2014年·高三复习数学(理)2第8章 5讲 椭 圆
2014高考数学一轮复习课件：8.5椭 圆(精)
第八章
平面解析几何
第五节
椭
圆
考纲要求 1.了解圆锥曲 线的实际背 景，感受圆 锥曲线在刻 画现实世界 和解决实际 问题中的作 用．
考情分析 1.从考查内容看，椭圆的定义、 标准方程和几何性质是高考 的重点，其中直线与椭圆位 置关系的问题更是高考考查 的热点． 2.从考查形式看，对定义、标 准方程和几何性质的考查常 以选择题、填空题的形式出 现，属中档题；直线与圆锥
π π 以α∈4，2. π α＞1，又α∈0，2，所
• 答案：D
解析： 设动圆圆心 (x， )(x3) ≠2 － 5)y ，半径为 r， 2＝4外切，同时 • (2) 一动圆与圆 O1P ： (xy ＋ ＋ 2＋ 则|PO |＝r 2， |PO －r ，∴ |PO1|＋|PO2|＝10， 与圆 O2 (＋ x－ 3) y28 ＝ 64 内切，则动圆圆心 1： 2|＝ 的轨迹方程为 ________ ． ∴点P的轨迹为以 O1，O2为焦点的椭圆 (去掉点(－ 5,0))，其中2a＝10,2c＝6，∴a＝5，c＝3，∴b＝4， x2 y2 ∴所求方程为 ＋ ＝1(x≠－5)． 25 16 x2 y2 答案：25＋16＝1(x≠－5)
r1＋r2＝2a， 解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 2 2 2 r1＋r2＝4c ，
2 2 2 2 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－r2 － r ＝ 4 a － 4 c ＝ 4 b ， 1 2
1 ∴S△PF1F2＝ r1r2＝9＝b2， 2 ∴b＝3.
答案：3
x2 y2 5．直线x＋2y－2＝0经过椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a＞b＞0)的一 a b 个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
2014年高考数学一轮复习8.5椭圆课件理
考纲点击 1.了解椭圆的实际背景. 2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.
说基础
课前预习读教材
考点梳理
一、椭圆的定义和方程
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于①______(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的②______. 定义中特别要注意条件 2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当 2a＝2c 时，动点的轨迹是③______；当 2a＜2c 时，动点的轨 迹④__________.
e＝ac＝
2 2.∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c， cosθ＝r12＋2rr221－r2 4c2＝r1＋r222－r12rr21r2－4c2 ＝ra1r22－1≥r1＋a2r22－1＝0，
2
当且仅当 r1＝r2 时，cosθ＝0，∴θ∈0，2π.
∴a＝3，c＝2，b＝ a2－c2＝ 5. ∴所求圆心的轨迹方程为x92＋y52＝1.
题型二 求椭圆的标准方程 例 2 求下列椭圆的标准方程： (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并 且过点 P(3,0)； (2)过点 M(－2， 3)和 N(1,2 3)．
解析：(1)若焦点在 x 轴上，设方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∵椭圆过 P(3,0)，∴3a22＋0b22＝1.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可 设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0)，可避免讨论和繁杂的计算，也可 设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0 且 A≠B)，这种形式在解题中较 为方便．
【注意】求动点的轨迹方程时，应首先挖掘图形的几何性
2014届高考数学总复习 第8章 第5讲 椭圆
2种必会方法 1. 定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点 位置，直接写出椭圆方程． 2. 待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是 y 轴上，设出相 应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组， 解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．
3点必记技巧 1. 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦 点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最 小距离为a－c. 2. 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程， 再结合c2＝a2－b2，就可求得e(0<e<1)． 3. 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为 标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否 为坐标轴.
