GCT数学辅导修改(初等数学2010)

GCT 数学辅导 第1章 算 术
1.1 数的概念、性质与运算 1 数的概念 自然数 ,2,1,0； 分数
q
p
，q p ,互质，真分数、假分数、带分数等； 小数 )0(10.0121≠⨯a a a a n t ，有限小数、无限小数（循环小数、无限
不循环小数）等；
百分数
%x 。

2 数的性质 整除
k q
p
=，k 是整数。

约数)(q ，倍数)(p ； 奇数、偶数，质数（素数，只有1和本身两个约数）、合数（非质数，约数大于2），合数是若干个质因数的乘积；
公倍数（最小公倍数）、公约数（最大公约数）、互质数。

分子与分母互质的分数称为最简分数（又称既约分数）。

有理数一般均表示为最简分数的形式。

3 数的四那么运算 加、减、乘、除。

加法满足交换律和结合律；减法是加法的逆运算。

乘法满足交换律、结合律和分配律；除法是乘法的逆运算。

被除数、除数和商。

4 比和比例
d c b a d
c
b a ::=⇔=。

若0,0><<
c b a ，那么c
b c
a b a ++<。

此因0)()(<+-=++-
c b b b a c c b c a b a 。

正比例关系―两个数的比值一定)(k q
p =；反比例关系―两个数的乘积一定)(k pq =。

1.2
应用问题
例1.2.1 列方程解亦可，设完成任务用x 小时，那么有
5.1212)5.2(10=⇒=+x x x ，125105.12=⨯。

例1.2.2 亦可列方程解)(407
3209320m x x
x =⇒-=+。

对大家而言，通过列简单的一元一次方程或二元一次方程组解算术问题可能是更好更快的方法。

例1.2.5
)(305
215)45(45km x x
x =⇒=+-+。

例1.2.10)(1615)2120(h =÷⨯，实际用了)(185
15120
515120h =-++。

例⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+325550
y x y x ，292129,21⇒==y x 。

