四年级数学原理总复习1
四年级数学第20讲加法原理复习1
第20讲加法原理（一）例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。
问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。
例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。
第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种。
所以一共可以表示出不同的信号3＋6=9（种）。
以上两例利用的数学思想就是加法原理。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有m n种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。
乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。
乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。
因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。
根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。
例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同。
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
小学四年级教培数学课件：加乘原理进阶
练习1
如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外 语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的 选择？
加乘原理：先分类再分步 语文、数学：3×4=12 （种） 语文、外语：3×5=15（种） 数学、外语：4×5=20（种）
12+15+20=47（种）
答：取2本不同学科的书，那么共有47种不同的选择。
（2） C→A→B→D 5×4×3×4=240（种）
答：颜色不能重复，那么一共有120种不同的染色方法； 相邻两块颜色不同，那么一共有240种不同的染色方法。
春田花花幼稚园组 织拍照啦。。。
麦兜给阿May、阿June和得巴三个排成一排 照相，它们三个一共有多少种不同的站法？
3×2×1=6（种）
麦兜、阿May、阿June和得巴四个排成一排 照相，它们四个一共有多少种不同的站法？
一种颜色。
（1）如果颜色不能重复，那么一共有多少种不同的涂色方法？
（2）如果相邻两块颜色不同，那么一共有多少种不同的涂色方
法？
（1）D→A→B→C
关键条件
D
4×3×2×1=24（种）
ABC
（2）D→A→B→C 4×3×2×2=48（种）
答：颜色不能重复，那么一共有24种不同的涂色方法； 相邻两块颜色不同，那么一共有48种不同的涂色方法。
乘法原理染色问题
随意涂色
颜色不重复
相邻不同色
贵湖江 州南西
3×3×3
莹莹用红、黄、蓝三种颜色给左边的地 图涂色，要求每块只涂一种颜色。
如果颜色随便涂，那么一共有___2_7___种
不同的涂色方法。
答 案
乘法原理染色问题
随意涂色
颜色不重复
四年级下册数学讲义奥数导引 第4讲：抽屉原理一
一、 抽屉原理I ：把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．二、 抽屉原理II ：把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果．如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果．三、 抽屉原理的基本思想就是最不利原则．所谓最不利原则，概括的讲，就是通过满足“最坏”的情况，来保证满足所有的情况．四、 某些时候，“抽屉”不太明显，需要构造抽屉来解决问题．知识精讲第四讲抽屉原理一例题解析【例1】 体育馆里有足球，篮球和排球3种球．一个班的50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个．请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？【例2】 把31个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过3个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样多？【例3】 有37个数，每个数为0或1．要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到6个1连排在一起．问：其中最少有多少个数是1？【例4】 有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字．其中写0的有1个，写1的有2个，写2的有3个，……，写9的有10个．如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有3个，它们上面的数字恰好组成678？（考虑“9”倒过来看是“6”）【例5】一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个．现在墨莫闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则至少要取出多少个球？【例6】50个苹果分给8个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果1号小朋友最多给2个，2号最多给4个，3号最多给6个，……，8号最多给16个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？【例7】888名学生站成一个圆圈，如果任意连续32人中，至多有9名男生，那么男生的人数最多有多少人？【例8】新春佳节，商场举办抽奖活动．抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32，30，28，26，24张．每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付2元钱．奖励方式如下：用15张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用11张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用4张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型．请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：1 乘法原理 竞赛篇(解析版)全国通用