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
范围
______≤x≤______ ______≤y≤______
－b≤x≤b－ a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0， A1(0，－a)，A2(0，
答案：C 解析：由 e＝12＝ac得 a＝2c，b＝ 3c，
所以 x1＋x2＝－ba＝－ 23，x1x2＝－ac＝－12，
所 以 点 P(x1 ， x2) 到 圆 心 (0,0) 的 距 离 为 x12＋x22 ＝
x1＋x22－ 在圆 x2＋y2
[变式探究] [2012·上海高考]对于常数m、n，“mn>0”是 “方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
(新课标)高考数学备考试题库 第八章 第5节 椭圆 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2010~2014年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第5节 椭圆1. (2014某某，5分)已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12.2．(2014某某，5分)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25553. (2014某某，12分)圆 x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋ 3 交于A ，B 两点．若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0，又x 1，x 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3， 得|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △PAB ＝12×32×|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.4. (2014某某，5分)设椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：335（2013某某，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D6（2013某某，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝t OE ，某某数t 的值．解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2. 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64， 解得m 2＝12或m 2＝32.①又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (2m,0)＝(mt,0)，因为P 为椭圆C 上一点， 所以mt22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43，又t >0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h ， 将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2， 所以|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22·1＋k 2· 1＋2k 2－h21＋2k2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k2，所以S△AOB＝12·|AB |·d ＝12×221＋k 2·1＋2k 2－h21＋2k2·|h |1＋k2＝2· 1＋2k 2－h21＋2k 2·|h |. 又S △AOB ＝64， 所以2· 1＋2k 2－h 21＋2k 2·|h |＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0， 解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t 212⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 2·t 21＋2k2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43.又t >0，所以t ＝2或t ＝233.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或t ＝233. 7（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.1323解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D8．（2013某某，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B9．（2013某某，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.1222解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C10．（2013某某，4分）椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－111.(2012某某，13分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C13．（2012某某，5分）椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝ca ＝55. 答案：B14．（2011某某，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为(a 35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C15．(2011某某，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为(32，－65)．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．16．（2011新课标全国，5分）椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D17．（2010某某，5分）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6.word 答案：C11 / 11。
高三理科数学第一轮复习§8.5：椭圆
第八章：平面解析几何 §8.5：椭圆
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第八章：平面解析几何 §8.5：椭圆
第八章：平面解析几何 §8.椭圆
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解析
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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第五节椭 圆
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
8 3 3 不妨设A( c， c)，B(0，－ 3c)， 5 5 8 2 3 3 16 2 所以|AB|＝ （ c） ＋（ c＋ 3c） ＝ c. 5 5 5 5 于是|MN|＝ |AB|＝2c. 8 圆心(－1， 3)到直线PF2的距离 |－ 3－ 3－ 3c| 3|2＋c| d＝ ＝ . 2 2 |MN| 2 2 因为d ＋( ) ＝42， 2 3 所以 (2＋c)2＋c2＝16. 4
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2 从而－ a＝－c，即a＝ 2c，① 2 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5② 联立①，②，得a＝ 10，c＝ 5， ∴b2＝a2－c2＝5， x2 y2 所以该椭圆方程为 ＋ ＝1. 10 5
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
对称性
坐标轴 对称轴：_______；对称中心：_____ 原点
A1(－a，0)， A2(a，0) B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
性 质
顶点
高 考 体 验 · 明 考 情
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
椭
圆
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
2014高考数学(理)一轮复习学案课件 第8编 椭圆
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规律探究
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学案5 椭 圆
考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
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【三维设计】2014届高考数学(理)总复习课件：第八章 第5讲 椭圆(共56张PPT)
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑 用定义来解题．
2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m ＞0，n＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，且 A≠B)．
1．(2012·张家界模拟)椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，
过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，
则|PF2|＝
()
7 A.2 C. 3
3 B. 2 D．4
解析：因为 a2＝4，b2＝1，所以 a＝2，b＝1，c＝ 3. 不妨设 F1 为左焦点，P 在 x 轴上方，则 F1(－ 3，0)，设 P(－ 3，m)(m＞0)，则－4 32＋m2＝1，解得 m＝12，所以 |PF1|＝12根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－ |PF1|＝22－12＝72. 答案: A
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且 满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率 为________．
解析：在三角形 PF1F2 中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝ 3，
所以离心率
A．4
B．8
()
C．6
D．18
解析：依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.
