1数学模型引言(2014-2-24) (1)
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3
3 模型假设
3.1 忽略各种材料的密度差异; 胡萝卜和黄桃不是一种东西,密度自然也不相同,但是为了便于 分析,将其视为同密度物质; 3.2 忽略材料之间的缝隙; 各种材料之间不可避免的会有很多 空洞,虽然可以用葡萄干、玉米粒等小颗粒来填补,但是仍然会 有不少空洞;这里将其忽略之; 3.3 认为沙拉塔的外形是圆台体; 因为盘子内部——即盘子边 缘所在平面到盘子底部这部分容积——无论何种码放方法,都 是填满内 容的,所以这部分体积对不同的方法贡献相同,故不予考虑; 圆台体的形状,用通俗的话说,就是圆锥体平行于底面切去上方 尖部后所剩形状。 3.4 认为萝卜条是横截面为正方形的立方柱; 横截面为正方形 的立方柱,举例来说,如 0.5 cm ×0.5 cm ×10cm 即是。
44
1973年，Freddy机器人通过视觉感知来定位和组装 了模型。 1974年，随着政府资助机构减少了对于人工智能研 究的拨款预算，人工智能寒冬到来。 1975年，斯坦福大学的Meta-DENDRAL程序发现关 于分子的新规律，成果被发表在了美国化学学会的 期刊上。 1980年，自动行驶的汽车在慕尼黑大学里以90公里/ 小时的速度行驶。 1988年，人工智能的主要形式变为基于不确定数据 的概率推理，而不再是以往那样侧重于逻辑。 1989年，美国航天局（NASA）利用自动聚类的电 脑程序发现以往未知的几类恒星。
47
数学是解决信息检索和自然语言处
理的最好工具。 它能非常清晰地描述这些领域的实 际问题并且给出漂亮的解决办法。
48
电子政务（身份识别，政务数字化管理） 断层成像系统（CT，MRI，PET，SPET） 数码技术（CD，VCD，DVD，HDTV， DC，MP3，MP4） 数字化通讯（手机，网络，IP） 电子商务（ATM，POS，条码，网络销售） 三维扫描
1 问题提出
必胜客(PizzaHut)内有 28 元的自助沙拉,方法是向一只空碗内放入喜爱 的各色沙拉原料。据说, 国外必胜客的自助沙拉吃完是可以续添的,可 是国内似乎无此规定。当然,追求尽可能多的码放是 几乎每个消费者的 目标。本文目的就是讨论如何才能达到这一目标,并给出一种合理可行 的方法。 2 问题分析 追求码放质量的极大化,属于极值问题。 码放出来的沙拉塔形状近似是一个圆台体,在认为各材料密度近似的假 设下,只需使圆台体的体积 极大即可。
9
一、首先准备一个碟子，里面放准备堆上去的 材料和用于粘贴的沙拉酱
10
二、在碗里面结实地填上许多材料，碗沿上合理 的贴上整齐结实的胡萝卜条。
11
12
三、在已经填整齐的碗的内圈整齐地放上形状合适（能摆 一个圆）的大菠萝块。
13
四、再在菠萝圈中间填上你喜欢的小东西
14
五、内圈抹平摆整齐以后再在外圈（胡萝卜条上）再整齐地摆上一圈 菠萝。
1
W c1 ( I1 3) c2 ( I 2 3) D1[exp( D2 ( I1 3)) 1]
这是一个偏微分方程组的初边值问题， 可以用数值方法中的有限元法进行求解。
35
四个不同时期的流体速度图像
36
应力/应变分布图
同样可以发现，最大主应力和主应变均在右心 室曲率最大的地方出现，而疤痕和补丁附近的 应变值较小(原因是疤痕和补丁的材料较硬).