第一讲 乘法原理卷Ⅰ 本讲的三个教学要点：①使学生掌握乘法原理主要内容；②掌握乘法原理运用的方法；③培养学生准确分解步骤的解题能力.乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯.（一）简单乘法原理应用【例1】（★★★★）在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：从A 点到C 点一共有3种走法，从C 点到D 点一共也有3种走法，从D 点到B 点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3×3=27种走法.我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理. 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法 ，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. 专题精讲 教学目标 想 挑战 吗？下图所示的八个图案是《周易》中所说的八卦，你们能画出第九个不同的卦相吗？如果不能，那是为什么？ 答案：根据乘法原理，一共只有2×2×2=8种卦象 DC B A[拓展] （★★★）在右图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：解这道题时千万不要受原来那道题的影响，A 到C 的地走法不是3条而是4条所以这只甲虫最多有4×4=16种走法.【例2】（★★★★）有三组：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5；（3）4，5，6.如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？分析：将式子（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）用乘法分配律展开所得的3×4×3=36个加项即为36种不同取法的三个数的乘式，所以（1+2+3）×（0.5+1.5+2.5+3.5）×（4+5+6）的值即为不同取法的三个数乘积的总和为720.【例3】（★★★★）从1到2004这2004个正整数中，共有 个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位．分析：考虑不进位的情况． 9999－8866=1133．千位百位各有0，1两种选法，十位、个位各有0，1，2，3四种选法，因为0000不是正整数，所以不进位的数有 2×2×4×4－1=63(个)．至少发生一次进位的数有 2004－63=1941(个)．[前铺]10到99这90个数中，与66相加不产生进位的数有多少个？分析：十位、个位上不产生进位，要求十位上、个位上的数字不超过3，这样十位的数可以取值1、2、3上，个位上的数可以取值0、1、2、3，所以与66相加不产生进位的数有3×4=12个.（二）较复杂的乘法原理应用【例4】（★★★★）如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？分析：第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择．共有4×3×2×2×2=96种着色方法． C B A ED C B A[拓展1] 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？分析：这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4×3×2×2×2=96种方法.讨论:如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4×3×2×2×2=96种方法.如果染色步骤为C-A-D-B-E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有4×3×（1×2×2+2×1×2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.[拓展2]如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？分析：对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4×3×2×2×2×2×2×2×2=1536.【例5】（★★★）右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?分析：由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法．由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．[前铺]:国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？分析：对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7=49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49=3136种方法.【例6】（★★★★）有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？分析：可以将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，不同的竖线插入方式代表不同的吃法，所以只需要求出有多少种竖线插入式.