几何意义.2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集.准解题1.记牢集合的运算性质及重要结论(1)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.(2)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.(3)A∩(∁U A)=∅，A∪(∁U A)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=A⇔B⊆A.2.活用集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图法求解.避误区 1.在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x ∈N ，x ∈Z 等)致误. 2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.复 数[题组练透]1.计算：(1＋i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3＋iC.3-iD.3＋i 答案为：D ；解析：(1＋i)(2-i)=2-i ＋2i-i 2=3＋i.2.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( )A.-1B.0C.1D.2 答案为：C ；解析：∵a －i 1＋i =a －i 1－i 1＋i 1－i =a －12-a ＋12i 为纯虚数，∴a －12=0且a ＋12≠0，解得a=1.3.已知复数z 满足(2-i)z=i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案为：B ；解析：z=i ＋i 22－i =－1＋i 2－i =－1＋i 2＋i 2－i 2＋i =－3＋i 5=-35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，该点位于第二象限. 4.设z=1－i1＋i＋2i ，则|z|=( )A.0B.12C.1D. 2答案为：C ；解析：∵z=1－i 1＋i ＋2i=1－i 21＋i 1－i ＋2i=－2i2＋2i=i ，∴|z|=1.故选C.5.复数z 满足z(1-2i)=3＋2i ，则z =( )A.-15-85iB.-15＋85iC.75＋85iD.75-85i 答案为：A ；解析：由z(1-2i)=3＋2i ，得z=3＋2i 1－2i =3＋2i 1＋2i 1－2i 1＋2i =-15＋85i ，∴z =-15-85i.[题后悟通]快审题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简.2.看到复数z在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复数的分类条件.3.看到共轭复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z|=|a＋bi|=a2＋b2.准解题掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.算法[题组练透]1.“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为( )A.2B.3C.4D.5答案为：C；解析：执行程序框图，x=4，y=6，k=1，k=k＋1=2，x>y不成立，x=y不成立，y=y-x=2；k=k＋1=3，x>y成立，x=x-y=4-2=2；k=k＋1=4，x>y不成立，x=y成立，输出k=4.2.执行如图所示的程序框图，当输出的n的值等于5时，输入的正整数A的最大值为( )A.7B.22C.62D.63 答案为：D ；解析：第1次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝0＋1＝1，x ＝3×1－1＝2，n ＝1；第2次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝1＋2＝3，x ＝3×2－1＝5，n ＝2；第3次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝3＋5＝8，x ＝3×5－1＝14，n ＝3；第4次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝8＋14＝22，x ＝3×14－1＝41，n ＝4；第5次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝22＋41＝63，x ＝3×41－1＝122，n ＝5.因为输出的n=5，所以22<A ≤63，所以输入的正整数A 的最大值为63.3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和 答案为：D ；解析：由程序框图得，输出的S=(2×1-1)＋(2×3-1)＋(2×5-1)＋…＋(2×2 019-1)，可看作数列{2n-1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和.4.为计算S=1-12＋13-14＋…＋199-1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i=i ＋1B.i=i ＋2C.i=i ＋3D.i=i ＋4 答案为：B ；解析：由题意可将S 变形为S=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋...＋199-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (1100)则由S=N-T ，得N=1＋13＋…＋199，T=12＋14＋…＋1100.据此，结合N=N ＋1i ，T=T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i=i ＋2.故选B.快审题1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止.2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断.3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值.准 解 题 掌握程序框图2类常考问题的解题技巧 (1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i ＞n ？”或“i ＜n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可. [专题过关检测]一、选择题1.已知集合A={x|x=2k ＋1，k ∈Z}，B={x|-1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案为：B ；解析：依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B={1,3}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.计算：1＋2i1－2i =( )A.-45-35iB.-45＋35iC.-35-45iD.-35＋45i 答案为：D ；解析：1＋2i 1－2i =1＋2i 21－2i 1＋2i =－3＋4i 5=-35＋45i.3.已知i 为虚数单位，若复数z=a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a=( )A.-5B.-1C.-13D.-53答案为：D ；解析：z=a 1－2i ＋i=a 1＋2i 1－2i 1＋2i ＋i=a 5＋2a ＋55i ，∵复数z=a 1－2i ＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，∴-a 5=2a ＋55，解得a=-53.4.设全集U=R ，集合A={x|x ≥1}，B={x|(x ＋2)(x-1)<0}，则( ) A.A ∩B=∅ B.A ∪B=U C.∁U B ⊆A D.∁U A ⊆B 答案为：A ；解析：由(x ＋2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以B={x|-2<x<1}，则A ∩B=∅，A ∪B={x|x>-2}，∁U B={x|x ≥1或x ≤-2}，A ⊆∁UB ，∁U A={x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A. 5.已知复数z 满足z ＋|z|=3＋i ，则z=( )A.1-iB.1＋iC.43-iD.43＋i答案为：D ；解析：设z=a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z|=3＋i ，得a ＋bi ＋a 2＋b 2=3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z=43＋i.6.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a=( )A.0B.25C.50D.75 答案为：B ；解析：初始值：a=675，b=125，第一次循环：c=50，a=125，b=50； 第二次循环：c=25，a=50，b=25；第三次循环：c=0，a=25，b=0，此时不满足循环条件，退出循环. 输出a 的值为25.7.已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 答案为：B ；解析：∵x 2-x-2>0，∴(x-2)(x ＋1)>0，∴x>2或x<-1，即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x ≤2}.故选B.8.设全集U=R ，集合A={x|log 2x ≤2}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B=( ) A.(0,2) B.[2,4] C.(-∞，-1) D.(-∞，4] 答案为：A ；解析：集合A={x|log 2x ≤2}={x|0<x ≤4}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}={x|x ≤-1或x ≥2}， 则∁U B={x|-1<x<2}.所以A ∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2).9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填( )A.i ≥10?B.i ≥11?C.i ≤11?D.i ≥12? 答案为：B ；解析：执行程序框图，i=12，s=1；s=12×1=12，i=11；s=12×11=132，i=10. 此时输出的s=132，则判断框中可以填“i ≥11？”. 10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.5B.6C.7D.8 答案为：B ；解析：执行程序框图，第一步：n=12，i=1，满足条件n 是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n ＞123；第二步：n=8，不满足条件n 是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n ＞123； 第三步：n=31，不满足条件n 是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n ＞123； 第四步：n=123，满足条件n 是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n ＞123；第五步：n=119，不满足条件n 是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A.15B.16C.28D.25答案为：A ；解析：本题关键看清-1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由-1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.12.若复数z=1＋mi1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1，＋∞)D.(-∞，-1) 答案为：A ；解析：法一：因为z=1＋mi1＋i =1＋mi 1－i 1＋i 1－i =1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得-1<m<1.法二：当m=0时，z=11＋i =1－i 1＋i 1－i =12-12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13.执行如图所示的程序框图，如果输出的n=2，那么输入的a 的值可以为( )A.4B.5C.6D.7 答案为：D ；解析：执行程序框图，输入a ，P=0，Q=1，n=0，此时P ≤Q 成立，P=1，Q=3，n=1， 此时P ≤Q 成立，P=1＋a ，Q=7，n=2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P>Q ，所以1＋a>7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14.已知a 为实数，若复数z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i=( )A.1B.0C.iD.1-i 答案为：C ；解析：因为z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a=1，则有1＋i 2 0171－i =1＋i 1－i =1＋i 21＋i 1－i =i.15.沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛.沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式.图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层.某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A.i<n ？和S=S ＋a ·bB.i ≤n ？和S=S ＋a ·bC.i ≤n ？和S=a ·bD.i<n ？和S=a ·b 答案为：B ；解析：观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S=S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i=n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16.已知集合A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}，C=A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A.4B.7C.15D.16 答案为：C ；解析：因为B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}={(x ，y)|y=tan 2x}，函数y=tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象有4个交点.因为C=A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24-1=15，故选C. 二、填空题17.已知复数z=1＋3i2＋i ，则|z|=________.答案为：2;解析：法一：因为z=1＋3i 2＋i =1＋3i 2－i 2＋i 2－i =5＋5i5=1＋i ，所以|z|=|1＋i|= 2.法二：|z|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i =|1＋3i||2＋i|=105= 2.18.设全集U={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，集合M=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P={(x ，y)|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P)=________.答案为：{(2,3)}；解析：集合M={(x ，y)|y=x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}.则∁U (M ∪P)={(2,3)}.19.已知复数z=x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|=5，则z1＋i的共轭复数为________. 答案为：12-72i ；解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42=52，解得x=-3，∴z 1＋i =－3＋4i 1＋i =－3＋4i 1－i 1＋i 1－i =12＋72i ，故其共轭复数为12-72i. 20.已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B={1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B=∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素.(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A=________； (2)有序集合对(A ，B)的个数是________. 答案为：(1){6} (2)32；解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A={6}.(2)当集合A 中有1个元素时，A={6}，B={1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B)有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个；当集合A 中有6个元素时，A={1,2,3,4,5,7}，B={6}，此时有序集合对(A ，B)有1个. 综上可知，有序集合对(A ，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1=32.。
2021年高考数学二轮复习 专题5 第2讲 圆锥曲线素能训练(文、理)
