13.2019.11月156中学初三期中数学
北京156中学2012-2013初三上期中试卷和答案
北京156中学2012—2013学年度第一学期初三数学期中测试 班级______ 姓名________ 学号______ 成绩______本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，共120分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷的第1页至第6页、答题卡和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共32分）一、选择题：(共8小题，每小题4分，共32分1．关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则a 的值等于（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．1或－12．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）． A ．14B ．13C ．34D ．123．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为(1，0)和(4，－4)，则两圆的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 4． 抛物线)3)(1(-+=x x y 的对称轴是直线（ ）．A ． 1x =-B ．3x =-C ． 1x =D ．3x =5．圆锥底面直径是10cm ，母线长为9cm ，则侧面展开图的圆心角度数为( )A ．150°B ．240°C ．180°D ．200°6．如图，⊙O 内切于△ABC，切点分别为D 、E 、F ，已知：∠B=50°，∠C=60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ， 那么∠EDF= ( ) A ．55° B．40° C．65° D ．70°7．函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）.8. 如图，在直角梯形A B C D 中，AD ∥BC ，90C ∠= ，C D =AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运 动到点C 停止，点Q 沿B C 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运D ．动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共88分）二、填空题：(共7小题，每小题4分，共28分)9．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________． 10．如图，正方形ABCD 内接于⊙O，点E 在︵AD10题 11题 13题11. 如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o ,在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线y =x 2 (x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 _____________ .12．已知正多边形的边心距与边长之比为1：2，则此正多边形是正 边形. 13．已知抛物线bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论：①abc ＞0；② 2=++c b a ； ③a ＜21； ④b ＞1.其中正确的结论是 .14．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .15．如图,正方形ABCD 外接圆的半径为2，MN 为圆O 的直径，MN ⊥CD ， 则图中阴影部分的面积是 （结 果保留π) 三、解答题：（第16-20题各4分，21--25题6分，26题10分共60分） 16.计算：2cos 60tan 45sin 45sin 30︒-︒+︒︒17.已知221(1)(3)mm y m x m x m--=++-+，当m 为何值时，是二次函数？18．如图，割线AC 与⊙O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O ，若⊙O 的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，求弦BC 的长.19．已知二次函数y = 2x 2 -4x -6.（1）用配方法将y = 2x 2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 +k 的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？（4）当- 2﹤x ﹤3时，观察图象直接写出函数y 的取值范围．1120．如图，在大圆中有一个小圆O,现有直尺和圆规.（1）简要说明确定大圆的圆心'O 的步骤； （2）作直线AB ，使其将两圆的面积均二等分。
156期中考试(1)
哈156中学基于学生核心素养培养期中学情监测八年级数学试题考试时间：2019年5月7日 出题审题：156初三数学组一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A B C D 2.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3x C ．y=2x 2D ．y=-2x+1 3.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A ．1、2、3B ．3、5、7C ．32、42、52D ．5、12、134.下列性质中，矩形具有而一般的平行四边形不具有的特点是（）A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对边平行5. 如果直线y=kx+b 经过第一、三、四象限，那么直线y=bx+k 经过第（ ）象限. A ．一、二、三 B ．一、二、四 C ．一、三、四 D ． 二、三、四6. 如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=6，M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于N 点，则MN=（ ） A ．B ．C ．D ．7. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB=CD,AD ∥BC ，AE ∥DC ，∠B=60°，BC=3，△ABE 的周长为6，则等腰梯形的周长是（ ）A ．8B ．10C ．12D ．168.如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ） A.4 B.5 C.4或5 D.3或59.如图，AB 为一条线段，直线l ∥AB ，点P 是l 上一动点，连接PA 、PB,点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，当点P 从左向右运动时，线段M N 的长度( )A ．始终不变B ．逐渐变大C ．逐渐变小D ．先变小再变大10.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图2是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×每件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ） A ．第24天的销售量为200件B ．第10天销售一件产品的利润是15元C ．第12天与第30天这两天的日销售利润相等D ．第30天的日销售利润是750元二、填空题（每题3分，共30分）11.在函数 中，自变量x 的取值范围是 ．12.一次函数(26)5y m x =-+中，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是 ．13.在平面直角坐标系中，将直线y=2x －1向上平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 ．14.如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 .15.若函数y=（m+1）x+（m 2-1）（m 为常数）是正比例函数，则m 的值为 .16. 如图，将长8 cm ，宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，则折痕EF 的长为 cm .17.如图，在□ABCD 中，以顶点A 为圆心,AD 长为半径,在AB 边上截取AE=AD,用尺规作图法作出∠BAD 的角平分线AG ，若AD ＝5，DE ＝6，则AG 的长是 ．第7题图 第9题图第10题图第6题图 12y x =-18.如图，点A ，B ，E 在同一条直线上，正方形ABCD ，BEFG 的边长分别为3，4，H 为线段DF 的中点，则BH= ．19.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=9,点F 是边BC 上的一点，点E 是AD 上的一点，AE:ED=1：2，连接EF 、DF ，若EF= ,则DF 的长为 ．20.已知，如图正方形ABCD ，点E 为BD 上一点，∠BEC=∠BCE ，点F 为正方形外一点，CF ∥BE ，EF ∥BC ，点G 为BE 上一点，∠EFG ：∠GFC=1:2，点H 为BC 延长线上一点，EH=FG ，AD=2， 则BH .三、解答题（21题---25题每题8分，26、27题每题10分，共60分）21. 先化简，再求值: 其中x=3． 22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点. （1）在图①中，以格点为端点，画一个三角形,使三边长分别为 三角形的面积是 . 则这个（2）在图②中，以格点为顶点，画一个正方形,使它的面积为10.23.已知y 与x ＋2 成正比例，当x ＝4时，y ＝12. (1)求y 与x 之间的函数解析式； (2)求当y ＝36时,求x 的值；(3)判断点(－7，－10)是否是函数图象上的点．并说明理由.24. 如图，已知点E 是▱ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F. 连接AC ，BF ， ∠AEC ＝2∠ABC.(1)求证：四边形ABFC 为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．第24题25.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)2221142x x x x x -+-÷-+HG F ED ABC第20题图第18题图22,2,10与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示，回答下列问题． (1)机动车行驶 小时后加油, 中途加油升. (2)求加油前油箱剩余油量Q 与行驶时间t 的函数关系， 并求自变量t 的取值范围；(3)如果加油站距目的地还有230千米，车速为40千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．26.已知在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O, AB=2AO (1) 如图1，求∠BAC 的度数；(2) 如图2，P 为菱形ABCD 外一点，连接AP 、BP 、CP ，若∠CPB=120°， 求证：CP+BP=AP ；(3) 如图3，M 为菱形ABCD 外一点，连接AM 、CM 、DM ，若∠AMD=150°,CM=27,DM=2 , 求四边形ACDM 的面积。
2019-2020学年北京市第一五六中学九年级上学期中数学试题(重题9).doc
北京156中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中测试一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知35x y =（0y ≠），那么下列比例式中正确的是 ( )． A ．53x y= B ．35x y = C ．35x y = D ．35x y= 【答案】A【解析】∵35x y =，∴53x y =．2．将抛物线22y x =平移得到抛物线22(2)3y x =-+，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】D【解析】将抛物线22y x =先向右平移2个单位得到22(2)y x =-，再向上平移3个单位即可得到22(2)3y x =-+．3． 在同一时刻，身高1．6米的小强在阳光下的影长为0．8米，一棵大树的影长为4．8米，则树的高度为（ ）． A ． 10米 B ．9．6米 C ．6．4米 D ．4．8米4． 如右图，在44⨯的正方形网格中，tan α的值等于（ ）．A ．B ．C ．32D ．23【答案】C【解析】3tan 2α=．5．在Rt ABC △中，已知cos 725B =，则tan B 的值为（ ）． A ．724 B ． 2425 C ．2524D ．247【答案】A【解析】在Rt ABC △中，24sin 25B =，∴sin 7tan cos 24B B B ==．6． 抛物线(1)(3)y x x =+-的对称轴是直线（ ）．A ．1x =-B ．1x =C ．3x =-D ．3x =【答案】B【解析】22(1)(3)23(1)4y x x x x x =+-=--=--，∴抛物线的对称轴是1x =．7．如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ABC △的内部，90BAC ∠=︒，1OA =，6BC =．则⊙O 的半径为（ ）A ．6B ．13CD ．【答案】C【解析】过O 作OD BC ⊥，∵BC 是⊙O 的一条弦，且6BC =，∴116322BD CD BC ===⨯=，∴OD 垂直平分BC ，又AB AC =，∴点A 在BC 的垂直平分线上，即A ，O 及D 三点共线， ∵ABC △是等腰直角三角形， ∴45ABC ∠=︒，∴ABD △也是等腰直角三角形， ∴3AD BD ==， ∵1OA =，∴312OD AD OA =-=-=，在Rt OBD △中，OB =8．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数2322y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）． A ． B ． C．D ．【答案】D【解析】根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系，分两种情况讨论： 当0m >时，函数y mx m =+的图象经过一、二、三象限，函数222y mx x =-++的图象开口向下，所给选项中没有满足条件的选项；当0m <时，函数y mx m =+的图象经过二、三、四象限，函数222y mx x =-++的图象开口向上，且对称轴0<，即二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，所给选项中满足条件的是选项D ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是( ) A ．512B ．513C ．1213D ．510． 如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x （秒），y =PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）．..二、填空题：(共6小题，每小题4分，共24分)11．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________． 【答案】4-，5【解析】2223(1)4y x x x =+-=+-， ∴当1x =-时，min 4y =-； 当2x =时，max 5y =．12．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则BEC ∠=__________．【答案】45︒【解析】连接OB 、OC ，则12E BOC ∠=∠，∵O 是正方形外接圆的圆心， ∴90BOC ∠=︒，∴1452BEC BOC ∠=∠=︒．13．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30︒，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH x ⊥轴于点H ．在抛物线2y x =（0x >）上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与AOH △全等，则符合条件的点A 的坐标是__________．【答案】1)3，，2)，2)3【解析】①当60POQ OAH ∠=∠=︒，若以P ，O ，Q 为顶点的三角形与AOH △全等，那么A 、P 重合；由于30AOH ∠=︒，所以直线OA：y x ，联立抛物线的解析式，得2y y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1)3A ； ②当30POQ AOH ∠=∠=︒，此时POQ △≌AOH △；易知60POH ∠=︒，则直线OP：y =，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得：00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P，那么A ；③当90OPQ ∠=︒，30POQ AOH ∠=∠=︒时，此时POQ △≌AOH △； 易知60POH ∠=︒，则直线OP：y =，联立抛物线的解析式，得：2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得：00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P ，∴OP =2QP =，∴OH OP ==2AH QP ==，故2)A ；④当90OPQ ∠=︒，60POQ OAH ∠=∠=︒，此时OQP △≌AOH △； 此时直线OP：y x ，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩，13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴1)3P ，∴QP =，23OP =， ∴OH QP =，QP ，23AH OP ==，故2)3A ． 综上可知：符合条件的点A 有四个，且符合条件的点A的坐标是1)3，，2)，2)3．14． 将抛物线y ＝x 2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为 ．15．已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②2a b c ++=；③12a <；④1b >．其中正确的结论是__________．【答案】②④【解析】如图可知，开口方向朝上，∴0a >， 对称轴02bx a=-<，∴0b >， 当0x =时，0y c =<， ∴0abc <；当1x =时，2y a b c =++=； 当1x =-时，0y a b c =-+<， ∴1b >； ∵12b a-<-， ∴02a <<． 故正确的是②④．16．对于正整数(,)B m n ，定义210()=()10n n F n f n n ⎧<⎨≥⎩,,，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：2(6)636F ==，()22(123)1231310F f ==+=．规定1()()F n F n =，1()(())k k F n F F n +=（k 为正整数）．例如：()()112312310F F ==，21(123)((123))(10)1F F F F ===．（1）求：2(4)F =____________，2015(4)F =______________； （2）若3(4)89m F =，则正整数m 的最小值是_____________．【答案】（1）37，26；（2）8【解析】（1）(4)16F =，2(4)(16)37F F ==，3(4)58F =，4(4)89F =，5(4)145F =，6(4)26F =，7(4)40F =，8(4)16F =，……∴循环周期为7，∴2015(4)26F =．（2）若3(4)89m F =，则418(4)89(4)F F ==， 因此318m =，所以6m =．三、解答题：（第17-20题各5分，21--24题7分，25题8分共56分）17． 计算：2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒18．如图，ABC △顶点的坐标分别为(1,1)A -，1(4)B -,，4(3)C -,．(1) 将ABC △绕点A 逆时针旋转90︒后，得到11AB C △．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C △，并直接写出点1B 的坐标：1B （__________，__________）； (2) 以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C △，使得它与ABC △的位似比等于2:1．【答案】（1）如图所示11AB C △，1(1,2)B ． （2）如图所示222A B C △．19． 已知：如图，在ABC △中，D 是AC 上一点，E 是AB 上一点，且∠AED =∠C ． （1）求证：△AED ∽△ACB ；（2）若AB =6，AD = 4，AC =5，求AE 的长．20．已知二次函数2 23y x x =--．（1）用配方法将2 23y x x =--化成()2y a x h k =-+的形式． （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？（4）当23x -<<时，观察图象直接写出函数y 的取值范围．【解析】（1）2223(1)4y x x x =--=-- （2）如图所示．ACBDE（3）由图可知，当1x<时，y随x的增大而减少．（4）45-≤<．y21．如果关于x的函数2(2)1=++++的图象与x轴只有一个公共点，y ax a x a求实数a的值．22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：⋅=⋅．AN DN CN MN【解析】∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AD CD=，DE DG=，∠=∠=︒，ADC EDG90∵90CDG ADG∠=︒+∠，∠=︒+∠，90ADE ADG∴ADE CDG∠=∠，在ADE△和CDG△中∵AD CDADE CDGDE DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE△≌CDG△，∴DAE DCG∠=∠，又∵ANM CND∠=∠，∴AMN CDN∽△△，∴AN MN CN DN=，即AN DN CN MN⋅=⋅．23．如图，矩形ABCD中，AP平分DAB∠，且A P D P⊥于点P，联结CP，如果8AB=，4AD=，求sin DCP∠的值．【解析】过点P作PE CD⊥于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴8CD AB==，90DAB ADC∠=∠=︒，∵AP是DAB∠的角平分线，∴1452DAP DAB∠=∠=︒，∵DP AP⊥，∴90APD∠=︒，∴45ADP∠=︒，∴45CDP∠=︒．在Rt APD△中，4AD=，∴sinDP AD DAP=⋅∠=在Rt DEP△中，=90DEP∠︒，∴sin2PE DP CDP=⋅∠=，cos2DE DP CDP=⋅∠=．∴6CE CD DE=-=．A BC DP11在Rt DEP △中，90CEP ∠=︒，PC ==．∴sinPE DCP PC ∠=．24．如图, 在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆, 拉线CE 和地面所成的角∠CED =60°, 在离电线杆6米的B 处安置高为1．5米的测角仪AB , 在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°, 求拉线CE 的长(结果保留根号)．25．如图1，平面直角坐标系212y x bx c =++中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB ．直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF ．（1）若点F 的坐标为（92，1），AF ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A 、F 、P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若22b c +=-，2b t =--，且AB 的长为kt ，其中0t >．如图2，当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DF A 的正切值．13。