例5366113114=⇒⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+x x x 。

例1.2.23盐的总量不变。

1.3 典型例题
数的概念与性质 例1.3.1 考察合数的定义。

例1.3.2 2与99。

例1.3.3 *从最小质数2
分析起。

例1.3.4 公倍数与最小公倍数的区别。

例1.3.5
应为b a ,中至少一个为偶数。

例注意推理过程。

奇数乘以奇数还是奇数 分数计算 例1.3.6 列等式
b
a
b a =++5424。

例1.3.7 *根号的定义，这已用到指数的定义。

例1.3.8
一个常用的不等式。

简单应用题 例1.3.9
658
58321
=⇒=x x 。

例1.3.10 960513
1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯x 。

例1.3.11 三角形与平行四边形面积的定义。

例1.3.12 书页数字是凑好的。

例1.3.13 *这是一类题。

给出甲或乙的数据，然后甲、乙同进行一
段时间，再求另一方数据。

例1.3.14 列方程组简单。

百分数计算
例1.3.15 21.11.11.1=⨯。

例1.3.16 求出前后的单位产量的比值。

例1.3.17 9115.125.1+=⨯⨯x x 。

比例计算
例1.3.18 *圆柱体与圆锥体的体积比为3:1，此题绕了一个弯子，要
考虑圆锥体的体积与圆柱体减去圆锥体的体积之比。

例1.3.19 3
4
43=⇒=乙甲乙甲：：V V V S V S 。

例1.3.20
3
5
12.02.01=⇒=+-乙甲甲乙甲）（V V V V V 。

例1.3.21 面积比是棱长比的平方。

例1.3.22 先建立
2=乙甲R R ，乙甲h h 2
1
=。

再算体积比。

例1.3.23 *显然除去阴影部分的面积易得。

例1.3.24 *设行人速度为人V ，设法计算行人的影子速度影V 。

例1.3.25 不需要计算圆的半径。

例1.3.26 移前。

单位量与总量问题 例1.3.27 列方程简单。

例1.3.28 粮食总量不变。

例1.3.29 关键是要减去门窗面积，还要注意墙壁大约要抹厚一些。

例1.3.30 列方程。

运动问题
例1.3.31 *注意火车亦有长度。

例1.3.32 相向运动，速度相加。

年龄问题
例1.3.33 年龄问题习惯上设小者为x 。

例1.3.34 *简单的运筹学问题，验算方便。

？ 例1.3.35 增长率是百分数。

k 个月只能是1-k 次方。

运动问题
例1.3.36 *()203213
23020=⎪⎭
⎫
⎝
⎛-⇒=⇒==-x V V V V x V V 进出出进出进。

例1.3.37 *显然甲慢乙快。

1⨯=甲V OA ，1⨯=乙V OB 。

4
3
01127)(60352=⇒=-⨯+⇒=+乙甲乙甲乙甲甲乙V V V V V V V OB V OA 。

注意6035是统一时间度量。

例1.3.38 生活中提出的问题。

例1.3.39 或面积相同，圆周长最小，正方形次之，三角形周长最大。

例1.3.40 注意两个楼梯的总高度与坡度相同。

例1.3.41 相似三角形的相似比。

例1.3.42 *求两个数的最小公倍数。

例1.3.43 相向运动，速度相加。

例1.3.44 列方程。

例1.3.45 列方程简单。

（经典的题目还有100个和尚与100个馒头）。

例1.3.46 同向运动，速度相减。

21756010)75100(=⇒⨯=
-t t ， 602
1
1002.1=⨯⨯。

例1.3.47 自己看。

第2章 数和代数式
2.1 实数与复数 1 实数及与数轴的对应
实数=有理数+无理数（无限不循环小数）。

实数与数轴上的点可建立一一对应关系。

证明2是无理数。

反证法：设有分数q p ，满足22
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛q p ，这里q p ,互质，于是2
22q p =， 故p 为偶数；令r p 2=，代入上式得2222224r q q r =⇒=，于是q 亦为偶数，这与q p ,互质矛盾。

2 实数的运算
四那么运算、乘方、开方，和绝对值。

3 复数及与复平面的对应
θθθi re i r b a b i
b a a b a ib a z =+=++++=+=)sin (cos )(
2
22222，
这里1,
,
1,1432=-=-=-=i i i i i ，a
b
a b 1tan arctan -==θ。

故 )()())((21bc ad i bd ac id c ib a z z ++-=++=，
2
22221)
()())((d c ad bc i bd ac d c id c ib a id c ib a z z +-++=+-+=++=； 若取三角形式，那么有 1
22
1
)(212121θθθθ+==i i i e r r e r e r z z ，
)
(2
12121θθ-=i e r r z z 。

θin n n e r z =，1,,2,1,0,
211-==+n k e
r z n
k i
n
n πθ。

例 讨论1,,2,1,
211-==+n k e r z n
k i
n
n πθ的各种情况。

代数式及其运算 1 整式及其加法与乘法 单项式、多项式，七个乘法公式
))((22b a b a b a -+=-， 2222)(b ab a b a +±=±， 3223333)(b ab b a a b a ±+±=±， ))((2233b ab a b a b a +±=± 。

2 因式分解 十字相乘法；
一元n 次实系数多项式 n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，
令01110=++++--n n n n a x a x a x a ， 必011
10=++++--n n n n
a x a x
a x a 。

故一元n 次实系数多项式的根若为复数，必呈共轭形式出现，即总可以分解为若干个一次和二次实系数因式的乘积。

其中二次实系数因式对应一对共轭复根。

3 整式的除法
定理对任意两个实系数多项式)(),(x g x f ，其中)(x g 不是零多项式。

一
定存在实系数多项式)(),(x R x Q ，使得
)()()()(x R x g x Q x f +=，
这里)(x R 的次数小于)(x g 的次数，且)(),(x R x Q 是唯一的。

整式的除法的做法—竖式辗转相除法。

若余式0)(=x R ，那么称)(x g 整除)(x f ，此时称)(x g 是)(x f 的一个因式。

类似于整数性质中公约数和最大公约数的概念，多项式亦有公因式和最大公因式的概念。

即若)(x h 同时整除)(x f 与)(x g ，)(x h 就是
)(x f 与)(x g 的一个公因式，而当)(x f 与)(x g 的任何公因式均为)(x h 的
因式时，)(x h 就是)(x f 与)(x g 的最大公因式。

同样可定义多项式的最小公倍式或两个多项式互质等概念。

4 分式（有理多项式）
设)(),(x g x f 是两个多项式，形如)
()
(x g x f （其中0)(≠x g ）的式子称为分式。

如果)(x g 整除)(x f ，那么)
()
(x g x f 即可简化为多项式。

当)(x f 与)(x g 有公因式时，可以约分
)
()()()()
()()()(1111x g x f x h x g x h x f x g x f ==， 不能约分的分式称为既约分式（此时)(1x f 与)(1x g 互质）。

5 根式
称)1(≥n a n 为根式，它满足a x n =，这里的x 为a 的n 次方根。

乘积的方根)0,0(≥≥=b a b a ab n n n 。

分式的方根)0,0(≥≥=b a b
a
b a n n
n 。

根式的乘方)0()(≥=a a a n m m n 。

根式的化简 )0(≥=a a a n m np
mp ，
)0(1>=
a a
a
a。

绝对值的概念与计算 例2.3.1 直接脱绝对值号。

分式计算 例2.3.2 通分。

例2.3.3 有某个因式，等于告诉了某个根。

复数及运算
例2.3.4 推出412
=+z 。

例2.3.5 先求i +1，再实数计算。

例2.3.6 看成平面直角坐标系上的点也可以做。

例2.3.7 虚部为零。

例2.3.8 韦达定理。

例2.3.9 等差与等比中项。

第3章集合、映射和函数
集合
1集合的概念
集合—具有某种特定性质的具体或抽象的对象汇集成的总体。

表示C
a,
,等。

b
B
A,
,等。

集合中的对象称为元素，表示c
a∉表示a不是A中元素。

a∈表示a是A中元素，A
A
几个常用的数集
N—自然数集；
Z—整数集，+Z—正整数集，-Z—负整数集；
Q—有理数集；
R—实数集，+R—正实数集，-R—负实数集；
C—复数集。