2021年高考数学二轮复习 专题5 第2讲 圆锥曲线素能训练（文、理）一、选择题1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(12，1)[答案] C[解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即⎩⎨⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C.2．(文)(xx·合肥市第一次质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )A.5＋12 B.102 C.17＋14D.224[答案] A[解析] 依题意得2b 2a ＝2c ，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，(e －12)2＝54，又e >1，因此e －12＝52，e ＝5＋12，故选A.(理)(xx·新课标Ⅰ理，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x[答案] C[解析] e ＝c a ＝52 ∴c 2a 2＝54∴b 2＝54a 2－a 2＝a 24∴b a ＝12，即渐近线方程为y ＝±12x . 3．(文)(xx·湛江测试)从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C ．10 2D ．5 2[答案] A[解析] 抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，则|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，则S △PFM ＝12|PM |·|n |＝12×5×26＝5 6.(理)(xx·德州模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.53[答案] C[解析] 由条件知，|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |， |AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，∴|AB |＝43.4．(xx·河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF |等于( )A ．2 3B ．4 3 C.83 D ．4[答案] C[解析] 在△APF 中，|PA |＝|PF |，|AF |sin60°＝4，∴|AF |＝833，又∠PAF ＝∠PFA＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF |＝|BF |cos30°＝2|AF |cos30°＝83.5．(文)(xx·广东理，7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 [答案] B[解析] e ＝32，c ＝3，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5即双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.(理)(xx·保定市二模)已知点F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5[答案] B[解析] 由双曲线定义得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|， ∴|PF 2|2|PF 1|＝2a ＋|PF 1|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ，其中|PF 1|≥c －a .当c －a ≤2a 时，y ＝x＋4a 2x 在[c －a ，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c －a >2a ，即c >3a ⇒e >3，y ＝x ＋4a 2x在[c －a ，＋∞)上为增函数，故f (x )min ＝f (c －a )＝c －a ＋4a 2c －a＋4a ＝9a ，化简得10a 2－7ac＋c 2＝0，两边同除以a 2可得e 2－7a ＋10＝0，解得e ＝5或e ＝2(舍去)．6．(xx·新乡、许昌、平顶山二调)若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2| ( )A ．m 2－a 2B.m －aC.12(m －a ) D. (m －a )[答案] D[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a .二、填空题7．(xx·安徽理，13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 显然a >0，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°.∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0. ∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，则x 20－a ≠0. ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0. ∴x 20＝a －1，又x 20≥0. ∴a ≥1.8．(xx·长沙市模拟)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为________．[答案]5[解析] 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝|PF 1|2|PF 2|2＝5m ，因此双曲线的离心率为|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝ 5.9．(xx·湖南理，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C 、F 两点，则b a＝________.[答案]2＋1[解析] 由题可得C (a 2，－a )，F (a2＋b ，b )，∵C 、F 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝pa ，b 2＝2p a2＋b ，∴ab＝2＋1，故填2＋1. 三、解答题10．(文)(xx·厦门质检)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．[解析] (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由(1)知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∵∠F 1PF 2∈(0,180°)，∴∠F 1PF 2＝90°.(理)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，并且直线y ＝x ＋b 是抛物线y 2＝4x的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点S (0，－13)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝4x消去y 得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，因为直线y ＝x ＋b 与抛物线y 2＝4x 相切， 所以Δ＝(2b －4)2－4b 2＝0，解得b ＝1.因为e ＝c a ＝22，∴c 2a 2＝a 2－1a 2＝12，∴a 2＝2.故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋13)2＝(43)2.当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＋132＝432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.即两圆相切于点(0,1)，因此，所求的点T 如果存在，只能是(0,1)． 事实上，点T (0,1)就是所求的点，证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l 的方程为y ＝kx －13，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1消去y 得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.又因为TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，所以TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－43)＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0， 所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， 所以在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件.一、选择题11．(文)(xx·唐山市一模)双曲线x 2－y 2＝4左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 则a ＋b ＝ ( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4[答案] A[解析] 解法1：如图，双曲线x 24－y 24＝1的左顶点(－2,0)到直线y ＝x 的距离为2，又∵点(a ，b )为双曲线左支上的点，∴a ＝－2，b ＝0，∴a ＋b ＝－2.解法2：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，a 2－b 2＝4.∴a ＋b ＝－2.(理)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A ．3B ．2 C. 2 D. 3[答案] B[解析] 因为AB ⊥x 轴，又已知△ABE 是直角三角形，且显然AE ＝BE ，所以△ABE 是等腰直角三角形．所以∠AEB ＝90°.所以∠AEF ＝45°.所以AF ＝EF .易知A (－c ，b 2a)(不妨设点A 在x 轴上方)，故b 2a＝a ＋c .即b 2＝a (a ＋c )．得c 2－ax －2a 2＝0， 即e 2－e －2＝0，解得e ＝2，或e ＝－1(舍去)．故选B.12．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的中点横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] D[解析] 焦点F (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 中得，y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，∵AB 中点横坐标为3，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2＝6，∴m ＝±1，当m ＝1时，l ：y ＝x －1，代入y 2＝4x 中得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＝3－22，x 2＝3＋22，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝8，由对称性知m ＝－1时，结论相同．13．(文)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(13，12)B ．(25，12)C ．(13，25)D ．(12，1)[答案] C[解析] 设椭圆的半焦距为c ，长半轴长为a ，由椭圆的定义及题意知，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ＝10，得到a －c －5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<c5－c<2，∴52<c <103，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝c c ＋5＝1－5c ＋5，且13<1－5c ＋5<25，∴该椭圆的离心率的取值范围是(13，25)．(理)已知P 是椭圆x 225＋y 2b 2＝1，(0<b <5)上除顶点外的一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP →＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A ．6B ．4C ．2 D.52[解析] 如图，H 为PF 1的中点，F 2为右焦点，由|OF 1→＋OP →|＝8知，OH ＝4，∴PF 2＝8， ∴PF 1＝10－PF 2＝2，故选C.14．(文)(xx·乌鲁木齐诊断)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为( )A.13B.23 C.23 D.223[答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0， ∴|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，∴x 1＋2＝2x 2＋4， ∴x 1＝2x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝k x ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝8－4k2k2＝8k2－4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＋2x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0，∴x 2＝1，∴x 1＝4，∴8k 2－4＝5，∴k 2＝89，k ＝233. (理)(xx·唐山市二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1) D ．[32，1)[解析] 如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连结OP，则∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝2b，∴a≥2b，∴a2≤2c2，∴c2a2≥12，∴e≥22，又∵e<1，∴22≤e<1.二、填空题15．(xx·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案] x2＋32y2＝1[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋y2b2＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B点坐标为(－53c，－13b2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧－53c2＋－13b22b2＝1，b2＝1－c2，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝ 1.三、解答题16．(xx·银川一中检测)抛物线y 2＝4px (p >0)的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于N (x 0,0)，求证：x 0>3p ；(2)若直线l 的斜率分别为p ，p 2，p 3，…时，相应线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1，N 2，N 3，…，当0<p <1时，求1|N 1N 2|＋1|N 2N 3|＋…＋1|N 10N 11|的值． [解析] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋p )，代入y 2＝4px 中消去y 得，k 2x 2＋(2k 2p －4p )x ＋k 2p 2＝0，Δ＝4(k 2p －2p )2－4k 2·k 2p 2>0，得0<k 2<1. 令A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k 2p －4pk 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2p )＝4pk2，AB 的中点坐标为(2p －k 2p k 2，2p k )，AB 的垂直平分线方程为y －2p k ＝－1k (x －2p －k 2pk2)， 令y ＝0，得x 0＝k 2p ＋2p k 2＝p ＋2p k2， 由上可知0<k 2<1，∴x 0>p ＋2p ＝3p ，∴x 0>3p .(2)∵l 的斜率分别为p ，p 2，p 3，…时，对应线段AB 的中垂线与x 轴交点依次为N 1，N 2，N 3，…(0<p <1)，∴点N n 的坐标为(p ＋2p2n －1，0)， 那么|N n N n ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p ＋2p2n －1－p ＋2p2n ＋1＝21－p2p 2n ＋1，则1|N n N n ＋1|＝p 2n ＋121－p2， ∴1|N 1N 2|＋1|N 2N 3|＋…＋1|N 10N 11|＝121－p2(p 3＋p 5＋…＋p 21)＝121－p2·p 3[1－p 210]1－p2＝p 31－p 2021－p22. 17．(文)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .[解析] (1)依题意，得b ＝1. ∵e ＝c a ＝32，a 2－c 2＝b 2＝1，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 204＋y 20＝1.∵M 为线段PQ 中点，∴M (x 02，y 0)．又A (0,1)，∴直线AM 的方程为y ＝2y 0－1x 0x ＋1.∵x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝－1，得C (x 01－y 0，－1)．又B (0，－1)，N 为线段BC 的中点， ∴N (x 021－y 0，－1)．∴NM →＝(x 02－x 021－y 0，y 0＋1)．∴OM →·NM →＝x 02(x 02－x 021－y 0)＋y 0·(y 0＋1)＝x 204－x 2041－y 0＋y 20＋y 0＝(x 204＋y 2)－x 2041－y 0＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0，∴OM ⊥MN .(理)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)A (0,1)，F (a 2－1，0)， 直线AF ：xa 2－1＋y ＝1， 即x ＋y a 2－1－a 2－1＝0，∵AF 与⊙M 相切，圆心M (3,1)，半径r ＝3， ∴3a 2＝3，∴a ＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由AP →·AQ →＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1kx ＋1，将y ＝kx ＋1代入椭圆C 的方程， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝－6k1＋3k2，故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k21＋3k 2)．同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3)．所以直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 21＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2＝k 2－14k.则直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3，即y ＝k 2－14k x －12.所以直线l 过定点(0，－12)．W 726156 662C 昬y21160 52A8 动32491 7EEB 绫38127 94EF 铯tc22499 57E3 埣29197 720D 爍32322 7E42 繂395519A7F 驿€。