ij n j |out _ wall 0 r ij n j |int erface s ij n j |int erface
34
固流模型（FSI）
vi ,tt ij , j ,
j 1 3 3
i 1,2,3 i, j 1,2,3
ij vi , j v j ,i v ,i v , j / 2,
38
开普勒三定律
1. 开普勒第一定律：
所有的行星围绕太 阳运动的轨道都是 椭圆，太阳处在所 有椭圆的一个焦点 上。
行星
太阳
F
F
椭圆有两个焦点
39
2.开普勒第二定律：
太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
S1
S2
S1=S2
近日点速度快，远日点速度慢
40
3. 开普勒第三定律：
所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的 二次方的比值都相等。
行星
太阳
R3 =K T2
O F R
F
R：半长轴 T：公转周期
41
行星/卫星
水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 月球 同步卫星
半长轴（km）
57 108 149 228 778 1426 2870 4498 0.3844 0.0424
周期（天）
87.97 225 365 687 4333 10759 30660 60148 27.3 1
15
六、在黄桃的外面，外层菠萝的上面堆上黄瓜。为下一 层菠萝做准备
16
七、黄瓜放好后在表层撒点玉米粒火腿肠之类的小东西以 使表面平一些。
17
八、再在黄瓜上堆一层菠萝，继续在里面堆黄桃
18
就这样一层一层往上堆
19
初步的成果
20
21
ห้องสมุดไป่ตู้
22
23
24
25
26
这也能用数学? 定位系统（GPS）
2
必胜客(PizzaHut)沙拉塔的堆叠方案分析
【摘要】本文通过分析必胜客沙拉塔的堆叠问题,提出一种能够使堆叠 的沙拉塔体积最大化的方 案,即将胡萝卜条呈放射状铺在盘子的外缘, 并探出接近一半的长度,以此为底,再使用菠萝块摆 在外围作为承重墙, 中间摆放喜爱的内容,如此逐层提高,便可达到理想高度,从而得到理想 体 积。最后,本文给出了堆叠沙拉塔的图文攻略。 【关键字】必胜客,沙拉塔
37
太阳系模型
《数学百科全书》1977-1986 吉夫诺夫
利用第谷近30年详细的天文观测资料，开
普勒发现行星运动三定律； 牛顿建立行星运动学方程从理论上证明开普 勒三定律； 亚当斯和勒威耶分别运用天文观测资料和牛 顿模型计算出海王星的轨道和位臵； 柏林天文台台长伽勒根据勒威耶的报告观测 到海王星.
K（m³ /s ² ）
3.36×10^18 3.36×10^18 3.36×10^18
3.36×10^18
3.36×10^18 3.36×10^18 3.37×10^18 3.37×10^18 1.03×10^13 1.03×10^13
所有行星的半长轴的三次方与周期的平方的比值都相等， 月球、卫星的比值也相等。
余弦定理和网络中新闻的分类
每个单词对应一个数字，共64,000个数，如果单词表中 的某个单词在这个新闻中没有出现，对应的值为零，那么 这 64,000 个数，组成一个64,000维的向量。我们就用这 个向量来代表这篇新闻——特征向量.如果两篇新闻的特 征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类 ，反之亦然。 当两条新闻向量夹角的余弦等于1时，这两条新闻完全 重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦 接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的 余弦越小，两条新闻越不相关。
高技术的出现把我们的社会推进到数学 技术的新时代
49
高技术本质上是数学技术。
