数学建模-绪论

数 学 建 模—绪论
数 学 建 模—绪论
1. 引言
一般说来，用文字表达难题的数学模型，事后看来通 常是很简单的。因为陈述模型所需要的关键特征通过建模 过程就可使人一目了然。 用数学分析中的演绎推理方式来讲授这种关键性的归 纳步骤，虽然有时是不可能的，但却较达人意。不管怎 样，对若干有明显难度和容易混淆的问题，详细地研究一 下这种步骤也许会使人有所裨益。这里所选取的问题在绝 大多数情况下只要人们一旦分析清楚，其模型和解无须用 纸、笔演示就可迎刃而解。所列举的例子旨在阐明这样一 种深刻的思维方式，以推广到其它更为复杂的问题，也留 下了一些不太重要的问题，供读者去探讨。
至少存在一点 (0, ) ，使得 h( ) 0 2 又 x( ) y ( ) 0 所以 x( ) y ( ) 0

从而四条桌腿同时着地。
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6. 配对的威力: 棋盘问题
假设你有一张普通的国际象棋盘，一组对 角上的两个方格被切掉，这样，棋盘上只 剩下62个方格。如果你还有31块骨牌，每 块骨牌的大小是1×2方 格。试给出一个简单的 证明:说明用互相不重叠 的骨牌完全覆盖住这张 残缺的棋盘是不可能的。
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结论 先作这样一个合理的假设，即从山顶 滑雪到山底的时间并不受缆车速度的影响， 那么非滑雪时间显然就花费在乘缆车和排队 等候缆车上。如果将缆车的运行速度减慢， 同时增加缆车数量，那么滑雪者就会花费较 多的时间在乘坐缆车上，而排队等候的时间 就会相应地减少。虽然这 种措施似乎不太令人满足， 但它毕竟是对顾客抱怨的 答复。
结论 牛奶杯里的咖啡数量和咖啡杯里的牛奶数量 相等。
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3. 行为的对称性: 登山问题
某人自上午8点开始从营地出发沿一山间小 径登山，到达山顶的时间是下午5点。第二 天他从上午8点开始沿着同一条路线下山， 并于下午5点返回营地。试证在这条路线上 存在一点，使得 他在第二天到达 这点的时间与第 一天到达该点的 时间相同。
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分析 关键是考虑对棋盘的二着色图。因为相邻的两个 方格有着相反的颜色，所以对角上的方格必然是相同的 颜色。 结论 残缺的棋盘上有30个方格是同一种颜色，其它32个 方格是另一种颜色，但每块骨牌都必须覆盖不同颜色的两 个方格，因此，想用互不重叠的骨牌正好覆盖住所有的方 格是根本不可能的。 推广 如果用完整的7×7棋盘代替8×8棋盘，并切掉一组 对角上的方格，情况如何呢? 另一个推广 你能用2×4×8的积木填满一个12×12×12 的正方体吗? (提示: 给每块积木一半涂黑色，另一半涂白 色，再将正方体分成27个4×4×4的立方体，并相间地涂 上黑色和白色。)
y (0) 0 x(0) 0, x 0 y 0 2 2 x( ) y ( ) 0 h( ) x( ) y ( ) 0 2
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h ( ) x ( ) y ( ) 结论 因为 在 0 连续， 2 所以由介值定理可得
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4. 连锁原因而非循环论证: 滑雪场问题
假设你是一位滑雪场的经理，你的顾客总是 抱怨因排队等候缆车而花费太多的时间。一 般规定缆车之间的间隔时间为15秒，而你在 本季度又没有时间去修建新的缆车，那么你 应如何修改缆车的运行计划以满足顾客的需 要呢?
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许多人会主张将缆车开快点。然而，这种 想法是错误的。因为缆车的速度加快后，为 了做好侯车管理，就必须加长缆车之间的间 隔距离，结果仍然没有运送更多的滑雪者上 山。事实上，运送上山的滑雪者数量完全被 等待时间所限制。 分析 观察这个问题的正确方式是把每一个 滑雪者都看成一个封闭的循环系统。他们每 个人都在做着下述三件事之一: 滑雪、乘缆 车和排队等候缆车。
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8. 穷举法: 高效率的秘书
一个秘书分别打印4封不同的信和信封，随 后将信随机地塞入信封，问正好装错一个 信封的概率是多少?
人们可能会这样想: 将信装入信封共有24种不同的装 法，因为4封信中的任一封都有可能装入第一个信封， 其余三封信中的任意一封都有可能装入第二个信封，如 此继续，共有4×3×2×1=24种不同的装法。从而，装 入第一个信封的4种方法有3种是错误的，一种是正确 的，而装余下的三个信封时当然只能有一种正确的方法 了。这就是说，满足这个问题条件的装信方法只能是24 种方法中的3种，或者说概率为3/24＝1/8。但这个答案 是错误的!
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本章的格式是:首先，用文字叙述一个简单的问题，不论它隐含 什么样的约束条件；紧接着便给出一种比较自然的考察问题的方 法；然后，分析出问题关键性的特征；最后，讨论模型和它的解。 整个建模过程可以用一个简单的框图来表示(如图0.1)。根据这个 框图，就可以对本章所介绍的一些问题作出具体分析。有些问题 我们最终并未给出答案，可以作为作业，让读者认识到，建立起 一个数学模型比事后去认识它要困难得多。
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2. 对称性—分析思维与综合思维的对比: 一杯咖啡与一杯牛奶
假设给你一杯咖啡和一杯牛奶，盛在杯子 里的咖啡和牛奶数量相等。先从牛奶杯里 舀出一满匙牛奶放入咖啡杯里，搅匀，然 后再从掺有牛奶的咖啡杯里舀出一满匙的 咖啡放入牛奶杯里，搅匀。此时，两个杯 子里的液体在数量上又相等了。这样，咖 啡杯里的牛奶和牛奶杯里的咖啡相比，哪 个多了呢?
