【教案】余弦定理、正弦定理(第2课时)教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）
一、内容和内容解析
内容：正弦定理．
内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通.
二、目标和目标解析
目标：
（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养．（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．
目标解析：
（1）用向量的方法证明正弦定理，或者其他方法证明，在证明中培养学生的逻辑思维能力，特别是外接圆法和分类讨论的方法，推导出比值为外接圆直径和三角形的面积公式．
（2）结合正弦定理的结构特点可以发现正弦定理的变形形式比较多，拆分式、连比式、分体式，每种形式都有着广泛的应用，这也为学生选择合适的形式解决问题增加了难度．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在正弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：怎样证明正弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：利用向量法证明，体现向量的工具作用，关键在于阐明“过点A作与AC垂直的单位向量j”的思维过程．2．教学问题二：利用正弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．．解决方案：类比全等三角形的证明条件，说明方程解得个数，根据大边对大角或内角和为π进行解得个数的取舍，从而解决问题．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到正弦
定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．
在教学过程中，重视正弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
五、教学过程与设计
教学环节问题或任务师生活动
设计
意图
创设情境
生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研
究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼
罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如
图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，
∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面
的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的
呢？
通过
实际
问题，
激发
学生
的研
究兴
趣
探索交流
获得结论[问题1]如图，在Rt△ABC中，
a
sin A，
b
sin B，
c
sin C各自等于什么？
[问题2]对于一般的三角形，
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
=
=
仍然成立吗？
教师1：提出问题1．
学生1：
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝c．
教师2：提出问题2．
学生2：分锐角三角形、钝角三角形证明.
（1）在锐角三角形ABC
∆中.
过点A 作单位向量j垂直于AC.
由AB
CB
AC=
+，两边同乘以单位向量j得，
通过
探究，
由直
角三
角形
得一
结论，
提高
学生
的解
决问
题、分
析问
题的
能力.
通过
思考，
分析
在锐
角三
[问题3]这个比值是多少？如何求解？
AB
j
CB
AC
j⋅
=
+
⋅)
(，则
AB
j
CB
j
AC
j⋅
=
⋅
+
⋅，
所以
||||cos90||||cos(90)
j AC j CB C
︒︒
+-
||||cos(90)
j AB A
︒
=-
整理得
C
c
A
a
A
c
aisnC
sin
sin
sin=
∴
=
同理，过点C作与CB垂直的单位向量j，可得
C
c
B
b
sin
sin
=
所以
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
=
=.
（2）在钝角三角形ABC
∆中，不妨设A为钝角，
如图.
过点A作与AC垂直的单位向量j.
同理可得
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
=
=.
教师3：总结正弦定理．
(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等，
（2）符号语言：
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C.
教师4：提出问题3.
学生3：该比值为该三角形外接圆的直径.
作锐角三角形ABC的
外接圆直径CD，连结
DB．根据同弧所对的
圆周角相等及直径所
对的圆周角是直角得，
∠A=∠D, ∠DBC=90°,2
CD R
=（R为⊿ABC的
角形、
钝角
三角
形该
式子
成立，
得正
弦定
理.提
高学
生分
析问
题、概
括能
力.
[问题4]利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？
[问题5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？外接圆半径）．
所以sin sin
2
CB a
A D
CD R
===，所以2
sin
a
R
A
=．
同理2,
sin
b
R
B
=2
sin
c
R
C
=．
因此2
sin sin sin
a b c
R
A B C
===．
师生共同总结：
正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为
R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.
(2)sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R.
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(4)
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
.
教师5：提出问题4．
学生4：正弦定理可用于两类：
（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两
边与另一角；
（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，
计算其他的角与边.
教师6：提出问题5．
学生5：不对.根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sin
B，c＝2R sin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
通过
思考，
进一
步理
解正
弦定
理的
运用，
提高
学生
分析
问题
的能
力.
1.已知两角及一边解三角形
例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 教师7：完成例1.
学生6：根据正弦定理，得a＝
c sin A
sin C＝
10×sin 45°
sin 30°＝
10 2.
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以b＝
c sin B
sin C＝
10×sin 105°
sin 30°＝20sin 75°＝
20×
6＋2
4＝5(6＋2).
通过
例题
的讲
解，让
典例分析
巩固落实2.已知两边及一边的对角解三角形
例2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，
B＝45°，求A，C和c.
3.判断三角形形状
例3.已知在△ABC中，b sin B＝c sin C，
且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC
的形状．
[课堂练习]
1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a
＝2，解此三角形.
2. (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是
________三角形；
(2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是
________三角形.
教师8：完成例2．
学生7：由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，
知sin A＝
a sin B
b＝
3
2，
∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝
b sin C
sin B＝
2sin 75°
sin 45°＝
6＋2
2；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝
b sin C
sin B
＝
2sin 15°
sin 45°＝
6－2
2.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝
6＋2
2；当A＝120°
时，C＝15°，c＝
6－2
2.
教师9：完成例3．
学生8：由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R
得sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R.
∵b sin B＝c sin C，∴b·
b
2R＝c·
c
2R，
∴b2＝c2，∴b＝c.
∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(
a
2R)
2＝(
b
2R)
2＋(
c
2R)
2，
∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
教师10：布置课堂练习1、2．
学生9：完成课堂练习，并核对答案．
学生
进一
步理
解正
弦定
理，提
高学
生解
决与
分析
问题
的能
力.
课堂小结
升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知
识？
在解决问题时，用到了哪些数学思想？
[课后练习]
1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝
1
3，
则sin B＝()
A.
1
5 B.
5
9 C.
5
3 D.1
2.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC
＝32，则AC＝()
A.43
B.2 3
C. 3
D.
3
2
3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝
3∶4∶5，则△ABC是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
4.在△ABC中，a＝5，b＝53，A＝30°，
则B＝________.
教师11：提出问题6．
学生10：
学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．
1.B；
2.B；
3. A ；
4.60°或120°.
师生
共同
回顾
总结：
引领
学生
感悟
数学
认知
的过
程，体
会数
学核
心素
养．
课后
练习：
是对
定理
巩固，
是对
本节
知识
的一
个深
化认
识，同
时也
为下
节内
容做
好铺
垫．。