2016-2017学年高中数学人教B版必修1学业分层测评22 指数函数与对数函数的关系 Word版含解析

学业分层测评(二十二) 指数函数与对数函数的关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设f (x )＝3x ＋9，则f －1(x )的定义域是( ) A.(0，＋∞) B.(9，＋∞) C.(10，＋∞)
D.(－∞，＋∞)
【解析】 ∵f (x )＝3x ＋9>9，
∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B. 【答案】 B
2.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x －1，c ＝log 23x ，若x >1，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.a <b <c
B.b <c <a
C.c <a <b
D.b <a <c
【解析】 ∵x >1，
∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝23，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1>⎝ ⎛⎭
⎪⎫
320＝1，
∴0<a <b ，而y ＝log 23
x 是减函数，∴log 23
x <log 23
1＝0.
∴c <a <b .故选C. 【答案】 C
3.已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( ) A.f (2x )＝e 2x (x ∈R ) B.f (2x )＝ln 2·ln x (x >0) C.f (2x )＝2e x (x ∈R ) D.f (2x )＝ln x ＋ln 2(x >0)
【解析】由y＝e x得f (x)＝ln x，
∴f (2x)＝ln 2x＝ln 2＋ln x(x>0).
【答案】 D
4.函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为()
A.x＝2－y
B.x＝y－2
C.y＝2－x(x∈R)
D.y＝x－2(x∈R)
【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R).互换x，y，得y＝x－2(x∈R).
【答案】 D
5.已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是()
A.y＝3－3x(x≥0)
B.y＝3＋3x(x≤1)
C.y＝3＋3x(x≥0)
D.y＝3－3x(x≤1)
【解析】由y＝log3(3－x)，得3－x＝3y，∴x＝3－3y，
∴有f －1(x)＝3－3x，排除B、C，
∵原函数中0≤x<3，∴0<3－x≤3，
∴y＝log3(3－x)≤1，
所以f －1(x)的定义域为x≤1，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.若函数f (x)的反函数为f －1(x)＝x2(x>0)，则f (4)＝________. 【导学号：60210091】
【解析】设f (4)＝b，则4＝f －1(b)＝b2且b>0，∴b＝2.
【答案】 2
7.已知函数y＝a x＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________，b＝________.
【解析】由函数y＝a x＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4.
由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a ＝3，b＝1.
【答案】3 1
8.设函数g(x)的图象与f (x)＝2x＋1
4x＋3⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x∈R，且x≠－
3
4的图象关于直线y＝x
对称，则g(2)的值等于________.
【解析】∵g(x)的图象与f (x)＝2x＋1
4x＋3
的图象关于直线y＝x对称，∴g(x)与f
(x)互为反函数，
由2x＋1
4x＋3
＝2，解得x＝－5
6
，
∴g(2)＝－5
6.
【答案】－5 6
三、解答题
9.求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数.
【解】因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2. 所以1<y<2.
由2x＝y－1，得x＝log2(y－1).
所以f －1(x)＝log2(x－1)(1<x<2).
10.已知f (x)＝log a(a x－1)(a>0，且a≠1).
(1)求f (x)的定义域；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)解方程f (2x)＝f －1(x).
【解】(1)要使函数有意义，必须a x－1>0，
当a>1时，x>0；
当0<a<1时，x<0.
∴当a>1时，f (x)的定义域为(0，＋∞)；
当0<a<1时，f (x)的定义域为(－∞，0).
(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，
故0<ax1－1<ax2－1，
∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，
∴f (x1)<f (x2).
故当a>1时，f (x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0<a<1时，f (x)在(－∞，0)上为增函数.
(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，
∴x＝log a(a y＋1).
∴f －1(x)＝log a(a x＋1).
由f (2x)＝f －1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，
解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2.
[能力提升]
1.设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－1
2，则()
A.a＜b＜c
B.b＜c＜a
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a
【解析】a＝log32＝
1
log23
，b＝ln 2＝1
log2e
，而log23＞log2e＞1，所以a＜
b.又c＝5－1
2
＝1
5
，而5＞2＝log24＞log23，所以c＜a.综上知c＜a＜b.
【答案】 C
2.设函数f (x)＝log a(x＋b) (a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象
过点(2,8)，则a ＋b 等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】 f (x )＝log a (x ＋b )的反函数为f －1(x )＝a x － b ，又f (x )过点(2,1)，∴f －1(x )过点(1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝1，a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4，a ＝－2，
又a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
∴a ＋b ＝4. 【答案】 B
3.函数y ＝⎩
⎨⎧
x ＋1，x <0，
e x ，x ≥0的反函数是________.
【导学号：60210092】
【解析】 当x <0时，y ＝x ＋1的反函数是y ＝x －1，x <1； 当x ≥0时，y ＝e x 的反函数是y ＝ln x ，x ≥1. 故原函数的反函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －1，x <1，
ln x ，x ≥1.
【答案】 y ＝⎩⎨⎧
x －1，x <1，
ln x ，x ≥1
4.设a >0，且a ≠1，函数y ＝ax 2－2x ＋3有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x )的单调区间.
【解】 设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2.
当x ∈R 时，t 有最小值，为2. ∵y ＝ax 2－2x ＋3有最大值，∴0<a <1.
由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，32.
设u (x )＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，32，则f (x )＝log a u (x ). ∵u (x )＝3－2x 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，0<a <1，
∴f (x )＝log a u (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，32上是增函数. ∴f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，32，无单调减区间.。