2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析
高考数学二轮复习专题练：第2讲数列求和及综合问题高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{a n}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋12＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋14， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋14＋a 1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝a 1＋⎝⎛⎭⎫34×12＋1＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×32＋3＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×52＋5＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×72＋7＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×92＋9＋14＋a 1＋⎝⎛⎭⎫34×112＋11＋14＋a 1＋ ⎝⎛⎭⎫34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 72.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1.所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案 －633.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设{}a n 的公比为q (q ＞1). 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12(舍去)，q ＝2.由题设得a 1＝2.所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n .(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.4.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3， 即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2.所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1， －2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n . 所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n ＝1－(－2)n 3－n ·(－2)n .所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n9.考 点 整 合1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝⎛⎭⎫－14n. (2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【训练1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1， ∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1.∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 热点二 数列求和 方法1 分组转化求和【例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【训练2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4， 所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n 2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝λ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝⎛⎭⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a nb n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －2＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝⎛⎭⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解. 2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n ＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1. 所以S n ＝94－10n ＋94×3n.选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意. 热点三 与数列相关的综合问题【例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n b n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1.(1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n＝21＋22＋23＋…＋2n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1） ＝12n－1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1， ∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.A 级 巩固提升一、选择题1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析 因为2n ＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C2.(2020·河北“五个一”名校联盟诊断)在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析 设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×1 010＝2 020. 答案 D3.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A.9998B.2C.9950D.99100解析 对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2， 则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎫1－1100＝9950. 答案 C4.(多选题)(2020·青岛质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列选项正确的为( ) A.数列{a n ＋1}是等差数列 B.数列{a n ＋1}是等比数列 C.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1 D.T n <1解析 由S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1，可化为a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).由a 1＝1，得a 1＋1＝2，则数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.由2n a n a n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，得T n＝1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1.所以A 错误，B ，C ，D 正确.故选BCD. 答案 BCD5.(多选题)(2020·烟台模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ·(－1)n （n ＋1）2，其前n 项和为S n ，且m ＋S 2 019＝－1 009，则下列说法正确的是( ) A.m 为定值B.m ＋a 1为定值C.S 2 019－a 1为定值D.ma 1有最大值解析 当n ＝2k (k ∈N *)时，由已知条件得a 2k ＋a 2k ＋1＝2k ·(－1)k (2k ＋1)，所以S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝a 1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a 1＋1 008－2 018＝a 1－1 010，所以S 2 019－a 1＝－1 010.m ＋S 2 019＝m ＋a 1－1 010＝－1 009，所以m ＋a 1＝1，所以ma 1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋a 122＝14，当且仅当m ＝a 1＝12时等号成立，此时ma 1取得最大值14.故选BCD. 答案 BCD 二、填空题6.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－27.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a 1＝________，a n ＝________. 解析 令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3(n ≥2).因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列. 故a n ＝－3n －1. 答案 －1 －3n －18.(2020·福州调研)已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________.解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得 －S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 又a n ＝2n ，∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50 ＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5. 答案 5 三、解答题9.(2020·合肥调研)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 10＝4，S 15＝30. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ；(2)记数列{2a n ＋4＋a n }的前n 项和为T n ，求满足T n ＞0的最小正整数n 的值. 解 (1)记数列{a n }的公差为d ，S 15＝30⇒15a 8＝30⇒a 8＝2，故d ＝a 10－a 810－8＝1，故a n ＝a 10＋(n －10)d ＝4＋n －10＝n －6，S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－5n ＋n （n －1）2＝n 22－11n2.(2)依题意，2a n ＋4＋a n ＝n －6＋2n －2 T n ＝(－5－4＋…＋n －6)＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝n （n －11）2＋2n －12， 当n ＝1时，T 1＝－1×10＋21－12＜0；当n ＝2时，T 2＝－2×9＋22－12＜0；当n ＝3时，T 3＝－3×8＋23－12＜0；当n ＝4时，T 4＝－4×7＋24－12＜0；当n ≥5时，n （n －11）2≥－15，2n －12≥312，所以T n ＞0.故满足T n ＞0的最小正整数n 的值为5.10.(2020·临沂模拟)甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道有关数列的题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知________. (1)判断S 1，S 2，S 3的关系；(2)若a 1－a 3＝3，设b n ＝n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <43.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. (1)解 由S 1，S 3，S 2成等差数列，得 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝2a 1＋a 1q ， 解得q ＝－12或q ＝0(舍去).若乙同学记得的缺少的条件是正确的，则公比q ＝－12.所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1－12a 1＝12a 1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1－12a 1＋14a 1＝34a 1，可得S 1＋S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列.(2)证明 由a 1－a 3＝3，可得a 1－14a 1＝3，解得a 1＝4，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12n －1.所以b n ＝n 12|a n |＝n 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝23n ·⎝⎛⎭⎫12n. 所以T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ， 12T n ＝23⎝⎛⎭⎫1×14＋2×18＋3×116＋…＋n ×12n ＋1， 两式相减，得12T n ＝23⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋116＋…＋12n －n ·12n ＋1 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n ·12n ＋1， 化简可得T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n ＋22n ＋1.由1－n ＋22n ＋1<1，得T n <43.B 级 能力突破11.设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝（ln x ）na 2n ，若对任意的实数x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r (r ∈N *)，则r 的最小值为________.解析 由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n， 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *).又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2. 答案 212.(2020·衡水中学检测)等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c na n ＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和.解 (1)依题意得b 23＝b 2b 4， 所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2.∴a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，所以q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，∴b n ＝4×2n －2＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n . 因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n ＝2n ＋1①当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n ②由①－②得，c n a n ＝2n ，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2.故S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021 ＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021设T 2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021③， 则2T 2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022④， 由③－④得：－T 2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022 ＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T 2 020＝2 019×22 022＋4， 所以S 2 020＝T 2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。