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分析 我们把从抽屉里取出两枚硬币的所有取法列成一张 表，其中Gi和Si分别表示金币和银币(i=1，2，3)。 抽屉1 G1G2 G2G1 抽屉2 G3S1 S1G3 抽屉3 S2S3 S3S2
结论 在六种可能的关系式里，只有三种第一次可以取出 金币，而这三种取法中有两种第二次取出的也是金币，所 以
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分析 如果三个信封都装对了，那么，只剩 下一封信和一个信封，这时，四封信全都装 对了。 结论
正好装错一个信封的可能性是没有的。
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9. 针锋相对: 硬币游戏
如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币 放置在一个长方桌上，使得这些硬币互不 重叠(且全部平放在桌面上)。假设这场游戏 的胜者是能依照规则放置最后一枚硬币的 人，那么，你是愿意先放还是愿意后放?
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5. 连续性导致稳定性: 稳定的桌子
考虑一张有四条腿的方桌，其四条桌腿的长 度相等。假设地表面稍有起伏，高低不平 (相对于桌腿的长度并不太大)。请你证明:总 存在这样一个位置，使得桌子放上去后，四 条腿同时着地(也就是说，桌子虽然可能会 倾斜，但不会摇晃)。
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将这群人分为N组(可能有空组)，在该群人中认 识人数i的，分入i+1组，其中i=0, 1, …，N－1，如 果某组中有多于一个人，则该组中的人认识的人 数相等。否则N个人分成N组，且每组又不多于一 个人，则必定导致每组恰好一个人。设甲在第一 组，乙在第N组。则意味着甲不认识任何一个人， 而乙认识所有的人，其中包括甲。这与认识的相 互性矛盾。 放弃认识的相互性，结论不再成立。
于是，哥伦布拿来一只熟鸡蛋，让他们将鸡蛋立起来。 贵族们想尽了办法，却苦无良策，他们无可奈何地说:“让 我们看看你是怎么做的”。哥伦布接过鸡蛋，将蛋的一头 打碎，鸡蛋便立了起来。贵族们恍然大悟:“哦，这是任何 人都能做到的。”哥伦布说:“没错，不过你们是在别人做 了以后，才这么说的。” 这个故事有很深刻的寓意:如果你 第一次没有成功，那么 (1) 仿效别人 (2) 一次次尝试 (3) 停下来思考
数 学 建 模—绪论Fra bibliotek分析 从感觉上来看，人们都希望自己能处于这样 一个位置:无论对手采用什么方法，自己都能应 付，并且能够阻止对手在最后一步于自己之后放置 硬币。 结论 根据对称性，桌子上的任何位置都有一个以 中心为对称的点。由于中心关于其自身是对称的， 故最佳方案是首先将一枚硬币放在桌子中央，然后 根据对手的放法，将你的硬币放在(关于中心)与之 对称的位置上。
分析 注意到让桌子的三条腿同时着地总是可能的。要明 白这一点，只须将相邻的两条桌腿举起来，让另外两条腿 着地，然后慢慢地将手中的两条桌腿放下，则必有一条桌 腿先着地。因此，总有两条不相邻的桌腿同时着地。设x 是这两条不相邻桌腿与地面距离的和，由于它们都与地面 接触，故有x=0，设y是另外两条不相邻的桌腿与地面距离 之和(因为有三条桌腿同时着地，故其中有一条桌腿与地 面距离为0)。如果我们将桌子旋转90°，使得两对桌腿的 位置互换，则x和y就是旋转角度θ的函数，且有
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10. 条件概率: 关于金币的预测
有一个含三个抽屉的柜子，第一个抽屉装有两枚 金币，第二个抽屉装的是一枚金币和一枚银币， 而第三个抽屉则装有两枚银币。随机地打开一个 抽屉，并取出一枚钱币，发现是枚金币。问这个 抽屉里剩下的那枚钱币也是金币的概率是多少?
很多人也许会这样想，因为打开的抽屉里已经发现了 一枚金币，故这个抽屉或者装着两枚金币，或者装着一 枚金币和一枚银币。因此，剩下的那枚是金币的可能性 是50:50。这种想法是错误的。
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2. 问题
1. 人人都能做到:哥伦布与鸡蛋
克里斯托弗·哥伦布发现了美洲大陆，西 班牙的贵族们对此很不以为然，认为这太容 易了。他只是一直向西行便达到了美洲东部， 在西行过程中他毕竟没有越出地球边缘而掉进 无底深渊，最终必然会到达某个地方，贵族们 说:“这是任何人都能做到的。”
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大多数人会回答说咖啡杯里的牛奶要多些，少数人的 回答恰好相反，而回答两者数量相等的人则是凤毛麟角了。
关于这个问题大多数人的想法是:第一匙牛奶加入咖啡 杯里之后冲淡了咖啡，因而后一匙中，就没有那么多咖啡。 所以，留在咖啡杯里的牛奶便要多于牛奶杯里的咖啡。然 而，后一匙没有带回那么多咖啡，就意味着又带回了一些 牛奶。但是大多数人未按此思考。 分析 注意到无论从牛奶杯里取出多少牛奶，都会掺进相 同数量的咖啡(反之亦然)，因为最终两个杯子里的液体需 要保持开始时数量相等的状态。