01数学建模引言
第一章 数学建模概述
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第一章 数学建模概述
3.模型构成. 根据所作的假设以及事物之间的联系 , 利用适当的数学工具去刻划各变 量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型 .把问题化为数学问 题.要注意尽量采取简单的数学工具 ,因为简单的数学模型往往更能反映事物 的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.
数学模型与数学建模方法
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第一章 数学建模概述
1.4 数学建模的一般方法
2.测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱" 系统,内部机理无法直接寻 求,通过测量系统的输入输出数据 ,并以此为基础运用统计分析方法 ,按照事先 确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型. (1) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. (3) 回归分析法--用于对函数 f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表 达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. (4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.
数学模型与数学建模方法
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第一章 数学建模概述
如航行问题： 甲乙两地相距 750 公里， 船从甲地到乙地顺水航行需要 30 小时， 而从乙地到甲地逆水航行需要 50 小时，问船速和水速各为多少？
假设船速和水速均为常数，并用 x 表示船速，用 y 表示水速，单位公里/小时。 则可得方程组
30( x y) 750, 50( x y) 750.
数学建模：利用大数据进行市场预测
数学建模：利用大数据进行市场预测1. 引言1.1 概述数学建模是一种利用数学模型和方法来解决实际问题的过程。
在现代经济社会中，市场预测是企业制定发展战略、进行风险评估以及决策制定的重要依据之一。
随着大数据时代的到来，大量的市场数据变得可获取，这为我们进行精确的市场预测提供了新的机遇和挑战。
1.2 文章结构本文将分为六个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分我们将概述本文的内容，并解释数学建模与市场预测之间的关系。
接下来，第二部分将介绍数学建模的概念与方法，并探讨大数据在市场分析中的作用。
第三部分将重点讲解数据收集与处理技术，包括大数据收集与整理方法、数据预处理技术以及数据特征提取和筛选方法。
第四部分将详细介绍市场预测模型构建与评估，包括回归分析、时间序列分析以及机器学习算法在市场预测中的应用。
在第五部分，我们将通过实际案例研究和实践经验分享来进一步加深对市场预测的理解。
最后，我们将在第六部分总结全文，并提出进一步研究的方向。
1.3 目的本文旨在探讨数学建模在市场预测中的应用，特别是利用大数据进行市场预测的方法和技术。
通过详细介绍数据收集与处理技术以及常见的市场预测模型构建方法，我们希望读者能够更加全面地了解数学建模在市场预测中的实际应用，并掌握相应的方法和技巧。
同时，通过案例研究和实践经验分享，我们将展示数学建模在不同领域、不同行业中的具体运用和效果。
最终，我们希望本文能为相关领域的专业人士和研究者提供有益的参考和启发。
2. 数学建模与市场预测2.1 数学建模的概念与方法在现代市场分析中，数学建模是一种应用数学方法和技术来描述、理解和预测市场行为的方法。
通过将实际市场问题抽象为数学对象，并运用数学公式和算法来构建模型，研究人员可以利用这些模型对市场进行定量分析和预测。
数学建模的关键步骤包括问题定义、数据收集、模型选择与建立、参数估计和验证等。
数学建模有多种方法可供选择，常见的包括回归分析、时间序列分析和机器学习算法等。
01数学建模引言
x
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
河
小船(至多2人) 3名商人
3名随从
但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河?
问题分析
问如何安排他们尽快安全过河？
下面给出了该问题的动态规划模型及解法, 并对不同的s, t进行了讨论, 该模型具有较好 的解析表示，且便于计算．
将每次渡河的确定看作为一个阶段的决策.
