中考数学复习解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习解直角三角形是中考数学中的一个重要内容，考查学生对于三角函数的理解和运用能力。
下面是对于中考解直角三角形知识点的整理复习。
一、基本概念1.直角三角形：一个内角为直角（90°）的三角形。
2.角的三要素：角的名称、角的度数、角的符号（顺时针为负，逆时针为正）。
二、特殊角度的三角函数值1.0°和90°的三角函数值：正弦函数sin：sin0° = 0，sin90° = 1；余弦函数cos：cos0° = 1，cos90° = 0；正切函数tan：tan0° = 0，tan90° 不存在。
2.30°和60°的三角函数值：正弦函数sin：sin30° = 1/2，sin60° = √3/2；余弦函数cos：cos30° = √3/2，cos60° = 1/2；正切函数tan：tan30° = 1/√3，tan60° = √3三、三角函数在特定角度的性质1. 正弦函数sin的性质：当角A的终边经过点(x,y)时sinA = y/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
2. 余弦函数cos的性质：当角A的终边经过点(x,y)时cosA = x/r其中r是点(x,y)到原点(0,0)的距离。
3. 正切函数tan的性质：当角A的终边经过点(x,y)时tanA = y/x其中x不等于0。
4.三角函数的周期性：三角函数sin、cos、tan均是周期函数，其中sin和cos的周期是360°或2π弧度，tan的周期是180°或π弧度。
四、特殊角的三角函数值的计算1.特殊角度的三角函数值：根据三角函数在标准位置上的定义，可以计算出不同角度的三角函数值。
2.夹角的三角函数值：两个夹角相等的三角函数值相等，例如sin(A+B)=sinC。
中考数学复习专题15解直角三角形
解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===， 在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯， 在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可 【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案． 【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21， 又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈． 在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ． 由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ． 又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ． 由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ， 即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ． 由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ， 即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。
2025年中考数学一轮复习课件：第31讲解直角三角形
答案：解：由题意，得∠CHA＝∠CHB＝90°，CH＝60，所以∠A
＝60°，∠B＝45°.
在Rt△ACH中，AH＝
＝ ＝20
°
在Rt△BCH中，BH＝
＝ ＝60.
°
所以AB＝AH＋BH＝20 ＋60.
答：A，B之间的距离是(20 ＋60)米.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以AB＝BC·tan45°＝a m.
在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，所以AB＝BD·tan42°≈0.9(22－a)m，
则a＝0.9(22－a)，解得a≈10.4，所以AB＝BC＝10.4 m，
即乌当惜字塔AB的高度约为10.4 m.
(2)由(1)得BC＝AB＝10.4 m，所以BD＝CD－BC＝22－10.4＝11.6(m).
×
＝15(米).
在Rt△CAD中，AD＝15 米，∠CAD＝60°.
因为tan∠CAD＝
，所以CD＝AD·tan∠CAD＝15
所以BC＝BD＋CD＝15＋45＝60(米).
答：这栋高楼的高BC为60 米.
× ＝45(米)，
12.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑
.
11.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高
楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离AD为15 米，求这栋高楼的
高BC.
答案：解：在Rt△BAD中，AD＝15 米，∠DAB＝30°.
因为tan∠DAB＝
，所以BD＝AD·tan∠DAB＝15
(中考精题)解直角三角形-备战中考数学一遍过
考点24 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一 求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k （有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k ．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 的值为 ABCD ．1【答案】C 【解析】把代入原式得：原式．故选C ． 2sin 451．如图，在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =2，则sin A 的值为A ．BCD考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A 为锐角，且sin A，那么∠A等于 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°2．已知α是锐角，sin α=cos60°，则α等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．不能确定考向三 解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.23典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF，∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =B ．sin A =C ．cos A =D ．cos A =2的值为 A．B ．C．D ．3．在中，，，若，则的长为 A ．B ．C ．D ．4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，，则cos A 等于 a c b c abba1sin45cos602︒-︒(112+(1121434Rt ABC △90C ∠=︒53B ∠=︒BC m =AB cos53m︒cos53m ⋅︒sin 53m ⋅︒tan 53m ⋅︒13AC AB =AB ．C ．D5．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan为 A ．B ．C D6．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A B CD7．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =，则斜边上的高等于 A ．5B．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为A ．B ．C D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝高为，则迎水坡面的是A ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是132B 5354353534AB 40m 80m B ．C 40m ．D ．A ．2海里B ．海里C ．海里D ．海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB 的坡度为1∶2.4，AB 长为3.9米，钓竿AC 与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°，则浮漂D 与河堤下端B≈1.732）A．1.732米B ．1.754米C ．1.766米D ．1.823米12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，则sinB =___________．13．在△ABC 中，AB ，AC ，tan ∠B =，则BC 的长度为__________． 14．已知相邻的两根电线杆与高度相同，且相距．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为、，已知测角仪高，则电线杆的高度约为________．（精确到，参考数据：，，）2sin55︒2cos55︒2tan55︒12512AB CD 50m BC =E 45︒23︒EF 1.5m m 0.1m sin230.39︒≈cos230.92︒≈tan230.43︒≈15．已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD =8，tan ∠CBD =．（1）求边AB 的长；（2）求cos ∠BAE 的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放，高AD =80cm ，宽AB =48cm ，小强的身高为166cm ，其中下半身FG =100cm ，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK =80°)，身体前倾成125°角(∠EFG =125°)，脚与洗漱台的距离GC =15cm(点D ，C ，G ，K 在同一直线上)． （1）此时小强的头部点E 与地面DK 的距离是多少？（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向前或后退多少？ (sin80°≈0.98，cos80°≈0.17≈1.41，结果精确到0.1cm)121．（2019•天津）的值等于 A ．1 B． C ．D ．22．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sin α=，则∠α= A ．30° B ．45° C．60°D ．90°3．（2019·宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．