答案：C
2．(教材习题改编)方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆，则 m 的
范围是
高考数学 热点难点精讲解析 8.4椭 圆
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭 圆（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x 轴上时，其标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y 轴上时，其标准方程为y a 22+y b22=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为2x m +2y n=1(m>0,n>0,m ≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程222222221(0)1(0)x y x y a b a b a b b a+=>>+=>>或。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221(0,0)Ax By A B A B +=>>≠且，这种形式在解题时更简便。
※例题解析※〖例1〗已知F 1、F 2为椭圆2x 25+2y 9=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=____；方法诠释：注意|AF 1|+|AF 2|=10，|BF 1|+|BF 2|=10,且|AF 1|+|F 1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论； 解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF 1|+|AF 2|=10,|BF 1|+|BF 2|=10, 又已知|F 2A|+|F 2B|=12， 所以|AB|=|AF 1|+|BF 1|=8. 答案：8〖例2〗已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
2014高考数学文(人教A版)总复习课件8-5椭圆
条件不符，舍去．故可设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，
y＝kx＋m， 由3x2＋4y2＝12 ，
消去 y，
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
①
则 Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，
x1＋x2＝－3＋8k4mk2， x1x2＝43m＋2－4k122.
设线段 PQ 的中点为 N，则点 N 的坐标为k－2＋k2，k2＋2 2，
由题意有 kMN·k＝－1，可得m－kk2＋2 2·k＝－1，可得 k2＋2
m＝k2＋1 2，
又
k≠0，所以
1 0<m<2.
(2)设椭圆的焦点为 F， 则 S△MPQ＝12·|FM|·|x1－x2|＝ 2m1－m3， 所以△MPQ 的面积为 2m1－m3(0<m<21)． 设 f(m)＝m(1－m)3，则 f′(m)＝(1－m)2(1－4m)． 可知 f(m)在区间0，14上单调递增，在区间14，12上单调递减． 所以，当 m＝14时，f(m)有最大值 f14＝22576. 即当 m＝41时，△MPQ 的面积有最大值3166.
解析：△PF1F2 的周长＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2| ＝2a＋2c＝10＋6＝16. 答案：16
5．(2013 年合肥质检)以椭圆x42＋y32＝1 的右焦点 F 为圆心，并过椭
圆的短轴端点的圆的方程为________． 解析：椭圆x42＋y32＝1 的右焦点为 F(1,0)，所求圆的半径为
• (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明 确确定直线、椭圆的条件；
• (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次 方程后的运算能力，重视根与系数之间的 关系、弦长、斜率、三角形的面积等问 题．
2014届高考数学理科,大纲版一轮复习配套课件：81椭圆共37张
当椭圆的焦点在 y 轴上时，∵b＝3，ca＝ 36，
∴
a2－b2＝ a
36，∴a2＝27.∴椭圆的方程为x92＋2y27＝1.
∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1 或x92＋2y72 ＝1.
F2(c,0) 2.ya22＋bx22＝1(a>b>0)，c＝ a2－b2，焦点是 F1(0，－
c)，F2(0，c)
3.参数方程xy＝＝bascions
θ， θ.
(θ 为参数)
目录
xa22＋yb22＝1(a>b>0)
图形
ya22＋xb22＝1
a>b>0
性 质
顶点 轴
A1(－a,0)，A2(a,0)
2014届高考数学理科 大纲版一轮复习配套 课件：81椭圆共37张
第八章 圆锥曲线方程
2014高考导航
考纲解读 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了 解椭圆的参数方程． 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几 何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几 何性质． 4.了解圆锥曲线的初步应用.