核磁共振成像技术：积分方程、几何学
期权定价：随机微分方程（Black-Scholes公式） 复合材料设计：控制论、偏微分方程及其计算 地震分析和预测：统计学、湍流动力系统 药物设计：统计学、组合学、拓扑学
31
32
虚拟外科手术
上图为一位患有右心室机能障碍的患者，术 前、术后的心脏图像。
33
流体模型：
流体运动方程
流体连续性方程 速度边界条件 压力边界条件 右心室外壁面为 自由面 不同材料接触面 为相互作用界 面
u ( ((u u g ) )u ) p 2u t u 0 v u u | , |inlet ,outlet 0 t n P |inlet pin (t )(inlet _ open) v |inlet 0(inlet _ closed ) P |outlet pout (t )(outlet _ open ) v |outlet 0(outlet _ closed ) p |LV pLV (t )
0
引言
数学建模就是对实际问题的数学表述，是 应用数学解决实际问题。 看几个日常生活中的例子：
1
这也要用数学? 如果天气预报说明天的降雨概率是60%,而 你明天要外出，你是否应该带伞？
如果你很渴，可是面前只有一杯滚烫的热 饮，和一杯冰块儿，你应该怎么做才能尽 快喝到饮料？
必胜客的沙拉是自助的，一份32元，给你 一个小碗，只能去盛装一次，不管你能装 多少。问题是你怎样才能尽量装得更多？
4
4、模型的建立
5、模型的计算
5
6
7
8
6 模型验证
某日,和丹佛、Spring 一同去安贞华联的 PizzaHut 饕餮,要了一份自助沙拉。测量了一下各参数, 数值如下: R = 16.8 cm÷2 = 8.4 cm L = 5.5 cm d = 0.8 cm 取 k = 1/3,计算得到 N = 37 根,实际上也正好是 37 根,如图 6-1 完全吻合! 接着,按照前述方法,层层摆放, 因为只有 3 人,不想浪费,所以只摆了 6 层的圆台体, 便收工开吃了。最后 3 人吃到半 S,沙拉堆到了嗓子 眼儿,差点 P 掉⋯⋯
42
人工智能
机器翻译、拼写纠错、汉字输入、文献查 询、手写体识别——用计算机处理人类语 言问题
计算机复杂的语音识别问题——
43
人工智能的时间线
1950年，图灵提出，经过编程的电子计算机可以像真人一 样回答问题。 1956年，在美国达特茅斯学院的一个暑期工作坊上，这个 领域的早期创始者们正式提出了"人工智能"这个词汇。 1958年 Allen Newell和Herbert Simon预测在十年内，电脑 可以击败国际象棋世界冠军，不过在现实中这整整花了四十 年。 1961年，电脑解决了大学一年级程度的微积分题目。 1965年，世界上第一个用于心理治疗的聊天机器人ELIZA， 尝试着和人进行对话。 1967年，STUDENT程序成功地解决了用文字描述的一道大 学程度的代数题目。
机械制造：几何学、控制论
地质勘测：信号（图象）处理、 文本信息处理：代数、几何、数据结构 地理信息系统：计算几何、优化算法
50
物理学与数学 生物学与数学 经济学与数学 政治学与数学 语言,文学与数学 军事国防与数学 心理学与数学 教育学与数学
w=u+,
30
min F(u)
u
F(u) u u w
2
2
dxdy
这是一个泛函极值点问题，也称为变分问题，它 可以转化为一个偏微分方程的初边值问题。 图像去噪的偏微分方程模型：
ut u xx u yy (u w) u 0 n u |t 0 w
27
GPS（Global Position System全球定位系统）的数学模型
28
29
图像去噪
在图像摄取和传输过程中，由于受到各种因素 的干扰，图像被“噪声”污染。为了恢复图像 的清晰，去掉“噪声”的过程被称为图像去噪。 被“噪声”污染图像的数学模型 图像去噪的数学模型
min F(u)
u 2 2 F(u) u u w dxdy
45