B ．C ．D ．A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是60sin 2231243343545AB CD 1.5m A 30oA ．B ．C ．D．6．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．（2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x55.5m 54m 19.5m 18m计算这座灯塔的高度CD （结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD =600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC 长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．45354314．（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB 长为6米，∠OAB =41.3°，若点C 为运行轨道的最高点（C ，O 的连线垂直于AB ），求点C 到弦AB 所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP 为下水管道口直径，OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB =OP =100cm ，OA 为检修时阀门开启的位置，且OA =OB ．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时，在点A 处测得俯角∠CAB =67.5°，若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位） =1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．2．【答案】D【解析】原式=1–=，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=， ∴AB =，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵，∴cos A =．故选B ．5．【答案】A1122⨯1434BC AB cos53m︒13AC AB =1133ABAC AB AB ==【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =AC =5cm ，BO =BD =3cm ， 则tan=tan ∠OBA .故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD ，AB则sin ∠BAC =D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =， ∴sin A ==，即BC =6， 12122B 53AO BO ==EB AB ==3510BC BC AB =35根据勾股定理得：AC=8，∵S △ABC =AC •BC =CD •AB ， ∴CD ==4．8， 故选B ．8．【答案】B【解析】∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =． 故选B ．9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1 ∵BC =40m ，∴AC m ，∴AB ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠PAB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠PAB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠PAB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，12126810AC BC AB ⋅⨯=34BC AC =则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4，∴，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x2．解得x =．∴AF =5x =，BF =12x =，∴EF =， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE则BD =DE ﹣EF ﹣BF≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =，得，即， ∴AC =5．由勾股定理，得AB ．所以sin B =，故答案为：．13．【答案】5152.412AF BF ==31032185tan 60sin 60AF AFAE =====︒︒185513125125BC AC =12125AC =513AC AB =513【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB，∴在△ABD 中，由勾股定理得（2=x2+（2x）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去），∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵，∴tan23°=，解得x ≈15.0，∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =BD =4， 1tan 2AD B BD ∠==1DC ===16.5tan45tan23AG AG BC +=︒︒50xx-12∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD ==，∴OC =2， ∴AB =BC（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =BD·AC ， ∵AC =2OC =4，∴=×8×4，∴AE ，∴BE∴cos ∠ABE =．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．OC OB 121212BE AB 351．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，=2×=，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC ．∴sin ∠BAC ==．故选D ．5．【答案】C【解析】过作交于，中，， ，，故选C ．6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，︒60sin 223312CD AC 45D DE AB ⊥AB E DE BC ==Rt ADE △tan 30AEDE=o18(m)AE ∴==18 1.519.5(m)AB ∴=+=C7．【答案】D【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cos x+b•sin x，故选D．答：炎帝塑像DE的高度约为51m．13．【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90°≤∠POB ≤0°；（2）如图，∵∠CAB =67.5°，∴∠BAO =22.5°， ∵OA =OB ，∴∠BAO =∠ABO =22.5°，∴∠BOP =45°， ∵OB =100，∴OE OB ， ∴PE =OP –OE ≈29.5cm ， 答：此时下水道内水的深度约为29.5cm ．。
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
中考解直角三角形知识点复习
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2,那么这个三角形是直角三角形;考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形;经典直角三角形：勾三、股四、弦五用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1确定最大边不妨设为c ；2若c 2＝a 2＋b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2,则此三角形为钝角三角形其中c 为最大边； 若a 2＋b 2＞c 2,则此三角形为锐角三角形其中c 为最大边4. 勾股定理的作用：1已知直角三角形的两边求第三边; 2已知直角三角形的一边,求另两边的关系;3用于证明线段平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图,在△ABC 中,∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA,即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA,即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA,即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA,即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α14、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A ； 2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4商弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时,1正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；2余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；3正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；4余切值随着角度的增大或减小而减小或增大 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形; 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为a,b,c 1三边之间的关系：222c b a =+勾股定理 2锐角之间的关系：∠A+∠B=90°3边角之间的关系：正弦sin,余弦cos,正切tan4 面积公式：h c 为c 边上的高考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：1仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角;2坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等; 把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==; 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;解直角三角形的基本类型及其解法公式总结2测量底部可以到达的物体的高度h ＝h 1＋h 2＝a 1tan α＋tan β3测量底部不可到达的物体的高度1数学模型所用工具 应测数据 数量关系根据 理论 皮尺 侧倾器仰角α 俯角β 高度a tan α＝x h 1 ,tan β＝xah ＝a ＋h 1＝a ＋a ＝a1＋矩形的性质和直角三角形的边角关系俯角α 俯角β 高度 tan α＝, tan β＝xa∴x ＝＝ ∴h ＝a －测量底部不可到达的物体的高度2数字模型 所用工具 应测距离 数量关系根据 原理皮尺侧倾器 仰角α, 仰角β 水平距离a 1 侧倾器高a 2tan α＝xa h +11tan β＝x h 1∴h 1＝αββαtan tan tan tan 1-ah ＝a 2＋h 1＝a 2＋αββαtan tan tan tan 1-a矩形的性质和直角三角形的边角关系仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝ h ＝tan α＝, tan β＝、h ＝仰角α 仰角β 高度atan α＝, tan β＝h ＝第三部分 真题分类汇编详解2007-2012200719．