e＝__a__ (0＜e＜1)
l1：x_＝__－__ac_2；l2：_x_＝___ac_2 _ l1：_y_＝__－__ac_2；l2：_y_＝__a_c2__
目录
思考探究 1．在第一定义中，若没有“2a>|F1F2|”的条件，那么点的轨迹 还是椭圆吗？ 提示：不是．若2a＝|F1F2|，动点轨迹是线段F1F2；若 2a<|F1F2|，动点轨迹不存在． 2．在第二定义中，定点与定直线有什么限制条件？ 提示：第二定义中定点不能在定直线上，且定点与定直线是 椭圆相应的焦点与准线．在运用第二定义解题时，一定要注 意左焦点对应左准线，右焦点对应右准线．
人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-5
第八章 平面解析几何 8.5 椭圆 考向归纳 考向1椭圆的定义与标准方程1.(2014·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】 由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 【解析】 设圆M 的半径为r ， 则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1，故选D.【答案】 D3．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________．【解析】 当椭圆的焦点在x 轴上时，a ＝3，则b ＝1.从而椭圆方程为x 29＋y 2＝1，当椭圆的焦点在y 轴上时，b ＝3，则a ＝9，从而椭圆方程为y 281＋x 29＝1.【答案】 x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝11．求椭圆方程的方法(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．2．焦点三角形中的常用结论椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等，常用到的结论有：(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ；(3)当P 为短轴端点时，θ最大．考向2椭圆的几何性质1.(2014·江西高考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【解析】 由题意，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a .由于AB ∥y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝⎛⎭⎫0，b22a ， 由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0， 则⎝⎛⎭⎫2c ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0， 即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝ca，且e ∈(0,1)，∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】33求椭圆离心率的方法1．直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．2．列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[变式训练]1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.33B.36C.13D.16【解析】 如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2. 因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线． 所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°. 因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|， 由椭圆定义得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2， 则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.故选A.【答案】 A2．(2015·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1【解析】 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋ －4 2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32，故选A.【答案】 A考向3直线与圆锥曲线的位置关系(1). (2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(2)图8-5-1(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .①求椭圆E 的离心率；②如图8-5-1，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．(文)(2)(2015·陕西高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.①求椭圆E 的方程；②经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】 (1)不妨设点A 在第一象限，设半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵AF 2⊥x 轴，则A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1)． 又|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →，设B (x 0，y 0)，则(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)， ∴x 0＝－5c 3且y 0＝－b 23，代入椭圆x 2＋y 2b2＝1，得25c 2＋b 2＝9①又c 2＝1－b 2，② 联立①②，得b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.【答案】 x 2＋32y 2＝1(2)①过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.②法一 由①知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋1 1＋4k 2，x 1x 2＝4 2k ＋1 2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋1 1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 .由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由①知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 . 由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1．解决直线与椭圆有关问题的求解策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2－4x 1x ] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[ y 1＋y 2 2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[变式训练]1.(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解】 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4. 于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2 －c －x 1 ＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 a 2－4a 4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.。
2014高考数学(理)一轮复习学案课件第8编学案5椭圆
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学案5 椭 圆
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【全国通用高考数学一轮导学案】第八章 8.5椭 圆
§8.5椭圆1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质[点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1的焦距相同．( √ )1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4. 当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0， m －2－(10－m )＝4，m ＝8.2．(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 16解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2| ＝2a ＋2c ＝10＋6＝16.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 设过左焦点F 1的正三角形的边交椭圆于A ，则|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，有2a ＝(1＋3)c ， ∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.题型一 椭圆的定义及标准方程例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________．(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义； (2)要分焦点在x 轴和y 轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解．答案 (1)B (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(3)x 29＋y 23＝1 解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |， 又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①、②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(2)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________． 答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1解析 (1)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(2)设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b 2＝1， 得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二 椭圆的几何性质例2 (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．思维点拨 (1)根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a 、b 的值．(2)求出C 的坐标，利用F 1C ⊥AB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2ca 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3， 直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.思维升华 求椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a 、c 来求解e ，通过已知条件列方程组，解出a 、c 的值；(2)构造a 、c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a 、c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)C (2)57解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C.(2)如图，在△ABF 中，|AB |＝10，|AF |＝6，且cos ∠ABF ＝45，设|BF |＝m ， 由余弦定理，得 62＝102＋m 2－20m ·45，∴m 2－16m ＋64＝0，∴m ＝8.因此|BF |＝8，AF ⊥BF ，c ＝|OF |＝12|AB |＝5.设椭圆右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性，得|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14. ∴a ＝7，因此离心率e ＝c a ＝57.