(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.4 利用导数研究函数的极值,最值(练)

专题3.4 利用导数研究函数的极值，最值
A 基础巩固训练
1.【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 2.【2017浙江嘉兴一中测试】已知不等式()ln 11x ax b +-≤+对一切1x >-都成立，则b
a
的最小值是（ ）
A. 1e -
B. e
C. 1e -
D. 1 【答案】C
当x ＞
1a
a -时，y′＜0，函数递减． 则x=1a a
-处取得极大值，也为最大值﹣lna+a ﹣b ﹣2，
∴﹣lna+a ﹣b ﹣2≤0， ∴b≥﹣lna+a ﹣2，
∴
b a ≥1﹣ln a a
﹣2a ， 令t=1﹣ln a a
﹣2
a ，
∴t′=2
1ln a a +，
∴（0，e ﹣1
）上，t′＜0，（e ﹣1
，+∞）上，t′＞0， ∴a=e ﹣1
，t min =1﹣e ． ∴
b
a
的最小值为1﹣e ． 3.函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】B 【解析】
4．【2017河北唐山二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足
()()()2'0x f x xf x ++>，则（ ）
A. ()0f x >
B. ()0f x <
C. ()f x 为减函数
D. ()f x 为增函数 【答案】A
【解析】令()()2
x
g x x f x e =，
()()()()()()()2222x x x x g x xf x e x f x e x f x e xe x f x xf x ⎡⎤=++='++'⎣'⎦
， ∵()()()2'0x f x xf x ++>，
∴当0x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，
当0x <时， ()0g x '<，函数()g x 单调递减；故()()()2
00x
g x x f x e g =>=
即()0f x >，故选A.
5.【2017山西三区八校二模】已知函数()2
ln f x x ax bx =++（其中a ， b 为常数且0a ≠）
在1x =处取得极值．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在(]
0,e 上的最大值为1，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ()1,+∞；单调递减区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
; （Ⅱ）12a e =-或2a =-.
（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x 的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a 的方程求得结果． 试题解析：
（Ⅰ）因为()2
ln f x x ax bx =++，所以()1
'2f x ax b x
=
++， 因为函数()2
ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值，
()'1120f a b =++=
当1a =时， 3b =-， ()2231
'x x f x x
-+=，
由()'0f x >，得102x <<
或1x >；由()'0f x <，得1
12
x <<， 即函数()f x 的单调递增区间为10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ()1,+∞；单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
（Ⅱ）因为()()()211'ax x f x x --=
，
令()'0f x =， 11x =， 212x a
=
， 因为()f x 在1x =处取得极值，所以211
12x x a
=
≠=，
当0a >，21
02x a
=>, 当
112a <时， ()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 1,12a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， ()1,e 上单调递增， 所以最大值1可能的在12x a =或x e =处取得，而
()2
1111ln 212222f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11ln
22a a
=- 0<， 所以()()2
ln 211f e e ae a e =+-+=，解得1
2
a e =-； 当112e a ≤
<时， ()f x 在区间()0,1上单调递增， 11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,2e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以最大值1可能在1x =或x e =处取得， 而()()1ln1210f a a =+-+<， 所以()()2
ln 211f e e ae a e =+-+=，
解得12a e =
-，与21
12x e a <=
<矛盾． 当21
2x e a
=≥时， ()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减， 所最大值1可能在1x =处取得，而()()1ln1210f a a =+-+<，矛盾． 综上所述， 1
2
a e =
-或2a =-, B 能力提升训练
1．已知)(x f 是定义域，值域都为
(0,)+∞的函数， 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式
正确的是（ ） A ．
2016(2016)2015(2015)f f > B ．
2016(2016)2015(2015)f f <
C.
33
2015(2015)2016(2016)f f < D.
332015(2015)2016(2016)f f > 【答案】C 【解析】
构造函数
0)()(2)(),()(2
2>'+='=x f x x xf x g x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞单调递增， 所以
)2016(2016)2015(20152
2f f <，结合不等式性质. 故C 正确. 2．已知()f x 在R 上可导，且2()2(2)f x x xf '=+，则(1)f -与(1)f 的大小关系是（ ） （A ）(1)(1)f f -= （B ）(1)(1)f f -> （C ）(1)(1)f f -< （D ）不确定 【答案】B 【解析】
3
．设
是函数
的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（ ）
【答案】D 【解析】
A ()
f x '()
f x ()
y f x =()
y f x '=
导函数，下面的为原函数；D 中无论原函数是哪一个，导函数值都要有正有负.
4．设函数f （x ）在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上，
x x f <')(，若0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．),2[+∞
B ．),3[+∞
C ．[-3，3]
D ．),2[]2,(+∞--∞ 【答案】B 【解析】
06182
1
)()6(21)6(618)()6(22≥+----+-=+---m m m g m m g m m f m f ，
即0)()6(≥--m g m g ，∴)()6(m g m g ≥-，∴m m ≤-6，∴3≥m ． 5.设函数()x x x x f 2
1
41ln 2--
=. （1）求()x f 的单调区间和极值； （2）若()()⎪⎭
⎫
⎝⎛++=1412x x f x x g ，当1>x 时，()x g 在区间()1,+n n 内存在极值，求整数n 的值.