集合的表示方式（1）列举法（枚举法），（2）描述法。

空集—不含任何元素的集合，记为∅。

2集合的包含关系
A⊆示任何A的元素均为B的元素，此时称A是B的子集。

B
空集是任何集合的子集。

⇒
⊆,
A=
⊆
A
B
A
B
B
3集合的基本运算。

A —A与B的交集。

B
B
A —A与B的并集。

A
=—A关于I的补集。

C
A
I
交集、并集和补集还可以进行组合运算。

一般集合等式需要证明。

如)
B
C
A
=。

B
)
A
(
(
A
(C
)
集合在实数域中常表示为区间，寻求下节所定义的函数的定义域一般为确定区间（集合）的交集。

例.4用集合做反而麻烦。

1 映射的概念
映射—A，B两个集合，f为一对应关系（对应法那么），对于任何A 中元素，均有B中唯一的元素与之对应。

记作B
:。

f→
A
在映射中，若A
a∈，B中与之对应的元素是b，称b为a的象，a 为b的原象。

注：可以多对一，不可一对多。

一一映射—满足（1）A中不同的元素，在B中有不同的象；
（2）B中每个元素都有原象。

2函数—数集之间的映射（特殊的映射）
记为B
y∈
=,
(，
),
∈
y
f
A
x
x
其中x称为自变量，y是函数值，又称因变量。

A称为函数)
f的定
(x
义域，函数值的集合{}A
=),
(成为函数)
x
y∈
y
x
f
f的值域，值域包含
(x
于B 。

一般函数)(x f 的定义域若不作说明，那么使函数有意义的x 的取值X 围就是定义域
例 二次函数0,
,
)(2≠∈++==a R x c bx ax x f y ,
当0>a 时，值域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442，当0<a 时，值域是⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-≤a b ac y y 442。

⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=2
22
2
442)(a b ac a b x a c bx ax x f ， a x f b ax x f 2)(,
2)(=''+='。

二次函数的图象是抛物线，抛物线的对称轴是a
b
x 2-
=。

当0>a 时抛物线开口向上，图象的形状是凹函数； 当0<a 时抛物线开口向下，图象的形状是凸函数。

3反函数
设函数A x x f y ∈=),(的值域是B 。

如果映射B A f →:是一个一一对应，那么任给B 中的一个元素y （映射f 的象），可以在A 中找到唯一的x （映射f 的原象）与之对应，这样又可以确定B 到A 的一个函数，把它称为)(x f y =的反函数，记为
B y y f
x ∈=-),
(1。

由于习惯上用x 表示自变量，所以A x x f y ∈=),(的反函数改写成
B x x f
y ∈=-),
(1
，
它的图象与A x x f y ∈=),(的图象关于直线x y =对称。

4函数的单调性、奇偶性和周期性
定义（1）如果函数)(x f y =在其定义域的某个子集I 上满足： 对任意的I x ∈，当21x x <时都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），就称)(x f 在I 上是增函数（或减函数）。

增函数和减函数都称为单调函数。

（2）如果函数)(x f y =对其定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-（或
)()(x f x f -=-），就称函数)(x f 是偶函数（或奇函数）。

（3）如果存在一个非零常数T ，使得函数)(x f y =对其定义域内任意一个x ，都有)()(x f T x f =+，就称)(x f y =为周期函数，T 称为函数的周期。

如果一个周期函数所有周期中存在一个最小的正数，这个正数称为最小周期。

单调函数在其定义域上一定存在反函数。

5幂函数、指数函数和对数函数 指数的概念（+∈∈Z n m R a ,,
）
（1）a a a a n ⨯⨯⨯= （n 个a 相乘）； （2）)0(10≠=a a ； （3）)1,0(>≥=n a a a n m m
n ； （4）)0,0(1
>≠=
-n a a a n
n 。

指数的运算规那么 （1）n m n m a a a +=； （2）n m n m a a a -=÷； （3）mn n m a a =)(； （4）m m m b a ab =)(；
（5）)0(≠=⎪⎭
⎫
⎝⎛b b a b a m m m。

幂函数的一般形式 Q n x y n ∈=,。

指数函数的一般形式 R x a a a y x ∈≠>=,
1,0,
，
当1>a 时，x a y =是增函数；当10<<a 时，x a y =是减函数。

对数函数的一般形式+∈≠>=R x a a x y a ,
1,0,
log ，
当1>a 时，x y a log =是增函数；当10<<a 时，x y a log =是减函数。

指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线x y =对称。

对数的运算规那么)0,0,
1,0(>>≠>N M a a
（1）N M MN a a a log log )(log +=； （2）N M N
M
a a a log log )(
log -=； （3）M n M a n a log )(log =； （4）M n
M a n a log 1log =；
（5）a
M
M b b a log log log =
（换底公式）； （6）M a a M a a ==log ,
1log 。