本小题满分6分一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈2200819．本小题满分6分在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6,最大夹角β为64.5．请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米结果保留两个有效数字参考数据：sin18.60.32=,tan18.60.34=,sin 64.50.90=,tan 64.5 2.1=200919．本小题满分6分在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰D ＤＣ BβC GEFhα β x h xaα βhAa x α βhaxαβ hx α β角37CGE ∠=°,已知测倾器高米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． 参考数据：3sin 375°≈,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈ 201019．本小题满分6分小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．结果保留整数参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，解：201119．6分某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 原来的40o 减至35o ．已知原楼梯AB 长为5m,调整后的楼梯所占地 面CD 有多长结果精确到0.1m ．参考数据：sin40o ≈,cos40o ≈≈,tan35o ≈ 201220.8分附历年真题标准答案：200719．本小题满分6分解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°． ∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近． …………………………6′ 200819．本小题满分6分解：设CD 为x ,在Rt△BCD 中, 6.18==∠αBDC ,∵CDBCBDC =∠tan ,∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········· 2′ 在Rt△ACD 中, 5.64==∠βADC , ∵CDACADC =∠tan ,∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=,∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为米． 200919．本小题满分6分B CD A CG EDBAF B37° 48°DC A 第19题图40o 35o ADBC解：由题意知CD AD ⊥,EF AD ∥, ∴90CEF ∠=°,设CE x =,在Rt CEF △中,tan CE CFE EF ∠=,则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中,tan CE CGE GE ∠=,则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°∵EF FG EG =+,∴845033x x =+． 37.5x =,∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=米．答：古塔的高度约是39米． ························ 6分 201019．本小题满分6分解：设CD = x ．在Rt △ACD 中,tan37ADCD︒=, 则34AD x =,∴34AD x =. 在Rt△BCD 中,tan48° = BD CD,则1110BD x=, ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ,∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分201119．本小题满分6分 201220.8分第19题图。
中考数学复习《解直角三角形》 知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
中考数学点对点-解直角三角形问题(解析版)
∴AD＝AB×sin30°＝20 10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，
如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC ，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB ，
∴sin∠ABC ，
∴sin∠ADC ．
【例题3】（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
中考专题复习解直角三角形（含答案）
中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。
依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。
2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰，即。
坡度⼀般写成的形式，如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。
【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。
中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用
专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。
三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念；2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；考点1：直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（3）勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1：直角三角形的性质与判定】【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。
c b a 222=+面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B【题型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【答案】50．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：503．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【答案】10．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【题型3：勾股定理与弦图、拼图】【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．一．选择题（共7小题）1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝2 6°，则∠CDE的度数为（）A．52°B．71°C．72°D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝90°﹣26°＝64°，根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，∴∠CDE＝∠ADC＝71°，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则A D长是（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BD＝2BC＝4，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，故选：B．5．下列各组数据是勾股数的是（）A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．故选：D．6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．二．填空题（共6小题）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为12尺．【答案】见试题解答内容【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺．故答案为：12．10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，∴AC2＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），故答案为：5．13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【答案】5．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt △BDE≌Rt△CDF．【答案】见解析．