北京市第十三中学2019-2020九年级上学期期中数学试卷及答案
北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试2019年11月考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，请将答题卡交回并按监考老师要求交回其它考试材料。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x=-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）.A．2(2)2y x=++ B．2(2)2y x=--C．2(2)2y x=-+ D．2(2)2y x=+-3．在平面直角坐标系xoy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（-3，-4）与⊙O的位置关系是（）A. 在⊙O内B.在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定4．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若BAAC''⊥，则BAC∠的度数是（）．A．50° B．60° C．70° D．40°5．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A． 120°B． 140° C．150° D． 160°6．二次函数223y x x=--的最小值为（）A. 5B. 0C. -3D. -4A. B. C. D.BCDOA7．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC ，如果30A ∠=，23AB =AC 的长等于( ) ． A. 6 B. 4 C. 3638．如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线作匀速运动，设运动时间为t （s ）．()APB y =∠，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个抛物线开口向下，与y 轴交于（0，2）点的函数表达式10．如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是11．直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1, 0), B (3, 2)． 观察图象直接写出不等式m x c bx x +<++2的解集.12. 弦AB 的长等于⊙O 的半径，那么弦AB 所对的圆周角的度数是____________.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是 米2． 14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图，CD 为⊙OCAOOy xBA第8题图 A B C D O PB ．ty 045 90 D ．ty 045 90 A ．ty 04590 C ．ty 045 90的直径，弦AB CD ⊥于E ，如果CE = 1， AB = 10，那么直径CD 的长为 .”15. 如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m. 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．11(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭18．解不等式组2(1)41,2,2x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩并写出它的所有整数解．尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O 和点P .PO求作：过点P 的⊙O 的切线.如图：（1）连结OP ，作线段OP 的中点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC .所以PB 和PC 就是所求的切线.1m 3mD3mCBAA 19．如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并证明.20．已知抛物线y = (m -2)x 2 + 2mx + m +3与x 轴有两个交点． (1) 求m 的取值范围；(2) 当m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与x 轴两个交点的坐标．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个 顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1． (1) 在网格中画出△AB 1C 1；(2) 计算点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）22．下表是二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠图象上部分点的横坐标（x ）和纵坐标（y ）.x … -1 0 1 2 3 4 5 … y…83-1m8…（1）观察表格，直接写出m=____；（2）其中A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，且-1< x 1 <0， 2< x 2 <3，则1y _____2y （用“>”或“<”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．23．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的圆心吗？ (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)BCA24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交弧AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm. 小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究： 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3） 结合函数图象，解决问题： ①当>AC CM 时，线段AP 的取值范围是 ；②当∆AMC 是等腰三角形时，线段AP 的长约为 （结果保留1位小数） .AB26．已知：二次函数C 1：()21210y ax ax a a =++-≠．（1）求二次函数C 1的对称轴，并写出顶点坐标； （2）已知二次函数C 1的图象经过点A （－3,1）． ①求a 的值；②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：()220y kx kx k =+≠的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．27．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A,C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,连接DE,CE ．（1）求证：BD=CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点； （3）若△ABC 的边长为1，直接写出EF 的最大值.28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P’，当点P’在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”． 已知A （1,0），B （0,2），C （3,3） （1）当⊙O 的半径为1时， ①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；②已知点M在直线2y x =+上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D ()，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T （t ，－1），半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，直接写出圆心T 的横坐标t 的取值范围是 ．北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试参考答案及评分标准 2019年11月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 不唯一； 10. 1； 11．1 <x<3 ； 12． 30°和150°； 13．36； 14．26；15．()23234y x =-++；94 ； 16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．11(1)52-⎛⎫π-+-+ ⎪⎝⎭解：略 …………5分解：略 …………5分19. 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA的延长线于G ，判断EF 和FG 是否相等，并说明理由.结论：EF FG =. ………………… 1分； 证法一：连接AE . ∴AB AE =，∴B AEB ∠=∠，………………… 2分； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，………………… 3分； ∴GAF FAE ∠=∠， ………………… 4分；在⊙A 中，∴EF FG =. ………………… 5分. 结论：EF FG =. ………………… 1分； 证法二：连接GE . ∵BG 是⊙A 的直径，∴90BEG ∠=. ………………… 2分； ∴GE BE ⊥.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ………………… 3分； ∴AD GE ⊥ ………………… 4分； ∴EF FG =. ………………… 5分. 20．（1）解：在 y = (m -2)x 2+ 2mx + m +3 中，令y =0 由题意得2(2)4(2)(3)020m m m m ⎧∆=--+>⎨-≠⎩------------------------------------------2分整理，得 42402m m -+>⎧⎨≠⎩解得 62m m <≠且-----------------------------------3分（2）满足条件的m 的最大整数为5．-------------------------4分∴y =3x 2+10x +8令y =0，3x 2+10x +8=0，解得423x x =-=-或∴抛物线与x 轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（43-，0）-------5分 21．解：(1)画出△AB 1C 1，如图． ………………………………2分(2)由图可知△ABC 是直角三角形，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5． ………………3分 点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分∴＝πππ25521241=⨯=⨯⨯AB ． …………5分所以点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长为π25． 22．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点， 设抛物线表达式为2(2)1y a x =----------------3分把（0，3）点代入，4a -1=3，解得a =1--------------------------------------------------4分 ∴2(2)1y x =--243y x x =-+∴-----------------------------------5分23. 略 -----------------------6分24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ．∴BF AF ⊥，BD AD ⊥．∵ABC ∆是等边三角形，∴221==BC DC ，221==AC FC ．…………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC∴1=-=EC FC FE ． ………………………………………………5分25．解： （1）补全下表：------------------------------------------1分 （2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：-------------------------------------------3分（3）①线段AP 的取值范围是26<≤AP -----------------------------------------4分 ②线段AP 的长约为 2或 2.6 ------------------------------------------------6分26．解：（1）()()2110y a x a =+-≠．对称轴：x =－1；顶点坐标（-1，-1） -----------------------------------------2分（2）①∵二次函数C 1经过点A （－3,1），∴a =12．-----------------------------------------3分 ②∵A （－3,1），对称轴：x =－1，∴B （1,1）．………………………………………4分当k >0时，当二次函数C 2经过点A （－3 ,1）时，16k =， 当二次函数C 2经过点B （1,1）时，12k =， ∴1162k ≤<．………………………………………5分 当k <0时，4k =-．--------------------------------------- 6分 综上所述，1162k ≤<或4k =-． 27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形.在等边△ABC 和等边△ADE 中AB ＝ACAD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分∴BD=CE ……………………………………3分EBA（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G∴∠G ＝∠BDF∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90°∴∠BDF ＝30°∴∠G ＝30°……………………………………………………4分由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90°∵∠AED ＝60°，∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分在△BDF 和△CGF 中BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BD F ≌△CGF （AAS ）∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分（3）1………………………………………7分28．解：（1）①B ；……………………………… 2分 ②03m ≤≤；…………………………5分（2）33433t -≤≤． (7)。
2016北京156中初三(上)期中数学
2016北京156中初三（上）期中数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．（3分）若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）3．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（）A．B．C． D．64．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（4，﹣3）7．（3分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数为（）A．36°B．38°C．34°D．40°8．（3分）如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④9．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）10．（3分）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．（3分）将函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．12．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=．13．（3分）△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC，AB于D，E两点，并连结BD，DE．则∠BDE的度数为．14．（3分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）15．（3分）写出抛物线经过点（0，1）且开口向上的一个函数表达式是．16．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．17．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．18．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．19．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF ⊥AB于F．若AC=12，则OF的长为．20．（3分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于．三．解答题（本题共60分，第21-23题各6分，24-29题各7分）21．（6分）将下列各二次函数解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．（1）y=x2﹣6x﹣1（2）y=﹣2x2﹣4x﹣6（3）y=x2+3x+10．22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧的中点，AC=4．求AD的长．23．（6分）已知二次函数y=x2+2x﹣3．（1）把函数配成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象x ……y ……（4）当y＞0时，则x的取值范围为．（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为．24．（7分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件）30 34 38 40 42销量（件）40 32 24 20 16（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？25．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2、C2的坐标．26．（7分）如图，二次函数y1=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF 延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．28．（7分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．29．（7分）已知：抛物线y=ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y＜﹣3a2+1，则自变量a的取值范围为．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【解答】A不是中心对称图形，故错误；B不是中心对称图形，故错误；C是中心对称图形，故正确；D不是中心对称图形，故错误；故选：C．2．【解答】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），∵向左平移2个单位，向下平移1个单位，∴新抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．3．【解答】∵OC⊥AB，OC过O，∴CD=AB，∵AB=4，∴AC=2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA==，即⊙O的半径是，故选：B．4．【解答】如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．又∵∠P=40°，∴∠POA=50°，∴∠ABC=∠POA=25°．故选：B．5．【解答】依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，所以圆与y轴相交，故选C．6．【解答】由图知A点的坐标为（3，4），根据旋转中心O，旋转方向逆时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（﹣4，3）．故选A．7．【解答】由旋转的性质得到，∠AOD=∠COB=31°，∵∠AOC=100°，∴∠DOB=∠AOC﹣∠AOD﹣∠BOC=100°﹣31°﹣31°=38°，故选B．8．