自然对数x x y e ln log ==；常用对数x x y lg log 10==。

3.3 典型例题 集合 例 例
例因为0>xy 包含了y x ,均小于零的情形。

事实上此题有
S T S = ，T T S = 。

函数的单调性、奇偶性和周期性 例 例3.3.5
多项式函数n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 对奇偶性的要
求。

奇函数，偶次幂前系数均为零；偶函数，奇次幂前系数均为零。

指数函数 例3.3.6 指数运算规那么。

反函数
例由函数的值域确定反函数的定义域，11+±=+y x ；函数的定义域决定了⇒<+01x 11+-=+y x 。

例3.3.10 *注意x a x a e e x f e e x f -==)(,)(21显然关于y 轴对称。

a e 是常
数。

不影响对称性。

第4章
代数方程和简单的超越方程
概 念
设)(x f 是单变量函数，等式
0)(=x f
称为一元方程。

使方程成立的x 称为)(x f 的零点，亦可称方程的根或方程的解。

求根的过程称作解方程。

如果)(x f 是多项式函数，那么称为代数方程
01110=++++--n n n n a x a x a x a ，
若00≠a ，称为n 次代数方程。

如果)(x f 不是多项式函数，那么称为超越方程。

含两个及以上变量的方程称为多元方程。

若干个多元方程联立起来称为方程组。

对于多元方程，初等数学中最多讨论到三元一次方程组的求解。

一元一次方程
)0(,0≠=+a b ax ，
它的根是 a
b
x -=。

二元一次方程组
⎩⎨
⎧≠+=+=+)0(,2
221222
111a a c y b x a c y b x a ， 解方程常用的方法是Gauss 消去法：
不失一般性，设01≠a （否那么交换两个方程即可），
用1
1211221112)(a c
a y a
b a x a y b x a a a -=--=+-
分别与第二个方程相加得 122112211
1221122)()(c a c a y b a b a a c
a c y a
b a b -=-⇒-=-
， 若0)(1221≠-b a b a ，那么 1
2211
22112211221b a b a b c b c x b a b a c a c a y --=⇒--=
；
若0)(1221=-b a b a ，那么须进一步讨论。

（在《线性代数》中）
一元二次方程的性质 1 判别式
R c b a c bx ax ∈≠=++,,0,
02，
由于 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2
222
442a b ac a b x a c bx ax ， 所以当判别式 042>-=∆ac b 时，方程有两个相异实根
a ac
b b x 2421-+-=，a
ac
b b x 2422---=；
当判别式 042=-=∆ac b 时，a
b
x x 221-=
=，即为重根； 当判别式 042<-=∆ac b 时，方程有一对共轭复根
a b ac i b x 2421-+-=，a
b a
c i b x 242
2---=。

2 根与系数的关系（韦达定理）
21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax +--+=--=++
两相对比 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
-=+a c
x x a b x x 2121。

补充：一元三次方程的韦达定理
)
)()((32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++32113322123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++---+=
两相对比 ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
-
==++-=++a d x x x a c
x x x x x x a
b x x x 32113322132
1。

3 二次函数的图像与一元二次方程的根
对二次函数 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=2
22
2
442)(a b ac a b x a c bx ax x f ，当判别式 042
>-=∆ac b 时，若 0>a ，那么044)2(2
<-=
-a
b a
c a b f ，而)(x f 是凹函数，其图像（抛物线）与x 轴有两个交点，恰为对应的一元二次
方程的两个实根；若 0<a ，那么044)2(2
>-=
-a
b a
c a b f ，此时)(x f 是凸函数，其图像（抛物线）与x 轴亦有两个交点，也为对应的一元二次方程的两个实根。

当判别式 042=-=∆ac b 时，0)2(=-a
b
f ，图像（抛物线）与x 轴相切，切点的横坐标a
b
x x 221-=
=为重实根。

当判别式042<-=∆ac b 时，图像（抛物线）与x 轴无交点，没有实根。

例可以看一下。

解一元代数方程 1 公式法 。

2 分解因式法
4.6 根的X 围、方程的变换
1 确定根的X 围 用一元微积分知识
2方程的变换用变量代换，将一些方程化为已掌握的简单方程处理。

4.7 典型例题 一元二次方程的根
例此题可考虑020*******
=--x x 或020********=--x x ，注意应有四个根。

2
20074200620062⨯+±=x ；
实数根，只能取 2
200742006200622
,1⨯++=x 。

两实数根和为零。

例4.7.3 即使是一对共轭复根ib a z ib a z -=+=,
，亦有
22,
2b a z z a z z +==+ 是实数。

一元三次方程根的个数、方程的变换 例4.7.4 显然1是方程的根，而
)4
3
)21)((1()2)(1(2223++-=++-=-+x x x x x x x ，仅一实根。