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC 是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝82+62＝100，∴AC ＝10（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝102+242＝676，AB 2＝262＝676，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD ＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送6m （水平距离BC ＝6m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝CE ＝3m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度？【答案】10m ．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】D【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠A'BC＝20°，∴∠ABA'＝80°，∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．3B．2C．1D．无法确定【答案】B【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，而AC＝6，∴（2BC）2﹣BC2＝62，解得：BC2＝12，同理可得：BG＝2GC，∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，∴GC＝2，当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，故选：B．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．4．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，则OP3的长为（）A．1B．C．D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2，＝+＝3，OP3＝＝2．故选：D．5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．二．填空题（共3小题）6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，＝BC•AC＝×3×4＝6，∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，∵S1＝π•（BC）2＝BC2，S2＝π•（AC）2＝AC2，S3＝π•（AB）2＝AB2，＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，∴S阴影故答案为：6．7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米．【答案】见试题解答内容【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝1 0米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，∴AC＝＝2（米），故答案为：2．8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．（1）求证：CD＝AC+ED．（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE，BD＝AC，∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，＝，∴S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE＝ab++＝ab+，∴，∴a2+b2＝c2．11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，C B＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？（2）判定三角形DEC的形状．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A 为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【答案】+1．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．【答案】96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96．10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC。
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
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中考数学复习解直角三角形
知识考点：
本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。
精典例题：
【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900
，sinA ＝5
2，D 为AC 上一点，∠BDC ＝450
，DC ＝
6，求AB 的长。
分析：由∠C ＝900
，∠BDC ＝450
，可知DC ＝BC ＝6，再由sinA ＝AB
BC ＝
5
2即可求出AB 的长。
变式：如图，在△ABC 中，∠B ＝900，C 是BD 上一点，DC ＝10，∠ADB ＝450，∠ACB ＝600，求AB 的长。
分析：设AB ＝x ，通过解Rt △ABC 和解Rt △ABD 即可。
评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x ，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。
【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝300，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则cot ∠CFB ＝（ ）
A 、36
1 B 、
32
1 C 、
33
4
D 、
34
1
分析：因为∠CFB 不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB 是它的一个锐角，由EF ⊥AB 联想到作EF 的平行线CD ，得到Rt △CDB 即可求解。
【例3】已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝35
2，AC 与BD 相交于点
O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长。
分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。
评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。
若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。
探索与创新：
【问题】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b 。
证明：C ab S ABC sin 2
1=
∆
评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。
同理还可推出：B ac A bc C ab S ABC sin 2
1sin 2
1sin 2
1=
=
=∆（三角形面积公式）
例1图
D C
B
A 例2图
例3图
G
F E
O
D
C B
A 问题图
D
C
B
A
跟踪训练： 一、填空题：
1、如图，在△ABC 中，∠C ＝900
，∠ABC ＝600
，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是 。
2、在△ABC 中，∠B ＝300，tanC ＝2，AB ＝2，则BC 的长是 。
3、在△ABC 中，∠C ＝900
，AB ＝2，BC ＝3，则tan
2
A ＝ 。
4、已知正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，P 是OA 上一点，且∠CPD ＝600，则PO ∶AO ＝ 。
第1题图
D
C
B
A
第5题图
D
C
B
A
5、如图，在△ABC 中，∠B ＝600，∠BAC ＝750，BC 边上的高AD ＝3，则BC ＝ 。
6、等腰三角形的周长为32+，腰长为1，则底角等于 。
二、选择题：
1、在△ABC 中，∠C ＝900
，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是（ ）
A 、
2 B 、
2
2 C 、1 D 、
2
1
2、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是
3
2，则
AB
AC 的值是（ ）
A 、5
2 B 、5
3 C 、
2
5 D 、3
2
3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米。
现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时
梯子的顶端B 下降到B '，那么B B '（ ）
A 、等于1米
B 、大于1米
C 、小于1米
D 、不能确定
B '
A '
第3题图
O
B
A
第4题图 C
D B
A
解答第1题图 C D
B
A
4、如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若cot ∠BCD ＝3，则tanA ＝（ ）
A 、
2
3 B 、1 C 、
3
1 D 、
3
2
三、解答题：
1、如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝1200
，∠BAD ＝750
，∠D ＝600
，求CD 的长。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，5
3sin =B ，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，CD ＝
DE ，AC ＋CD ＝9。
求：①BC 的长；②CE 的长。
3、如图，已知BC ⊥AD 于C ，DF ⊥AB 于F ，9=∆∆EFB
AFD S S ，∠BAE ＝α。
（1）求ααcos sin +的值；
（2）若ADE AEB S S ∆∆=，AF ＝6时，求cot ∠BAD 的值。
解答第2题图
E
C
D
B
A
α
解答第3题图
F
E C
D
B
A。