【解答】由图象可知当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故①不正确；由图象可知0＜﹣＜1，∴＞﹣1，又∵开口向上，∴a＞0，∴b＞﹣2a，∴2a+b＞0，故②正确；由图象可知二次函数与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，故③正确；由图象可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故④不正确；综上可知正确的为②③，故选C．9．【解答】如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（﹣1，1），故选B．10．【解答】令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．【解答】y=x2﹣2x+4=（x2﹣2x+1）+3，=（x﹣1）2+3，所以，y=（x﹣1）2+3．故答案为：y=（x﹣1）2+3．12．【解答】∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．13．【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣30°）=75°，∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DBE=75°﹣30°=45°，∴∠BED=∠BDE=（180°﹣45°）=67.5°．故答案为：67.5°14．【解答】∵y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜．15．【解答】可设抛物线解析式为y=ax2+c，∵抛物线经过点（0，1）且开口向上，∴c=1，且a＞0，故可取a=1，∴抛物线解析式可以为y=x2+1，故答案为：y=x2+1．16．【解答】∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有两个交点，∴，∴k＞﹣且k≠0．故答案为：k＞﹣，且k≠0．17．【解答】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．18．【解答】∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=，PO=2OC=2，∴PB=PO﹣OB=，故答案为．19．【解答】∵OD⊥AC，AC=12，∴AD=CD=6，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF=AD=6，故答案为：6．20．【解答】AC′与BC交于点D，B′C′与BC交于点E，与AB交于点F，如图，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BC=AB=2，∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∴∠CAC′=45°，AC′=AC=2，∠C=∠C′=45°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∴AD=BC=，∴C′D=AC′﹣AD=2﹣，∵△C′DE为等腰直角三角形，∴C′D=DE=2﹣，∵∠BAD=90°﹣∠CAC′=45°，而∠C′=45°，∴△AC′F为等腰直角三角形，∴C′F=AF=AC′=，∴图中阴影部分的面积=S△AC′F﹣S△DC′E=•（）2﹣（2﹣）2=2﹣2．故答案为2﹣2．三．解答题（本题共60分，第21-23题各6分，24-29题各7分）21．【解答】（1）y=x2﹣6x﹣1=x2﹣6x+9﹣9﹣1=（x﹣3）2﹣10，∴顶点（3，﹣10 ）；（2）y=﹣2x2﹣4x﹣6=﹣2（x2+2x+1﹣1）﹣6=﹣2（x+1）2﹣4，顶点（﹣1，﹣4 ）；（3）y=x2+3x+10=（x2+6x+9﹣9）+10=（x+3）2+，顶点（﹣3，）．22．【解答】连接BC、BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=30°，∴AB==8，∵点D为弧的中点，∴AD=BD=4．23．【解答】（1）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．（2）当y=0时，有x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∴函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）．（3）当x=﹣3时，y=0；当x=﹣2时，y=﹣3；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=0时，y=﹣3；当x=1时，y=0．用五点法画函数图象．（4）结合函数图象可知：当x＜﹣3 或x＞1时，y＞0．故答案为：x＜﹣3或x＞1．（5）当x=﹣1时，y取最小值﹣4；当x=﹣3时，y=0；当x=0时，y=﹣3．∴当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0．24．【解答】（1）根据题意得：=934.4（元）；（2）根据题意设y=kx+b，把（30，40）与（40，20）代入得：，解得：k=﹣2，b=100，则y=﹣2x+100；（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，根据题意得：W=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，∵当x=35时，W最大值为450，则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．25．【解答】（1）△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；（2）△A2BC2为所作，点A2、C2的坐标分别为（﹣2，2），（﹣1，4）．26．【解答】（1）由二次函数的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，得，解这个方程组，得，∴抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x﹣3=0，解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）；（3）当x＜﹣3或x＞0，y2＜y1．27．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．28．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=29．【解答】（1）证明：ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0），则△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4．即△＞0．∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：解方程得x=，∴x=1或x=1﹣，∵a＞0，x1＞x2，∴x1=1，x2=1﹣，∴y=a（1﹣）+1=a﹣1（a＞0）；（3）解：画出直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象，如图，解方程得到a﹣1=﹣3a2+1得a=﹣1或a=，即直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象的交点坐标为（﹣1，﹣2）、（，﹣），当﹣1≤a≤时，a﹣1≤﹣3a2+1，而a＞0，∴a的取值范围为0＜a≤．故答案为：0＜a≤．Word下载地址。
北京市156中学2012-2013学年初一下期中考试数学试题
第 5 题图
A．同旁内角互补，两直线平行
B．直线 a b ，则 a 与 b 的夹角为直角
C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．若 a // b ， a c ，那么 b c
7. 点 P(2m 1, 3) 在第二象限，则 m 的取值范围是(
)
(A) m 1
2
(B) m 1
③③
3. 同时满足 a b c 0 ， a b c 则 c 的取值范围是 _____. a
E
D
α
F GC
③③
4.操作示例：
（1）如图 1，△ABC 中，AD 为 BC 边上的的中线，△ABD 的面积记为 S△ABD ， △ADC 的面积记为 S△ADC．则 S△ABD=S△ADC ．
点，并且图中阴影部分的面积为 20 平方厘米，求图中四个小三角形的面积和， 并说明理由。
5 对于有理数 x ,用[ x ]表示不大于 x 的最大整数. 试求方程[3x 1] 2x 1 所有解之和. 2
F
的度数是（ ）．
D
C
(第 9 题)
A．215°
B．250° C．320°
D．无法知道
10．如右下图①，一张四边形纸片 ABCD， A=50，C=150．若将其按照图②
所示方式折叠后，恰好 MD′∥AB，ND′∥BC，则D 的度数为（ ）．
A．70
B． 75
C．80
D．85
A
A
折叠
2
(C) m 1
2
(D) m 1
2
x y 4k
8．若关于 x ， y 的二元一次方程组 x y 2k 的解也是二元一次方程 x 2 y 10
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨156中九年级上学期期中数学试卷与解析(五四学制)
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列各数中，小于﹣3的数是（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣42．（3分）下列运算正确的是（）A．3x﹣x=3 B．x2•x3=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x23．（3分）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）用科学记数法表示52000000正确的是（）A．52×107 B．5.2×108C．5.2×107D．52×1085．（3分）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+36．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A．2 B．4 C．4 D．87．（3分）下列说法错误的是（）A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下B．两点之间线段最短C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大8．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m9．（3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=10．（3分）有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示，下列四种说法：①施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；③施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米；④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（请将正确的答案选项填入表格中，每小题3分，共计24分）11．（3分）函数y=的自变量的取值范围是．12．（3分）分解因式：ax4﹣9ay2=．13．（3分）不等式组的解集是．14．（3分）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为2，则此圆锥的侧面积为．15．（3分）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔支．16．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．17．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．18．（3分）等腰△ABC中，AC=BC=16，∠ACB=120°，点D是AC中点，E点、F 点分别在AB、BC上，且AE=2BE，连EF，过F作EF的垂线，交AC于G，当点F 从C点向B点运动的过程中，若GD=2，则BF=．三、解答题（共66分）19．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=2tan60°﹣4sin30°．20．（6分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴的交点为C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（1，0），求△ACD的面积．21．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上、（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），△ABC为等腰三角形．且∠BAC为45°；（2）在图2中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），△ABC为等腰三角形．且∠ABC的正切值为．22．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．23．（6分）有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后任意摸出两张．（1）用树状图（或列表法）表示所摸的两张牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌的牌面图形能组合成轴对称图形的纸牌的概率．24．（6分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．25．（8分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？26．（10分）如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，圆O的切线BD交AC 的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交圆O于点H，连接BH交CF于点G．（1）求证：AC=CD；（2）求tan∠BAF的值；（3）若OB=2，求BG的长．27．（12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．直线l的解析式为y=x﹣3，它与x轴交于点G，与y轴交于点E，动点P由点C开始沿C ﹣B﹣A的路径运动，过点P作PH⊥直线l于点H．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当点P在BC边上运动时，作射线EP交抛物线于点Q，当△EPH的面积是12时，求Q点坐标．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点F，是否存在这样的点P，使PF=PH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）期中数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列各数中，小于﹣3的数是（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：A、0＞﹣3，故本选项错误；B、1＞﹣3，故本选项错误；C、∵|﹣2|=2，|﹣3|=3，∴﹣2＞﹣3，故本选项错误；D、∵|﹣4|=4，|﹣3|=3，∴﹣4＜﹣3，故本选项正确；故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．3x﹣x=3 B．x2•x3=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2【解答】解：A、系数相减字母部分不变，故A错误；B、底数不变指数相加，故B正确；C、底数不变指数相乘，故C错误；D、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D错误；故选：B．3．（3分）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形．故选：C．4．（3分）用科学记数法表示52000000正确的是（）A．52×107 B．5.2×108C．5.2×107D．52×108【解答】解：将52000000用科学记数法表示为5.2×107．故选：C．5．（3分）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选：C．6．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．7．（3分）下列说法错误的是（）A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下B．两点之间线段最短C．角平分线上的点到角两边的距离相等D．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大【解答】解：A、由于a=﹣1＜0，则抛物线开口向下，所以A选项的说法正确；B、两点之间线段最短，所以B选项的说法正确；C、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以C选项的说法正确；D、当k=﹣1，y随x的增大而减小，所以D选项的说法错误．故选：D．8．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选：B．9．（3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．10．（3分）有两段长度相等的路面铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）之间的函数关系的部分图象如图所示，下列四种说法：①施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；③施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米；④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则路面铺设任务的长度为110米．其中正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①施工6小时，甲队比乙队多施工了60﹣50=10米，正确；设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=k1x，由图可知，函数图象过点（6，60），∴6k1=60，解得k1=10，∴y=10x，设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），∴，解得，∴y=5x+20，②由题意，得10x=5x+20，解得x=4．∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，正确；③把x=5代入解析式y=10x=50，把x=5代入解析式y=5x+20=45，45+50=95，施工5小时，甲乙两队共完成路面铺设任务95米，正确；④乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了铺设任务，则路面铺设任务的长度为60+50=110米，正确；故选：D．二、填空题（请将正确的答案选项填入表格中，每小题3分，共计24分）11．（3分）函数y=的自变量的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意，得x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．12．（3分）分解因式：ax4﹣9ay2=a（x2+3y）（x2﹣3y）．【解答】解：原式=a（x4﹣9y2）=a（x2+3y）（x2﹣3y），故答案为：a（x2+3y）（x2﹣3y）13．（3分）不等式组的解集是3＜x＜4．【解答】解：，解①得：x＞3，解②得：x＜4．则不等式组的解集是：3＜x＜4．故答案是：3＜x＜414．（3分）已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为2，则此圆锥的侧面积为10π．【解答】解：依题意知母线长=5，底面半径r=2，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×5×2=10π．故答案为：10π．15．（3分）某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．【解答】解：320×（1+10%）=320×1.1=352（支）．答：该文具店三月份销售各种水笔352支．故答案为：352．16．（3分）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k＜1．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．17．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为：20．18．（3分）等腰△ABC中，AC=BC=16，∠ACB=120°，点D是AC中点，E点、F 点分别在AB、BC上，且AE=2BE，连EF，过F作EF的垂线，交AC于G，当点F 从C点向B点运动的过程中，若GD=2，则BF=11或13．【解答】解：分两种情况：①当G在D的上方时，如图1，连接EG、CE，过点F作HF⊥AC，交AC的延长线于H，∵∠ACB=120°，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，设CH=x，则CF=2x，HF=x，过C作CM⊥AB于M，∵AC=BC=16，∴AB=16，∠A=∠B=30°，AM=AB=8，∵AE=2BE，∴AE=，∴EM=﹣8=，Rt△ACM中，∠A=30°，∴CM=8，∴CE==2EM，∴∠ECM=30°，∵∠ACM=60°，∴∠ACE=90°，∴∠BCE=120°﹣90°=30°，∵∠GCE=∠GFE=90°，∴G、C、F、E四点共圆，∴∠EGF=∠ECF=30°，Rt△GCE中，EG==，∵∠EGF=30°，∴EF=EG=，∴FG===，在Rt△GFH中，由勾股定理得：GF2=GH2+FH2，，4x2+12x﹣55=0，（2x+11）（2x﹣5）=0，x1=﹣5.5（舍），x2=2.5，∴BF=BC﹣CF=16﹣2x=16﹣5=11，②当G在D的下方时，如图2，同理，CE=，∴EG==，同理EF=EG=，∴FG=EF=，由勾股定理得：GF2=GH2+FH2，，4x2+20x﹣39=0，（2x﹣3）（2x+13）=0，x1=1.5，x2=﹣6.5（舍），∴BF=BC﹣CF=16﹣2x=16﹣3=13，故答案为：11或13．三、解答题（共66分）19．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=2tan60°﹣4sin30°．【解答】解：÷﹣===，当x=2tan60°﹣4sin30°=2﹣4×=2时，原式=．20．（6分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴的交点为C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（1，0），求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=上，∴m=xy=4×1=4，∴．