(1) 记第k次渡河前此岸的男人数为xk,女人数为yk,k=1,2,…s;
xk,yk=0,1,…s.将二维向量sk=(xk,yk)看作第k阶段的状态,s1=(s,s); (2) 记第k次渡河船上的男人数为uk,女人数为vk, 将二维向量 dk=(uk,vk)看作第k阶段的决策; (3) 因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸, k为偶数时船从彼岸驶回此岸,
一般来说，从现实的对象到假定的对象，再从假定的对 象抽象出模型并没有固定的规则可以引用。把控制现实对 象的因素减少到相当少的支配因素以及从假定的对象中抽
象出一个模型，与其说是一门技术，不如说是一种技巧，
一种艺术。因为模型在表述现实对象的有效性方面主要取 决于建模者的创造性、远见和想象力。这种个人的特性不 可能用建立模型的固定规则来统一。所以数学建模过程是 一种灵活性很强的创造性过程，很难用一种统一的模式和
第三是人才培养、能力培养的需要。（学习的目的）。它通过向
学生展示了各种不同实际领域中的数学建模，通过对一系列来自不
同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与实践，培养 了学生们“用数学”的意识，培养了学生们应用数学知识分析和解 决实际问题的能力，使他们认识到了数学建模是人类观察与认识世 界的一种独特而有效的方法，它为创造性地研究自然和社会的各种 问题提供了有力的理论基础和方法论指导。从而大大提高学生学习 数学的积极性，培养了他们的创新意识和创新能力。
1数学模型引言
数学模型引言预备知识：高等数学，线性代数，概率论与数理统计，（运筹学，最优化，微分方程）计划学时：32/48适应对象：大二下半年（最好大三下半年）参考资料：高等教育出版社《数学模型》姜启源编浙江大学出版社《数学模型》杨启帆边馥萍编湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导教材》叶其孝编工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学建模竞赛》叶其孝编1．我们所处时代及特点：我们已经进入了计算机革命时代（Computer Revolution Era）或称信息时代（Information Times），其特点是：①计算机的迅速发展——高速、智能、小型、价廉（上个世纪八十年代106次/秒，上个世纪九十年代109次/秒，曙光4000A 在2004年排名TOP500第10 2006年280万亿次/秒是IBM公司制造；软件包的大量涌现，特别是数学，既有传统的数值计算，更有强大的图形和符号演算功能，如Matlab，Mathematics，Maple，MathCAD,SAS,SPSS, Lingo/Lindo；世界上第一台计算机占地150平米或说10—15间房子大，现在性能强大的笔记本电脑随处可见；上个世纪八十年代一台286电脑需要4万元或说40年工资，现在一台P4/631/512M/160G/17”约4千元或说1个月工资）；②数学的应用向一切领域渗透——各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；③数学的日益重要性远远没有取得共识。
2．为什么会出现说数学没有用？①数学的语言比较抽象，不容易掌握；②数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。
3．数学建模（Mathematical Modeling）的重要性①数学建模不是新东西（why？）②用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。
这种刻划的数学表述就是一个数学模型。
其过程就是数学建模的过程。
数学模型引言
2: 按时间关系分：
按所用研究方法分
初等模型 几何模型 方程模型
运筹学模型 概率统计 层次分析法
系统动力学 灰色系统
按研究对象所在领域分
经济
生态
人口 交通 战争 资源 环境
按建模目的分
分析模型 预测模型
优化模型 决策模型
控制模型
三：其它
1：内容安排。
2： 习题 3人一组，论文形式，开卷。 一个星期交，也可交磁盘。 3： 考试：平时练习30%，考试70%， 平时特有创造 性可作为期末成绩。 4： 问卷调查： 你认为你的数学，计算机，相应 专业你相对熟练的顺序？ 学过什么计算机编程语言（C， C++，PASCAL？）
4： 几个数学建模实例
一:椅子问题： 四条腿长度相等的椅子放 在不平的地面上，四条腿 能否同时着地？
二：建立模型
1：假设： 椅子中心不动； 地面光滑； 每一条的着地点视为几何上的点 椅子成正方形； 地面相对平坦（排除鼓包）
4：模型检验（实际可验证） 5：模型推广（椅子长方形，菱形，平形四 边形？）……练习 6：建模艺术：利用自然界事物的相似性， 进行类比！