○○|○|○○○|○○○|○由于每个空都有画线与不画线两种可能(相当于每吃完一粒考虑今天还吃不吃)，根据乘法原理，则不同的吃法共有29=512（种）.[拓展]有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？分析：如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有9×8÷2=36种方法.（注意这里用到了组和的方法）卷Ⅱ（三）乘法原理在排列组合中的应用【例7】（★★★★）书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？分析：（1）每种书内部任意排序，分别有4×3×2×1，5×4×3×2×1，3×2×1种排法，然后再排三种类型的顺序，有3×2×1种排法，整个过程分4步完成.4×3×2×1×5×4×3×2×1×3×2×1×3×2×1=103680（种）一共有103680种不同排法.（2）方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有4×3×2×1=24、5×4×3×2×1=120种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有5×4×3×2×1=120种排法，所以一共有24×120×120=345600种排法.方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一共有24×120×6×5×4=345600种排法.[前铺]小明有6本不同的课外书，把他们按顺序放在书架上有多少种排法？如果借出去两本剩下的情况有多少种？分析：（1）6本书的全排列：6！=720种，6本书中取4本排列：6×5×4×3=360种.【例8】（★★★★）用0，1，2，3，4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023，2341等，求全体这样的四位数之和．分析:先求出5个数字共能组成多少个符合条件的数,分为4步,第一步确定千位数一共有4种选择,然后确定百位,有4种选择,确定十位数有3种选择,确定个位数有2种选择.一共有4×4×3×2=96种选择. 这96种选择中,千位数字出现1、2、3、4的次数都是24次，百位、十位、个位出现的次数为18次(0出现24次).所以全体这样的四位数和为(1+2+3+4) ×24×1000+(1+2+3+4) ×18×(100+10+1)=259980[前铺] 用1，2，3，4这4个数字，组成各位数字互不相同的三位数，例如123，231等，求全体这样的三位数之和．分析：先求出这4个数字共能组成多少个各位数字互不相同的三位数，分为4步，第一步确定百位数一共有4种选择，确定十位，有3种选择，确定个位数有2种选择，所以一共有24个符合条件的数，其中百位数字是1的有3×2×1=6个，同理、百位数字是2、3、4的也有6个，所以各个数百位数字之和为 6×（1+2+3+4）=60，同理各个数十位数字之和为60，各个数个位数字之和为60，所以，这些数的总和为：60×100+60×10+60×1=6660.【例9】（★★★★★）四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种.）分析：方法一：事实上如果没有括号中的条件，那么所得的答案是原题答案的八分之一，因为符合原题的所有不同排法都通过旋转可以得到8种各不相同的安排方法.所以我们可以先求出改掉括号中条件的题目答案， 对于改编后的题，显然所有的安排方法分为两大类，如右图所示，每个椭圆中是一对，对于其中的一类，例如右图，第一步，确定1号位的人选：8种，那么2号位只能是他（她）的妻子（丈夫）；第二步确定3号位的人选：6种，那么4号位只能是坐3号位的妻子或丈夫……，如此，对于右图可以有8×6×4×2=384种排法，同理左图也有384种排法，一共是768种排法.那么对于有括号中条件的题目一共有768÷8=96种排法.方法二：由于括号中的条件让我们很为难，对于一种新的排法，我们还要将它旋转，看它是否和之前的排法是否相同，当然我们也可以将所有排法都转到一个特殊的角度，以判断这些排法是否有相同的，所以我们可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法1号夫妇面南坐是它的特殊角度，那么如果两中排法都转到特殊角度后，还不完全一样，那么这两种排法就无论如何也不能通过旋转得到相同的排法，所以我们只要求出特殊角度下的不同排法数，第一步先将4对夫妻的整体位置安排好，当然1号夫妻已经排好了，安排另3对夫妻一共有3×2×1=6种排法，如图所示：432143211234123412344321对于以上每一种排法，夫妻之间都可以交换位置，所以一共有6×2×2×2×2=96种排法.[拓展]3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种.）分析：使用原题的方法二更方便：共（2×1）×（3×2×1）×（3×2×1）×（3×2×1）=432种7812345687654321【例10】（★★★★）从10名男乒乓球运动员，10名女乒乓球运动员中选派运动员组成代表队去参加男女混合双打比赛，要求选派6人（男女各3），组成3个搭配，那么一共有多少种选派方法？分析：方法一：首先从10名男选手中选出3人（组合），一共有10×9×8÷（3×2×1）=120种，然后从10名女乒乓球运动员挑3人与之对应（排列）,一共有10×9×8=720种，所以一共有120×720=86400种.方法二：先将6人挑出来一共是14400种，然后对这六人搭配，一共3×2×1=6种，所以一共有86400种.[前铺]从10名男乒乓球运动员，10名女乒乓球运动员中选派6名运动员组成代表队去参加比赛，要求男女运动员各3名，那么一共有多少种选派方法？分析：第一步：在男运动员中先选一名有10种方法.第二步：在剩下的男生中再选一名有9种方法，第三步：在剩下的男生中再选一名有8种方法，男生中选三人一共有10×9×8=720种方法，需要注意的是，每一种方法，例如，甲乙丙三人的组合，被统计了3×2×1=6次，分别是甲乙丙、甲丙乙，乙丙甲、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，所以实际有720÷6=120种方法，同理在女生中选取三人一共有120种.所以一共有120×120=14400种选派方法.