例4.7.5用变量代换
例验算区间端点的值最方便。

例x e x x f -=23)(，0)1(,0)0(,0)1(><>-f f f ，特别0)(<M f ，当0.>M 充
分大时。

故有3个根。

例4.7.8 用变量代换化为二元一次方程组讨论。

第5章
不 等 式
1 不等式的概念
若R b a ∈,，那么有
b a b a >⇔>-0，b a b a <⇔<-0，b a b a =⇔=-0。

即若0>-b a ，就称b a >，0<-b a ，就称b a <。

在实数域中，不等式表示一种顺序关系。

2不等式的基本性质
（1）若b a >，c b >，那么c a >；
（2）若b a >，那么对一切R c ∈，c b c a +>+；
（3）若b a >，0>c ，那么bc ac >，若b a >，0<c ，那么bc ac <； （4）若0>>b a ，0>>d c ，那么bd ac >；（5）若0>>b a ，那么
)(+∈>Z n b a n n ；（6）若0>>b a ，那么)(+∈>Z n b a n n 。

3基本不等式
（1）对一切R a ∈，有02>a ，002=⇔=a a ；（2）对一切R b a ∈,，有
ab b a 222≥+，b a ab b a =⇔=+222；（3）对任意0≥a ，0≥b ，有ab b a 2≥+，b a ab b a =⇔=+2；（4）对一切R b a ∈,，
b a b a b a +≤-≤-。

当且仅当0≥ab 不等式右边等号成立；当且仅当0≤ab 左边等号成立。

（2）的证明：ab b a b a 20)(222≥+⇒≥-。

在（3）中，取01≥a ，01≥b
，可得调和平均不等式
b
a a
b ab
b a 1121211+≥⇒≥+，
事实上，对任意正整数)1(>n n ，若),,2,1(0n i a i =>，那么调和平均、几何平均和算术平均成立如下的不等式
n
a a a a a a a a a n
n
n n n
+++≤
≤+++ 212121111。

4解不等式
在含有未知变量x 的不等式中，求出能使不等式成立的所有x 的集合的过程，称为解不等式。

设0>a ，绝对值不等式
a x f a a x f <<-⇔<)()(，
故解绝对值不等式需分别解出 ⎩
⎨
⎧<->a x f a
x f )()(，再找出两个解集的交集。

而绝对值不等式
a x f >)(，
那么需分别解出 ⎩
⎨
⎧>-<a x f a
x f )()(，再找出两个解集的并集即可。

这里当)(x f 是一次函数是容易处理的，进一步，)(x f 是二次函数，那么有如下的
解一元二次不等式
c bx ax x f y ++==2)(
对应的一元二次方程02=++c bx ax （5.1）
利用二次函数的性质和图像可以完整地给出全部解集。

二次函数绝对值不等式可归纳为联立处理下述两个不等式
02>++c bx ax (5.2)，02<++c bx ax (5.3)。

这里仅对0>a 的情形予以讨论，0<a 的情形同此解决。

记判别式
ac b 42-=∆。

（1）设0>∆，一元二次方程有两个实根21,x x ，设21x x <，注意
))((212x x x x a c bx ax --=++，那么(5.2)的解集是),(),(21+∞-∞x x ；
(5.3)的解集是),(21x x 。

（2）设0=∆，一元二次方程有两个重实根
a
b
x x 221-=
=，(5.2)的解集是),(),(11+∞-∞x x ，(5.3)的解集是空集。

（3）设0<∆，一元二次方程没有实根，(5.2)的解集是R ，(5.3)的解集是空集。

对于不等式02≥++c bx ax 和02≤++c bx ax 仿此讨论。

函数的性质和图像解不等式
例首先，x x ≥⇒≥-202，101>⇒>-x x ，21≤<⇒x ；
01)1()2(22>--⇒-<-x x x x ，
对应的一元二次方程有两个实根21,x x 为2
5
1,21±=
x x 。

不等式012>--x x 的解集为),25
1()251,
(+∞+--∞ 。

结合21≤<x ，得原不等式解集为
22
5
1≤<+x 。

此题与例一样，要处理三个联立的不等式。

5.5 典型例题 不等式性质
例5.5.1只能分为两个不等式推导。

例5.5.2 取特殊值检验最快。

解不等式
例 为了去绝对值号，自然分成三个区间讨论。

例5.5.5 注意解集的端点是一元二次方程的根。

例5.5.6 3个联立的不等式求解。

例直接排除（C ）（D ）。

例注意题设22<<-x
第6章 数列、数学归纳法
6.1
数列的基本概念
定义按一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数称为数列的项，第n 个数称为第n 项，通常记为n a 。

第1项一般称为首项。

若数列的项数是有限的，称它为有穷数列；否那么是无穷数列。

数列通常记为{}n a 。

当数列中的数都是实数时表征着一种函数关系 )(n f a n =，有穷数列是数集{}N ,,2,1 到实数集R 的一个映射，而无穷数列那么是+Z 到实数集R 的一个映射。