a 会比较大；反之，消费者购物心理稳定或消费水 平低下，则 a 较小。 b 反映生产经营者对价格的敏感程度，如果他们目 光短浅，追逐一时的高利润，价格稍有上涨就大量增 加生产，那么 b 就会比较大；反之，如果他们素质较 高，有长远计划，则 b 较小。
(6)(7)式的解释： 当供应曲线的参数 b 固定时，需求曲线越平，即 a 越 小，表明消费者对需求的敏感程度小， （6）式就越容 易满足，有利于经济的稳定，当需求曲线的参数 a 固 定时，供应曲线越陡，即 b 越小，表明生产者对价格 的敏感程度小， （6）式也容易满足，有利于经济的稳 定。
数学建模论文2000字范例
数学建模论文2000字范例摘要：将数学建模思想融入高等数学的教学中来，是目前大学数学教育的重要教学方式。
建模思想的有效应用，不仅显著提高了学生应用数学模式解决实际问题的能力，还在培养大学生发散思维能力和综合素质方面起到重要作用。
本文试从当前高等数学教学现状着手，分析在高等数学中融入建模思想的重要性，并从教学实践中给出相应的教学方法，以期能给同行教师们一些帮助。
关键词：数学建模；高等数学；教学研究一、引言建模思想使高等数学教育的基础与本质。
从目前情况来看，将数学建模思想融入高等教学中的趋势越来越明显。
但是在实际的教学过程中，大部分高校的数学教育仍处在传统的理论知识简单传授阶段。
其教学成果与社会实践还是有脱节的现象存在，难以让学生学以致用，感受到应用数学在现实生活中的魅力，这种教学方式需要亟待改善。
二、高等数学教学现状高等数学是现在大学数学教育中的基础课程，也是一门必修的课程。
他能为其他理工科专业的学生提供很多种解题方式与解题思路，是很多专业，如自动化工程、机械工程、计算机、电气化等必不可少的基础课程。
同时，现实生活中也有很多方面都涉及高数的运算，如，银行理财基金的使用问题、彩票的概率计算问题等，从这些方面都可以看出人们不能仅仅把高数看成是一门学科而已，它还与日常生活各个方面有重要的联系。
但现在很多学校仍以应试教育为主，采取填鸭式教学方式，加上高数的教材并没有与时俱进，将其与生活的关系融入教材内，使学生无法意识到高数的重要性以及高数在日常生活中的魅力，因此产生排斥甚至对抗的心理，只是在临考前突击而已。
因此，对高数进行教学改革是十分有必要的，而且怎么改，怎么让学生发现高数的魅力，并积极主动学习高数也是作为教师所面临的一个重大问题。
三、将数学建模思想融入高等数学的重要性第一，能够激发学生学习高数的兴趣。
建模思想实际上是使用数学语言来对生活中的实际现象进行描述的过程。
把建模思想应用到高等数学的学习中，能够让学生们在日常生活中理解数学的实际应用状况与解决日常生活问题的方便性，让学生们了解到高数并不只是一门课程，而是整个日常生活的基础。
1.数学建模-引言与课程宗旨
数学模型 属于抽象模型，而不属于形象模型，模拟模型 。 形象模型，
(3) 现实世界与数学模型的关系 归纳 修改 解释
现实世界信息
检验与指导
数学模型
演绎， 演绎，推断
现实世界的分析预 报，决策，控制 决策，
分析，预报， 分析，预报， 决策，控制 决策，
2。数学建模含义 。 对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些 必要的简化和假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构（公 式或框图），以求能够解释特定现象的现实形态，或者来预测对象 的未来状况，或者提供处理对象的最优决策及控制。这样的一个过 程，称为 数学建模（Mathematical Modeling）. 3。建模的方法与步骤 。 模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对 （1）模型准备 象的各种信息， 弄清实际对象的特征。 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行 （2）模型假设 必要的简化，用精确的语言做出假设。要善于辨别问题的主要方面 和次要方面，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均 匀化、线性化。 模型建立：根据假设，利用适当的数学工具，建立各个量之 （3）模型建立 间的等式或不等式关系，列出表格、画出图形或确定其他数学结 构。操作时，尽量采用简单的数学工具。 模型求解：进行解方程、画图形、证明定理或逻辑运算等， （4）模型求解 注意计算机技术的应用。
数学建模教材前言
前言数学建模教学在西方国家已有三十多年历史，并在国际数学教育大会（ICME: International Congress on Mathematical Education）中占有重要地位。
自1988年始，国际数学教育大会就把“问题解决、建模和应用”列入大会七个主要研究的课题之一，从教育、科学、社会、文化的观念来看，数学应用、模型和建模已被广泛地认为在数学教学的理论和实践中，具有决定性的重要意义。