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 (1)已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为______．(2)直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－12C.3－1 D ．4－2 3思维点拨 (1)可以联立直线和椭圆的方程，利用“设而不求”思想和弦长公式求解． (2)利用题中的几何关系得到a ，c 的一个关系式即可． 答案 (1)2 (2)C解析 (1)a ＝3，b ＝1，c ＝22， 则F (－22，0)．由题意知l ：y ＝13(x ＋22)与x 29＋y 2＝1联立消去y 得4x 2＋122x ＋15＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上面方程的两实根， 所以x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝154，所以|AB |＝1＋13·|x 1－x 2|＝23·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2318－15＝2.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2， 由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c ， 由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a ， ∴e ＝ca＝3－1.思维升华 解答直线与椭圆的位置关系问题，一般联立直线和椭圆的方程，利用“设而不求”思想和根与系数的关系建立变量间的关系．设A 、B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点，则λ的取值范围是________． 答案 (12，＋∞)解析 依题意，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋3， 代入3x 2＋y 2＝λ，整理得(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－λ＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴Δ＝4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0，② 且x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3，由N (1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 22＝1，∴k (k －3)＝k 2＋3， 解得k ＝－1， 代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，＋∞)．高考中求椭圆的离心率问题典例：(1)(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则椭圆的离心率的取值范围为______．思维点拨 (1)利用点差法得出关于a ，b 的方程． (2)由正弦定理将已知等式转化为|PF 1|、|PF 2|的等量关系．解析 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12， x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12， ∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. (2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝a c (注意到P 不与F 1F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝a c， ∴2a |PF 2|－1＝c a ，∴2a |PF 2|＝c a ＋1>2a a ＋c ， 即e ＋1>21＋e，∴(e ＋1)2>2. 又0<e <1，因此2－1<e <1.答案 (1)22 (2)(2－1,1) 温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得； (2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．失误与防范1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆． 则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4.故“2<m <6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y 21m ＝1. 由题意知a 2＝1m，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2答案 D解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y－6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 答案 B解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55. 5．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.34B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.6．(2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案 3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a ＝3－1. 7．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.8．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23，∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－2m 3)2＋(m 3)2＝1，∴m ＝±355. 10．(1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值．解 (1)设椭圆的焦半径为c ，设另一个焦点为F ，如图所示，∵AB ＝AC ＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24. 设F A ＝x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋(22)2＝4c 2，∴c ＝64，e ＝c a＝6－ 3. (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1 ＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0，当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 12．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a， 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b2＝1， 而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C. 13．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2. 设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3.∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 14．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋(6－3)2＋42＝15.15．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x ， 整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2， 解得a ＝3. 而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
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点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最
小距离为a－c. 2. 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程， 再结合c2＝a2－b2，就可求得e(0<e<1)． 3. 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为
标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否
为坐标轴.
(3)若________，则集合P为空集．
第八章 第5讲
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(1)判断下列点的轨迹是否为椭圆(请在括号内填“是”或 “否”) ①平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于2的点的轨迹 ( )
②平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于4的点的轨迹
( ) ③平面内到点A(0,2)，B(0，－2)距离之和等于6的点的轨迹 ( )
第八章
第5讲
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2种必会方法
1. 定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点
位置，直接写出椭圆方程． 2. 待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是 y 轴上，设出相 应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组， 解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．
第八章
第5讲
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3点必记技巧 1. 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦
P
a2 a2 5 2 故 a， 2 a在椭圆上， 5a2＋2b2＝1， 5
第八章
第5讲
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(2)设直线 OQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx，设点 Q 的坐标为(x0，y0)． y0＝kx0， 2 2 由条件得 x0 y0 消去 y0 并整理，得 a2＋b2＝1， a2b2 x2 ＝ 2 2 .① 0 k a ＋b2 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及 y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x2＝a2. 0 整理得(1＋k2)x2＋2ax0＝0，而 x0≠0， 0
第八章 第5讲
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求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定
形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建
立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有 两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2 ＋ny 2 ＝ 1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
第八章
第5讲
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第八章 第5讲
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[变式探究]
x2 y 2 [2012· 河南驻马店模拟]设椭圆 a2 ＋ b2 ＝
1 1(a>b>0)的离心率为 e＝2，右焦点为 F(c,0)，方程 ax2＋bx －c＝0 的两个实数根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)( A. 必在圆 x2＋y2＝2 上 C. 必在圆 x2＋y2＝2 内 B. 必在圆 x2＋y2＝2 外 D. 以上三种情形都有可能 )
[审题视点] a、c的关系． 利用|AF1||F1B|＝|F1F2|2的关系为突破口，寻找
第八章
第5讲
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[解析] 因为 A，B 为左、右顶点，F1，F2 为左、右焦 点， 所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c. 又因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列， 所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即 a2＝5c2. 5 c 所以离心率 e＝a＝ 5 .