把B（a，2）代入，得2=，∴a=2，∴B（2，2）．∵把A（4，1），B（2，2）代入y=kx+b∴解得，∴一次函数的解析式为；（2）∵点C在直线上，∴当x=0时，y=3，∴C（0，3）过A作AE⊥x轴于E．=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA==5．∴S△ACD21．（6分）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上、（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），△ABC为等腰三角形．且∠BAC为45°；（2）在图2中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），△ABC为等腰三角形．且∠ABC的正切值为．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△ABC即为所求．22．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．23．（6分）有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后任意摸出两张．（1）用树状图（或列表法）表示所摸的两张牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌的牌面图形能组合成轴对称图形的纸牌的概率．【解答】解：（1）（2）一共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，能组合成轴对称图形的情况数有6种，=；∴P（两张牌的牌面图形能组合成轴对称的纸牌）答：摸出两张牌的牌面图形能组合成轴对称图形的纸牌的概率是．24．（6分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，设AE=x海里．在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=90°﹣∠CAE=30°，∴CE=AE=x，AC=2AE=2x．在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，∠CBE=45°，∴BE=CE=x．∵AE+BE=AB，∴x+x=100（+1），∴x=100，∴AC=200海里，CE=100海里．以D为顶点，DC为一边，在∠CDE的内部作∠CDF=∠DCE=15°，交CE于F，如图，则CF=DF．设DE=y海里，则EF=y海里，DF=2y海里=CF．∵EF+CF=EC，∴y+2y=100，∴y=200﹣300，∴AD=AE+DE=100+200﹣300=200﹣200．故A与C之间的距离AC为200海里；A与D之间的距离AD为（200﹣200）海里．25．（8分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：﹣=4，解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少应安排甲队工作10天．26．（10分）如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，圆O的切线BD交AC 的延长线于点D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交圆O于点H，连接BH交CF于点G．（1）求证：AC=CD；（2）求tan∠BAF的值；（3）若OB=2，求BG的长．【解答】证明：（1）如图1，连接OC、BC，∵C是弧AB的中点，∴AB⊥OC，∵BD为⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴OC∥BD，∵AO=BO，∴AC=CD；（2）如图2，连接OC，∵E是OB的中点，∴OE=BE，∵OC∥FB，∴∠COE=∠FBE，在△OEC和△BEF中，∵，∴△OEC≌△BEF，∴OC=BF，设BE=x，则BF=OC=2x，AB=4x，在Rt△ABF中，tan∠BAF=．（3）tan∠FBH=tan∠BAF=，tan∠EFB=，∴∠EFB=∠FBH，∴FG=BG，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠FBH+∠GBE=90°，∴∠GBE=∠FEB，∴EG=BG，∴BG=EG=FG，由勾股定理得：BE==，∴BG=BE=．27．（12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．直线l的解析式为y=x﹣3，它与x轴交于点G，与y轴交于点E，动点P由点C开始沿C﹣B﹣A的路径运动，过点P作PH⊥直线l于点H．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当点P在BC边上运动时，作射线EP交抛物线于点Q，当△EPH的面积是12时，求Q点坐标．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点F，是否存在这样的点P，使PF=PH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）如图1，延长HP交y轴于点M，则△EMH、△CMP均为等腰直角三角形．设CM=CP=m，∴EM=OC+CM+OE=7+m，S△EPH=S△EMH﹣S△EMP=×（7+m）××（7+m）﹣×（7+m）×m=12，∴m=1，∴P（1，4），∵E（0，﹣3），∴直线EP的解析式为：y=7x﹣3，解得，，，∴Q（5﹣6，35﹣45）；②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．假设存在满足条件的点P．①当点P在BC边上时，如图2所示，此时PF=4．若PH=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GH=GF，过点H分别作HM⊥PF于点M，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠HPF=45°，即△PHM为等腰直角三角形，设GF=GH=t，则GK=FK=MF=t，∴PM=HM=FK=FG+GK=t+t，∴PF=PM+MF=t+t+t=4，解得t=4 ﹣4，则OF=3﹣t=7﹣4 ，∴P（7﹣4 ，4）；②∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K（，）．当点P在线段BK上时，如图3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PF=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PH=（11﹣3a）．若PF=PH，则8﹣2a=（11﹣3a），解得a=1﹣2 ＜0，故此种情形不存在；③当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．∵PF、PH夹角为135°，∴只可能是PH=PF成立．∴点P在∠KGA的平分线上．设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3 ），又因为G（3，0），可求得直线MG的解析式为：y=（﹣1）x+3﹣3 ．联立直线MG：y=（﹣1）x+3﹣3 与直线AB：y=﹣2x+8，可求得：P（1+2 ，6﹣4 ），综上所述：存在这样的点P，使PF=PH，P（7﹣4 ，4）或（1+2 ，6﹣4 ）．。
北京市第十三中学2019-2020九年级上学期期中数学试卷(答案)
北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试参考答案及评分标准 2019年11月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 不唯一； 10. 1； 11．1 <x<3 ； 12． 30°和150°； 13．36；14．26； 15．()23234y x =-++；94 ； 16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭解：略 …………5分解：略 …………5分19. 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断»EF和»FG 是否相等，并说明理由. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法一：连接AE . ∴AB AE =，∴B AEB ∠=∠，………………… 2分； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，………………… 3分；∴GAF FAE ∠=∠， ………………… 4分；在⊙A 中，∴»»EFFG =. ………………… 5分. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法二：连接GE . ∵BG 是⊙A 的直径，∴90BEG ∠=o . ………………… 2分； ∴GE BE ⊥.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ………………… 3分； ∴AD GE ⊥ ………………… 4分；∴»»EFFG =. ………………… 5分. 20．（1）解：在 y = (m -2)x 2+ 2mx + m +3 中，令y =0 由题意得2(2)4(2)(3)020m m m m ⎧∆=--+>⎨-≠⎩------------------------------------------2分 整理，得 42402m m -+>⎧⎨≠⎩解得 62m m <≠且-----------------------------------3分（2）满足条件的m 的最大整数为5．-------------------------4分 ∴y =3x 2+10x +8令y =0，3x 2+10x +8=0，解得423x x =-=-或∴抛物线与x 轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（43-，0）-------5分21．解：(1)画出△AB 1C 1，如图． ………………………………2分(2)由图可知△ABC 是直角三角形，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5． ………………3分 点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分∴＝πππ25521241=⨯=⨯⨯AB ． …………5分所以点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长为π25． 22．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点， 设抛物线表达式为2(2)1y a x =----------------3分把（0，3）点代入，4a -1=3，解得a =1--------------------------------------------------4分 ∴2(2)1y x =--243y x x =-+∴-----------------------------------5分23. 略 -----------------------6分24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ．∴BF AF ⊥，BD AD ⊥． ∵ABC ∆是等边三角形， ∴221==BC DC ，221==AC FC ．…………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC∴1=-=EC FC FE ． ………………………………………………5分25．解： （1）补全下表：------------------------------------------1分 （2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：-------------------------------------------3分（3）①线段AP 的取值范围是26<≤AP -----------------------------------------4分 ②线段AP 的长约为 2或 2.6 ------------------------------------------------6分 26．解：（1）()()2110y a x a =+-≠．对称轴：x =－1；顶点坐标（-1，-1） -----------------------------------------2分（2）①∵二次函数C 1经过点A （－3,1），∴a =12．-----------------------------------------3分 ②∵A （－3,1），对称轴：x =－1，∴B （1,1）．………………………………………4分当k >0时，当二次函数C 2经过点A （－3 ,1）时，16k =， 当二次函数C 2经过点B （1,1）时，12k =， ∴1162k ≤<．………………………………………5分 当k <0时，4k =-．--------------------------------------- 6分综上所述，1162k ≤<或4k =-．27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形.在等边△ABC 和等边△ADE 中 AB ＝AC AD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分 ∴BD=CE ……………………………………3分EBA（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ∴∠G ＝∠BDF ∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90°∴∠BDF ＝30° ∴∠G ＝30°……………………………………………………4分 由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90° ∵∠AED ＝60°， ∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分 在△BDF 和△CGF 中 BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BD F ≌△CGF （AAS ） ∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分 （3）1………………………………………7分28．解：（1）①B ；……………………………… 2分②0m ≤≤5分 （2）4t ≤≤．…………………7。
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨156中九年级上学期期中数学试卷与解析
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）在3，﹣l，0，π 这四个数中，最大的数是（）A．3 B．﹣1 C．0 D．π2．（3分）下列运算正确的是（）A．2x2•x3=2x5B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x73．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，则sinA=（）A．B．C．D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等6．（3分）反比例函数y=﹣的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（）A．3 B．﹣6 C．6 D．﹣37．（3分）如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+1 C．y=x2+1 D．y=（x+1）2﹣18．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A．B．C．D．10．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：（1）柱子OA的高度为m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；（4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（（每小题3分，共计30分）11．（3分）太阳的半径约是69000千米，用科学记数法表示约是千米．12．（3分）使分式有意义的x的取值范围是．13．（3分）计算：﹣=．14．（3分）把多项式ax2+2ax+a分解因式的结果是．15．（3分）二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是直线．16．（3分）小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为．17．（3分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC=．18．（3分）如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）．19．（3分）在矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E、F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为G，则∠ABG的正切值是．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，以AC为边在△ABC 外作等边△ACD，则BD的长为．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．22．（7分）如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图中画出以AB为边的钝角三角形ABC，使点C在格点上，并且在直线AB的上方，满足tan∠BAC=，且△ABC的面积为9；（2）以AC为斜边画Rt△ACD，使D点在AC上方，且满足tan∠ACD=2；（3）直接写出线段CD的长．23．（8分）小林初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，每位同学只能报重高、普高、职高中的一种．她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数；（2）通过计算请把条形统计图补充完整；（3）如果小林所在年级共有260名学生，请你估计该年级报考普高的学生人数．24．（8分）兴趣小组在一次数学实践活动中，为了测量如图所示的小山顶的塔高，进行了如下的操作，首先在A处测得塔尖D的仰角为30°，然后沿AC方向前进72米到达山脚B处，此时测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为45°，求塔高．（结果保留根号）25．（10分）哈尔滨市政府大力扶持大学生创业．李民在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数y=﹣10x+500．物价部门规定销售利润率不能超过80%．（1）如果李民想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（2）设李民每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少元？26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F；过D作⊙O的切线，交CA延长线于点E．（1）求证：AB∥DE；（2）写出AC、CD、BC之间的数量关系，并加以证明．（3）若tan∠B=，DF=5，求DE的长．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过B、C两点的直线解析式为y=﹣x+b．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作PD⊥BC于点D，垂足为点D．设P点的横坐标为t，线段PD的长为d，求d与t的函数关系．（3）过A作射线AQ，交抛物线的对称轴于点M，点N是x轴正半轴上B点右侧一点；BN的垂直平分线交射线AQ于点G，点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上．若=，求当（2）中的d最大时直线PN与x轴所夹锐角的正切值．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）在3，﹣l，0，π 这四个数中，最大的数是（）A．3 B．﹣1 C．0 D．π【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜3＜π，∴在3，﹣1，0，π这四个数中，最大的数是π．故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．2x2•x3=2x5B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．x2+x3=x5D．（x3）4=x7【解答】解：A、2x2•x3=2x5，故本选项正确；B、应为（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故本选项错误；C、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、应为（x3）4=x12，故本选项错误．故选：A．3．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形．故共3个中心对称图形．故选：C．4．（3分）在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：AB===10，则sinA===．故选：D．5．（3分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【解答】解：A、在同一直线上的三点不能确定一个圆，所以A选项错误；B、经过圆心的直线是圆的对称轴，所以B选项正确；C、经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，所以D选项错误．故选：B．6．（3分）反比例函数y=﹣的图象经过点（﹣2，3），则k的值为（）A．3 B．﹣6 C．6 D．﹣3【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象经过点（﹣2，3），∴﹣2k=﹣2×3=﹣6，∴k=3，故选：A．7．（3分）如果将抛物线y=x2+2先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+1 C．y=x2+1 D．y=（x+1）2﹣1【解答】解：抛物线y=x2+2的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）先向下平移1个单位，再向左平移1个单位得到对应点的坐标为（﹣1，1），所以所得新抛物线的解析式为y=（x+1）2+1．故选：B．8．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A． B． C． D．