我国《全日制义务教育数学课程标准》中也开始强调，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在获得对数学理解的同时，进而在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
“中小学数学课程标准”强调，要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获得终身受用的数学基础能力和创造才能。
然而，在新课程实施过程中，小学日常课堂中的数学建模教学并不多见，小学教师对数学模型、数学建模以及数学建模教学等概念还较陌生，所以我们在前言部分对建模的相关内容做整体介绍。
日常数学课堂中所讨论的数学模型是从狭义角度出发，是解决实际问题时所用的一种数学框架，是指对实际问题进行分析、简化，抽象后所得出的数学结构，它是使用数学符号、数学表达式以及数量关系对实际问题简化进行的关系或规律的描述。
例如各种公式、方程和运算法则等。
数学建模的过程可简单分为四个阶段，即现实问题数学化（由现实问题经过简化抽象后建立数学模型）、模型求解、数学模型解答和现实问题解答验证。
通过这四个阶段，完成了从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程。
周春荔先生认为，从方法论角度看，数学建模是一种数学思想方法；从教学角度看，数学建模是一种数学活动。
数学建模引论
什么是数学建模？
数学建模是借助数学的知识和方法把实际问题 变为数学问题来了解实际问题的主要规律，以达到 解决实际问题的目的。 数学建模是数学知识与实际问题连接的桥梁。 在数学建模过程中，要先把实际问题用数学语 言来描述，以将其转化为我们熟悉的数学问题和形 式，然后通过对这些数学问题的求解来获得相应实 际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了 解，以帮助决策者进行决策。
L+U+C+K=12+21+3+11=47%
Then 這些我們通常非常看重的東西都不是 最圓滿的，雖然它們非常重要，那麼， 究竟什麼能使得生活變的圓滿？
NO
是Money（金錢）嗎？
M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%
长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下, 弹性梁的 最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积 s和梁的直径d平方成反比，即
v
f L3 sd 2
模型假设
d
v
l f
1.设四足动物躯干（不包 括头尾）长度为L、断面直 径为d的圆柱体，体积为m。 2.四足动物的躯干（不包 括头尾）重量与其体重相 同，记为f。 3.四足动物可看做一根支 撑在四肢上的弹性梁,其腰 部的最大下垂对应弹传递性，得
v L v = 2 2 2 L sd d d
sL
4
L
4
3
v L
是动物的相对下垂。
• v/L 太大,四肢将无法支撑； •v/L 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯体的需 要，无疑是一种浪费。 因此从生物学的角度可以确定，经过长期进化， 对于每一种动物，v/L 已经达到其最合适的数值， 即是一个常数k,于是可得：
应用性问题中常见的数学建模
应用性问题中常见的数学建模【摘要】数统计、格式要求等。
谢谢！在解决实际应用性问题时，数学建模是一个重要的工具。
本文将介绍常见的数学建模方法，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型和概率模型。
通过这些建模方法，我们可以有效地分析和解决各种实际问题。
结合实际情况进行灵活应用是数学建模的关键，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，并且为决策提供了有力的支持。
通过数学建模，我们可以更好地理解问题的本质、优化决策方案，并提高解决问题的效率和准确性。
掌握不同类型的数学建模方法对于解决实际问题具有重要意义。
【关键词】数学建模、应用性问题、线性规划、整数规划、图论、动态规划、概率、实际问题、重要作用、灵活应用1. 引言1.1 应用性问题中常见的数学建模应用性问题中常见的数学建模指的是将实际生活中的问题抽象化为数学形式，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
数学建模可以帮助人们更好地理解和解决各种实际问题，包括工程、经济、环境等领域的相关问题。
在现实生活中，人们遇到的问题往往是复杂多样的，而数学建模能够帮助我们系统地分析和解决这些问题。
数学建模的过程通常包括问题的定义、建立数学模型、模型求解和结果的分析等步骤。
通过数学建模，我们可以利用数学工具和方法对问题进行深入分析，并找到最优解或者最优策略。
在实际应用中，数学建模多种多样，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型、概率模型等。