第八章 第5讲
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x2 1. 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆a2 y2 ＋b2＝1，有－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1 等，在求与椭圆有 关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经 常用到这些不等关系． 2. 求椭圆离心率问题， 应先将 e 用有关的一些量表示出 来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式， c2 从而求出 e 的值或范围．离心率 e 与 a、b 的关系：e2＝a2＝ a2－b2 b2 b 2 2 ＝1－ 2⇒ ＝ 1－e . a a a
[变式探究]
[2012·上海高考]对于常数m、n，“mn>0”是 )
“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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答案：B 解析：条件是“mn>0”，结论是“方程mx 2 ＋ny 2 ＝1的曲
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答案：C
1 c 解析：由 e＝2＝a得 a＝2c，b＝ 3c， 3 1 b c 所以 x1＋x2＝－a＝－ 2 ，x1x2＝－a＝－2，
2 所 以 点 P(x1 ， x2) 到 圆 心 (0,0) 的 距 离 为 x1＋x2 ＝ 2
x1＋x2 －2x1x2lt; 2， 所以点 P 在圆 x2＋y2 4
第八章
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核心要点研究
第八章
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例 1 [2011· 课标高考]在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的方程为________．
第八章 第5讲
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课前自主导学
第八章
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1. 椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹(或集合)叫________．这两定点叫做椭圆的
________，两焦点间的距离叫做________．
集合P＝{M||MF 1 |＋|MF 2 |＝2a}，|F 1 F 2 |＝2c，其中a>0， c>0，且a，c为常数： (1)若________，则集合P为椭圆； (2)若________，则集合P为线段；
线是椭圆”，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，可以得出
mn>0，且m>0，n>0，m≠n，而由条件“mn>0”推不出“方程 mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”．所以为必要不充分条件，选B.
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x2 y2 例 2 [2012· 江西高考]椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、 右顶 点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|，|F1F2|， |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______．
图形
第八章
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范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系
______≤x≤______ ______≤y≤______ 对称轴：坐标轴 －b)，B2(0，b)
－b≤x≤b－ a≤y≤a 对称中心：原点 a) B1(－b,0)，B2(b,0)
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0， A1(0，－a)，A2(0， 长轴 A1A2 的长为____； 短轴 B1B2 的长为______ |F1F2|＝______ c e＝a∈______ c2＝______
[答案]
5 5
第八章 第5讲
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x2 y2 奇思妙想：若椭圆a2＋b2＝1 的长轴的长度、短轴的长 度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为多少．
解：由题意得 a＋c＝2b， ∴(a＋c)2＝4(a2－c2)． ∴3a2－2ac－5c2＝0. ∴(3a－5c)(a＋c)＝0. c 3 ∴3a－5c＝0，∴e＝a＝5.
2 1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 .直线 y＝k(x－1) 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时，求 k 的值．
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a＝2， c 2 解：(1)由题意得 ＝ ， a 2 a2＝b2＋c2， 解得 b＝ 2. x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1.
第八章
第5讲
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(1)若方程Ax2＋By2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则A与B具
有什么关系？
(2)椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
第八章
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x2 y 2 (1)已知椭圆 2 ＋m＝1 的焦点在 y 轴上， 若椭圆的离心率 2 为 2 ，则 m 的值为________． x 2 y2 (2)椭圆m＋ 4 ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值为________.
[审题视点] 先由△ABF2的周长确定a的值，根据离心率求
得c，进一步确定b值，写出椭圆方程．
第八章
第5讲
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x2 y2 [解析] 设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，因为 AB 过 F1 且 A、 在椭圆上， B 如图， 则△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2| c ＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16， ∴a＝4.又离心率 e＝a 2 ＝2， ∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为16＋ 8 ＝1. x2 y2 [答案] 16＋ 8 ＝1
第八章
第5讲
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1. 椭圆 焦点 焦距 a>c a＝c a<c
判一判：①否 ②否 填一填：16 2．－a a －b b 2a 2b 2c (0,1) a2－b2 想一想：(1)提示：A>B且A>0，B>0. ③是
第八章
第5讲
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c (2)提示：离心率 e＝a越接近 1，a 与 c 就越接近，从而 b＝ a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近 0， 椭圆就越接近于圆． 填一填：(1)4 (2)3 或 5
＝2 内.
第八章
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例 3
P
x2 y2 [2012· 天津高考]已知椭圆a2 ＋ b2 ＝1(a>b>0)，点