安徽2021届高考数学二轮复习之能力专项训练1Word版含答案
专题检测卷(一)A 组 一、选择题1.下列命题中是假命题的是( )(A)∃x ∈R ，x 3＜0(B)“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件(C)∀x ∈R ，2x＞0(D)“a ·b >0”是“a ，b 的夹角为锐角”的充要条件 2.(2022·湖北高考)命题“∃x 0∈，R Q x 03∈Q ”的否定是( ) (A)300x x ∃∉∈，RQ Q(B)300x ,x ∃∈∉R Q Q (C)3x ,x ∀∉∈R Q Q (D)3x ,x ∀∈∉R Q Q3.命题“若a>b,则2a>2b”的否命题是( )(A)若a>b,则2a≤2b(B)若2a >2b,则a>b(C)若a ≤b,则2a ≤2b(D)若2a≤2b,则a ≤b4.(2022·宜昌模拟)已知条件p:不等式x 2+mx+1＞0的解集为R ；条件q:指数函数f(x)=(m+3)x 为增函数，则p 是q 的( ) (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件5.设A={1,2,3},B={x|x ⊆A}，则下列关系表述正确的是( ) (A)A ∈B (B)A ∉B (C)A ⊇B (D)A ⊆B6.(2022·黄石模拟)已知全集U=R ，集合A={x|-2≤x ＜0}，B={x|2x-1＜14},则R(A ∩B)=( )(A)(-∞,-2)∪［-1，+∞) (B)(-∞，-2］∪(-1，+∞)(C)(-∞，+∞)(D)(-2，+∞)7.给出命题：若直线l 与平面α内任意一条直线垂直，则直线l 与平面α垂直，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)08.若“0＜x ＜1”是“(x-a)［x-(a+2)］≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞，0］∪［1，+∞)(B)(-1，0)(C)［-1，0］(D)(-∞，-1)∪(0，+∞)9.(2022·山东高考)设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为;2π命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x=2π对称,则下列推断正确的是( )(A)p 为真 (B)﹁q 为假(C)p ∧q 为假 (D)p ∨q 为真10.定义差集A-B={x|x ∈A,且x ∉B}，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为( )二、填空题11.命题p :x R,∀∈函数f(x)=22cos x 3sin 2x 3,+≤则p:⌝____________. 12.(2022·咸宁模拟)设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4}，A ∩B=3，则实数a 的值是______.13.若命题“∃x ∈R,2x 2-3ax+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是______.14.给出下列四个结论：①“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题是真命题；②设x ，y ∈R,则“x ≥2或y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a (x+1)+1(a ＞0且a ≠1)的图象必过点(0，1)；④已知ξ听从正态分布N(0，σ2),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ＞2)=0.2. 其中正确结论的序号是________(填上全部正确结论的序号). B 组一、选择题1.(2022·新课标全国卷)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x,y)|x ∈A,y ∈A,x-y∈A},则B 中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)102.(2022·黄冈模拟)命题“∀x ∈［1，2］，x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )(A)a ≥4 (B)a ≤4 (C)a ≥5 (D)a ≤53.(2022·孝感模拟)已知全集U=R ，集合A={1,2,3,4,5}，B=［2，+∞)，则图中阴影部分所表示的集合为( )(A){0，1，2} (B){0，1} (C){1，2} (D){1}4.(2022·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )(A)任意一个有理数，它的平方是有理数(B)任意一个无理数，它的平方不是有理数(C)存在一个有理数，它的平方是有理数(D)存在一个无理数，它的平方不是有理数5.若全集U=R ，集合A={x||2x+3|＜5},B={x|y=log 3(x+2)}，则U (A ∩B)=( ) (A){x|x ≤-4或x ≥1}(B){x|x ＜-4或x ＞1}(C){x|x ＜-2或x ＞1}(D){x|x ≤-2或x ≥1}6.对于非空集合A ，B,定义运算：A B ⊕={x|x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B},已知M={x|a ＜x＜b},N={x|c ＜x ＜d}，其中a ，b ，c ，d 满足a+b=c+d,ab ＜cd ＜0,则M N ⊕=( )(A)(a ，d)∪(b ，c) (B)(c ，a ］∪［b ，d)(C)(a ，c ］∪［d ，b) (D)(c ，a)∪(d ，b)7.已知p:2x1,x 1<- q:(x-a)(x-3)>0,若p q ⌝⌝是的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)［1,3］ (C)［1,+∞) (D)［3,+∞)8.(2022·湖北高考)已知集合A={x|x 2-3x+2=0，x ∈R}，B={x|0＜x ＜5,x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)49.已知集合A ＝{x|-a ＜x ＜a}，其中a ＞0.命题p:1∈A ，命题q:2∈A.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( ) (A)0＜a ＜1或a ＞2 (B)0＜a ＜1或a ≥2(C)1＜a ≤2 (D)1≤a ≤210.下列命题：①函数f(x)=x 2－2x+3,x ∈［-2,0］的最小值为2；②线性回归方程对应的直线y bx a =+至少经过其样本数据点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个点；③命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x+1<0，则p :⌝∀x ∈R ,均有x 2+x+1≥0；④若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a+5,方差为b+25.其中，错误命题的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题11.集合M={x|x x 1-＞0},集合N={y|y=12x } ，则M ∩N=______.12.下列选项叙述错误的是______.①命题“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x+2=0,则x=1” ②若命题p ：∀x ∈R,x 2+x+1≠0，则p ⌝∃：x ∈R ，x 2+x+1=0 ③若p ∨q 为真命题，则p,q 均为真命题 ④“x ＞2”是“x 2-3x+2＞0”的充分不必要条件13.某班有同学60人，其中体育爱好者有32人，电脑爱好者有40人，还有7人既不爱好体育也不爱好电脑，则班上既爱好体育又爱好电脑的同学有____人. 14.(2022·武汉模拟)由命题“存在x ∈R ，使e |x-1|-m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(-∞，a)，则实数a 的值是______.答案解析A 组1.【解析】选D.当a ，b 的夹角为0时，a ·b >0，故选D.2.【解析】选D.该特称命题的否定为“3x ,x ∀∈∉R Q Q”.3.【解析】选C.“a>b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b ”的否定是“2a ≤2b ”，故否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b ”.4.【解析】选C.由于不等式x 2+mx+1＞0的解集为R ，故有m 2-4＜0,∴-2＜m ＜2.又由于指数函数f(x)=(m+3)x 为增函数，所以m+3＞1，m ＞-2，故p ⊆q,p ≠q ，故选答案C.5.【解析】选A.由题意知B={,∅{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，故A∈B.6.【解析】选A.B={x|x＜-1},∴A∩B={x|-2≤x＜-1},∴R(A∩B)=(-∞,-2)∪［-1,+∞).7.【解析】选A.依据线面垂直的定义可知，原命题正确，所以逆否命题也正确；命题的逆命题为：若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意一条直线垂直，正确，所以否命题也正确，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是3,故选A.8.【解析】选C.(x-a)［x-(a+2)］≤0⇒a≤x≤a+2,由集合的包含关系知：a0a21≤⎧⎨+≥⎩，，⇒a∈［-1，0］.【方法技巧】依据充要性求参数取值范围的策略(1)简化条件与结论;(2)依据条件与结论的关系,得到集合间的包含关系;(3)依据集合间的包含关系列不等式(组)求解.9.【解析】选C.函数y=sin 2x的最小正周期为T=22π=π，所以命题p假，函数y=cos x的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称，所以命题q假，q⌝为真，p∨q为假.10.【解析】选A.如图所示，A-B表示图中阴影部分，故C-(A-B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A. 11.【解析】全称命题的否定是特称命题,故p:x R,⌝∃∈函数f(x)=22cos x3sin 2x 3.＞答案：∃x∈R,函数f(x)=22cos x3sin 2x+＞312.【解析】由题意知，a2+4＞3,故a+2=3,即a=1.阅历证，a=1符合题意.答案：113.【解析】由于“2x R,2x3ax90∃∈-+<”为假命题，则“2x R,2x3ax90∀∈-+≥”为真命题.因此Δ=9a2-4×2×9≤0,故22a2 2.-≤≤答案：22a22-≤≤14.【解析】①的逆命题为：“若a＜b,则am2＜bm2”，当m=0时，命题不成立.依据充分条件和必要条件的推断可知②正确.当x=0时,y=log a1+1=1,所以函数图象恒过定点(0，1),所以③正确；依据正态分布的对称性可知P(-2≤ξ≤0)=P(0≤ξ≤2),P(ξ＞2)=P(ξ＜-2),所以P(ξ＞2)=12P(20)10.822--≤ξ≤-==0.1,所以④错误，所以正确的结论有②③.答案：②③B组1.【解析】选D.利用集合的概念及其表示求解，留意元素的特性.∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}. ∴B 中所含元素的个数为10.2.【解析】选C.若命题为真，则a ≥x 2,故a ≥4为充要条件，充分不必要条件为a ≥5.3.【解析】选D.阴影部分的元素x ∈A 且x ∉B ，即A ∩U B,选项D 符合要求.4.【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题可知否定为任意一个无理数，它的平方不是有理数.5.【解析】选D.A={x||2x+3|＜5}={x|-4＜x ＜1},B={x|y=log 3(x+2)}={x|x+2＞0}={x|x ＞-2}, 所以A ∩B={x|-2＜x ＜1},所以U (A ∩B)={x|x ≥1或x ≤-2},故选D.6.【解析】选C.由题意得：a ＜c ＜0＜d ＜b,所以M ⊕N=(a ，c ］∪［d ，b).也可以利用举特例：如a=-5,b=4,c=-3,d=2.【易错提示】解答本题时易因搞不清a ，b ，c ，d 的关系而无法求解，错误的缘由是不理解条件a+b=c+d,ab ＜cd ＜0所致.7.【解析】选 C.2x 1x 1--<0⇒x 1x 1+-<0⇒(x-1)(x+1)<0⇒p:-1<x<1;当a ≥3时，q:x<3或x>a ；当a<3时，q:x<a 或x>3.p q ⌝⌝是的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q p ，可推出a 的取值范围是a ≥1. 8.【解析】选D.由题意可得，A={1,2}，B={1，2，3，4}.又∵A ⊆C ⊆B ，∴C={1,2}或{1,2,3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故选D. 9.【解析】选C.由已知得p 真q 假，即1∈A 且2∉A ，故1＜a ≤2，故选C. 10.【解析】选D.函数在［－2,0］上的最小值为f(0)=3，所以①不正确.线性回归方程对应的直线y bx a =+肯定过(x,y )，不肯定过样本点，所以②不正确.③正确.x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a+5,方差为b ，所以④不正确，所以错误的命题个数为3，故选D.11.【解析】M={x|x<0或x>1}，N={y|y ≥0}， ∴M ∩N=(1,+∞). 答案：(1,+∞)12.【解析】若p ∨q 为真命题，则p,q 中至少有一个真即可，③错误; ①②④正确. 答案：③13.【解析】设既爱好体育又爱好电脑的同学有x 人，画出Venn 图，易得(32-x)+x+(40-x)+7=60. 解之得x=19.答案：1914.【解析】由于命题“存在x ∈R ，使e |x-1|-m ≤0”是假命题，所以其否定为真命题，即对于任意x ∈R ，e |x-1|-m ＞0成立，即m ＜e |x-1|恒成立，即m 小于函数y=e |x-1|的最小值即可.e|x-1|≥1，∴m＜1，结合已知条件可得a=1. 答案：1。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析
高考数学二轮复习专题练：热点专练2 不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，B 错； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，C 错； 由a <b <0，∴a 2>ab >b 2，D 正确. 答案 D2.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A.2B.－2C.－12D.12解析 依题意，－1与－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，且a <0，∴－1×⎝⎛⎭⎫－12＝ (－1)×1a ，则a ＝－2.答案 B3.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14解析 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 答案 B4.(2020·日照检测)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是( ) A.－4B.－2C.2D.4解析 由题意得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，∴1≥22x ＋y ，∴14≥2x ＋y ，∴2－2≥2x ＋y ，∴x ＋y ≤－2.∴x ＋y 的最大值为－2. 答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析 由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为( )A.2 2B.2 3C.4 2D.4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝43， 当且仅当2xy ＝6xy， 即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时取等号.∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案 D7.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16B.9C.4D.2解析 在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4. 答案 C8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x ∈[1，5]，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x (a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值为( ) A.9B.10C.11D.12解析 已知当x ∈[1，5]时，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x 恒成立，则－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x ，令f (x )＝－x 2＋2x (1≤x ≤5)，g (x )＝－x 2＋6x (1≤x ≤5)，作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，要使b 最大，且满足－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x (1≤x ≤5)，则直线y ＝ax ＋b 必过(1，5)，且与函数y ＝f (x )的图象相切于点B .易得此时b ＝5－a ，此时的直线方程为y ＝ax ＋5－a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋5－a ，y ＝－x 2＋2x ，得x 2＋(a －2)x ＋5－a ＝0.∴Δ＝(a －2)2－4(5－a )＝0，解得a ＝－4或a ＝4(舍去)，∴b max ＝5－(－4)＝9.故选A. 答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.