【例11】（★★★★）用1，2，3，4，5这5个数字组成四位数，至多允许有一个数字重复两次，例如1234和2454是满足条件的，而1212，3335和4444就是不满足条件的，那么满足条件的四位数共有多少个？分析：至多允许有一个数字重复两次的四位数即是由至少3个不同数字组成的四位数.这5个数字组成的四位数共有5×5×5×5=625个，其中由一个数字组成的有5个，包含指定两个数字四位数有2×2×2×2-2=14个，共有5×4÷（2×1）=10种指定方法，所以一共有140个四位数包含两个数字.剩下的四位数都满足条件一共有共有625-5-140=480个.(其中涉及到一点加法原理和排除法)【例12】（★★★★★仁华试题）一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．问：(1)如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序?(2)如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序?分析：(1)将4个舞蹈节目视为1个节目，七个节目一起排列一共有7×6×5×4×3×2×1=5040个，但舞蹈节目还有4×3×2×1=24种排列.所以一共有5040×24=120960种.(2)优先安排将6个演唱节目顺序，一共有6×5×4×3×2×1=720种方法，然后将安排4个舞蹈节目顺序一共有4×3×2×1=24种排列，最后将舞蹈节目按顺序安插到6个演唱节目前后不同位置，包括首尾一共有6+1=7个位置可供4个舞蹈节目安插，共有7×6×5×4÷（4×3×2×1）=35个安插方式，所以一共有720×24×35=60480种排列方式.专题展望本讲介绍了对于分步解决问题所用到的乘法原理，下一讲加法原理中我们将重点介绍对于同一步骤不同类方法的计数原理.练习一1.（★★例10）10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？分析：两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×6=60（种）共有60种不同的选法.2.（★★例3）在21世纪中，有些年的年份数是由4个不相同的数字组成的，这样的年份共有个．分析：符合要求的年份形如20xy，其中x有8种不同选法，y有7种不同选法，所以有56个四位数满足题目要求．3.（★★★）世界杯小组赛一般由4个球队进行单循环赛，如何安排这四个球队先后比赛次序，有几种方法？分析：小组赛一共要赛4×3÷2=6场，排列这六场赛事一共有6×5×4×3×2×1=720种.4.（★★★★例11）用1，2，3，4这4个数字，组成各位数字互不相同的二位数，例如13，24等，求全体这样的二位数之和．分析:先求出2个数字共能组成多少个符合条件的数,分为2步,第一步确定十位数有4种选择,确定个位数有3种选择.一共有4×3=12种选择.这12种选择中,十位或个位出现1、2、3、4的次数都是3次，所以全体这样的二位数和为(1+2+3+4) ×3×(10+1)=330.5.（★★★）从一个班级10名优秀学生中选出5人组成班委，5人中再选出班长，一共有多少种方法？分析：第一步，先把班长选出来，一共有10种选法，第二步，在其余9人中选出4人一共有9×8×7×6÷（4×3×2×1）=126种选法.所以一共有10×126=1260种选法.数学知识二进制记数法的光辉第一次是闪现在中国的一部古书《周易》中.传说在远古时代，伏羲为天下王，他向外探求大自然的奥秘，向内省视自己的内心，终于推演出了太极八卦图.太极八卦图中心是由两条黑白相间、首尾相顾的鱼形成的一个圆圈，四周还围着结构奇特的八组图符，每组都含有三个或断或连的线段.这八组图符便是著名的八卦图，古人曾解释说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”再进一步，若把八卦两两组合，就会生成六十四卦.据学者考察，德国数学家莱布尼兹（1616－1703）看到“伏羲六十四卦方位图”后，从中领悟出了阴爻“－－”代表“0”，阳爻“—”代表“1”，从而完善、撰写了《二进制数字算术》一书，他意味深长地说，自己不过是重新发现了中国古代数学中的秘密而已.古老的太极八卦图竟与现代数学上的二进制有着如此神秘的联系.。
小学四年级数学思维专题训练—乘法原理(含答案解析)
小学四年级数学思维专题训练—乘法原理1、奥运吉祥物中的5个福娃取“北京欢迎您”的谐音：贝贝，晶晶，欢欢，迎迎，妮妮，如果在盒子中从左向右放5个不同的福娃，那么，有中不同的方法。
2、豆豆用数字卡片做游戏，剩下许多写有4、7和8的卡片，而其余数字卡片都用完了，他用这些剩下的卡片可以组成不同的三位数。
3康康到麦当娜买套餐，一份套餐包含了一个汉堡，一份小吃喝一杯饮料，服务员告诉他店里有8种汉堡，4中小吃，5中饮料可供选择，那么康康一共可以搭配出种套餐。
4、用4种颜色的水彩笔给MATH四和字母涂颜色，要求不同字母用不同的笔去涂，共有种不停的颜色搭配方式。
5、有红黄蓝三种颜色的上衣和裤子，同学们任意选择一种颜色的上衣和裤子穿，问：①上衣和裤子的搭配方式有种。
②至少要名学生，才能保证有两人穿的上衣和裤子的颜色相同。
6、在下图中的每个方格中各放1枚围棋子（黑字或白子），有种方法。
7、一副扑克牌有4中花色的牌，共52张，每种花色都写有数字为1,2,3，…,13的牌，如果在5张牌中，同一种数字的4种花色的牌都出现，便称这5张牌为天王，不同的天王共有种。
8、从1,2,3,4,5中选出四个数填入下图的方格中，使得右边的数比左边的大，下面的数比上面的大，那么共有中方法。
9、在一个国家竞赛联盟中有16支曲棍球队，他们被分成两组，每组8队，在一个赛季中，每支球队要同本组中的其他每支球队打一场球，然后同另一组的所有队各打一场球，试问在这个赛季中共有进行多少场比赛？10、右图是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有个。
A9B8C7D611、如下图所示，把ABCDE这五部分用四种不同颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不想相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图一共有种不同的着色方法。
12、下图是一个区域地图，可以用红白黄蓝绿五种颜色给地图着色，要求相邻的区域必须着不同的颜色，那么不同的着色方法有种。
