3.3 《复数的几何意义》课件-优质公开课-苏教选修1-2精品
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【数学】3.1.2《复数的几何意义》优质课课件(新人教版选修1-2)
复数的几何意义
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) （数）复数的一个几何意义 （形） y z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
3.1.2《复数的几何意义》
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
回 忆
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
…
一个复数 由什么唯 一确定？
z =a +b i Z (a,b)
O
yxΒιβλιοθήκη 2 2 a b | z | = | OZ |
小结
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
小结
小结:
复数的几何意 义是什么？
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯 A 虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3．“a=0, b∈R”是“复数a+bi (a , C b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
苏教版高二数学选修2-2 3.3复数的几何意义(1)(共19张PPT)
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实 数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯 虚数.
实轴上的点都表示实数
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数数
例2 已知复数z＝(m2＋m－6) ＋(m2＋m－2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i
4, 0 2,1 0, 1
1, 3 3, 2
思考 1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有
怎样的位置关系?
关于实轴对称
2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称， 那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？
实部互为相反数，虚部互为相反数
3．下列命题中的假命题是（ D ）
复数的几何意义（1）
扬州市江都区大桥高级中学
课前复习
1. 对虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部 、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数 b=0 、z为纯虚数 b 0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
学生活动1
有序实数对(a，b)
一一对应
复数z＝a＋bi
直角坐标系中的点Z(a，b)
（数）
（形）
z＝a＋bi Z(a，b)
a
y
建立了平面直角坐标
系来表示复数的平面
b
——复数平面
ox
(简称复平面) x轴——实轴
实轴上的点都表示实数
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数数
例2 已知复数z＝(m2＋m－6) ＋(m2＋m－2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i
4, 0 2,1 0, 1
1, 3 3, 2
思考 1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有
怎样的位置关系?
关于实轴对称
2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称， 那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？
实部互为相反数，虚部互为相反数
3．下列命题中的假命题是（ D ）
复数的几何意义（1）
扬州市江都区大桥高级中学
课前复习
1. 对虚数单位i 的规定 ① i 2=-1； ②可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的 实部 、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数 b=0 、z为纯虚数 b 0
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
学生活动1
有序实数对(a，b)
一一对应
复数z＝a＋bi
直角坐标系中的点Z(a，b)
（数）
（形）
z＝a＋bi Z(a，b)
a
y
建立了平面直角坐标
系来表示复数的平面
b
——复数平面
ox
(简称复平面) x轴——实轴
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数的几何意义课件
复数的几何意义课件
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
高中数学选修1-2精品课件3：3.1.2 复数的几何意义
四、复数的模的概念
uuur
uuur
向量OZ =（a，b）的模 OZ = a2 + b2
复数z = a + bi(a, b R)的模 z = a + bi = a2 + b2
四、复数的模的概念
问题3、已知下列复数，试比较它们模的大小 （1）z 1= 3 + 4i；（2）z2 = -1 + 5i； （3）z3 = 3； （4）z4 = 4i
复数z = a + bi(a, b R) 一一对应向量OuuZur
三、复数的加减法的几何意义探讨
问题2、在复平面内分别用点和向量表示下列复数 （1）z 1= 2 + i；（2）z2 = 1 - 3i； （3）z3 = 0； （4）z4 = -i
并对（1）、（2）进行加减运算，从中探讨 复数加减法具有怎样的几何意义.
五、对复数的再认识
3、复数z、z与 z 之间有何关系？
uuur uuur 4、向量OZ满足OZ2=来自uuur OZ2，
复数z是否也满足z2 = z 2 ？
六、知识应用
问题4、z C, 满足下列条件的点Z的集合 是什么图形？
（1）z = 2;(2)4 z 9;(3) z - 2 = 1
五、对复数的再认识
1．复平面内一个向量的终点对应的复数就是该 向量对应的复数吗？ 提示：不一定，只有向量的起点在原点时，其终 点对应的复数才是该向量对应的复数，否则，二 者不相同． 2．若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|表示怎样的意 义？ 提示：|z|＝ a2＋b2，表示点 Z(a，b)到 原点的距离．
4、若两个复数2a + bi a + 2bi(a、b R), 说明了什么？
2019-2020学年苏教版选修1-2 复数的几何意义 课件(48张)
数a的值.
【解析】点Z在x轴上，所以a2-2a-15=0，
所以a=5或a=-3.
当a=-3时，
无意义，故a=5时，点Z在x轴上.
a2 a 6 a3
2.(改变问法)题(2)中条件不变，如果点Z在直线x+y+7=0上，如何
求解？
【解析】因为点Z在直线x+y+7=0上，
所以
+a2-2a-15+7=0，
)，
+(sinθ+cosθ)i在复平4面内4 所对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)求实数a分别取何值时，复数z= a2 a 6 +(a2-2a-15)i(a∈R)对应
的点Z满足下列条件：
a3
①在复平面的第二象限内.