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．9．（3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD∥BC∴∵CD∥BE∴△CDF∽△EBC∴，∴∵AD∥BC∴△AEF∽△EBC∴∴D错误．故选：D．10．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：（1）柱子OA的高度为m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；（4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；（1）正确；∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，∴顶点是（1，2.25），故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故（2）正确，（3）错误；解方程﹣x2+2x+=0，得x1=﹣，x2=，故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选：C．二、填空题（（每小题3分，共计30分）11．（3分）太阳的半径约是69000千米，用科学记数法表示约是 6.9×104千米．【解答】解：69000用科学记数法表示为6.9×104，故答案为6.9×104．12．（3分）使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣．【解答】解：由题意得：2x+1≠0，解得：x≠﹣，故答案为：x≠﹣13．（3分）计算：﹣=．【解答】解：原式=﹣2=﹣．故答案为：﹣．14．（3分）把多项式ax2+2ax+a分解因式的结果是a（x+1）2．【解答】解：ax2+2ax+a=a（x2+2x+1）=a（x+1）2．故答案为：a（x+1）2．15．（3分）二次函数y=x2+2x﹣7的对称轴是直线x=﹣1．【解答】解：∵y=x2+2x﹣7=（x+1）2﹣8，∴抛物线对称轴为x=﹣1，故答案为：x=﹣1．16．（3分）小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为0.5．【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为0.5，故答案为：0.5．17．（3分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC=．【解答】解：如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠OBC=∠ODC，∵CD是⊙A的直径，∴∠COD=90°，∴cos∠ODC===，∴cos∠OBC=，故答案为：．18．（3分）如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）．【解答】解：连接OF，∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，∴OD=CD=DE=EF，于是Rt△OFE中，OE=2EF，∵OF=，EF2+OE2=OF2，∴EF2+（2EF）2=5，解得：EF=1，∴EF=OD=CD=1，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OCD﹣S正方形CDEF=﹣×1×1﹣1×1=．19．（3分）在矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E、F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为G，则∠ABG的正切值是或．【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠ADC=∠CDF=90°，∵四边形BCFE为菱形，∴CF=EF=BE=BC=10，∴DF==6，∴AF=AD+DF=16，∵G是EF的中点，∴GF=EF=5，∴AG=AF﹣DF=16﹣5=11，∴tan∠ABG==；②如图2所示：同①得：AE=6，∵G是EF的中点，∴GE=5，∴AG=AE﹣GE=1，∴tan∠ABG==；故答案为：或．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6，BC=10，以AC为边在△ABC 外作等边△ACD，则BD的长为14．【解答】解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD=EC，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC中，BC=10，EB=6，过点E做BC的垂线交BC于点F，则∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=3，FB=3，FC=10+3=13，∴EC2=FC2+EF2=196，∴BD=EC=14．故答案为：14．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．【解答】解：原式=．∵x=4sin45°﹣2cos60°==2﹣1，∴原式===．22．（7分）如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图中画出以AB为边的钝角三角形ABC，使点C在格点上，并且在直线AB的上方，满足tan∠BAC=，且△ABC的面积为9；（2）以AC为斜边画Rt△ACD，使D点在AC上方，且满足tan∠ACD=2；（3）直接写出线段CD的长．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；（2）如图所示，△ADC即为所求；（3）如图所示，CD==．23．（8分）小林初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，每位同学只能报重高、普高、职高中的一种．她通过采集数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数；（2）通过计算请把条形统计图补充完整；（3）如果小林所在年级共有260名学生，请你估计该年级报考普高的学生人数．【解答】解：（1）根据题意得：25÷62.5%=40（人），答：该班的总人数是40人；（2）普高的人数是：40﹣25﹣5=10（人）；补图如下：（3）根据题意得：260×=65（人），答：该年级报考普高的学生人数有65人．24．（8分）兴趣小组在一次数学实践活动中，为了测量如图所示的小山顶的塔高，进行了如下的操作，首先在A处测得塔尖D的仰角为30°，然后沿AC方向前进72米到达山脚B处，此时测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为45°，求塔高．（结果保留根号）【解答】解：∵∠ADB=∠CBD﹣∠BAD=60°﹣30°=30°=∠BAD，∴BD=AB=72米．在Rt△BCD中，∵∠BCD=90°，∠DBC=60°，∴BC=BD•cos60°=72×=36，CD=BD•sin60°=72×=36．在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，∠EBC=45°，∴CE=BC=36，∴塔高DE=CD﹣EC=36﹣36．答：塔高DE为（36﹣36）米．25．（10分）哈尔滨市政府大力扶持大学生创业．李民在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数y=﹣10x+500．物价部门规定销售利润率不能超过80%．（1）如果李民想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（2）设李民每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少元？【解答】解：（1）设销售单价定为x元，（x﹣20）（﹣10x+500）=2000，解得，x1=30，x2=40，∵x≤20+20×80%=36，∴x=30，即如果李民想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为30元；（2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10（x﹣35）2+2250，∵20≤x≤36，∴当x=35时，w取得最大值，此时w=2250，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润为2250元．26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点F；过D作⊙O的切线，交CA延长线于点E．（1）求证：AB∥DE；（2）写出AC、CD、BC之间的数量关系AC+BC=CD，并加以证明．（3）若tan∠B=，DF=5，求DE的长．【解答】解：（1）如图1，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°．∴∠ABD=∠ACD=45°．由弦切角定理可知：∠CDE=∠CBD=∠CBA+∠ABD=∠CBA+45°．∵∠CFA=∠FCB+∠CBA=∠CBA+45°，∴∠AFC=∠EDC．∴AB∥ED，（2）AC+BC=CD理由：如图2，连接BD，AD，过点D作DG⊥AC，DM⊥BM，∵∠ACD=∠BCD，∴DG=DM，CM=CG由（1）知，AB∥DE，且DE是⊙O的切线，∴点D是半圆的中点，∵AB是直径，∴AD=BD，在Rt△ADG和Rt△BDM中，，∴Rt△ADG≌Rt△BDM，∴AG=BM，在Rt△CDG中，∠DCG=45°，∴CD=CG，∴CG=CD∴AC+BC=AC+CM+BM=AC+CM+AG=CM+CG=2CG=CD；即：AC+BC=CD故答案为：AC+BC=CD（3）设AC=x，∵tan∠B==，∴BC=2x，∴AB=x，∵CD平分∠ACB，∴=，∴AF=x，BF=x，由（2）知，CD=AC+BC=3x，∴CD=x，∵DF=5，∴CF=CD﹣DF=x﹣5，根据相交弦定理得，DF×CF=AF×BF，∴5（x﹣5）=x•x，∴x=6或x=，当x=6时，AF=2，BF=4，CD=9，CF=4，∵AB∥DE，∴，∴，∴DE=，当x=，AF=，CF=，CD=，∵AB∥DE，∴，∴，∴DE=．即：DE的长为．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过B、C两点的直线解析式为y=﹣x+b．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作PD⊥BC于点D，垂足为点D．设P点的横坐标为t，线段PD的长为d，求d与t的函数关系．（3）过A作射线AQ，交抛物线的对称轴于点M，点N是x轴正半轴上B点右侧一点；BN的垂直平分线交射线AQ于点G，点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上．若=，求当（2）中的d最大时直线PN与x轴所夹锐角的正切值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+3与y轴交于点C，∴C（0，3）∵直线解析式为y=﹣x+b过B、C．∴C（0，b），B（b，0），∴b=3，∴B（3，0），∵抛物线的对称轴为x=1，A、B关于对称轴对称，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式3a+3=0，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图1中，作PE⊥AB于F，交BC于E．设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t+3）．∵OC=OB=3，∠COB=90°，∴∠COB=∠EFB=90°，∴∠FEB=∠PED=45°，∴d=PD=PE=（﹣t2+2t+3+t﹣3）=﹣t2+t．（0＜t＜3）．∴d=﹣t2+t．（0＜t＜3）．（3）如图2中，设BN的垂直平分线交x轴于H，抛物线的对称轴交x轴于D，作ML⊥GH于L．∵GM：AN=5：8，设GM=5k，AN=8k，∵AB=4，BD=2，∴BN=8k﹣4，BH=4k﹣2，DH=DB+BH=4k，∴cos∠GML==，∵ML∥AH，∴∠GML=∠GAH，∴cos∠GAH=，∴AH=GH，设G点横坐标为m，∵点G关于x轴的对称点恰好在抛物线上，∴G（m，m2﹣2m﹣3），∴（m+1）=m2﹣2m﹣3，解得m=或﹣1（舍弃），∴点H（，0），N（，0）．∵d=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴t=时，d有最大值，此时P（，），∴此时直线PN与x轴所夹锐角的正切值==．。
北京第156中学2019—2020学年九年级(上)期中测试物理试题
北京第156中学2019—2020学年九年级（上）期中测试物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示是各种不同电路器件的实物图片，属于用电器的是A．电热驱蚊香B．电池C．空气开关D．输电线2．在国际单位制中，电功率的单位是A．伏特（V）B．安培（A）C．欧姆（ ）D．瓦特（W）3．下列物品中，通常情况下属于导体的是A．橡皮B．塑料笔杆C．不锈钢直尺D．透明胶条4．下列家用电器中，其正常工作时的功率最接近1000W的是（）A．电风扇B．家用电视机C．笔记本电脑D．家用空调5．将用丝绸摩擦过的玻璃棒靠近一个轻质绝缘小球，发现两者互相排斥，则由此可判断（）A．小球可能不带电B．小球一定带负电C．小球可能带负电D．小球一定带正电6．下列说法中正确的是（）A．只有正电荷定向移动才能形成电流B．导体容易导电，是因为导体中有大量的自由电子C．规定正电荷定向移动的方向为电流方向D．只要灯泡两端有电压，灯泡中就一定有电流通过7．关于电功和电功率，下列说法中正确的是（）A．电功率是表示电流做功快慢的物理量B．电流通过用电器所做的功越多，电功率一定越大C ．额定功率越大的用电器，电流通过它所做的电功一定越多D ．用电器工作时的电功率一定等于它的额定功率8．将图甲中滑动变阻器连入图乙电路的a 、b 两点间，当滑片P 向C 端移动时，电灯L 逐渐变亮，则滑动变阻器连入电路的接线柱应该是A ．A 和B B ．B 和DC ．A 和D D ．B 和C 9．如图所示的四个电路中，已知定值电阻1R 和2R 的阻值大小关系为12R R ．在这四个电路中，电路的等效电阻最小的是A ．B ．C ．D ．10．小阳用三个电流表和两个小灯泡做实验，检验并联电路干路电流是否等于各支路电流之和，其连接的电路如图所示．这个电路中有一根导线接错了，这根接错的导线是A ．aB ．bC ．cD ．d11．如图所示的电路中，电源电压保持不变，闭合开关S 后，当滑动变阻器的滑片P 向右移动时，下列判断正确的是（ ）A ．电流表示数变大，电压表示数变小，灯泡变暗B ．电流表示数变大，电压表示数变小，灯泡变亮C．电流表示数变小，电压表示数变小，灯泡变亮D．电流表示数变小，电压表示数变大，灯泡变暗12．小刚按照下图所示的电路图连接电路，闭合开关后，发现两只灯泡都不亮，且电流表示数为零，电压表示数接近电源电压。
北京156中2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题）1．观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣33．下列命题中正确的有（）（1）平分弦的直径垂直于弦（2）相等的圆周角所对的弧相等（3）等弧所对的圆周角相等（4）顶点在圆周上的角是圆周角（5）圆心角等于2倍的圆周角A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．86．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）7．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象是（）A．B．C．D．8．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y… 3 0 ﹣1 m 3 …有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共8小题）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的表达式：．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．11．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为°．12．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB＝6cm，AC＝4cm，则⊙O的半径等于cm．13．若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为．14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为．15．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC 绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝．16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是．三．解答题（共12小题）17．作图题：（保留作图痕迹，不写作法）（1）已知：如图1，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心O．（2）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，如图2所示．现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．请利用直尺（无刻度）和圆规，在图中找出圆心O．18．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，直接写出当﹣3≤x≤0时y的取值范围．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，0），（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的函数解析式．20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．21．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB＝2，求DC的长．24．已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．25．如图①，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．（1）探究BG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时，线段BG和ED 有何关系？写出结论并证明．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC 于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．28．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y＝x 相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，B、既是中心对称图形，有是轴对称图形，C、是轴对称图形，D、是中心对称图形，故选：B．2．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，故选：B．3．下列命题中正确的有（）（1）平分弦的直径垂直于弦（2）相等的圆周角所对的弧相等（3）等弧所对的圆周角相等（4）顶点在圆周上的角是圆周角（5）圆心角等于2倍的圆周角A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆周角定理概念判断．【解答】解：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本说法错误；（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；（3）等弧所对的圆周角相等，本说法正确；（4）顶点在圆周上、两边都与圆相交的角是圆周角，本说法错误；（5）同弧或等弧所对的圆心角等于2倍的它所对的圆周角本说法错误；故选：A．4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，∴∠AOD＝50°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣50°＝130°，故选：C．5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据CE＝2，DE＝8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE＝4，∴AB＝2BE＝8．故选：D．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）【分析】旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长．【解答】解：直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点．旋转前后三角形全等．由图易知点B′的纵坐标为OA长，即为3，∴横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7．故选：A．7．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线开口向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∴函数y＝ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，故选：B．8．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y… 3 0 ﹣1 m 3 …有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④【分析】根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．二．填空题（共8小题）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣2x ﹣1（答案不唯一）．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣1即可．【解答】解：根据题意得：y＝﹣x2﹣2x﹣1（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1（答案不唯一）10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为（﹣2，0）．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．11．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为22 °．【分析】根据的平移性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算．