如果数列的一般项n a 与n 的函数关系可以用一个公式表示，此公式称为通项公式。

数列{}n a 前n 项和记为
n n
k k n a a a a S +++==∑= 211。

如果无穷数列当∞→n 时n S 的极限存在 S a n
k k n =∑=∞
→1
lim ，那么称S 是数列{}n a 各项的和。

例.2互换关系 1--=n n n S S a 。

6.2
等差数列
定义数列{}n a 满足存在常数d ，使),2,1(1 ==-+n d a a n n 成立，就称{}n a 是等差数列（算术数列），常数d 称为数列{}n a 公差。

等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。

等差数列的前n 项和公式是d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+= 。

等差数列的性质：
（1） 常数数列（公差为零）。

（2） 已知b a ,，它们的算术平均2
b
a A +=
称为a 与b 的等差中项。

（3）
{}n a 是等差数列，那么当公差0>d 时{}n a 是递增数列；当公差0<d 时{}n a 是递减数列。

等差数列计算时，注意三个关键的量，首项1a ，公差d 及和式n S 。

6.3
等比数列
定义数列{}n a 满足存在常数q ，使
),2,1(1
==+n q a a n
n 成立，就称{}n a 是等比数列（几何数列），常数q 称为数列{}n a 公比。

等比数列的通项公式是)0,0(,111≠≠=-q a q a a n n 。

等比数列的前n 项和公式是)1(,
1==q na S n ；
)1(,111≠--=q q
q a S n
n 。

等比数列的性质：
（1）常数数列（公比为1，常数不为零）。

（2）已知b a ,，它们的几何平均ab G ±=称为a 与b 的等比中项。

这里要求ab 有意义。

（3）{}n a 是等比数列，那么当公比1<q 时，{}n a 各项的和
q
a a S n
k k n -=
=∑=∞
→1lim 1
1
， 此时称{}n a 是无穷递缩等比数列。

等比数列计算时，注意三个关键的量，首项1a ，公比q 及和式n S 。

例6.3.4 由 )1(q q S T n
n +=，这里条件给出 公比 1->q ，知01>+q 。

当01<<-q 时0111
>--=q
q a S n
n ，0<n T n n T S >⇒。

以下讨论当 0>q 时，比值n
n S T =)1(q q +是否大于1，方程0
1)1(=-+q q 的正根为
618.02
1
5≈-（黄金分割数）。

此时 001>⇒>n S a ，且0)1(>+=n n S q q T 。

当)2
1
5,0(-∈q ，1)1(<+q q ，n n T S >⇒； 当2
1
5-=q ， 1)1(=+q q ， n n T S =⇒； 当2
1
5->q ， 1)1(>+q q ， n n T S <⇒。

6.4
数学归纳法
数学归纳法的两个步骤：
（1）先验证命题当n 取第一个值0n 时成立。

（2）假设当k n =时命题成立，根据命题给出的条件，证明当1+=k n 时，命题也成立。

释例：凸多边形的内角和为π)2(-n 。

证明：3=n 时，命题显然正确，故设)3(≥=k k n 时命题正确。

那么，当1+=k n 时，在此凸多边形内增加一条辅助线，将)1(+k 边的凸多边形分成两个，其中一个为k 边的凸多边形，另一个为三角形。

那么利用归纳法假设，)1(+k 边的凸多边形的内角和为
[]πππ2)1()2(-+=+-k k ，命题得证。

6.5
典型例题
例6.5.1 求比值b
a 自然要消去c 。

例6.5.2
题设保证0>q ，比较81a a +与54a a +。

两式相减与两式相除
都可以，比较 5
4
7
54811q
q q a a a a ++=++，由 0)1)(1()1()1)(1(1322243437>+++++-=--=--+q q q q q q q q q q q ，
知 115
47
5481>++=++q
q q a a a a 。

例302)1(1=-+=d n n na S n ，1002
)
12(2212=-+=d n n na S n ， 那么 d n d n n na d n n na d n n na S n
2
42)12(222)1(2)13(332
1113+-++-+=-+=
d n d n S S n n 2222100302++=++=
注意 n n S S d n 222-=。

例6.5.4按定义做。

例6.5.5 这里n S 是首项，计算出n S 2，n S 3即可。

例6.5.6综合题。

例6.5.7 写出2
1
2)ln(+=n n n S S A ，即知讨论等比中项与1+n S 的关系。

例6.5.8 归纳法要有已知结论。

例6.5.9 分成两个数列做。

第7章
排列、组合、二项式定理和古典概率
7.1 排列、组合 1 基本概念
（1）加法原理（分类计数原理）如果完成一件事可以有n 类办法， 在第i 类方法中有i m 种不同的方法（n i ,,2,1 =），那么完成这件事共有 n m m m N +++= 21 种不同的方法。

（2）乘法原理（分步计数原理）如果完成一件事需要分成n 个步 骤，做第i 步有i m 种不同的方法（n i ,,2,1 =），那么完成这件事共有
n m m m N ⨯⨯⨯= 21 种不同的方法。