通过数学建模，我们可以更好地理解实际问题的本质，为决策提供科学依据。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题，同时数学建模需要结合实际情况进行灵活应用。
数学建模的发展将为人类社会的进步和发展提供更多可能性和机会。
2. 正文2.1 线性规划模型线性规划模型是一种常见的数学建模方法，它在解决各种应用性问题中都具有重要作用。
在线性规划模型中，我们需要定义一个目标函数以及一组约束条件，通过最大化或最小化目标函数来找到最优解。
数学建模(第一讲)
• 优秀论文刊登于次年《工程数学学报》（ 2000年前为 《数学的实践与认识》） • 网址：
数学建模竞赛内容与形式 内容 • 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题
• 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求 解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文
形式 • 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛
大量需要的，做这样的事情远不只
是数学知识和解数学题目的能力， 而需要多方面的综合知识与能力。
因此，学校应当努力培养和提高学
生在这方面的能力。
正是由于认识到培养应用型、研究 型科技人才的重要性，而传统的数学 竞赛不能担当这个任务，从1983年起， 美国就有一些有识之士探讨组织一项 应用数学方面的竞赛的可能性。经过 论证、争论、争取资金等过程，1985 年举行了美国第一届大学生数学建模 竞赛。 简称MCM竞赛由美国工业与用数 学学会和美国运筹学学会联合主办。
解：设鸡蛋分成９个一堆共 x 堆 ,
12个一堆共 y 堆 则9x+2=12y+7 解得x=19 , y=13
张阿婆共携鸡蛋 9*19+2=173个
原型： 原型是指人们在现时世界里关心、研 究或者从事生产、管理的实际对象。 模型：
模型是指为了某个目的，将原型的某一
部分信息减缩、提炼而构成的原型的替代 物。
一般地说，数学模型可以描 述为，对于现实世界的一个特定 对象，为了一个特定目的，根据 特有的内在规律，做出一些必要 的简化假设，运用一些适当的数 学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的过程就称为建模。
实例5
人口模型
某市2005年初有常住人口100 万，流动人口20万，已知流动人 口的年增长率为1%， 常住人 口的年增长率为0.5%,请你预测 到2055年初该市拥有的人口数。
高中数学建模能力培养研究
高中数学建模能力培养研究1. 引言1.1 背景高中数学建模能力培养研究旨在探讨如何通过教育教学活动，培养学生运用数学知识解决现实问题的能力，提高学生的实际应用能力和创新能力。
随着社会的发展和科技的进步，数学建模已经成为高中数学教育的重要内容之一。
通过数学建模教学，学生可以将抽象的数学知识与实际问题相结合，培养学生的逻辑思维能力、数据分析能力、问题解决能力和创新能力，提高学生的综合素质。
1.2 研究意义高中数学建模能力培养研究在当今教育领域具有重要的意义。
高中数学建模能力培养对于学生的个人发展具有重要意义。
通过数学建模的学习，学生能够培养和提升自己的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，这些能力不仅在学习上有所帮助，更能够为将来的职业发展打下良好的基础。
高中数学建模能力培养也有助于提高学生对数学的兴趣和学习动力。
相较于传统的数学教学方式，数学建模更具有趣味性和实践性，能够激发学生学习的热情，帮助他们更好地理解和应用数学知识。
高中数学建模能力培养研究也对于优化教育教学模式和提高教学质量具有积极意义。
通过研究探讨如何有效地培养学生的数学建模能力，不仅有助于提高教师的教学水平，更能够指导学校制定更科学的教学计划和课程设置，为学生提供更加优质的教育资源。
开展高中数学建模能力培养研究对于促进学生的学习和发展、提高数学教学质量具有重要的意义。
2. 正文2.1 高中数学建模能力的定义高中数学建模能力的定义是指在高中阶段，通过数学知识和技能，结合实际问题进行分析、建模和求解的能力。
这种能力要求学生能够灵活运用数学知识，理解和抽象实际问题，建立数学模型，并利用适当的数学方法求解这些模型。
高中数学建模能力还要求学生具备良好的逻辑思维能力、创新能力和团队合作能力，能够在团队中协商、交流和合作，解决复杂的实际问题。
高中数学建模能力的培养是数学教育改革的重要内容之一。
通过培养学生的数学建模能力，可以更好地激发学生学习数学的兴趣，提高数学学习的效果，培养学生的实际问题解决能力和创新能力，为他们未来的学习和工作打下坚实的基础。
数学建模算法与应用pdf
数学建模算法与应用pdf1. 引言数学建模算法是一种数学工具和方法，它可以帮助解决各种实际问题。