1997年，IBM"更深的蓝"超级电脑击败了国际象棋冠军卡斯帕 罗夫。 1998年，由Hasbro生产的第一个人工智能的宠物Furby开始在 美国出售；美国航天局（NASA）第一次有了完全由电脑程序 自动控制的飞行器。 2000年，Nomad机器人探索南极洲的偏远地区，采集气象观 测样本。 2004年，一个电脑程序可以比一个专业级真人飞行员更快地 学会操纵遥控直升机。 2007年，美国艾尔伯特大学的人工智能程序完全破解了西洋 跳棋游戏。 2011年，苹果的语音识别软件Siri可以让用户和iPhone对话； iRobot公司出售出了第600万个Roomba吸尘器机器人。 2012年，Google翻译做的翻译总量已经超过了所有人类翻译 者所做的总合。 2012年，通过10亿个连接，Google的人工智能神经网络可以 46 去识别一些常见的物体，像人脸和猫
3 模型假设
3.1 忽略各种材料的密度差异; 胡萝卜和黄桃不是一种东西,密度自然也不相同,但是为了便于 分析,将其视为同密度物质; 3.2 忽略材料之间的缝隙; 各种材料之间不可避免的会有很多 空洞,虽然可以用葡萄干、玉米粒等小颗粒来填补,但是仍然会 有不少空洞;这里将其忽略之; 3.3 认为沙拉塔的外形是圆台体; 因为盘子内部——即盘子边 缘所在平面到盘子底部这部分容积——无论何种码放方法,都 是填满内 容的,所以这部分体积对不同的方法贡献相同,故不予考虑; 圆台体的形状,用通俗的话说,就是圆锥体平行于底面切去上方 尖部后所剩形状。 3.4 认为萝卜条是横截面为正方形的立方柱; 横截面为正方形 的立方柱,举例来说,如 0.5 cm ×0.5 cm ×10cm 即是。
44
1973年，Freddy机器人通过视觉感知来定位和组装 了模型。 1974年，随着政府资助机构减少了对于人工智能研 究的拨款预算，人工智能寒冬到来。 1975年，斯坦福大学的Meta-DENDRAL程序发现关 于分子的新规律，成果被发表在了美国化学学会的 期刊上。 1980年，自动行驶的汽车在慕尼黑大学里以90公里/ 小时的速度行驶。 1988年，人工智能的主要形式变为基于不确定数据 的概率推理，而不再是以往那样侧重于逻辑。 1989年，美国航天局（NASA）利用自动聚类的电 脑程序发现以往未知的几类恒星。
47
数学是解决信息检索和自然语言处
理的最好工具。 它能非常清晰地描述这些领域的实 际问题并且给出漂亮的解决办法。
48
电子政务（身份识别，政务数字化管理） 断层成像系统（CT，MRI，PET，SPET） 数码技术（CD，VCD，DVD，HDTV， DC，MP3，MP4） 数字化通讯（手机，网络，IP） 电子商务（ATM，POS，条码，网络销售） 三维扫描
1 问题提出
必胜客(PizzaHut)内有 28 元的自助沙拉,方法是向一只空碗内放入喜爱 的各色沙拉原料。据说, 国外必胜客的自助沙拉吃完是可以续添的,可 是国内似乎无此规定。当然,追求尽可能多的码放是 几乎每个消费者的 目标。本文目的就是讨论如何才能达到这一目标,并给出一种合理可行 的方法。 2 问题分析 追求码放质量的极大化,属于极值问题。 码放出来的沙拉塔形状近似是一个圆台体,在认为各材料密度近似的假 设下,只需使圆台体的体积 极大即可。
9
一、首先准备一个碟子，里面放准备堆上去的 材料和用于粘贴的沙拉酱
10
二、在碗里面结实地填上许多材料，碗沿上合理 的贴上整齐结实的胡萝卜条。
11
12
三、在已经填整齐的碗的内圈整齐地放上形状合适（能摆 一个圆）的大菠萝块。
13
四、再在菠萝圈中间填上你喜欢的小东西
14
五、内圈抹平摆整齐以后再在外圈（胡萝卜条上）再整齐地摆上一圈 菠萝。
1
W c1 ( I1 3) c2 ( I 2 3) D1[exp( D2 ( I1 3)) 1]
这是一个偏微分方程组的初边值问题， 可以用数值方法中的有限元法进行求解。
35
四个不同时期的流体速度图像
36
应力/应变分布图
同样可以发现，最大主应力和主应变均在右心 室曲率最大的地方出现，而疤痕和补丁附近的 应变值较小(原因是疤痕和补丁的材料较硬).