小学四年级数学思维专题训练—抽屉原理 (含答案解析)
小学四年级数学思维专题训练—抽屉原理1、某校六年级有3个班，在一次数学竞赛中，至少有人获奖才能保证获奖的同学中一定有4名学生同班。
2、某超级市场有128箱苹果，每箱至少有120个至多有144个。
装苹果个数相同的箱子称为一组，装苹果个数相同的箱子称为一组，其中数量最多的一组箱子个数为N。
那么，N的最小值是。
3、现在有61个乒乓球，20个乒乓球盒，每个盒子最多能放5个乒乓球，如果把这些球全部放入盒内，不许有空盒，那么至少有个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。
4、一幅扑克牌共有54张,最少要抽取几张牌,才能保证其中至少有2张牌的点数相同?5、一副扑克牌有四种花色，每种花色13张，从中任意抽出多少张牌才能保证有4张是同一花色的？6、有一叠含20张红色、20张黄色、20张绿色及10张蓝色的纸牌。
请问至少要抽出多少张纸牌，才能保证其中有12张纸牌的颜色相同？7、袋子里有18个大小相同的彩色球其中红球3个,黄球5个,绿球10个,现在一次从中任意取出N 个，至少有5个球是同色的。
那么，从袋中一次至少取出个球。
A、5个B、8个C、12个D、13个8、一袋有70只球，其中20只红球,20只绿球，20只黄球，其余为白球和黑球，至少取只球，才保证有10只同色的球。
9、一个不透明的袋中放有黑、黄、红、绿颜色的手套各8只,不许用眼看,则至少要从袋中取出只手套才能保证配成5双(一双是指颜色相同的两只手套,不分左右手).10、从1到20 最多能取出个数，使任意两个数不是3倍关系。
11、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分，结果发现总有两人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有人。
12、有红黄蓝白黑五种形状大小完全一样的小球若干,每人必须从中选3只小球,要使有两人得到球的颜色完全一样,至少有个人参加选球。
13、有足够多的苹果、香蕉、橘子三种水果，最少要把它分成堆（每堆都有三种水果）才能保证找得到这样的2堆，把2堆合并后，三种水果的个数都是偶数。
小学四年级奥数竞赛班作业第31讲：容斥原理初步(一)
容斥原理练习题一．夯实基础：1.实验小学五年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？2.有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语.那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.3.在1至2011的自然数中，1)能被3或7整除的数有______个；2)既能被3整除，又能被7整除的有______个；3)能被3整除，但不能被7整除的有______个；4)能被7整除，但不能被3整除的有______个.4.在2至400 的偶数中，既不能被3整除，又不能被5整除，同时不能被7整除的整数有多少个？二．拓展提高：5.1-1001中，既不是7的倍数，也不是11的倍数，也不是13的倍数的数有多少个？6.1到1000的自然数中，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有多少个？7.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？8.体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？三. 超常挑战9.如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?10.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？11.(西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？三．杯赛演练：12.(101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段？13.(西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？14.(走美试题)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，…，2006．将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下．拉完后亮着的灯数为几盏？15.（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。
第五单元 平行四边形和梯形(期末复习讲义)四年级数学上册(人教版)
人教版四年级数学上册期末复习重难点知识点第五单元平行四边形和梯形同学们，经过一个学期的学习，你一定进步了吧！今天，让我们共同回顾一下本学期的知识吧，并且通过完成这些练习，看看自己在哪些方面做得还真不错，以便继续发扬；哪些方面存在不足，需要在今后的学习中注意赶上。
每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。
加油！知识点一：平行与垂直1.在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
3.ɑ与b互相平行，记作ɑ∥b，读作ɑ平行于b。
4.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；其中一条直线是另一条直线的垂线；这两条直线的交点叫垂足。
5.直线ɑ与b互相垂直，记作ɑ⊥b，读作ɑ垂直于b。
知识点二：画垂线一靠，二移，三画，四标。
知识点三：点到直线的距离1.点到直线的距离是垂直线段最短。
2.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
3.与两条平行线相互垂直的线段的长度都相等。
知识点四：画垂线的实际应用1.先画长；2.再用画垂线的方法画出两条宽(等长的边)；3.最后连接两条宽(边)。
知识点五：认识平行四边形1.平行四边形的对边互相平行，且相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
4.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