（3）排列 从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个，并按一定的顺 序排成一列，称为从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列，所有这些排列的个数，称为排列数，记为m n P ，或m n A 。

当n m =时，即n 个不同的元素全部取出的排列，称为全排列，全排列数记为n n P ，或n n A 。

（4）组合从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个并成一个组（不考虑顺序），称为从n 个元素中取出m 个元素的一个组合，所有这些组合的个数，称为组合数，记为m n C ，或⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛m n 。

2排列数和组合数公式
（1）阶乘 n n P n n n =⨯-⨯⨯⨯=)1(21! ，规定1!0=。

（2）排列数公式 )!
(!
)1()2)(1(m n n m m n n n P m n -=
+---= 。

（3）组合数公式!)
1()1()!(!!m m n n n m n m n P P C m m
m n m
n
+--=
-== 。

规定10=n C 。

组合数的两个基本性质：
m
n n m n C m m n n m n m n C -=-=-=
!
)!(!)!(!!，
)!
1(!!
)1()!1()!1(!)!(!!1m n m n m m n m n m n m n m n C C m n m n -++-+=+--+-=
+-
m
n C m n m n 1)!
1(!)!1(+=-++=。

2 例题
（1）无限制条件的排列组合问题 （2）有限制条件的排列组合问题 （3）排列组合综合问题 例分步计数。

例7.1.2 A 有三种选法，当A 选定一种如乙后，B ，C ，D 选甲又有
三种选法。

注意此后再无变化。

如B 选甲，那么因D 不能选丁而只能选丙，C 只能选丁；如C 选甲，同样因D 不能选丁而只能选丙，B 只能选丁。

（分步计数原理）
例7.1.3 排列公式的证明。

例7.1.4 (3)两个女生放一起可互换即为22P ，男生甲在中间已固定，
剩下一边三人，那么两个女生只有4种排法，余下四个男生有44P 种排法。

共有192242444422=⨯⨯=P P 种排法。

例7.1.5 组合问题，（2）3973100C C -最简单。

（3）3
33100C C -思路清晰。

例7.1.6 5位数，是排列问题。

7.2 二项式定理
∑∑=-===+n
k k k
k
n n
k k n
n
T b a
C b a 0
)(，k
k n k n
k b a C T -=。

令 1==b a 得常用的公式∑==n
k k n n
C 0
2。

7.3 古典概率问题 1 基本概念
决定性现象— 必然事件、不可能事件。

随机现象— 在基本条件不变的情况下，个别的试验或观察中结果呈现不确定性，而在大量重复试验或观察中其结果具有统计规律性。

样本点— 某个随机试验可能出现的各种结果。

样本空间— 样本点的全体，记为S 。

互斥事件— 事件A 与事件B 不能同时发生，∅=B A 。

对立事件— 对每次试验事件A 与事件B 必有且仅有一个发生，
∅==B A S B A ,。

频率— 对于随机事件A ，若在N 次试验中出现n 次，那么称
N
n A F N =
)( 为随机事件在N 次试验中出现的频率。

概率的定义：对于随机事件A ，用一个数)(A P 来表示该事件发生的可能性的大小，这个数)(A P 就称为随机事件A 的概率。

)(A P 满足：
（1）对于每一个事件A ，0)(≥A P ，（非负性）； （2）对于必然事件S ，1)(=S P ，（规X 性）； （3）设n A A A ,,,21 是两两互斥，那么有
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= 。

概率的性质：
（1）对每一个事件A ，1)(0≤≤A P 。

（2）对不可能事件∅，0)(=∅P 。

（3）对任意的两事件B A ,，)()()()(B A P B P A P B A P -+=。

2等可能事件的概率
有限样本空间；且样本空间中每个基本事件两两互斥，发生的可 能性相同。

这种试验称为等可能概型或古典概型。

对等可能概型，如果样本空间S 中的基本事件的总数为n ，那么每个基本事件的概率为n
1；如果事件A 包含S 中的m 个基本事件，那么事件A 的概率为
n
m。

对这类题目，n 是容易得到的，计算m 一般要用排列组合知识。

例常用的例子。

例7.3.2 从中看出概率与组合的关系。

例7.3.3 注意10个数字是均等的。

3 互斥事件中有一个发生的概率 设n A A A ,,,21 是两两互斥，那么有
（加法原理（分类计数原理））
)()()(B P A P B A P += ，
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= ，
1)()()(=+=A P A P A A P 。

4 相互独立事件同时发生的概率
事件A （或事件B ）的发生对事件B （或事件A ）的发生没有影响，称。

事件A 与事件B 相互独立。

若事件A 与事件B 均发生，那么 （乘法原理（分步计数原理））
)()()(B P A P B A P ⨯= ，
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ⨯⨯⨯= 。

5 独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中该事件恰好发生k 次的概率为
k n k k
n n p p C k P --=)1()(。