ij n j |out _ wall 0 r ij n j |int erface s ij n j |int erface
34
固流模型（FSI）
vi ,tt ij , j ,
j 1 3 3
i 1,2,3 i, j 1,2,3
ij vi , j v j ,i v ,i v , j / 2,
38
开普勒三定律
1. 开普勒第一定律：
所有的行星围绕太 阳运动的轨道都是 椭圆，太阳处在所 有椭圆的一个焦点 上。
行星
太阳
F
F
椭圆有两个焦点
39
2.开普勒第二定律：
太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
S1
S2
S1=S2
近日点速度快，远日点速度慢
40
3. 开普勒第三定律：
所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的 二次方的比值都相等。
行星
太阳
R3 =K T2
O F R
F
R：半长轴 T：公转周期
41
行星/卫星
水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 月球 同步卫星
半长轴（km）
57 108 149 228 778 1426 2870 4498 0.3844 0.0424
周期（天）
87.97 225 365 687 4333 10759 30660 60148 27.3 1
15
六、在黄桃的外面，外层菠萝的上面堆上黄瓜。为下一 层菠萝做准备
16
七、黄瓜放好后在表层撒点玉米粒火腿肠之类的小东西以 使表面平一些。
17
八、再在黄瓜上堆一层菠萝，继续在里面堆黄桃
18
就这样一层一层往上堆
19
初步的成果
20
21
ห้องสมุดไป่ตู้
22
23
24
25
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这也能用数学? 定位系统（GPS）
2
必胜客(PizzaHut)沙拉塔的堆叠方案分析
【摘要】本文通过分析必胜客沙拉塔的堆叠问题,提出一种能够使堆叠 的沙拉塔体积最大化的方 案,即将胡萝卜条呈放射状铺在盘子的外缘, 并探出接近一半的长度,以此为底,再使用菠萝块摆 在外围作为承重墙, 中间摆放喜爱的内容,如此逐层提高,便可达到理想高度,从而得到理想 体 积。最后,本文给出了堆叠沙拉塔的图文攻略。 【关键字】必胜客,沙拉塔
37
太阳系模型
《数学百科全书》1977-1986 吉夫诺夫
利用第谷近30年详细的天文观测资料，开
普勒发现行星运动三定律； 牛顿建立行星运动学方程从理论上证明开普 勒三定律； 亚当斯和勒威耶分别运用天文观测资料和牛 顿模型计算出海王星的轨道和位臵； 柏林天文台台长伽勒根据勒威耶的报告观测 到海王星.
K（m³ /s ² ）
3.36×10^18 3.36×10^18 3.36×10^18
3.36×10^18
3.36×10^18 3.36×10^18 3.37×10^18 3.37×10^18 1.03×10^13 1.03×10^13
所有行星的半长轴的三次方与周期的平方的比值都相等， 月球、卫星的比值也相等。
余弦定理和网络中新闻的分类
每个单词对应一个数字，共64,000个数，如果单词表中 的某个单词在这个新闻中没有出现，对应的值为零，那么 这 64,000 个数，组成一个64,000维的向量。我们就用这 个向量来代表这篇新闻——特征向量.如果两篇新闻的特 征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类 ，反之亦然。 当两条新闻向量夹角的余弦等于1时，这两条新闻完全 重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦 接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的 余弦越小，两条新闻越不相关。
高技术的出现把我们的社会推进到数学 技术的新时代
49
高技术本质上是数学技术。
核磁共振成像技术：积分方程、几何学
期权定价：随机微分方程（Black-Scholes公式） 复合材料设计：控制论、偏微分方程及其计算 地震分析和预测：统计学、湍流动力系统 药物设计：统计学、组合学、拓扑学
31
32
虚拟外科手术
上图为一位患有右心室机能障碍的患者，术 前、术后的心脏图像。
33
流体模型：
流体运动方程
流体连续性方程 速度边界条件 压力边界条件 右心室外壁面为 自由面 不同材料接触面 为相互作用界 面