知识点六：平行四边形的特性1.平行四边形容易变形，具有不稳定性。
2.平行四边形在实际生活中的一些应用。
知识点七：认识梯形、平行四边形的关系1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
特殊梯形：两个腰相等的等腰梯形；有一个角是直角的直角梯形。
2.长方形、正方形、平行四边形和梯形这几种四边形之间的关系：重点：1.掌握平行和垂直的特点并能描述平行与垂直两种位置关系；2.掌握画垂线的步骤并能画出一条已知直线的垂线；3.理解点到直线的距离，并理解两条平行线之间的垂直线段都相等；4.掌握长方形的画法，按照题目的要求正确画出长方形，应用垂直于平行知识解决实际问题。
苏教版四年级数学上册期末复习《整理与复习》教案集体备课
苏教版四年级数学上册期末复习《整理与复习》教案集体备课一. 教材分析苏教版四年级数学上册的《整理与复习》章节主要是对本学期所学知识进行总结和复习，包括整数四则混合运算、分数和小数的互化、几何图形的认识等。
本章节的学习目的是让学生通过复习，巩固已学的知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整数四则混合运算、分数和小数的互化、几何图形的认识等知识点有了一定的了解。
但在复习过程中，部分学生可能存在对知识点掌握不扎实、解题思路不清晰等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，有针对性地进行指导。
三. 教学目标1.掌握整数四则混合运算、分数和小数的互化、几何图形的认识等基本知识点。
2.提高学生的解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和归纳总结能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.重点：整数四则混合运算、分数和小数的互化、几何图形的认识等基本知识点的运用。
2.难点：解决实际问题，灵活运用所学知识。
五. 教学方法采用“自主学习、合作交流”的教学方法，引导学生通过回顾、总结、交流，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关知识点的复习资料，如PPT、练习题等。
2.准备几何图形模型，如正方形、长方形、三角形等。
3.准备计时器，用于记录各环节时间。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示本学期所学的主要知识点，引导学生回顾，为新课的复习打下基础。
2.呈现（10分钟）针对整数四则混合运算、分数和小数的互化、几何图形的认识等知识点，设计一些典型题目，让学生独立解答，展示解题过程。
3.操练（10分钟）设计一些练习题，让学生分组进行讨论和解答，培养学生的合作交流意识。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生解答过程中出现的问题，进行讲解和总结，强化知识点的掌握。
5.拓展（10分钟）设计一些有一定难度的题目，让学生独立解答，提高学生的解决问题能力。
小学四年级数学：加法乘法原理讲义
小学四年级数学：加法乘法原理一、什么是加法原理？完成一件事情，可以有n类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类方法中有m2种不同的方法；..........；在第n类方法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1+m2+........+m n种不同的方法。
这就是加法原理。
要点：①每一类方法是完全独立；②每类方法之间互不相干；③每类方法都可以单独完成这件事情。
1、小明要去旅游，现在有武当山，华山，黄山三个风景区。
小明可以选择去1个景区，也可以选择去2个景区，当然也可以选择去3个景区。
问小明要做一个选择，小明一共有多少种选择呢？2、现在有1、2、3、4四个数字，问可以组成多少个不含重复数字的数？3、数字和是4的四位数有多少个？4、1到20中，每次取2个不同的自然数相加，和大于20的取法有多少种？5、用20元钱购买1元，2元或者4元的练习本若干册，没有剩余的钱。
一共有多少种买法？6、设有长度为1、2、3、4......、9的线段若干条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，一共有多少种不同的取法？规定线段除了端点外不可以重叠，线段也不能折断，弯折。
7、某人射击10枪，命中了5枪，其中刚好4枪是连在一起的，问一共有多少种不同的情况？二、什么是乘法原理？完成一件事情，需要n个步骤。
在第一步中有m1种不同的方法；在第二步中有m2种不同的方法；..........；在第n步中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1×m2×........×m n种不同的方法。
要点：①每一步都不是单独的；②几个步骤相辅相成；③几个步骤一起做完才能做完这件事情。
1、现在小明早上起来需要准备一套文具。
包含1个文具盒，1支钢笔，1支铅笔，1块橡皮，1把尺子。
已知，文具盒有5个不同的，10支钢笔，铅笔有4支不同的，橡皮有4块不同的，尺子有10把不同的，问小明选择一套文具有多少种选法？2、周末，小熊同学要去爸爸单位体验上班生活。
四年级数学下册复习提纲(附重难点知识)
【期末资料】数学四年级下册复习提要一、 数与代数部分第一单元：小数的认识和加减法1、小数的意义：分母是10、100、1000……的分数;可以用小数来表示。
这些分数可以按照整数的写法来写就成了小数;例如101＝0.1;1001＝0.01;10001＝0.0012、单位换算：低级单位数÷进率=高级单位数高级单位数×进率=低级单位数33;最后从左到右依次读出小数部分的各个数字。
3、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”;小数的大小不变。
4、求小数的近似数：保留整数;表示精确到个位;要看十分位；保留一位小数;表示精确到十分位;要看百分位；保留两位小数;表示精确到百分位;要看千分位……；再按四舍五入法计算。
5、比较小数的大小：先比较整数部分;整数部分大的那个数大;整数部分相同就要看十分位;十分位上大的那个数大;十分位上相同;就要看百分位;百分位上大的那个数大……6、计算小数加减法：注意小数点对齐。