【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为（0,1），递减区间为),1(+∞， 在1=x 处取得极大值4
3
-，无极小值.（2）3=n . 【解析】
（1）)0(,2221211)(2
>+--=--='x x
x x x x x f 令0)(='x f ，解得)2(1舍去-=x ，
根据)(),(,x f x f x '的变化情况列出表格:
由上表可知函数()f x 的单调增区间为（0,1），递减区间为),1(+∞， 在1=x 处取得极大值4
3
-，无极小值.. （2）
x x x x x x f x x g +-=++
=222
1
ln )141)(()(,2ln 11ln )(+-=+-+='x x x x x g , 令2ln )(+-=x x x h ， x x
x x h -=-='∴111)(，
C 思维拓展训练
1.设函数x e
x e x g x x e x f 222)(,1)(=+=，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)
()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）
A ．),1(+∞
B ．),1[+∞
C ．)1,(-∞
D ．]1,(-∞ 【答案】B 【解析】
∵k 为正数，∴对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式
1
)
()(21+≤k x f k x g 恒成立min max ]1
)
([])([
+≤⇒k x f k x g ， 由0)
1()(22=-='+x
x e
x e x g 得1=x ，)1,0(∈x ，0)(>'x g ，),1(+∞∈x ，0)(<'x g ， ∴k
e
k g k x g ==)1(])([
max . 同理)1,0(,101)(2
2e
x e x x x e x f x ∈=⇒=-='，0)(<'x f ，),1
(+∞∈e x ，0)(>'x f ，
1
21)
1(]1
)
([
min
+=
+=+k e
k e f k x f ，∴1,0,12≥∴>+≤k k k e k e ，故选B. 2．已知函数32()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈，则
(1)f -的取值范围是（ ）
A ．[3,12] B
【答案】
A
3.若函数(]()21,0,1()31,1,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩
，2()log g x x =，关于x 的不等式()(()0f x g x ⋅≥对于任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
当(]0,1x ∈时，2()log 0g x x =≤，关于x 的不等式()(()0f x g x ⋅≥对于任意(]0,1x ∈恒成立，所以(]()210,0,1f x ax x =-≤∈恒成立，即有12a x ≤
恒成立，则21,a ≤即1
2
a ≤，当1x >时，2()log 0g x x =>，关于x 的不等式()(()0f x g x ⋅≥对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，所以()310,f x ax =-≥在[)1,x ∈+∞恒成立，即有13a x ≥
恒成立，则31,a ≥即13
a ≥，关于x 的不等式()(()0f x g x ⋅≥对于任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是
11
32
a ≤≤. 4．【2017浙江嘉兴测试】已知函数2
1()ln (,)2
f x a x x bx a b R =++∈在122,3x x ==处取得极值．
（1）求,a b 的值；
（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．
【答案】（1）⎩
⎨⎧=-=65
a b ；（2）01324=--y x ． 【解析】
试题解析：（1）()x
a
bx x b x x a x f ++=++=2/
，令()02/
=++=x
a
bx x x f
据题意，得 2,3是方程02=++a bx x 两根 则有 ⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=⨯-=+6
5
3232a b a b （2）()x x x x f 521ln 62-+=， 则 ()295211-=-=f ， 得 )2
9
,1(-P 又由()x
x x x f 6
52+-=
'，得 ()26511=+-='f 从而，得所求切线方程为()122
9
:-=+x y l ，即01324=--y x ． 5. 已知函数()()R a x
x a x f ∈+=
ln ．
（1）若1=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （2）求)(x f 的极值；
（3）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）032
=-+e y e x ；（2）11)()(--==a a
e e
f x f 极大值；
（3）1≥a . 【解析】（1）1=a ，()x x x f 1ln +=
且
()e e f 2
=
． 又22ln )1(ln )1(ln )(x x x x x x x x f -='+-'+=
'，()2
,
1e e f -=．
)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(1
22e x e
e y --=-，
即032
=-+e y e x ．
（2）)(x f 的定义域为),0(+∞，2
)
(ln 1)(x
a x x f +-=
'， 令0)(='x f 得a e x -=1． 当),0(1a e x -∈时，0)(>'x f ，)(x f 是增函数； 当),(1+∞∈-a e x 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数；
)(x f 在a e x -=1处取得极大值，即11)()(--==a a e e f x f 极大值．
（3）（i ）当21e e a <-，即1->a 时，
由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1a e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数， 当a
e
x -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ．
又当a
e x -=时，0)(=x
f ，
当],0(a
e x -∈时，0)(<x
f ，当],(2e e x a -∈时，],0()(1-∈a e x f ， 所以，)(x f 的图像与1)(=x
g 的图像在],0(2
e 上有公共点，
等价于11≥-a e ，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ．。