【解答】解：根据题意，得∠AOB＝45°，M处三角板的45°角是∠AOB的对应角，根据三角形的外角的性质，可得三角板的斜边与射线OA的夹角为22°．故答案为：22．12．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB＝6cm，AC＝4cm，则⊙O的半径等于cm．【分析】首先连接BC，由⊙O的弦AB垂直于AC，即可得BC是直径，又由AB＝6cm，AC ＝4cm，根据勾股定理即可求得BC的长，则可求得⊙O的半径．【解答】解：连接BC，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵AB＝6cm，AC＝4cm，∴BC＝＝2（cm），∴⊙O的半径为：cm．故答案为：．13．若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k的值为 4 ．【分析】根据抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，可知△＝0，从而可以求得k的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，∴△＝42﹣4×1×k＝0，解得，k＝4，故答案为：4．14．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为．【分析】连接OA，OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠AOB ＝90°，又OA＝OB，AB＝4，根据勾股定理，得圆的半径是2．【解答】解：连接OA，OB∵∠C＝45°∴∠AOB＝90°又∵OA＝OB，AB＝4∴OA＝2．15．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC 绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝80°或120°．【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′＝DB，DB″＝DB＝2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【解答】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB＝DB′，在线段AC取一点B″，使DB ＝DB″，∴①旋转角m＝∠BDB′＝180﹣∠DB′B﹣∠B＝180°﹣2∠B＝80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″＝DB＝2CD，∴∠CDB″＝60°，旋转角∠BDB″＝180°﹣∠CDB″＝120°．故答案为：80°或120°．16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理．【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三．解答题（共12小题）17．作图题：（保留作图痕迹，不写作法）（1）已知：如图1，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心O．（2）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，如图2所示．现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．请利用直尺（无刻度）和圆规，在图中找出圆心O．【分析】（1）连接对应点连线，它们的交点即为O点；（2）取不共线三点，作任意两点所连线段的垂直平分线，它们的交点即为O点．【解答】解：（1）如图1，点O为所作；（2）如图2，点O为所作．18．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，直接写出当﹣3≤x≤0时y的取值范围．【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出图象即可；（3）观察图象即可求解．【解答】解：（1）y＝x2 +4x+3＝x2 +4x+22 ﹣22+3＝（x+2）2 ﹣1；（2）列表：x…﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y… 3 0 ﹣1 0 3 …描点、连线，画出图象为：（3）观察图象可得，当﹣3≤x≤0时y的取值范围是﹣1≤y＜3．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，0），（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的函数解析式．【分析】将已知两点坐标代入抛物线解析式列出方程，利用顶点坐标公式以及顶点纵坐标列出方程，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．【解答】解：将（0，0），（12，0）代入抛物线解析式得：c＝0，144a+12b+c＝0，根据顶点纵坐标为3，得到＝3，联立解得：a＝﹣，b＝1，c＝0，则抛物线解析式为y＝﹣x2+x．20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把点（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，故答案为：方案二，（10，0）；（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，所以水面上涨的高度为米．21．已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数．【分析】由C为的中点，根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°．22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．【分析】设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．23．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB＝2，求DC的长．【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD＝90°．（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝30°，∴∠OCB＝∠B＝30°．∴∠COD＝∠B+∠OCB＝60°．（1分）∵∠BDC＝30°，∴∠BDC+∠COD＝90°，DC⊥OC．（2分）∵BC是弦，∴点C在⊙O上，∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．（3分）（2）解：∵AB＝2，∴OC＝OB＝＝1．（4分）∵在Rt△COD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，∴DC＝OC＝．（5分）24．已知二次函数y＝kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．【分析】（1）根据根的判别式可得结论；（2）利用求根公式表示两个根，因为该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，可得k＝±1．【解答】（1）证明：△＝（k+1）2﹣4k×1＝（k﹣1）2≥0∴无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）解：当y＝0时，kx2+（k+1）x+1＝0，x＝，x＝，x1＝﹣，x2＝﹣1，∵该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，∴k＝±1．25．如图①，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．（1）探究BG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时，线段BG和ED 有何关系？写出结论并证明．【分析】（1）结合正方形的性质，根据SAS能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）结合正方形的性质，根据SAS能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；【解答】解：（1）BG＝DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）BG＝DE，且BG⊥DE，理由如下：设BG交CD于H，BG交DE于P，如图②所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC＝90°，∴∠CDE+∠DHG＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BG⊥DE．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC 于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．【分析】（1）连接CD，根据切线的性质，就可以证出∠A＝∠ADE，从而证明AE＝CE；（2）求出OD，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE，根据勾股定理求出OE，根据三角形面积公式求DF，根据勾股定理求出OF即可．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；∵ED切⊙O于点D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED，∴AE＝CE，即E为AC的中点；∴BE＝CE；（2）解：连接OD，∵∠ACB＝90°，∴AC为⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴EO平分∠CED，∴OE⊥CD，F为CD的中点，∵点E、O分别为AC、BC的中点，∴OE＝AB＝＝5，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE＝AC＝＝4，在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，由三角形的面积公式得：S△EDO＝，即4×3＝5×DF，解得：DF＝2.4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据平移点的坐标的不变规律，得出答案，（2）利用抛物线的对称轴的计算方法x＝﹣求得即可，（3）结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点（1，4），第2种为与y 轴的交点在（0，4）以上，抛物线与线段BC恰有一个公共点，【解答】解：（1）根据平移规律，向右平移5个单位，其纵坐标不变，横坐标加5，因此C（5，4），（2）由抛物线的对称轴的计算方法得：x＝﹣＝1，（3）如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点（1，4），即：＝4，解得：a＝﹣1，②当抛物线与y轴交点在（0，4）以上，即：﹣3a＞4，解得：a＜﹣，综上所述：28．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y＝x 相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到：0＝﹣c2﹣bc+c，推出c＝1﹣b，因为二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得＝﹣1，解得b＝3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为＝3﹣1＝2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y＝﹣x2+3x+3上一点，坐标差＝﹣x2+2x+3，＝﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m＝c﹣0，可得m＝﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得到：0＝﹣c2﹣bc+c，∴c＝1﹣b，∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴＝﹣1，解得b＝3，∴c＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作MK⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF＝FM＝，EF＝KM＝3，EK＝FK＝M＝，∴OE＝OK﹣EK＝2﹣，TE＝3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）＝1+2 ．故答案为1+2．。
人教版九年级数学上册北京156中学—第一学期 (2).docx
初中数学试卷桑水出品北京156中学2016—2017学年度第一学期初三数学期中测试班级_____学号_____ 姓名_______ 成绩________第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题(本题共30分，每小题3分)1. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ． 2. 若将抛物线y=22x 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)- C．(2,1)D ． (2,1)-3. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，若AB=4，OC=1， 则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．5C ．25D ．6第3题图 第 4题图4. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC ．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ ） A ．20° B ．25° C ．40°D ．50°5.在平面直角坐标系xoy 中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆与y 轴所在直线的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，4），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 （ ） ． A ．（-4，3） B ．（-3，4） C ．（3，-4） D ．（4，-3）第7题图7．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转31°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠DOB 的度数是（ ） A ．34° B ．36°C ．40°D ．38°8．如图，观察二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：第6题图①a+b+c ＞0，②2a+b ＞0， ③b 2﹣4ac ＞0，④ac ＞0．其中正确的是（ ） A ．①② B ．①④ C ． ②③ D ． ③④第8题 图 第9题图 第10题图9．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，已知点A 的坐标是（-2，3），点C 的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A ．（0，0） B ．（-1，1） C ．（-1，0） D ．（-1，-1） 10. 如图，抛物线y =﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y =x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．﹣2＜m ＜ B ． ﹣3＜m ＜﹣ C ．﹣3＜m ＜﹣2D ． ﹣3＜m ＜﹣第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．将函数y =x 2 −2x + 4化为()2y a x h k =-+的形式为 ．12．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE= ．CBA第12题图 第13题图13．ΔABC 中，AB ＝AC ，30=o ∠A ,以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点，并连结BD ，DE ． 则∠BDE 的度数为 ．14．点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，若2x ＞1x ＞1，则1y 与2y 的大小关系是1y 2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）15. 写出抛物线经过点（0，1）且开口向上的一个函数表达式是_______________. 16. 已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围 为 .17. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y…105212…则当y ＜5时，x 的取值范围是 ．18. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，AO=3，则BP 的长为 . 19．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，过点O 作 OE ∥AC交半圆O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ．若AC =12，则OF 的长为 ．DECxy–1–2–3–41234–1–2–312345第18题图 第19题图 第20题图20. 如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 ．三．解答题（本题共60分，第21-23题各6分，24-29题各7分）21. 将下列各二次函数解析式化为2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标。
北京市第十三中学2019-2020九年级上学期期中数学试卷
北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试 2019年11月一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =-- C ．2(2)2y x =-+ D ．2(2)2y x =+- 3．在平面直角坐标系xoy 中，如果⊙O 是以原点O （0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A （-3，-4）与⊙O 的位置关系是（ ） A. 在⊙O 内B.在⊙O 上C. 在⊙O 外D. 不能确定4．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥， 则BAC ∠的度数是（ ）．A ．50° B．60° C． 70° D．40°5．如右图，线段AB 是⊙O的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB=20°，则∠AOD 等于（ ）A ．120° B ． 140° C ．150° D ． 160°6．二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A. 5 B. 0 C. -3 D. -4A. B. C. D.BD7．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果30A∠=，AB=AC的长等于( ) ．A. 6B. 4C.8．如图，A B C D，，，为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O C D O---路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．()APB y=∠，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式10．如果2210a a+-=，那么代数式24aaa a⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭11．直线mxy+=和抛物线cbxxy++=2观察图象直接写出不等式mxcbxx+<++2的解集12.弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是____________.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥于E，如果CE = 1，AB = 10，那么直径CD的长为 .”第8题图A BCDOPB．D．A．C．15. 如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m. 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．101(1)52-⎛⎫π-+-+ ⎪⎝⎭19．如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并证明.20．已知抛物线y = (m -2)x 2 + 2mx + m +3与x 轴有两个交点． (1) 求m 的取值范围；(2) 当m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与x 轴两个交点的坐标．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1(1) 在网格中画出△AB 1C 1；(2) 计算点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长．（结果保留π22．下表是二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠图象上部分点的横坐标（x ）和纵坐标（y ）.（1）观察表格，直接写出m=____；（2）其中A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，且-1< x 1 <0， 2< x 2 <3，则1y _____2y （用“>”或“<”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．23．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的圆心吗？ (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交弧AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm. 小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究： 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3） 结合函数图象，解决问题： ①当>AC CM 时，线段AP 的取值范围是 ；②当∆AMC 是等腰三角形时，线段AP 的长约为 （结果保留1位小数） .26．