(2020·德州模拟)对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，则ac <bc B.若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C.若c >a >b >0，则a c －a >bc －bD.若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0解析 若c >0，则由a >b 得ac >bc ，A 错；若a <b <0，则a 2>ab ，ab >b 2，a 2>ab >b 2，B 正确；若c >a >b >0，则c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0，∴a c －a >bc －b ，C 正确；若a >b ，且a ，b 同号，则有1a <1b ，因此由a >b ，1a >1b 得a >0，b <0，D 正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤ 3 B.(a ＋b ＋c 2)≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D.a 2＋b 2＋c 2≥1解析 由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD. 答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最小值4 B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D.a 2＋b 2有最小值12解析 对于A ，因为a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，所以有1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时取等号)，故A 正确；对于B ，因为a ，b 是正实数，所以有1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故B 不正确；对于C ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤（a ）2＋（b ）22＝12，即a ＋b ≤2(当且仅当a ＝b 时取等号)，故C 正确；对于D ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9解析 对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 答案 BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.答案 1414.(2020·深圳统测)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则xy 的最小值为________，实数m 的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，∴2x ＋1y ＝1，∴1＝2x ＋1y ≥22x ·1y，∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，∴x ＋2y ＝xy ≥8，∴m 2＋2m <8，解得－4<m <2. 答案 8 (－4，2)15.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 解析 法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.法二 设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.答案 45。
高考数学二轮复习专题过关检测—数列(含解析)
高考数学二轮复习专题过关检测—数列一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·内蒙古包头一模)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1-a n -2=0,则a 5+a 6+…+a 14=( ) A.180B.190C.160D.1202.(2021·北京朝阳期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=( ) A.52B.53C.10D.153.(2021·湖北荆州中学月考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S10S 5=12,则S15S 5=( )A.12B.13C.23D.344.(2021·北京师大附属中学模拟)我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图),从左至右依次为:c ,#c ,d ,#d ,e ,f ,#f ,g ,#g ,a ,#a ,b ,c 1的音频恰成一个公比为√212的等比数列的原理,也即高音c 1的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音a 的频率为440 Hz,则频率为220√2 Hz 的音名是( )A.dB.fC.eD.#d5.(2021·四川成都二诊)已知数列{a n}的前n项和S n=n2,设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n,则T20的值为()A.1939B.3839C.2041D.40416.(2021·河南新乡二模)一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为()A.39B.45C.48D.517.(2021·陕西西安铁一中月考)在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n(n∈N*)的整数,则其余整数的和是()A.3 928B.4 024C.4 920D.4 9248.已知函数f(n)={n2,n为奇数,-n2,n为偶数,且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 200二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021·辽宁沈阳三模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=4n-1+t,则()A.首项a1不确定B.公比q=4C.a2=3D.t=-1410.(2021·山东临沂模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d=1.若a1+3a5=S7,则下列结论一定正确的是()A.a5=1B.S n的最小值为S3C.S1=S6D.S n存在最大值11.已知数列{a n}是等差数列,其前30项和为390,a1=5,b n=2a n,对于数列{a n},{b n},下列选项正确的是() A.b10=8b5 B.{b n}是等比数列C.a1b30=105D.a3+a5+a7a2+a4+a6=20919312.(2021·广东广州一模)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第n(n∈N*)次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2.记a n=1+x1+x2+…+x k+2,数列{a n}的前n项和为S n,则()A.k+1=2nB.a n+1=3a n-3C.a n =32(n 2+3n )D.S n =34(3n+1+2n-3) 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·山西太原检测)在等差数列{a n }中,若a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,则a 1+a 1 011+a 2 021等于 .14.(2021·江苏如东检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -2,则数列{log 2a n }的前n 项和T n = .15.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 .16.(2021·新高考Ⅰ,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm ×12 dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm ×12 dm,20 dm ×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240 dm 2,对折2次共可以得到5 dm ×12 dm,10 dm ×6 dm,20 dm ×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180 dm 2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n 次,那么∑k=1nS k =dm 2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n },a 4=116,a 5a 7=256. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{|log 2a n |}的前n 项和.18.(12分)(2021·全国甲,理18)已知数列{a n}的各项均为正数,记S n为{a n}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.19.(12分)(2021·山东济宁二模)已知数列{a n}是正项等比数列,满足a3是2a1,3a2的等差中项,a4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n log2a2n+1,求数列{b n}的前n项和T n.20.(12分)(2021·山东临沂一模)在①S nn =a n+12,②a n+1a n=2S n,③a n2+a n=2S n这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且满足.(1)求a n;(2)若b n=(a n+1)·2a n,求数列{b n}的前n项和T n.21.(12分)(2021·山东泰安一中月考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a 辆.(1)求经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n );(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a 的最小值.22.(12分)(2021·广东广州检测)已知数列{a n }满足a 1=23,且当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2.(1)求证:数列{11−a n}是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)记T n =12a 1a 2…a n ,S n =T 12+T 22+…+T n 2,求证:当n ∈N *时,a n+1-23<S n .答案及解析1.B 解析 因为a n+1-a n =2,a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公差为2的等差数列.所以a n =2+(n-1)×2=2n.设{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n(2+2n)2=n 2+n.所以a 5+a 6+…+a 14=S 14-S 4=190.2.C 解析 因为等比数列{a n }的各项均为正数,且a 3=9,所以log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+log 3a 4+log 3a 5=log 3(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 3(a 35)=log 3(95)=log 3(310)=10.3.D 解析 由题意可知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列.∵S 10S 5=12,∴设S 5=2k ,S 10=k ,k ≠0,∴S 10-S 5=-k ,∴S 15-S 10=k2,∴S 15=3k2,∴S 15S 5=3k22k =34. 4.D 解析 因为a 的音频是数列的第10项,440=220√2×212=220√2×(2112)10−4,所以频率为220√2 Hz 是该数列的第4项,其音名是#d.5.C 解析 当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1.而a 1=1也符合a n =2n-1,所以a n =2n-1.所以1an a n+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以T n =12(1−13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=121-12n+1=n2n+1,所以T 20=202×20+1=2041. 6.D 解析 设该数列为{a n },依题意,可知a 5,a 6,…成等差数列,且公差为2,a 5=5.设塔群共有n 层,则1+3+3+5+5(n-4)+(n-4)(n-5)2×2=108,解得n=12.故最下面三层的塔数之和为a 10+a 11+a 12=3a 11=3×(5+2×6)=51.7.D 解析 由2n ∈[1,100],n ∈N *,可得n=1,2,3,4,5,6,所以21+22+23+24+25+26=2×(1−26)1−2=126.又1+2+3+ (100)100×1012=5 050,所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2n (n ∈N *)的整数,其余整数的和为5 050-126=4 924.8.B 解析 由已知得当n 为奇数时,a n =n 2-(n+1)2=-2n-1,当n 为偶数时,a n =-n 2+(n+1)2=2n+1.所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=-3+5-7+…+201=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)=2×50=100.9.BCD 解析 当n=1时,a 1=S 1=1+t ,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(4n-1+t )-(4n-2+t )=3×4n-2.由数列{a n }为等比数列,可知a 1必定符合a n =3×4n-2, 所以1+t=34,即t=-14.所以数列{a n }的通项公式为a n =3×4n-2,a 2=3, 数列{a n }的公比q=4.故选BCD . 10.AC 解析 由已知得a 1+3(a 1+4×1)=7a 1+7×62×1,解得a 1=-3.对于选项A,a 5=-3+4×1=1,故A 正确.对于选项B,a n =-3+n-1=n-4,因为a 1=-3<0,a 2=-2<0,a 3=-1<0,a 4=0,a 5=1>0,所以S n 的最小值为S 3或S 4,故B 错误.对于选项C,S6-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4,又因为a4=0,所以S6-S1=0,即S1=S6,故C正确.对于选项D,因为S n=-3n+n(n-1)2=n2-7n2,所以S n无最大值,故D错误.11.BD解析设{a n}的公差为d,由已知得30×5+30×29d2=390,解得d=1629.∴a n=a1+(n-1)d=16n+12929.∵b n=2a n,∴b n+1b n =2a n+12a n=2a n+1-a n=2d,故数列{b n}是等比数列,B选项正确.∵5d=5×1629=8029≠3,∴b10b5=(2d)5=25d≠23,∴b10≠8b5,A选项错误.∵a30=a1+29d=5+16=21,∴a1b30=5×221>105,C选项错误.∵a4=a1+3d=5+3×1629=19329,a5=a1+4d=5+4×1629=20929,∴a3+a5+a7a2+a4+a6=3a53a4=a5a4=209193,D选项正确.12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时k=1,第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时k=15,……第n次得到数列1,x1,x2,x3,…,x k,2,此时k=2n-1,所以k+1=2n,故A项正确.当n=1时,a 1=1+3+2=6,当n=2时,a 2=a 1+2a 1-3=3a 1-3,当n=3时,a 3=a 2+2a 2-3=3a 2-3,……所以a n+1=3a n -3,故B 项正确. 由a n+1=3a n -3,得a n+1-32=3(a n -32),又a 1-32=92,所以{a n -32}是首项为92,公比为3的等比数列,所以a n -32=92×3n-1=3n+12,即a n =3n+12+32,故C 项错误.S n =(322+32)+(332+32)+…+(3n+12+32)=343n+1+2n-3,故D 项正确.13.15 解析 因为a 2,a 2 020为方程x 2-10x+16=0的两根,所以a 2+a 2 020=10.又{a n }为等差数列,所以a 1+a 2 021=a 2+a 2 020=2a 1 011=10,即a 1 011=5. 所以a 1+a 1 011+a 2 021=3a 1 011=15. 14.n(n+1)2解析 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-2,两式相减,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1.当n=1时,可得a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n =2n . 所以log 2a n =n ,所以T n =n(n+1)2.15.3n 2-2n 解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{a n }是以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n }的前n 项和为S n =n×1+n(n-1)2×6=3n 2-2n.16.5 240(3−n+32n) 解析 对折3次共可以得到52 dm ×12 dm,5 dm ×6 dm,10 dm ×3 dm,20dm ×32dm 四种规格的图形,面积之和S 3=4×30=120 dm 2;对折4次共可以得到54 dm ×12 dm,52dm ×6 dm,5 dm ×3 dm,10 dm ×32dm,20 dm ×34dm 五种规格的图形,S 4=5×15=75 dm 2.