（想一想：这是为什么？）第三单元：小数乘法小数小数加减小数的意义、数位、读写、性质、单位换算小数除法 小数乘法 小数的大小比较 小数的加减计算 小数乘法的意义小数点移动引起变化的规律小数乘法计算、乘数与积的大小关系 小数除法计算、商与被除数的大小关系：小数四则混合运算顺序取积、商的近似值、循环小数1、小数点移动引起小数大小变化的规律：小数点向左移动一位;这个数就缩小到原来的( );小数点向左移动两位;这个数就缩小到原来的( );小数点向左移动三位;这个数就缩小到原来的( );……小数点向右移动一位;这个数就扩大到原来的( );小数点向右移动两位;这个数就扩大到原来的( );小数点向右移动三位;这个数就扩大到原来的( );……2、积的小数位数与乘数的小数位数的关系：两个乘数共有几位小数;积就有几位小数。
3、乘数与积的大小关系：（可用画线段图来帮助理解或借“1”法）当一个乘数大于“1”时;积就大于另一个乘数当一个乘数等于“1”时;积就等于另一个乘数当一个乘数小于“1”时;积就小于另一个乘数第五单元;小数除法1、除数是整数的小数除法(如：51.75÷15)只要注意商的小数点要与被除数的小数点对齐;有余数的在余数后面添"0"再继续除.2、除数是小数的小数除法;先移动除数的小数点;使它变成整数;除数的小数点向右移动几位;被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的;在被除数的末尾用“0”补足;然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
四年级奥数知识点
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百 、整千……的数相加，然后再与其它的数相加 ． 4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于 某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数 ”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上 ） 例题精讲
模块一：分组凑整思想 【例 1】 91.8186.789.6270.490.288.891.5
【练习3】 1.1208－569－208 2.283+69－183 3.132－85+68 4.2318+625－1318+375
【练习2】 1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264 3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379 5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【巩固】 2006＋200.6＋20.06＋2.006＋ 994＋99.4＋9.94＋0.994＝
【例 3】 计算 56.43＋12.96＋13.57－4.33 －8.96－5.67
模块二、加补凑整思想 【例 5】 (1) 0.999990.99990.9990.990.9 (2)199.819.971.996 (3)999999999.799.79.7 0.7
【巩固】 199.819.971.996
第四讲 体育比赛中的数学问题
一、知识点总结 1.单循环赛：每两个队之间都要比赛一场，无主客场之分。 （通俗的说就是除了不和自己比赛，其他人都要比）
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(十八)容斥原理
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（十八）容斥原理------容斥原理基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
1、了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容。
2、掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用。
1、掌握容斥原理的概念。
2、熟记二元容斥原理。
例题1：实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有多少个人参加了语文或数学兴趣小组？例题2：某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。
这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少个人？例题3：某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少个人？例题4：在一根长30厘米的木棍上，从它的两端开始做标记，从左端开始每隔3厘米做一个标记，从右端开始每隔5厘米做一个标记。
那么木棍上共有多少个标记？例题5：某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生。
参加语文竞赛有120名女生，80名男生。
已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少名？（即是该课程的课后测试）练习1：芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？练习2：四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。
⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？练习3：四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？练习4：实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?练习5：对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？练习1：解析：如图，A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中A 圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)。