已知：二次函数C 1：()21210y ax ax a a =++-≠． （1）求二次函数C 1的对称轴，并写出顶点坐标；AB（2）已知二次函数C 1的图象经过点A （－3,1）．①求a 的值；②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：()220y kx kx k =+≠的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．27．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A,C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,连接DE,CE ．（1）求证：BD=CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点； （3）若△ABC 的边长为1，直接写出EF 的最大值.28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P’，当点P’在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”． 已知A （1,0），B （0,2），C （3,3）（1）当⊙O 的半径为1时， ①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；②已知点M 在直线2y x =+上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D ()，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T （t ，－1），半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，直接写出圆心T 的横坐标t 的取值范围是 ．。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨156中九年级(上)第一次月考数学试卷(五四学制)(附答案详解)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨156中九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）1.−2的绝对值是( )A. −2B. 2C. 12D. −122.下列运算正确的是( )A. a2+a2=a4B. a2⋅a2=2a2C. (a5)2=a7D. a6÷a3=a33.下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A. B. C. D.4.双曲线y=3−kx，当x<0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )A. k>3B. k≥3C. k≤3D. k<35.在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=45，则tanB=( )A. 34B. 43C. 35D. 456.抛物线y=3(x−1)2−2与y轴的交点坐标是( )A. (0,2)B. (0,3)C. (0,−2)D. (0,1)7.如图、将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20∘，B点落在B′位置，点A落在A′位置．若A′C⊥AB，则∠B′A′C的度数是( )A. 50∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘8.二次函数y=12x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后的抛物线的函数表达式是( )A. y=12(x−1)2+3 B. y=12(x+1)2+3C. y=12(x+1)2−3 D. y=12(x−1)2−39.如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE//BC交GA于点E，则下列结论错误的是( )A. ADBD =AEEGB. DECG =DFCFC. AE AG =DEBC D. ADAB =DEBG10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc >0；②2a +b <0；③4a −2b +c <0；④4ac −b 2<0；⑤(a +c)2<b 2，正确结论的个数为( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个11. 将2300000000用科学记数法表示为______. 12. 在函数y =2x−1x+3中，自变量x 的取值范围是______.13. 在实数范围内分解因式：2x 2−32=______. 14. 计算：√12−2√13=______ .15. 不等式组{2x +1>0−x +1≤3的解集是______.16. 二次函数y =mx 2−(2m +1)x −1+m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______.17. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =3，BC =2，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转90∘得到△DEC ，F 是DE 中点，连接AF ，则AF 的长为______.18. 某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y =−125x 2，当水面离桥拱顶的高度OD 是5时，这时水面宽度AB 为______.19.△ABC中，tanB=13，AB=√10，AC=2，则BC的长为______.20.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，点在AB上，CE交AD于点F，若AE=EF，BC=4，tan∠ADB=2，则AF的长为______.21.先化简，再求代数式x+1x ÷(x−1+2x23x)的值，其中x=2sin60∘+tan45∘.22.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90∘得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并直接写出线段B1B2的长．23.如图：已知点A(4,m)，B(−1,n)在反比例函数y=8x的图象上，过A、B两点的直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于C、D两点．(1)求C、D两点的坐标；(2)根据图象直接写出kx+b<8x中x的取值范围．24.如图1，四边形ACEB，连接BC，∠ACB=∠BEC=90∘，D在AB上，连接CD，∠ACD=∠ABC，BE=CD.(1)求证：四边形CDBE为矩形；(2)如图2，连接DE，DE交BC于点O，若tan∠A=2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与√5AD的长度相等的线段．25.某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．(1)如果童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(2)每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？26.已知，在四边形ABCF中，AF//BC，连接AC，点E在BC上，连接FE交AC于N，点D在AB上，连接CD，且CD⊥FE于H，若AB=AC，FE=FC，AC平分∠FCD.(1)如图1，求∠BAF的度数．(2)如图2，点P在AC上，连接PB分别交FE、CD于K和W，若∠ACD=2∠PBC，求证：PN=NK.(3)如图3，在(2)的条件下，若5PC=4AD，FN+CF=13，求WD的长．27.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D是直线BC上方抛物线上的点，连接BD、CD，点D的横坐标为t，△BCD的面积为s，求s与t之间的函数关系(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与线BC相交于点M，连接PB.抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠BPM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|−2|=2，故选：B.根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2.【答案】D【解析】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、a2⋅a2=a4，故此选项错误；C、(a5)2=a10，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，正确．故选：D.直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】D【解析】解：∵当x<0时，y随x的增大而减小，∴3−k>0，∴k<3，故选：D.根据反比例函数的增减性可得3−k的范围，从而得出答案．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握当x<0时，y随x的增大而减小，可知比例系数k>0是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=45，∴ACAB =45，设AC=4a，AB=5a，∴BC=√AB2−AC2=√(5a)2−(4a)2=3a，∴tanB=ACBC =4a3a=43，故选：B.根据已知可设AC=4a，AB=5a，利用勾股定理求出BC，即可解答．本题考查了互余两角三角函数的的关系，根据已知可设AC=4a，AB=5a，利用勾股定理求出BC的长是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：当x=0时，y=3(x−1)2+2=3×(0−1)2−2=1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,1).故选：D.计算出自变量为0对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7.【答案】C【解析】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20∘，B点落在B′位置，∴∠ACA′=20∘，∠BAC=∠B′A′C，∵A′C⊥AB，∴∠BAC+∠ACA′=90∘，∴∠BAC=90∘−20∘=70∘.∴∠B′A′C=70∘.故选：C.先根据旋转的性质得∠ACA′=20∘，∠BAC=∠B′A′C，再利用A′C⊥AB得到∠BAC+∠ACA′=90∘，然后利用互余计算∠BAC，即可得到∠B′A′C的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=12x2的顶点坐标为(0,0)，∴图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，顶点坐标为(1,3)，∴y=12(x−1)2+3，故选：A.由y=12x2可得抛物线顶点坐标，根据平移后顶点坐标求解．本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握抛物线平移的规律．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形一边的平行线性质定理及推论，根据三角形一边的平行线性质定理及推论分析判断即可得出答案．【解答】解：∵DE//BC交GA于点E，∴ADBD =AEEG，DECG=DFCF，ADAB=DEBG，AEAG=DEBG，∴选项A、B、D正确，选项C错误，故选C.10.【答案】B【解析】解：①根据函数图象的开口向下知，a<0，∵对称轴为直线x=−b2a在y轴右边，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0.故①错误；②∵−b2a<1，∵a<0，∴b<−2a，∴2a+b<0，故②正确；③由函数图象可知，当x=−2时，y<0，即y=4a−2b+c<0，故③正确；④∵图象与x轴有两个交点，∴Δ=b2−4ac>0，∴4ac−b2<0，故④正确；⑤∵x=1时，y=a+b+c>0，x=−1时，y=a−b+c<0，∴(a+c)2−b2=(a+c+b)(a+c−b)<0，∴(a+c)2<b2，故⑤正确；故选：B.根据函数的图象，可以得到a<0，b>0，c>0，对称轴在x=1左边，x=−1时和x=1时对应的函数值的正负，图象与x轴交点的个数，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照判断各个选项即可解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数图象的特点，运用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．11.【答案】2.3×109【解析】解：2300000000=2.3×109，故答案为：2.3×109.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．12.【答案】x≠−3【解析】解：由题意得：x+3≠0，解得：x≠−3，故答案为：x≠−3.根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可得到答案．本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．13.【答案】2(x+4)(x−4)【解析】解：原式=2(x2−16)=2(x+4)(x−4)，故答案为：2(x+4)(x−4)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.【答案】4√33【解析】解：原式=2√3−2×√33=6√33−2√33=4√3 3.故答案为：4√33.直接化简二次根式，进而合并得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．15.【答案】x>−12【解析】解：{2x+1>0①−x+1⩽3②，解不等式①得：x>−12，解不等式②得：x≥−2，∴不等式组的解集是x>−12，故答案为：x>−12.解出每个不等式，再取公共解集即可．本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求不等式公共解集的方法．16.【答案】m>−18且m≠0【解析】解：根据题意得m≠0且Δ=(2m+1)2−4m(−1+m)>0，解得m>−18且m≠0，所以m的取值范围是m>−18且m≠0.故答案为：m>−18且m≠0.根据二次函数的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ=(2m+1)2−4m(−1+ m)>0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x 轴的交点个数．17.【答案】52【解析】解：作FH⊥AC于H，如图，∵△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘得到△DEC，∴CE=BC=2，CD=CA=3，∠ECD=∠ACB=90∘，∴AE=AC−CE=1，∵点F 是DE 的中点，∴FH 为△ECD 的中位线，∴CH =EH =1，FH =12CD =32， 在Rt △AFH 中，AF =√AH 2+FH 2=√22+(32)2=52. 故答案为：52.作FH ⊥AC 于H ，如图，利用旋转的性质得CE =BC =2，CD =CA =3，∠ECD =∠ACB =90∘，再证明FH 为△ECD 的中位线，CH =EH =1，FH =12CD =32，然后根据勾股定理计算AF 的长．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．18.【答案】10√5【解析】解：当y =−5时，−5=−125x 2，解得，x 1=−5√5，x 2=5√5，∴当水面离桥拱顶的高度DO 是5米时，这时水面宽度AB 为：5√5−(−5√5)=10√5(米)，故答案为：10√5.根据题目中的函数解析式和题意，将y =−5代入函数解析式，求出相应的x 的值，从而可以得到AB 的长．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19.【答案】3+√3或3−√3.【解析】解：如图1，过点A 作AD ⊥BC ，设AD =a ，∵tanB =AD BD =13，∴BD =3a ，在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2，(√10)2=a 2+(3a)2，解得：a =1，则BD =3，AD =1，在Rt △ADC 中，AD 2+CD 2=AC 2，12+CD 2=22，CD=√3，BC=BD+CD=3+√3；如图2，过点A作AD⊥BC，设AD=a，∵tanB=ADBD =13，∴BD=3a，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，(√10)2=a2+(3a)2，解得：a=1，则BD=3，AD=1，在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，12+CD2=22，CD=√3，BC=BD−CD=3−√3；综上，BC的长为3+√3或3−√3.故答案为：3+√3或3−√3.分两种情况，如图1，过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，由设AD=a，由tanB=ADBD =13，可得BD=3a，根据勾股定理可得AB2=AD2+BD2，(√10)2=a2+(3a)2，即可算出a的值，即可算出BD，AD的长，在Rt△ADC中，根据勾股定理AD2+CD2=AC2，即可算出CD的长，由BC=BD+CD即可得出答案；如图2，过点A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，由设AD=a，由tanB=ADBD =13，可得BD=3a，根据勾股定理可得AB2=AD2+BD2，(√10)2=a2+(3a)2，即可算出a的值，即可算出BD，AD的长，在Rt△ADC中，根据勾股定理AD2+CD2=AC2，即可算出CD的长，由BC=BD−CD即可得出答案．本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．20.【答案】4√55【解析】解：延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，作CH⊥DG于H，∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△GCD中，{BD=CD∠ADB=∠CDG AD=DG，∴△ADB≌△GDC(SAS)，∴∠BAF=∠G，∵AE=EF，∴∠BAF=∠AFE，∵∠AFE=∠CFG，∴∠CFG=∠G，∴CF=CG，∵CH⊥DG，∴FH=GH，∵tan∠ADB=2，BC=4，∴tan∠CDH=2，CD=2，设DH=x，则CH=2x，由勾股定理得，CD=√5x=2，∴x=2√55，∵AF+DF=GH+DH，∴AF=2DH=4√55，故答案为：4√55.延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，作CH⊥DG于H，首先利用SAS证明△ADB≌△GDC，可说明CF=CG，再根据tan∠ADB=2，CD=2，求出DH的长，从而解决问题．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角函数的定义，等腰三角形的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．21.【答案】解：原式=x+1x ÷3x 2−1−2x 23x =x+1x ⋅3x (x+1)(x−1)=3x−1， 当x =2×√32+1=√3+1时，原式=√3.【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：如图所示：(1)△A 1B 1C 1即为所求作的图形；(2)△A 2B 2C 2即为所求作的图形．B 1B 2=√22+22=2√2.答：B 1B 2的长为2√2.【解析】(1)画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1即可；(2)将△ABC 绕点O 顺时针旋转90∘即可得到△A 2B 2C 2.本题考查了作图-旋转变换、勾股定理、作图-轴对称变换，解决本题的关键是准确画图．23.【答案】解：(1)∵A(4,m)，B(−1,n)在反比例函数y =8x 上，∴m =2，n =−8，∴A(4,2)，B(−1,−8)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ， 则{4k +b =2−k +b =−8， 解得{k =2b =−6， ∴函数的解析式是：y =2x −6；当y =0时，x =3，当x =0时，y =−6，∴C(3,0)，D(0,−6)；(2)由图象可知，kx +b <8x 中x 的取值范围为：0<x <4或x <−1.【解析】(1)把A ，B 两点代入反比例函数解析式就能求得完整的坐标，设出一次函数解析式，代入即可；当x =0时，是D 的坐标，当y =0时，是C 的坐标；(2)由图象可直接得出结论．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意坐标轴上的点的特点．24.【答案】(1)证明：∵∠ACB =90∘，∴∠A +∠ABC =90∘，∵∠ACD =∠ABC ，∴∠A +∠ACD =90∘，∴∠ADC =90∘，∴∠BDC =180∘−90∘=90∘=∠BEC ，在Rt △BCD 和Rt △CBE 中，{BC =CB CD =BE， ∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL)，∴BD =CE ，∵CD =BE ，∴四边形CDBE 是平行四边形，又∵∠BEC =90∘，∴四边形CDBE 为矩形；(2)解：图中所有长度与√5AD 的长度相等的线段为AC =OC =OB =OD =OE =√5AD.理由如下：由(1)得：四边形CDBE 为矩形，∠ADC =90∘，∴BC =DE ，OD =OE ，OB =OC ，∴OC =OB =OD =OE =12BC ， ∵∠ADC =∠ACB =90∘，∴tan∠A =2=CD AD =BC AC ，∴CD =2AD ，BC =2AC ，∴AC =√AD 2+AC 2=√AD 2+(2AD)2=√5AD ，∴DE =BC =2AC ，∴OC =OB =OD =OE =12BC =AC =√5AD ，∴AC =OC =OB =OD =OE =√5AD.【解析】(1)证出∠ADC =90∘，得出∠BDC =∠BEC =90∘，证明Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL)，得出BD =CE ，证出四边形CDBE 是平行四边形，即可得出结论；(2)由矩形的性质得出OC =OB =OD =OE =12BC ，由三角函数得出CD =2AD ，BC =2AC ，由勾股定理得出AC =√AD 2+AC 2=√5AD ，得出DE =BC =2AC ，即可得出答案．