可以归纳对折n 次可得n+1种规格的图形,S n =(n+1)·2402ndm 2.则∑k=1nS k =S 1+S 2+…+S n =240221+322+423+…+n+12n . 记T n =221+322+423+…+n+12n , ① 则12T n =222+323+…+n2n +n+12n+1.②①与②式相减,得T n -12T n =12T n =221+122+123+…+12n −n+12n+1=32−n+32n+1. 故T n =3-n+32n .故∑k=1nS k =240·T n =240(3−n+32n).17.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).由等比数列的性质可得a 5a 7=a 62=256,因为a n >0,所以a 6=16.所以q 2=a6a 4=256,即q=16.所以a n =a 6q n-6=16×16n-6=16n-5. (2)由(1)可知log 2a n =log 216n-5=4n-20,设b n =|log 2a n |=|4n-20|,数列{b n }的前n 项和为T n . ①当n ≤5,且n ∈N *时,T n =n(16+20-4n)2=18n-2n 2;②当n ≥6,且n ∈N *时,T n =T 5+(4+4n-20)(n-5)2=18×5-2×52+(2n-8)(n-5)=2n 2-18n+80.综上所述,T n={18n-2n2,n≤5,且n∈N*,2n2-18n+80,n≥6,且n∈N*.18.证明若选①②⇒③,设数列{a n}的公差为d1,数列{√S n}的公差为d2.∵当n∈N*时,a n>0,∴d1>0,d2>0.∴S n=na1+n(n-1)d12=d12n2+(a1-d12)n.又√S n=√S1+(n-1)d2,∴S n=a1+d22(n-1)2+2√a1d2(n-1)=d22n2+(2√a1d2-2d22)n+d22-2√a1d2+a1,∴d12=d22,a1-d12=2√a1d2-2d22,d22-2√a1d2+a1=0,∴d22=d12,d2=√a1,即d1=2a1,∴a2=a1+d1=3a1.若选①③⇒②,设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,则d=2a1,所以S n=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)a1=n2a1,所以√S n−√S n-1=n√a1-(n-1)√a1=√a1.所以{√S n}是首项为√a1,公差为√a1的等差数列.若选②③⇒①,设数列{√S n}的公差为d,则√S2−√S1=d,即√a1+a2−√a1=d.∵a2=3a1,∴√4a1−√a1=d,即d=√a1,∴√S n=√S1+(n-1)d=√a1+(n-1)√a1=n√a1,即S n =n 2a 1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2a 1-(n-1)2a 1=(2n-1)a 1, 当n=1时,a 1符合式子a n =(2n-1)a 1,∴a n =(2n-1)a 1,n ∈N *,∴a n+1-a n =2a 1, 即数列{a n }是等差数列.19.解 (1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q>0).因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项,所以2a 3=2a 1+3a 2,即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ,因为a 1≠0,所以2q 2-3q-2=0,解得q=2或q=-12(舍去).所以a 4=a 1q 3=8a 1=16,解得a 1=2.所以a n =2×2n-1=2n . (2)由(1)可知a 2n+1=22n+1,所以b n =(-1)n log 2a 2n+1=(-1)n log 222n+1=(-1)n (2n+1), 所以T n =(-1)1×3+(-1)2×5+(-1)3×7+…+(-1)n (2n+1), -T n =(-1)2×3+(-1)3×5+(-1)4×7+…+(-1)n+1·(2n+1), 所以2T n =-3+2[(-1)2+(-1)3+…+(-1)n]-(-1)n+1(2n+1)=-3+2×1−(−1)n-12+(-1)n (2n+1)=-3+1-(-1)n-1+(-1)n (2n+1)=-2+(2n+2)(-1)n ,所以T n =(n+1)(-1)n -1. 20.解 (1)若选①,则2S n =na n+1.当n=1时,2S 1=a 2,又S 1=a 1=1,所以a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=(n-1)a n ,所以2a n =na n+1-(n-1)a n ,即(n+1)a n =na n+1,所以an+1n+1=a n n(n ≥2).又a 22=1,所以当n ≥2时,an n =1,即a n =n.又a 1=1符合上式,所以a n =n.若选②,则当n=1时,2S 1=a 2a 1,可得a 2=2. 当n ≥2时,2S n-1=a n a n-1,可得2a n =a n a n+1-a n a n-1. 由a n >0,得a n+1-a n-1=2.又a 1=1,a 2=2,所以{a 2n }是首项为2,公差为2的等差数列,{a 2n-1}是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n =n.若选③,因为a n 2+a n =2S n ,所以当n ≥2时,a n-12+a n-1=2S n-1,两式相减得a n 2+a n -a n-12-a n-1=2a n ,即(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0.由a n >0,得a n -a n-1-1=0,即a n -a n-1=1,所以{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以a n =n.(2)由(1)知b n =(n+1)·2n ,所以T n =2×2+3×22+4×23+…+(n+1)·2n , 2T n =2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1, 两式相减,得-T n =4+22+23+ (2)-(n+1)·2n+1=4+4(1−2n-1)1−2-(n+1)·2n+1=4-4+2n+1-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以T n =n·2n+1.21.解 (1)设a n ,b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,依题意,数列{a n }是首项为128,公比为1+50%=32的等比数列,数列{b n }是首项为400,公差为a 的等差数列.所以数列{a n }的前n 项和S n =128×[1−(32)n ]1−32=256[(32)n-1],数列{b n }的前n 项和T n =400n+n(n-1)2a.所以经过n 年,该市被更换的公交车总数F (n )=S n +T n =256[(32)n-1]+400n+n(n-1)2a.(2)若用7年的时间完成全部更换,则F (7)≥10 000, 即256[(32)7-1]+400×7+7×62a ≥10 000,即21a ≥3 082,所以a ≥3 08221.又a ∈N *,所以a 的最小值为147.22.证明 (1)因为当n ≥2时,a 1a 2…a n-1=2a n-2,所以a 1a 2…a n =2an+1-2,两式相除,可得a n =1a n+1-11a n-1,所以11−a n=a n+11−a n+1=11−an+1-1,所以11−an+1−11−a n=1(n ≥2).又a 1=23,所以a 2=34,11−a 1=3,11−a 2=4,所以11−a 2−11−a 1=1,所以11−an+1−11−a n=1(n ∈N *),所以数列{11−a n}是首项为3,公差为1的等差数列.所以11−a n=3+(n-1)×1=n+2,所以a n =n+1n+2.(2)因为T n =12a 1a 2…a n =12×23×34×…×n+1n+2=1n+2,所以T n 2=1(n+2)2>1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3,所以S n=T12+T22+…+T n2>13−14+14−15+…+1n+2−1n+3=13−1n+3=1-1n+3−23=n+2 n+3−23=a n+1-23,所以当n∈N*时,a n+1-23<S n.。
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析 令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析 令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析 令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析 若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析 当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析 令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析 对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。
2021届高考数学(文)二轮考前复习学案：第一篇专题8等差数列与等比数列含解析
专题8 等差数列与等比数列1.等差数列必记结论(1)若项数为偶数2n,则S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd;=.(2)若项数为奇数2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; =.2.等比数列必记结论(1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k,m∈N *).考向一 等差数列基本量的计算【典例】 (2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①,则=________.① 根据基本量列方程② 前n 项和公式求解考向二 等比数列基本量的计算【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.321.在公比为的等比数列中,若sin=,则cos的值是A.-B.C.D.2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( )A.-5B.-C.5D.3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为A.102B.101C.100D.994.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( )A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q;(3)若项数为2n+1,则=q.1.数列中的方程思想无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解2.数列中的函数思想数列是一种特殊C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.数列满足:a n+1=λa n-1,若数列是等比数列,则λ的值是( )A.1B.2C.D.-16.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)= A.26 B.29 C.212 D.2157.已知数阵中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为A.36B.256C.512D.1 0248.已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是A.1B.C.-D.-的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.1.弄错首项致错如T10中,数列{b n}的首项为b1,不是.2.忽略数列与函数的区别致错如T13一定要注意自变量n是正整数.3.忽略题目中的隐含条件而致错如T11要注意b2的符号已经确定,且b2<0,忽视了这一隐含条件,就容易出现错误.9.已知每项均大于零的数列中,首项a1=1且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=A.641B.640C.639D.63810.若数列满足:++…+=2n,则数列的前n项和S n为A.2n+1B.2n-4C.2n+2-2D.2n+2-411.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则=______12.已知数列满足a1=2,-=2,若b n=,则数列的前n项和S n=________.13.已知数列满足a1=1,a n=l o c n(n≥2),当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,则数列的通项公式为________;令y=a1·a2·a3·…·a k,则当k在区间[1,2019]内时,使y的值为正整数的所有k值之和为________.专题8 等差数列与等比数列///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a 1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25考向二D 设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.///高考演兵场·检验考试力///1.B 由等比数列的通项公式可知:a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos= 1-2sin2(a 1a4)=1-2×=.2.D 因为+=(n∈N*),所以是等差数列,又因为a1=2,a2=1,所以=,-=,所以是首项为,公差为的等差数列,所以=,a n=,所以a10=.3.A 由lg x n+1=1+lg x n,得=10,所以数列是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,所以lg=102.4.D 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10(寸),同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n},其中b1=135,b13=15,公差d=-10(单位都为寸).故选项A正确;因为春分的晷长为b7,所以b7=b1+6d=135-60=75,因为秋分的晷长为a7,所以a7=a1+6d=15+60=75,所以B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确;因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,所以b4>a4,故D错误.故选D.5.B 数列为等比数列⇒==q,即:λa n-2=qa n-q,由上式恒成立,可知:⇒λ=2.6.Cf′(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=x′[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=a1a2 (8)又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以f′(0)=(a1a8)4=84=212,故选C.7.C 依题意可得a 11a13=,a21a23=,a31a33=,a12a32=,因为a22=2,所以a11a12a13a21a22a23a31a32a33=(a 11a13)a12(a21a23)a22(a31a33)a32===29=512.8.D 在等差数列{b n}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,b6=,所以b3+b9=2b6=,在等比数列{a n}中,由a1a6a11=-3,得=-3,a6=-,所以1-a 4a8=1-=1-(-)2=-2,则tan=tan=tan=tan=-.9.B 因为S n-S n-1=2,所以-=2,即{}为等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1所以S n=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640.10.D 对任意的n∈N*,++…+=2n.当n=1时,=2,可得b1=4;当n≥2时,由++…++=2n,可得++…+=2,两式相减得=2,所以b n=2n+1.又b 1=4符合b n=2n+1,所以b n=2n+1,所以==2,所以,数列为等比数列,且公比为2,首项b 1=4,因此,S n==2n+2-4.11.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a 2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.答案:12.【解析】由题意知为公差是2的等差数列,所以=+(n-1)×2=2n,所以a n=2n2,所以b n=22n,所以S n==.答案:13.【解析】因为当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,所以当n≥2时,有a n=log n(n+1)(n≥2),所以a n=所以y=1×log23×log34×…×log k(k+1)=1×××…×==log2(k+1),令log2(k+1)=m得k+1=2m,所以k=2m-1,所以当k在[1,2 019]内时,即1≤2m-1≤2 019,得1≤m≤10,m∈N*,所以使y的值为正整数的所有k值之和为++…+=-10=-10=2 036.答案:a n= 2 036关闭Word文档返回原板块。
2021高考数学二轮专题复习新高考命题四特性二综合性_着眼题型凸显能力课件
解析：通解 由题意知 f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减， 且 f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当 x>0 时，令 f(x－1)≥0，得 0≤x－1≤2， ∴1≤x≤3；当 x<0 时，令 f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1， 又 x<0，∴－1≤x<0；当 x＝0 时，显然符合题意．综上，原不等式 的解集为[－1,0]∪[1,3]，选 D.