随着科技的不断进步和应用领域的不断拓展，数学建模算法在各个领域中得到了越来越广泛的应用。
本文将针对数学建模算法及其应用进行详细的介绍和探讨。
2. 数学建模算法数学建模算法是一种基于数学原理和方法的模型构建和求解技术。
它可以将实际问题抽象成数学模型，通过运用数学工具和方法对模型进行求解，从而得到问题的答案或者预测结果。
常用的数学建模算法包括线性规划、非线性规划、动态规划、图论等。
3. 数学建模应用领域数学建模算法可以应用于各个领域，如经济、金融、物流、医学等。
在这些领域中，数学建模算法可以帮助企业和组织优化业务流程，提高运作效率，降低成本，提高收益，提高产品质量，推进科学研究等。
4. 数学建模实例以物流领域为例，我们来看一个数学建模算法的实例。
在物流领域中，配送路线的规划和优化是一个重要的问题。
而数学建模算法可以通过构建适当的模型和算法来解决这一问题。
下面是一个简单的配送路线规划模型：1.设配送点为a_i，配送费用为c_i。
2.设配送车辆为V_j，容量为Q_j。
3.构建如下规划模型：min ∑ c_i x_i_js.t. ∑ x_i_j ≤ Q_j for all j∑ x_i_j = 1 for all ix_i_j = 0 or 1 for all i, j其中，x_i_j为0或1变量，表示配送点i是否由车辆j来配送。
该模型可以采用分支定界算法、遗传算法等方法进行求解。
5. 小结总之，数学建模算法是一个强大的工具，可以应用于各个领域，解决实际问题。
在不断发展的世界中，数学建模算法将继续推动科技进步和社会发展。
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数学建模（Mathematical Modeling)
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2
数学建模的发展概况
数学建模（Mathematical Modeling）已有悠久历史， 但作为一个词汇问世，不过是近十几年的事。在人类发 展的历史长河中有许多事例可以说明数学建模曾获得过 成功。但进入20世纪，数学建模则取得了巨大成功。计 量经济学、控制论、生物数学、地质数学、金融数学、 运筹学等都是最好的事例。教育要跟踪、反映并满足社 会的需要，于是数学建模作为一门课程，二十世纪七十 年代末由欧美一些发达国家开始开设。并在1985年美国 出现了一种叫做MCM（Mathematical Contest in Modeling）的一年一度的大学生数学建模竞赛。该竞赛 现已成为世界性大学生数学建模竞赛。
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策 sk+1=sk +(-1)k dk
uk, vk=0,1,2;
k=1,2,
D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 ~状态转移律
所以第k阶段的状态转移方程为
sk+1=sk+(-1)kdk (4) 记第k阶段的指标函数为rk(sk,dk)=1,可看作第k阶段在sk下决策dk
的费用,即第k阶段决策的支付函数;
(5) 记从第k阶段状态sk到第n阶段结束状态sk+1=(0,0)所用的最少渡河 次数为fk(sk),即过程的最优指标函数.
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. C O
B A
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. D 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
O D´
A
x
D
正方形 对称性
C´
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
受此影响，世界各国也陆续开设了数学建模课。我国由 八十年代初开始开设，国内第一本数学建模教材由87年 高教出版社出版，并于1992年开始出现我国一年一度的 大学生数学建模竞赛。随着教学改革的发展和深入，随 着全国大学生数学建模竞赛活动的蓬勃开展，极大地推 动了数学建模活动在我国高校中的推广与普及，同时也 大大地促进了数学建模课程教学向纵深方向发展。作为 数学教学改革的成果，作为培养高素质人才和提高大学 生综合素质的一个重要环节，国家教育部已将此课程列 为数学类专业的必修课程，并作为选修课鼓励面向理工 科大学生开设。实践证明，这门课程的开设对学生应用 数学和计算机技能的训练，对学生“用数学”分析问题、 解决实际问题能力的培养，对大学生的综合素质的提高， 起到了很好的作用。
d 4 (0,1)
d 5 (2,0)
f 6 (1,1) min{1 f 7 (2,2), 1 f 7 (3,1)} f 7 (2,2) min{1 f 8 (1,1), 1 f 8 (0,2)} f 8 (0,2) min{1 f 9 (0,3), 1 f 9 (2,2)} f 9 (0,3) min{1 f10 (0,2), 1 f10 (0,1)}