专题26 容斥原理—四年级数学思维拓展精编讲义(解析)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题26 容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
Nab Nb Na 知识精讲典例分析【典例分析03】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
小学数学四年级 第一讲 加乘原理
小学数学四年级第一讲加乘原理加法原理：完成一件工作共有N 类方法。
在第一类方法中有m 1种不同的方法，在第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第N 类方法中有m n 种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m 1＋m 2＋m 3＋…＋m n 种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N 个步骤：完成第一个步骤有m 1种方法，完成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N 个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m 2×…×m n 种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N 个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
一：两种原理的基础内容的记忆和计算的方法。
二：两种计数原理的区分和综合应用。
【题目】：1用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
小学数学总复习的方法总结
小学数学总复习的方法总结小学数学总复习的方法总结总结是对取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训等方面情况进行评价与描述的一种书面材料，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，让我们好好写一份总结吧。
如何把总结做到重点突出呢？以下是店铺为大家收集的小学数学总复习的方法总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
小学数学总复习的方法总结篇1一、分类整理，系统复习我们知道，数学的特点之一就是具有严密的逻辑系统性。
虽说在前面的学习过程中，每个单元、每个学期，都有整理和复习，但毕竟具有一定的局限性。
小学数学总复习是在平时的基础上，在更大范围内引导学生对学过的知识进行更全面的回顾、整理和比较。
这样，平时逐步学习时互不联系或联系较少的知识，就有机会得以沟通，进而形成纵横联系的知识体系。
因此，加强整理和复习的系统性，使所学知识结构化，是总复习教学的首要任务。
复习时，要紧紧抓住知识间的内在联系，着重在学生理解掌握概念意义的基础上，引导学生逐步回顾整理，帮助学生形成知识系统，从而使学生更深刻地理解和掌握知识。
如复习分数的意义和性质一章，可以整理成表，使学生对于本章内容从分数的意义到分数与除法的关系、分数的大小比较、分数的分类与互化，以及分数的基本性质与应用，有一个系统的了解，有利于知识的系统化和对其内在联系的掌握。
再如，复习分数的基本性质，可把除法的商不变的规律、比的基本性质与之结合起来，使学生能够融会贯通。
复习时能做到有的放矢，努力提高课堂教学的效率，达到温故而知新的效果。
二、精选内容，突出重点小学数学总复习面广量大，内容较多，时间紧迫，任务艰巨。
复习中我们不能重复讲解和机械练习，免得学生觉得枯燥无味，消极厌烦。
复习课应贴近学生的实际，调动学生学习主动性，从而达到较好的复习效果。
这要求教师对学生掌握的知识状况有一个全面了解，才能对症下药。
教师应根据平时课堂教学、批改作业和辅导中了解到的情况进行必要的总结，了解学生有哪些概念比较模糊，哪些方法不够熟练，哪些疑难尚未解决，在系统复习的过程中予以弥补。
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1.如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的
某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
2.从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现
在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
4.有红、黄、蓝三色的球各10个，混在一个布袋中，一次摸出13个球，其中
至少有（）个球是同色的。
5.某单位组织4项培训A、B、C、D，要求每人参加且只参加两项，无论如何安
排，都有5人参加培训完全相同，问该单位有多少人？
6.妈妈买了3个茶杯和3个水瓶一共用去66元，照这样计算，妈妈第二次买
了同样价格的7个茶杯和7个水瓶共用去多少元？
7.王老师买15张桌子和25把椅子一共用了3050元，买同样的5张桌子和20
把椅子共用了1600元。
问，桌子和椅子的单价各是多少元？
8.从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？
9.乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，
问：一共有多少种不同的订法？
10.一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不
会的有4人，两样都会的有多少人？
11.个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球
队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？
12.个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球
队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？。