数学文化与圆周率 π 的计算，考查圆内接正多边形和圆外切正 多边形的几何特征以及解三角形问题.
2.[2020·北京卷]2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日(π Day)．历史上，求圆周率 π 的方法有多种，与中国传统数学中的“割 圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 n 充分大时， 计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形(各边均与圆 相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 2π 的近似 值．按照阿尔·卡西的方法，π 的近似值的表达式是( )
A．a2＋b2≥12
B．2a－b>12
C．log2a＋log2b≥－2 D. a＋ b ≤ 2
解析：对于选项 A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab ＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥12，正确；对于选项 B，易知 0<a<1,0<b<1， ∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝12，正确；对于选项 C，令 a＝14，b＝ 34，则 log214＋log234＝－2＋log234<－2，错误；对于选项 D，∵ 2＝
6n×tan3n0°，所以 π≈3n×sin3n0°＋3n×tan3n0°＝3nsin3n0°＋tan3n0°，故 选 A.
2021届高考数学二轮复习专题五三角函数与解三角形梳理纠错预测学案文
三角函数与解三角形1．三角函数（1)以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换． 2．解三角形（1)利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数 1．公式（1）诱导公式：(2）同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=- （5)降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=2．三角函数性质3．函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响（2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响（3）A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义(2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形 1．正余弦定理（为外接圆半径）； ；，，；，，；；;；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1)已知两角一边,用正弦定理，只有一解．（2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中,已知，和角A时，解得情况如下：上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边,用余弦定理，有解时，只有一解．(4）已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）（表示边上的高)；(2）；（3）(为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想， 属于基础题．2．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A．1BC． D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+,则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令f ′(θ)=0,得cos 1θ=-或1cos 2θ=,经典训练题（70分钟）当11cos 2θ-<<时，f ′(θ)<0；1cos 12θ<<时，f ′(θ)>0，所以当1cos 2θ=时，f (θ)取得最大值,此时sin 2θ=，所以()max2f x =，故选B ．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．已知锐角ϕ满足cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（） A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】A 【解析】由cos 1ϕϕ-=,知2sin()16πϕ-=，即1sin()62πϕ-=， ∴锐角3πϕ=，故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+, ∴()17sin(2)26f x x π=+，故f(x)是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到，故选A ．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角ϕ，根据f(x)的函数式，应用二倍角、诱导公式将f(x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)，(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．−√2B ．√2C ．−√3D ．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π,则1ω=, ∴f (x )=2sin (x +φ)，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-,则()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=,故选A ．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理,再结合图象的平移,三角函数的单调性进行解题,本题属于中档题．5．已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx （0ω>，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的命题中正确的是（） A ．函数g (x )是奇函数B ．g (x )的图象关于直线6x π=对称C ．g (x )在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[0,2］ 【答案】B【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意知函数周期为π，则2T ππω==，2ω=，从而()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，g (x )不是奇函数，A 错；g (x )在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增，C 错;,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[1，2］,D 错；g (x )的图象关于直线π6x =对称，B 对，只有选项B 正确，故选B ．【点评】本题考查三角函数,图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ,b ,c ,若3A π=，b =4，△ABC的面积为3√3,则sin B =（）A BC ．13D 【答案】A【解析】1sin 2S bc A ===c =3，由余弦定理可得2222cos 13ab c bc A =+-=,得a =√13，又由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin 13b A B a ==,故选A ．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为在三角形中,sin cos sin CA B<变形为sin sin cos C B A <， 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +<，化简可得sin cos 0A B <，cos 0B ∴<，所以2B π>,所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)α∈，且有1−2sin 2α=cos 2α，则cos α=_________．【答案】5【解析】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,π)α∈，所以sin 0α≠， 因此由2πsin 2sin cos sin 2cos tan 20,2ααααααα⎛⎫=⇒=⇒=⇒∈ ⎪⎝⎭，而()22sincos 11αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此cos 5α=，故答案为5．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴,终边经过点P (3，4)，则tan π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．【答案】34-【解析】由三角函数的定义可得4sin 5α==，3cos 5α==,因此,3sin cos 325tan 42sin 4cos 52παπααπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+====- ⎪-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为34-．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()cos 222x x xf x =+．(1)求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2)5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()2πcos 2sin()2224x x x f x x x x =+-=+=+，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知,sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4πx ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 2π4x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭,所以函数f(x)的值域为2⎡⎤⎣⎦．(2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>, ∵f(ωx)=√3，2sin()4x πω∴+=,即sin()42x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ， 由于方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解,所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法:（1）将函数化简整理为f(x)=A sin (ωx +φ),再利用三角函数性质求值域；（2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．11．已知函数()2sin 2cos 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2)若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1123f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 26πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1)递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)3-．【解析】（1）由题意得()21sin 2cos 2cos 2sin 2sin 23222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]20,23x ππ+∈， 令0232x ππ≤+≤，解得,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 令32232x πππ≤+≤，解得7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；令32223x πππ≤+≤，得75,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2）由（1）知1sin 21263f ππββ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为2π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π2,66ππ6β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1π1sin 2632β⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以2,π62ππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2π6β⎛⎫+== ⎪⎝⎭．【点评】三角函数的化简求值的规律总结:1．给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2．给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系； 3．给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）． 12．在四边形ABCD 中,AB //CD ，AD =CD =BD =1． （1）若32AB =，求BC ；(2）若AB =2BC ，求cos BDC ∠．【答案】（1）2BC =；（2）cos 1BDC ∠=．【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，∵CD //AB，∴∠BDC =∠ABD ，在△BCD 中,由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,2BC =．（2)设BC =x ，则AB =2x ，在△ABD 中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅， 在△BCD 中,22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知,∠BDC =∠ABD ，所以，cos ∠BDC =cos ∠ABD ,即222x x -=，整理可得x2+2x −2=0,因为x >0，解得x =√3−1， 因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==．【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或“角化边",变换原则如下:（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角"； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4）代数式变形或者三角恒等变换前置；(5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解;（6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b −c )cos A =acosC．(1）求角A ；（2)若a =√13，b +c =5，求△ABC 的面积． 【答案】（1）π3A =；（2）√3．【解析】（1）在三角形ABC 中，∵(2b −c )cos A =acos C , 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=, 三角形中sin 0B ≠，解得1cos 2A =，A ∈(0，π)，∴π3A =．（2）由余弦定理得2222cos ab c bc A =+-，∵a =√13，b +c =5，∴13=(b +c )2−3cb =52−3bc，化为bc =4，所以三角形ABC 的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用,涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．14．已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin (A +B −C )=c sin (B +C )．（1)求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案】（1）π3C =；(2)6+2√3．【解析】（1）∵a sin(A +B −C)=c sin(B +C)，sin sin(π2)sin sin A C C A ∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠,1cos 2C ∴=，0πC <<,π3C ∴=． (2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得c2=12，c =2√3，此时周长为6+2√3．【点评】本题主要考查了三角形的内角及诱导公式在三角形化简中的应用,还考查了三角形的面积公式及余弦定理,属于基础题．15．在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2c sin B =3a sin C ，1cos 3C =． （1）求证：△ABC 为等腰三角形;(2）若△ABC 面积为2√2，D 为AB 中点，求线段CD 的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】(1）由2c sin B =3a sin C ,根据正弦定理可得2cb =3ac ，所以2b =3a ,则32b a =， 又1cos 3C =，根据余弦定理可得222222222913144cos 332322a a c a c abc C ab a a a +--+-====⋅，则222134aa c =-,所以32c a b ==, 因此△ABC 为等腰三角形．（2）因为角C是三角形内角，所以sin C>0，则sin C==因为△ABC面积为2√2，所以113sin222ab C a a==⋅a=2，所以b=c=3，又D为AB中点，所以cos cosADC BDC∠=-∠，则222222333222332222CD CDCD CD⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，整理得2174CD=,所以CD=．【点评】本题主要考查正余弦定理、三角形的面积公式的综合运用,利用正弦定理进行边角转换等，属于中档题型．16．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c．已知sin cos2Aa C c=．（1)求A；（2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足3ABD ADCS S=△△，求AD．【答案】（1）π3A=；(2）4AD=．