第一章
引言
1.1 数学模型与数学建模源自1.2 数学建模的发展概况
1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的分类 1.6 怎样学习数学建模
1.1
数学模型
数学模型与数学建模
数学模型 (Mathematical Model)
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在 规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。
于是渡河问题的动态规划模型为
f k ( s k ) min { rk ( s k , d k ) f k 1 ( s k 1 )} dk f n 1 ( s n 1 ) 0 s n 1 ( 0 ,0 )
(1) 对s=3,t=2, 我们有安全渡河条件下的状态集合和决策集 合分别为:
1.3 数学建模示例
一个数学模型是一个现实对象的一个理想（简化的）表达形式。 这个对象可以是已经存在的，也可以是未来计划的。前一种情况下， 模型的目的是表述和分析这个对象；后一种情况，则是指出未来这 个对象的结构形式。现实对象的复杂性是由于控制对象的元素（变 量）比较多，引入这些元素进入模型是建模的困难所在。虽然现实 对象包含的元素很多，但一般主要支配对象的元素确是一小部分。 因此用一个模型来简化现实对象，主要集中在确定支配元素和影响 它们的相互关系上。通过确定支配元素，我们把一个复杂的现实对 象变成一个“假定的对象”。模型是假定的对象的一个抽象，它把 支配元素之间的相互关系确定下来，并简化为一个适合于分析的形 式。
d 2 (0,1) d 2 (1,0)
f 3 (3,2) min{1 f 4 (3,1), 1 f 4 (3,0), 1 f 4 (2,2)}
f 4 (3,0) min{1 f 5 (3,1), 1 f 5 (3,2)} f 5 (3,1) min{1 f 6 (3,0), 1 f 6 (1,1)}
数学建模作为一门课程开设，主要有三个方面的原因。首先 是社会发展的需要。由于数学理论和方法不断地向各学科各领域的 渗透，产生了大量的交叉学科和理论，并在社会的诸多方面发挥了 重要作用，这种渗透和作用是数学建模的结果。所以数学建模成了 人们研究和解决问题的基本方法。学生应该掌握这种方法。
其次是数学教育改革的需要。一方面数学建模是数学的一个重 要组成部分，它是数学产生和发展的生命力所在，缺少它，数学教 育是不完整的；另一方面在传统的数学课程教学中，注重了数学的 高度抽象性、推理的严密性和理论的系统性的特点，忽略了各种数 学概念和理论产生的实际背景，忽略了数学应用的广泛性和实践性。 “学数学”与“用数学”是不同的。会学数学和掌握了数学的人不 一定就会用数学，这同样需要学习和训练。由于缺乏数学建模的学 习和训练，致使学生学习数学多年，却不了解其来源，更不知其用 于何处和怎样运用所学的数学知识去解决实际问题，从而也影响了 学生学习数学的积极性和数学素养的提高。数学建模课的开设，恰 好弥补了这种缺陷和不足。
多步决策 问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
模型求解
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 2 1 0 1 2 3 x
• 图解法
方法来确定它。下面我们只是通过几个实例来看一看它的
大致步骤。
1.3.1
椅子能在不平的地面上放稳吗
放稳 ~ 四只脚着地
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
一般来说，从现实的对象到假定的对象，再从假定的对 象抽象出模型并没有固定的规则可以引用。把控制现实对 象的因素减少到相当少的支配因素以及从假定的对象中抽
象出一个模型，与其说是一门技术，不如说是一种技巧，
一种艺术。因为模型在表述现实对象的有效性方面主要取 决于建模者的创造性、远见和想象力。这种个人的特性不 可能用建立模型的固定规则来统一。所以数学建模过程是 一种灵活性很强的创造性过程，很难用一种统一的模式和
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
d10 (1,0)或d10 (0,1)
d 6 (1,1) d 7 (2,0)
状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.
s1
d1
d1, ，d11给出安全渡河方案 d11
评注和思考
规格化方法,易于推广
sn+1
考虑4名商人各带一随从的情况
渡 河问 题
渡河问题来自阿拉伯早期的一道趣味数学题，此问题的 一般提法是：s 对夫妻过河，船至多可载t 个人(t<s)，条件是 任意女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起，