经典高等数学课件D8-6空间直线6

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★空间曲线
三元方程组

F ( x , y , z) 0 G( x , y , z ) 0
x x( t )
或参数方程
★求投影曲线 设空间曲线
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
y y( t )
z z(t )
消去 z 得投影柱面
H z
cos cos( s1 , s2 ) s1 s1 s2 s2

s2
L2

m1 m2 n1 n2 p1 p2
m1 n1 p1
2 2 2
cos
2
m2 n2 p2
2 2
s1 s1
s2 s2
7
特别有: (1) L L s s
L :
:
n

s
x x0 m

y y0 n

2 z z0
p
, s （ m , n , p）
, Ax By Cz D 0 , n （ A , B , C）


2



2

sin cos
s in
s n s n
所求直线的方程为：
x 3 4

y 2 3

z 5 1
.
15
三、平面束 定义 通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个 平面确定的平面束. 定理 设平面
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0,
3(3 t 1 2 ) 2(2 t 1 1) ( t 3 ) 0
M (2,1,3)
P
s (3, 2, 1)
(1,1,0)
t
3 7
解法3:也可写出直线的一般方程. 过点 M 与已知直线垂直的平面 所求直线的一般方程为 由点M 与已知直线确定的平面
问：直线 L 在平面 上吗？
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平行但不重合 且无公共点 sn 平行 线在面内 s n且有公共点 线面的位置关系 s // n 直交
相交

斜交 sin
sn s n
要求：1.会判断线面间的位置关系. 2.会求线面间的夹角,交点(如果存在).
H ( x, y ) 0 ,
与xoy 面方程联立 得C 在xoy 面上的投影曲线
(x, y) 0
0
1
第六节 空间直线及其方程
一、空间直线方程
第八章
二、线面间的位置关系
2
复习空间直线方程
★
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
直线的一般式方程
★
x x0 m

y y0 n
3.若线面平行,会求它们之间的距离.
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例4.设直线 L :
x 1 2

y 1

z1 2
， 平 面 : x y 2 z 3，
求 直 线 L与 平 面 的 夹 角 . , , 解: n （1 , 1 , 2） s （ 2 , 1 , 2） sn 7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . s in 3 6 s n 6 9
L s
n

L
s
例如， 直线 L :
x 3 4

y 2 3

z 5 1
.
s （ 4 , 3 , 1 ）
n （1 , 1 , 1 ）
平 面 : x y z 1 0. s n 0, s n , L //
k 1 3Байду номын сангаас
(4 , 1, 3)
是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为：x 1
4
y 1
t
参数式方程为：
把直线的一般式转化为点向式的解题思路: 1.先找直线上一点(满足直线方程的数组);
2.再找直线的方向向量： n1 n2 s
5
例2. 求直线
的交点 . 解法1: 化直线方程为参数方程
cos s1 s1 s2 s2
L1 L2 s1 s2
要求：1.会判断两直线间的位置关系. 2.会求两直线间的夹角,交点(如果存在).
3.若两直线平行,会求它们之间的距离.
4.若两直线异面,怎么求它们之间的距离(思考)?
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2.直线与平面的夹角
定义： 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 规定:
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例9. 求直线 上的投影直线方程.
在平面
另解：过已知直线的平面束方程
x y z 1 ( x y z 1) 0
(2,1,3)
最后利用点向式得所求直线方程
x2 2 y 1 1 z3 4
P
(3,2,1) (1,1,0)
19
例8. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程.
解法2: 先求二直线交点 P. (1 ) P 已 知 直线，故可设P 的坐标为：
P ( 3 t 1, 2 t 1, t ) ( 2 )M P s

z z0 p
直线的对称式方程 也称标准式方程 也称点向式方程
★
x x0 m t y y0 n t z z0 p t
直线的参数式方程
3
例1. 用对称式及参数式表示直线
解: 先在直线上找一点. 令 x = 1, 解方程组
y z 2 y 3z 6
,得 y 0 ,
4 z 3和 2 x y 5 z 1
解： 设所求直线的方向向量为 s
根据题意知: s n 1 , s n 2 ,
i
故可取 s n1 n 2 1
n1 n 2

2
j 0
k 4

1
2 1 5
（ 4 , 3 , 1）
n1
s
( 2 ) 1 (1 2 ) 2 ( 2 ) ( 1) 0
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2x y 2z 1 0 且与平面 例7. 求过直线 x 2y z 2 0
x y z1 0 垂直的平面方程.
另解：用点法式方程
（1）在直线上任找一点M作为平面上的已知点. （2）先求直线的方向向量 s , n
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例9. 求直线
在平面
P
上的投影直线方程. 解：已知直线与已知平面的交点为：
x y z1 0 1 1 M (0, , ) x y z 1 0
M

N

x y z 0
2
2
则过点P与已知平面 在直线上另取一点P (0, 0, 1)， 垂直的直线方程为
s1 s 2 0 , s1 s 2 ,
则 s 1 (1 , 4 , 0 ), s 2 ( 0 , 0 , 1 ) ,
即 L1 L 2 .
s1 s
2
问：这两条直线是相交还是异面？ 答 ：只要有一个交点就说明相交,否则就是异面.
8
例3. 求以下两直线的夹角
由平面 1 , 2 所确定的平面束的方程为：
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C 2 z D) 0
以上方程不包括平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0.
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例7.
2x y 2z 1 0 且与平面 求过直线 x 2y z 2 0 过点(1,2, －1)
1 2
1
2
m1 m2 n1 n2 p1 p2 0
m1 m2 n1 n2 p1 p2
(2) L1 // L2 s // s 1 2
例如， 直线 L 1 : x 1
1

y 4

z 3 0
s1
s2
直线 L 2 :
x 1 0

y 1 0

z 5 1
与平面
如何求两直线的交 点？有吗？ t
代入平面方程得:
2(2 t ) (3 t ) (4 2 t ) 6 0 t 1
从而确定交点为(1,2,2). 解法2: 化直线方程为一般方程 经验：计算线与面，线与 线的交点时，一般用直线 x y1 0 的参数式较简单. 2y z 2 0

与平面方程联立解方程组 2 y z 2 0 2 x y z 6 0
x y1 0
得交点为(1,2,2).
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二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 L1 , L2 的方向向量分别为 L
1
s1
则两直线夹角 满足
2 2
4 1 ( 4) 1 2 ( 2) (1) s1 s2 问：这两条直线是相交 cos 还是异面？ s1 s2
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相交(含垂直相交) 两直线的位置关系 平行 s1 // s2 即两方向向量的 异面(含垂直) 位置关系
平 面 的 法 向 量 n s n1
1
n
试一试！
s
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