【解析】（1）因为sin cos2Aa C c=，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C=，因为sin C≠0，所以sin cos2AA=，所以2sin cos cos222A A A=,因为0π22A<<，所以cos02A≠，所以1sin22A=，即π26A=，所以π3A=．(2)设△ABD的AB边上的高为ℎ1，△ADC的AC边上的高为ℎ2,因为3ABD ADCS S=△△，c=3，b=1，所以1211322c h b h⋅=⨯⋅,所以ℎ1=ℎ2，AD 是△ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为S△ABD=3S △ADC,可知34ABDABC SS =△△， 所以131sin sin 26423ππAB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以4AD =．【点评】关键点点睛:本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是△ABC 角A 的内角平分线，考查了运算能力．一、选择题．1．已知函数()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为(）A ．221124x y +=B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 4π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移π12个单位得2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2in 4πs 3y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,高频易错题故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin [ω(x +φ)]=sin (ωx +ωφ)，而不是y =sin (ωx +ϕ),考查运算求解能力，是基础题．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________． 【答案】(2√2，2√3)【解析】由sin2sin b aA A=，得b =4cos A ,由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒, 01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos 2A A ︒<<︒⇒<<,cos A <<b =4cos A ∈(2√2，2√3)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．一、选择题．1．如图,角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(）A ．cos(α−β)B ．cos(α+β)C ．sin(α−β)D ．sin(α+β)精准预测题【答案】A【解析】由图可知()cos ,sin A αα,()cos ,sin B ββ， 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-,故选A ．【点评】本题考查运用向量进行余弦定理的证明，属于基础题型．2．已知()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】因为()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得()sin 2cos αα-=⨯-，即tan 2α=，所以tantan 1214tan 41231tan 4πta πn πααα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+⋅,故选C ．【点评】本题主要考查诱导公式，正切的两角和差公式的应用，属于基础题．二、解答题． 3．已知函数()22cos 12xf x x =-+． （1）若()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2)若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】(1）；（2）[−1，2]．【解析】（1）()22cos 1cos π2sin 26x f x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，因为()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πsin 6αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 22ααα-=，所以−3√3sin α=cos α,所以tan 9α=-．(2)f(x)图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数g(x)的图象,所以g(x)的解析式为()()π22sin 26g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以−1≤g(x)≤2，故g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[−1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域,属于中档题． 4．设函数()212coscos 5f x x x x =--．（1)求f(x)的最小正周期和值域;（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=−5，a =√3,求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π,[−4√3+1，4√3+1](2）(3+√3，3√3]． 【解析】（1）()2212coscos 512cos 25f x x x x x x =--=--6cos 221π216x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，πT ∴=，值域为[−4√3+1，4√3+1]．（2）由f(A)=−5，可得212coscos A A A=，因为三角形为锐角△ABC ，sin A A=，即tan A =π3A =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，2π2sin 2sin()3c C B ==-，所以2π12sin sin()2(sin sin )322a b c B B B B B ⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin cos ))22π6B B B =++=++．因为△ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,π02C <<， 即022π3π02πB B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π2B <<， 所以ππ2π363B <+<sin()16πB <+≤，即3)6πB ++≤，所以周长的取值范围为区间(3+√3，3√3]．【点评】在解三角形的周长范围时,将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域, 求周长的取值范围，是常用解法．。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：2.5.3 圆锥曲线中的证明、定点及定值问题
所以直线 AB 的方程为 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.易知直线 AB
过定点(1，－2)．
当直线 AB 的斜率不存在时，设其方程为 x＝m，A(m，y3)，B(m， y4)，
则y3－ m 2＋y4－ m 2＝y3＋my4－4＝－4， 易知 y3，y4 互为相反数，所以 y3＋y4＝0， 所以 m＝1，可知直线 x＝1 也过定点(1，－2)．
6ktx＋3t2－12＝0， 则 Δ＝(6kt)2－4(3k2＋2)(3t2－12)>0，即 6k2－t2＋4>0， x1＋x2＝－3k62k＋t 2，x1x2＝33tk22－＋122.
由 l1 与 l2 的斜率之和为－4，可得y1x－1 2＋y2x－2 2＝－4，
又 y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以y1x－1 2＋y2x－2 2＝kx1＋x1t－2＋kx2＋x2t－2＝2k＋t－2x1xx12＋x2 ＝2k＋t－32t2－·3－k1226＋kt2＝－4，化简得 t＝－k－2(t＝2 舍去)．
以 xD＝52，
因为 MG 中点的横坐标为52，所以 D 为线段 MG 的中点，
所以|MD|＝|DG|.
考点二 定点问题
解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其 实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这 些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：
(2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD| ＝|DG|.
解析：(1)因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 c＝ 3， 所以 a2－b2＝3，①
当 l2 垂直于 x 轴时．|MG|＝3，因为△ABG 的面积为32 3，
2021届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)专题8第1讲数学文化及核心素养类试题
第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A． 2 B．2 2C． 6 D．2 3我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p(p－a)(p－b)(p－c)，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A考向3 立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()A．2 B．3 2C．1 D．3 4考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()A．37B．715C．25D．35数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为()A．104 5aB．109 10aC．D．真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.『押题』4．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是________年；使用干支纪年法可以得到________种不同的干支纪年．专题作业一、选择题1．(2020·山东省烟台市模拟)《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为()A．13B．23C．16D．562．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．48里B．24里C．12里D．6里3. (2020·河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭县反山文化遗址．如图，玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．估计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．23504．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为()A．1910B．3910C．4455D．64555．阿基米德(公元前287年～公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A．x29＋y216＝1 B．x23＋y24＝1C．x218＋y232＝1 D．x24＋y236＝16．(2020·山东省泰安市模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝32，EF ∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为()A．6 B．11 3C．314D．127．(2020·江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A．38B．12C．23D．348．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，堑堵ABC－A1B1C1的体积为()A．83B． 2C．2 D．2 29．(2020·四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图1、图2是斗拱实物图，图3是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为4300 cm3，那么这个斗的体积是()注：台体体积公式是V＝13(S′＋S′S＋S)h.A．5700 cm3B．8100 cm3C．10000 cm3D．9000 cm310. (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积．某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1，因此该椭圆近似于圆形；③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后)，地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天．以上结论正确的是()A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题11．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________.12．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________.13．(2020·山东省泰安市高三一模)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成，“”表示一根阳线，“”表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为________.14．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________ m.第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A ． 2B ．2 2C ． 6D ．2 3答案 A解析 由a cos B ＋(b ＋3c )cos A ＝0，可得sin A cos B ＋cos A sin B ＋3sin C cos A ＝0，即sin(A ＋B )＋3sin C cos A ＝0，即sin C (1＋3cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以cos A ＝－13，由余弦定理可得a 2－b 2－c 2＝－2bc cos A ＝23bc ＝2，所以bc ＝3，由△ABC 的面积公式可得S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(bc )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋b 2－a 222＝14×(32－12)＝ 2.故选A ．我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年答案 A解析由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，由图3近似画出如图平面几何图形，则tanα＝1610＝1.6，tanβ＝16－9.410＝0.66，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝ 1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.457.∵0.455<0.457<0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193答案 BD解析 由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1＝5，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，∵b n ＝2an ，∴b n ＋1b n ＝2an ＋12an ＝2an ＋1－an ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 错误；a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 正确．故选BD.本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A答案B解析 由题意知log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)， ∴a i ＋1a i＝2112，故数列{a n }是公比q ＝2112的等比数列． ∵a 4＝D #，a 8＝a 4q 4＝D #×(2112)4＝D #×32＝G ，∴G D #＝32.故选B.考向3 立体几何中的数学文化例3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.答案 4π解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π， 故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．2B ．32C．1 D．3 4答案 A解析由球的半径为R，得半球的内部表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为143πR2，∴圆柱的侧面积为83πR2.设圆柱的高为h，则2πR·h＝83πR2，即h＝43R.∴V1＝πR2·43R＝43πR3，V2＝23πR3，∴V1V2＝43πR323πR3＝2.故选A．考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为() A．37B．715C．25D．35答案 C解析若n＝5，根据上述过程得出的整数有5,16,8,4,2,1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n＝C26＝15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m＝C24＝6，则这两个数都是偶数的概率为P＝mn＝615＝25.故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15答案 A解析金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝C25＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝510＝12.故选A．考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析 观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为( )。