解释：n 次独立事件中某个事件发生k 次的次数为k n C 。

例7.3.6 若问第一次不中，后4次全中的概率为4)1(p p -；同样可以
考虑第二次，其余全中的概率亦为4)1(p p -，等等。

7.4 典型例题 加法原理与乘法原理
例7.4.1 没有限制报同一项等。

排列与组合
例7.4.2 两个教师一组，144962404422225522=-=-P P P P P 。

例7.4.3 此题容易做成 11461203355=-=-P P ，其中33P 为1a 排第一，2
a 排第二的排法。

其错误在于没有考虑只要1a 排第一或2a 排第二均不符合题目要求，这两种情形都应排除，而1a 排第一和2a 排第二的排法中都含有1a 排第一，2a 排第二的排法，故1a 排第一或2a 排第二的排法数为
426482)()()()(3344212121=-=-=-+=P P A A n A n A n A A n ，
7842120=-。

例7.4.4 球不同，盒亦不同。

必须放足3个盒子，盒中球只能1，1，
2。

例7.4.5 此题与上题的区别为人只有3个，故少了因子4选1的组
合数1
4C 。

二项式定理 例7.4.6 自己看。

例7.4.7 这道题应明确要求计算n 。

古典概率
例7.4.8 8个不同的数字取出后不同的排序对应不同的，此题还可以
根据实际情况要求的第一个数字不能为0，那时的概率计算要稍复杂些。

例7.4.9 分母为3
50C 易见，考虑取全为白色的概率最简单，否那么必
须分一件，两件，三件红色三种情况讨论。

例7.4.10 甲，乙出错是独立事件。

例7.4.11 看出是独立重复事件简单的多，注意
2133)02.01(02.0)1(-⨯⨯=C P 一项也不能少，1
3C 表示取出美术书 可能为第一次，或第二次，或第三次共31
3
=C 种可能，而 2)02.01(02.0-⨯表示取出一本美术书，另两本一定不是美术书
的概率。

例7.4.12 反过来做，都是正品的概率为333)8.0(C ，488.0)8.0(13=-。

例7.4.13 球相同，8个格子要排序。

例7.4.14 此题计算相互独立事件同时发生的概率。

第8章
常见几何图形
1 三角形
（1）三角形中各元素的通用记号
ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠表示三个内角，a ，b ，c 表示三个内角
对应的三条边，a h AD =表示a 边上的高，)(2
1c b a p ++=为半周长，S 表示三角形的面积。

（2）三角形中各元素的计算公式
π=∠+∠+∠C B A 。

B c C b h a ∠=∠=sin sin 。

c b a ch bh ah A bc B ac C ab S 2
1
2121sin 21sin 21sin 21===∠=∠=∠=， ))()((c p b p a p p S ---=。

三角形的任一角的外角等于它对应的两个不相邻内角之和。

（3）直角三角形
2
π=
∠C ， 222b a c +=，ab S 21
=， c b B =∠sin ， c
a B =∠cos 。

（4）等腰三角形
C B ∠=∠，c b =称为两腰。

若2
π
=
∠A ，那么ABC ∆称为等腰直角三角形。

若c b a ==，ABC ∆称为等边三角形，此时3
π
=∠=∠=∠C B A 。

2 四边形 （1）矩形
矩形两边长为a ，b ，四内角均为2
π
，面积ab S =，周长)(2b a l +=， 对角线长为22b a +。

b a =时为正方形。

（2）平行四边形
两对边平行且相等，设两边长为a ，b ，高为h ，那么面积bh S =， 周长)(2b a l +=，四内角和π2=∠+∠+∠+∠D C B A ，相邻两角和为
π。

若b a =时为菱形，菱形的两条对角线互相垂直。

（3）梯形
设上底为a ，下底为b ，高为h ，那么上底平行下底，中线长为
)(21b a +，面积h b a S )(2
1
+=。

3 圆和扇形 （1）圆
记圆的圆心为O ，半径为r ，直径为d ，面积为S ，周长为l 。

那么d r l d r S πππ
π====2,4
22。

（2）扇形
记扇形圆心角α=∠AOB （弧度）。

那么
AB 的弧长 r s α=，22121r rs S α==
，AB 的弦2
sin 2sin 2α
αd r b ==。

（3）等弧上的圆周角（圆心角）相等，直径上的圆周角为直角。

4 平面图形的全等和相似关系
定义两个平面图形A 和B 的形状和大小完全一样，那么称这两个图形全等，记为B A ≅。

定义两个平面图形A 和B 的形状相同，即对应边成比例，对应角相等，那么称这两个图形相似，记为B A ~。

平面图形的全等和相似关系均满足 （1）自反性：A A ~（A A ≅）；
（2）对称性：B A ~（B A ≅）⇒A B ~（A B ≅）；
（3）传递性：B A ~，C B ~（B A ≅，C B ≅））⇒C A ~（C A ≅）。

全等三角形的判定：
（1）三个对应边相等（边边边）；
（2）两个对应边相等，且两个对应边所夹的角相等（边角边）； （3）两个对应角相等，且两个对应角所夹的边相等（角边角）。