本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．25.【答案】解(1)设每件童装降价m元，根据题意，得(100−60−m)(20+2m)=1050，解得：m1=5，m2=25，∵要使顾客得到较多的实惠，∴取m=25，答：童装店应该降价25元．(2)设每件童装降价x元，可获利y元，根据题意，得y=(100−60−x)(20+2x)，化简得：y=−2x2+60x+800∴y=−2(x−15)2+1250答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元．【解析】(1)设每件童装降价m元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；(2)设每件童装降价x元，可获利y元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．26.【答案】(1)解：如图1，作AG//EF，交BC于G，交CD于Q，∴∠AGE=∠FEC，∵EF=CF，∴∠FEC=∠FCE，∴∠AGE=∠FCE，∵AF//BC，∴∠FAC=∠ACB，∠FCE+∠AFC=180∘，∵∠AGE+∠AGB=180∘，∴∠AGB=∠AFC，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠FAC=∠B，∴180∘−∠B−∠AGB=180∘−∠FAC−∠AFC，∴∠BAG=∠FAC，∵AC平分∠FCD，∴∠FAC=∠ACD，∴∠ACD=∠BAG，∵CD⊥EF，AG//EF，∴AG⊥CD，∴∠AQC=90∘，∴∠ACD+∠CAQ=90∘，∴∠BAG+∠CAQ=90∘，∴∠BAC=90∘，∴∠ACB=∠B=45∘，∵AF//BC，∴∠BAF=180∘−∠B=180∘−45∘=135∘；(2)证明：设∠PBC=α，则∠ACD=∠ACF=2α，∵∠ACB=45∘，∴∠APB=∠PBC+∠ACB=α+45∘，∵∠FEC=∠FCE=∠ACB+∠ACF=45∘+2α，∴∠BCK=180∘−∠FEC=180∘−(45∘+2α)=135∘−2α，在△BECK中，∠BKE=180∘−∠PBC−∠BCK=180∘−α−(135∘−2α)=α+45∘，∴∠NKP=∠BKE=α+45∘，∴∠NKP=∠APB，∴PN=NK；(3)解：如图2，延长BA，交CF的延长线于G，作BP的垂直平分线交BC于T，作WH⊥AC于H，作PQ⊥BC于Q，∴PT=BT，∠PQT=∠BAC=90∘，∴∠PBC=∠BPT，∴∠PTQ=∠PBT+∠BPT=2∠PBC，∵∠ACD=2∠PBC，∴∠ACD=∠PTQ，∴△ACD∽△QTP，∴ADPQ =CDPT=ACTQ，由(1)知：∠BAF=135∘，∴∠GAF=180∘−∠BAF=45∘，∠FAC=∠BAF−∠BAC=135∘−90∘=45∘，∴∠GAF=∠FAC，∵AF//BC，∴∠AFE=∠FEC，∠AFG=∠FCE，∵∠FEC=∠FCE，∴∠AFG=∠AFE，∵AF=AF，∴∠AFG≌△AFN(ASA)，∴FN=FG，∵CF+FN=13，∴CF+FG=13，∴CG=13，同理可得：△ACD≌△ACG(ASA)，∴CD=CG=13，∵5PC=4AD，∴设PC=4x，AD=5x，在Rt△CQP中，PC=4x，∠ACB=45∘，∴PQ=CQ=√22PC=2√2x，∵ADPQ =CDPT=ACTQ，∴2√2x =13PT=ACTQ，∴PT=26√25，∴BT=26√25，设AB=AC=a，则BC=√2a，∴TQ=BC−BT−CQ=√2a−26√25−2√2x，∴2√2x =√2a−26√25−2√2x，∴a=12x，在Rt△ACD中，AD=5x，AC=12x，CD=13，∴(5x)2+(12x)2=132，∵x>0，∴x =1，∴PC =4x =4，5x =5，AC =12x =12，∴AP =AC −PC =12−4=8，∵tan∠ACD =WH CH =AD AC ， ∴WHCH =512=1536，∵tan∠APB =ABAP =WH PH ， ∴WHPH =128=32=1510， 设WH =15m ，则PH =10m ，CH =36m ，CW =39m ，由CH −PH =PC 得，36m −10m =4，∴13m =2，∴CW =39m =2×3=6，∴WD =CD −CW =13−6=7.【解析】(1)作AG//EF ，证明△ABG 和△ACF 中：∠B =∠ACB =∠FAC ，∠AGB =∠ACF ，进而得出∠BAG =∠ACF =∠ACD ，进一步得出结果；(2)设∠PBC =α，表示出∠NPB =α+45∘，在△BEK 中∠KEB =180∘−∠FEC =180∘−∠FCE =180∘−(45∘+2α)，进而求得∠NKP =∠BKE =α+45∘，进而得出结论；(3)延长BA ，交CF 的延长线于G ，作BP 的垂直平分线交BC 于T ，作WH ⊥AC 于H ，作PQ ⊥BC 于Q ，证明AFG ≌△AFN ，从而得出FG =FN ，从而得出CD =CG =13，设AD =5x ，PC =4x ，AB =AC =a ，证明△QPT ∽△ACD ，进而求得a =12x ，从而求得x 的a 的值，然后解斜三角形PCW ，进一步求得结果．本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．27.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y =−x 2+bx +c ，∴{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3， ∴y =−x 2+2x +3；(2)令x =0，则y =3，∴C(0,3)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴{b =33k +b =0， 解得{k =−1b =3， ∴y =−x +3，过点D 作DE//y 轴交BC 于点E ，∵点D 的横坐标为t ，∴D(t,−t 2+2t +3)，E(t,−t +3)，∴DE =−t 2+2t +3+t −3=−t 2+3t ，∴s =12×3×(−t 2+3t)=−32t 2−92t ； (3)存在点Q ，使得∠QAB =∠BPM ，理由如下：∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =1，∴P(1,4)，M(1,2)，∴BH =2，PH =4，∴tan∠BPM =12， ∵∠QAB =∠BPM ，∴tan∠QAB =12， 过点Q 作QG ⊥x 轴交于G ，∴QG AG =12，设Q(m,−m 2+2m +3)，∴|−m 2+2m+3||m+1|=12， 解得m =52或m =72，∴Q(52,74)或(72,−14). 【解析】(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y =−x 2+bx +c ，即可求函数的解析式；(2)求出直线BC 的解析式，过点D 作DE//y 轴交BC 于点E ，可求DE =−t 2+3t ，则s =12×OB ×DE =−32t 2−92t ；(3)求出P(1,4)，M(1,2)，可得tan∠BPM =tan∠QAB =12，过点Q 作QG ⊥x 轴交于G ，设Q(m,−m 2+2m +3)，则|−m 2+2m+3||m+1|=12，能求出Q(52,74)或(72,−14). 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用直角三角形的正切函数值确定点Q 的坐标是解题的关键．。
北京一五六中2020-2021学年九年级上数学期中考试试题及答案
北京156中学2020-2021学年度第一学期九年级数学期中测试 班级____ 姓名________ 学号___ 成绩______第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:(共10小题，每小题4分，共40分)1. 已知3x = 5y (y ≠ 0), 那么下列比例式中正确的是 ( ). A.53x y = B. 35x y = C. 35x y = D. 35x y =2．将抛物线22y x =平移得到抛物线22(2)3y x =-+，下列平移正确的是( )． A. 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位3. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米， 则树的高度为( ). A. 10米 B ．9.6米 C ．6.4米 D ．4.8米 4. 如右图，在4×4的正方形网格中，tan α 的值等于( ). A ．21313 B ．31313 C ．32 D ．235. 在Rt △ABC 中，已知cos B=725，则tan B 的值为( ). A. 724 B. 2425 C. 2524 D. 2476． 抛物线)3)(1(-+=x x y 的对称轴是直线( )． A ． 1x =- B ．1x = C ．3x =- D ．3x =7．如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC =90°，OA =1，BC =6．则⊙O 的半径为( )A ．6B ．13C 13D ．138．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数2322y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的 图象可能．．是( ). α A BCO9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是( ) A ．512B ．513C ．1312 D ．512 10. 如图，正△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x (秒)，y =PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为( ).第Ⅱ卷(非选择题 共80分)二、填空题:(共6小题，每小题4分，共24分)11．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________． 12．如图，正方形ABCD 内接于⊙O，点E 在︵AD 上，则∠BEC= .12题 13题 15题x yxD.C.B.O..13. 如图，在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30o,在射线OC 上取一点A ，过点A作AH ⊥x 轴于点H .在抛物线2x y =(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是_____________ .14. 将抛物线y ＝x 2＋1绕原点旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为 . 15．已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论:①abc ＞0；② 2=++c b a ； ③a ＜21； ④b ＞1.其中正确的结论是 . 16.对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如:2(6)636F ==，()22(123)1231310F f ==+=．规定1()()F n F n =，1()(())k k F n F F n +=(k 为正整数)．例如:()()112312310F F ==，21(123)((123))(10)1F F F F ===．（1）求:2(4)F =____________，2015(4)F =______________； （2）若3(4)89m F =，则正整数m 的最小值是_____________．三、解答题:(第17-20205分，21--24题7分，25题8分共56分)17.计算:2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒18. 如图，△ABC 顶点的坐标分别为A (1，-1)， B (4，-1)，C (3，-4)．(1) 将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB 1C 1，并直接写出点B 1的坐标:B1(______，______ )；(2) 以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2:1．19. 已知:如图，在ABC△中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED =∠C.(1)求证:△AED∽△ACB；(2)若AB=6，AD= 4，AC=5，求AE的长.2020知二次函数y= x2 -2x-3.(1)用配方法将y= x2 -2x-3化成y=a (x-h) 2 +k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当x取何值时，y随x的增大而减少？(4)当-2﹤x﹤3时，观察图象直接写出函数y的取值范围．AC BDE21．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．22. 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N . 求证: MN CN DN AN ⋅=⋅。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 北京156中学2019—2020学年度第一学期初三数学期中测试班级_____学号_____ 姓名_______ 成绩________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页； 第Ⅱ卷第2页至第10页，共100分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷的 第1页至第10页和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题(本题共16分，每小题2分)1．下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )2．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ).A ．22(1)3y x =++B ．22(1)3y x =-+C ．22(1)3y x =+- D ．22(1)3y x =--3.下列命题中正确的有( )（1）平分弦的直径垂直于弦（2）相等的圆周角所对的弧相等 （3）等弧所对的圆周角相等（4）顶点在圆周上的角是圆周角 (5)圆心角等于2倍的圆周角A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ， 则BOD ∠的度数为（ ）A ．︒100B ．︒120C ．︒130D ．︒150DCBAO2 5．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8， 则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是( )A ．(3，4)B ．(4，5)C ．(4，3)D ．(7，3)7.已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④3 第II 卷（非选择题 共84分）二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0， -1）的抛物线的表达式：___________10．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ， 点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0）， 则点Q 的坐标为________．11. 如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角为____________°12. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC ，AB=6cm ，AC=4cm ，则⊙O 的半径等于____________cm ．13. 若抛物线与x 轴只有一个交点，则k 的值为 .14. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ C=45°，AB=4， 则⊙O 的半径为 _____________15. 如图, Rt △ABC 中, 已知∠C=90°, ∠B=50°, 点D 在边BC 上, BD=2CD. 把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0︒<m<180︒）度后, 如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上, 那么m = ___________C A C BD4 16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．三、解答题（共68分，17-24题，每题5分，25题6分，26-27，每题7分，28题8分) 17. 作图题：(保留作图痕迹，不写做法)（1）已知：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 成中心对称，试画出它们的对称中心O 。
（2）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，如图所示．现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．请利用直尺（无刻度）和圆规，在图中找出圆心O 。
18. 已知二次函数y =x 2 + 4x + 3．5 （1）用配方法将二次函数的表达式化为y = a (x-h)2 + k （2）在平面直角坐标系xOy （3）观察图象，直接写出当30x -≤≤时y19．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如下图）， 你选择的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，则B 点坐标是______，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．21．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，且C为的中点，方案 2方案 3方案 16 若∠BAD=20°，求∠ACO 的度数．22.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式是10700y x =-+．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．23. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B=30°， 延长BA 到D ，使∠BDC=30°． (1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)若AB=2，求DC 的长．7 24. 已知二次函数2(1)1(0)y kx k x k =+++≠．（1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值.25. 如图①， B ， C ， E 是同一直线上的三个点， 四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形．连接BG ， DE ．(1) 探究BG 与DE 之间的数量关系， 并证明你的结论；(2) 当正方形CEFG 绕点C 在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时，线段BG 和ED 有何关系? 写出结论并证明。
图①图① 图②A B C D EFG8 26．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，⊙O 的切线DE 交AC 于点E. （1）求证：E 是AC 中点；（2）若AB=10，BC=6，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长.27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3a (a<0)经过点A （-1，0），将点B （0，4）向右平移5个单位长度，得到点C （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围.EBC9 28．定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P （x ，y ）的纵坐标y 与其横坐标x 的差y －x 称为P 点的“坐标差”，而图形G 上所有点的“坐标差”中的最大值称 为图形G 的“特征值”. （1）① 点A （1，3） 的“坐标差”为 ；② 抛物线233y x x =-++的“特征值”为 ；（2）某二次函数()20y -x bx c c =++≠的“特征值”为 -1，点B （m ，0）与点C 分别是此二次函数的图象与x 轴和y 轴的交点，且点B 与点C 的“坐标差”相等. ① 直接写出m = ;（用含c 的式子表示）② 求此二次函数的表达式.（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以M （2，3）为圆心， 2为半径的圆与直线y x =相交于点D 、 E . 请直接写出⊙M 的“特征值”为 .草稿纸1011 北京156中学2019—2020学年度第一学期初三数学期中测试答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．a 为负，c=-1 即可（答案不唯一）10．（-2,0） 11. 22度13． 4 14． 度或120度 16.90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端并且垂直半径的直线是圆的切线。
三、解答题17．（1）对应点连线的交点 （2）取不共线三点，任意两点所连线段的垂直平分线的交点 18. （1）y = x 2 + 4x + 3= x 2 + 4x + 22 - 22 + 3= (x +2)2 -1 （2）图略（3）13y -≤≤19. 2112y x x =-+ 20. （1）方案一，B(5,0) y=-51x 2 +5方案二，B(10,0) y=- 51x 2 +2x 方案三，B(5,-5) y=-51x 2 (2)水面上张高度为3.2m. 21. 55度 22．利润()()2107003010100021000w x x x x =-+-=-+- ()210504000x =--+ 当50x =时，w 有最大值4000．12 23.（1）连OC ，证∠DCO=90度 （224. （1）证明：令y =0，可得2(1)10kx k x +++=∵11a k b k c ==+=，，∴△=221k k -+=2(1)k - ∵2(1)0k -≥ ∴此二次函数的图象与x 轴总有交点．（2）解：令y =0，得2(1)10kx k x +++= 解得 x 1= 1(1)12k k k k --+-=-，x 2=1(1)12k k k----=- ∵k 为整数，解为整数∴1k =±.25. （1）BG=DE 证明全等（2）BG=DE 且互相垂直26.（1）略 （2）5927.（1）C （5,4） （2）x=1 (3) 413a a <-=-或28．解:（1）① 2；② 4；（2）① m = -c ;② 232y x x =-+-（3）⊙M。