u ( ((u u g ) )u ) p 2u t u 0 v u u | , |inlet ,outlet 0 t n P |inlet pin (t )(inlet _ open) v |inlet 0(inlet _ closed ) P |outlet pout (t )(outlet _ open ) v |outlet 0(outlet _ closed ) p |LV pLV (t )
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引言
数学建模就是对实际问题的数学表述，是 应用数学解决实际问题。 看几个日常生活中的例子：
1
这也要用数学? 如果天气预报说明天的降雨概率是60%,而 你明天要外出，你是否应该带伞？
如果你很渴，可是面前只有一杯滚烫的热 饮，和一杯冰块儿，你应该怎么做才能尽 快喝到饮料？
必胜客的沙拉是自助的，一份32元，给你 一个小碗，只能去盛装一次，不管你能装 多少。问题是你怎样才能尽量装得更多？
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4、模型的建立
5、模型的计算
5
6
7
8
6 模型验证
某日,和丹佛、Spring 一同去安贞华联的 PizzaHut 饕餮,要了一份自助沙拉。测量了一下各参数, 数值如下: R = 16.8 cm÷2 = 8.4 cm L = 5.5 cm d = 0.8 cm 取 k = 1/3,计算得到 N = 37 根,实际上也正好是 37 根,如图 6-1 完全吻合! 接着,按照前述方法,层层摆放, 因为只有 3 人,不想浪费,所以只摆了 6 层的圆台体, 便收工开吃了。最后 3 人吃到半 S,沙拉堆到了嗓子 眼儿,差点 P 掉⋯⋯
42
人工智能
机器翻译、拼写纠错、汉字输入、文献查 询、手写体识别——用计算机处理人类语 言问题
计算机复杂的语音识别问题——
43
人工智能的时间线
1950年，图灵提出，经过编程的电子计算机可以像真人一 样回答问题。 1956年，在美国达特茅斯学院的一个暑期工作坊上，这个 领域的早期创始者们正式提出了"人工智能"这个词汇。 1958年 Allen Newell和Herbert Simon预测在十年内，电脑 可以击败国际象棋世界冠军，不过在现实中这整整花了四十 年。 1961年，电脑解决了大学一年级程度的微积分题目。 1965年，世界上第一个用于心理治疗的聊天机器人ELIZA， 尝试着和人进行对话。 1967年，STUDENT程序成功地解决了用文字描述的一道大 学程度的代数题目。
机械制造：几何学、控制论
地质勘测：信号（图象）处理、 文本信息处理：代数、几何、数据结构 地理信息系统：计算几何、优化算法
50
物理学与数学 生物学与数学 经济学与数学 政治学与数学 语言,文学与数学 军事国防与数学 心理学与数学 教育学与数学
w=u+,
30
min F(u)
u
F(u) u u w
2
2
dxdy
这是一个泛函极值点问题，也称为变分问题，它 可以转化为一个偏微分方程的初边值问题。 图像去噪的偏微分方程模型：
ut u xx u yy (u w) u 0 n u |t 0 w
27
GPS（Global Position System全球定位系统）的数学模型
28
29
图像去噪
在图像摄取和传输过程中，由于受到各种因素 的干扰，图像被“噪声”污染。为了恢复图像 的清晰，去掉“噪声”的过程被称为图像去噪。 被“噪声”污染图像的数学模型 图像去噪的数学模型
min F(u)
u 2 2 F(u) u u w dxdy
45
1997年，IBM"更深的蓝"超级电脑击败了国际象棋冠军卡斯帕 罗夫。 1998年，由Hasbro生产的第一个人工智能的宠物Furby开始在 美国出售；美国航天局（NASA）第一次有了完全由电脑程序 自动控制的飞行器。 2000年，Nomad机器人探索南极洲的偏远地区，采集气象观 测样本。 2004年，一个电脑程序可以比一个专业级真人飞行员更快地 学会操纵遥控直升机。 2007年，美国艾尔伯特大学的人工智能程序完全破解了西洋 跳棋游戏。 2011年，苹果的语音识别软件Siri可以让用户和iPhone对话； iRobot公司出售出了第600万个Roomba吸尘器机器人。 2012年，Google翻译做的翻译总量已经超过了所有人类翻译 者所做的总合。 2012年，通过10亿个连接，Google的人工智能神经网络可以 46 去识别一些常见的物体，像人脸和猫