②在复平面内的x轴上方.
【解题指南】(1)根据所给角θ的范围，确定复数z的实部与虚部的符
为(2，-1)，点A1的坐标为(-3，2).
①向量 对应的复数与 对应的复数相同，仍为-5+3i.
②点A1对O应1A的1 复数为-3+2i.OA
【规律总结】复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向 量 一一对应的.
(2)O一Z个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对
类型二：复数与向量的对应
【典例2】(1)已知复数z1=-3+4i，z2=2a+i(a∈R)对应的点分别为
Z1和Z2，且
，则a的值为.
(2)已知向量OZ1 O对Z应2 的复数是4+3i，点A关于实轴的对称点为A1，
苏教版高中数学选修1-2课件 3.3 复数的几何意义课件1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§3.3
4.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是____1____.
本
课
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知 z 对应点的轨迹是到(2,0)与到
时
栏
(－2,0)距离相等的点，即虚轴.
目
开 关
|z－1|表示 z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.
开 关
实虚部满足的条件.一般可以通过列方程或不等式解决.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.3
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对
应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别
求实数m的取值范围.
解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－
本
课 时
3.3《数系的扩充与复数的引入》课件
栏
目
开
关
§3.3
【学习要求】
1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.
本 2.了解复数的加减运算的几何意义.
课
时 【学法指导】
栏 目
从数形结合的观点理解复数的几何意义，结合向量理解复数
开 关
的模；另外也可以把实数和数轴上点的对应关系与实数的绝
对值进行类比.
时
栏
目 开
|z2|＝ －122＋－ 22＝32.
关
∵5>32，∴|z1|>|z2|.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.3
探究点三 复数加减法的几何意义 问题1 复数与复平面内的向量一一对应关系，你能从向量加
法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
2020-2021学年苏教版选修2-2 3.3 复数的几何意义 课件(50张)
第3章 数系的扩充与复数的引入
3.3 复数的几何意义
第3章 数系的扩充与复数的引入
1. 了 解 复 平 面 的 建 立 方 法 、 相 关 概 念 及 复 数 的 几 何 意 义． 2.理解复数模的概念、求法及几何意义． 3．掌握复数加 法和减法的几何意义及应用．
第3章 数系的扩充与复数的引入
1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做_实__轴___， y 轴叫做_虚__轴___．实轴上的点都表示_实__数___．除原点外，虚轴上 的点都表示_纯__虚__数___． [注意] (1)与点 Z(a，b)建立一一对应关系的向量是以原点 O 为 起点，点 Z(a，b)为终点的向量． (2)在复平面上，虚轴是 y 轴，虚轴上的点表示的复数不都是纯虚 数，但表示纯虚数的点都在 y 轴上．
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，可以用复平面内的点 Z___(a_，__b_)___ 来表示，也可以用向量O→Z来表示，三者的关系如下：
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
(2)复数 z＝a＋bi(a，b←R)可表示成点 Z 或向量O→Z形式，并且规 定，相等的向量表示_同__一__个___复数．其中 z＝a＋bi(a，b∈R)为代 数形式；点 Z(a，b)为几何形式；向量O→Z为向量形式．
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
3．复数的模(或绝对值) (1)向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记 作|z|或|a＋bi|. (2)如果 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z|＝|a＋bi|＝___a_2＋__b_2_____． (3)复数 z 的模的几何意义是|z|表示复平面内坐标原点 O 与复数 z 的对应点 Z 之间的_距__离___．
3.3 复数的几何意义
第3章 数系的扩充与复数的引入
1. 了 解 复 平 面 的 建 立 方 法 、 相 关 概 念 及 复 数 的 几 何 意 义． 2.理解复数模的概念、求法及几何意义． 3．掌握复数加 法和减法的几何意义及应用．
第3章 数系的扩充与复数的引入
1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做_实__轴___， y 轴叫做_虚__轴___．实轴上的点都表示_实__数___．除原点外，虚轴上 的点都表示_纯__虚__数___． [注意] (1)与点 Z(a，b)建立一一对应关系的向量是以原点 O 为 起点，点 Z(a，b)为终点的向量． (2)在复平面上，虚轴是 y 轴，虚轴上的点表示的复数不都是纯虚 数，但表示纯虚数的点都在 y 轴上．
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，可以用复平面内的点 Z___(a_，__b_)___ 来表示，也可以用向量O→Z来表示，三者的关系如下：
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
(2)复数 z＝a＋bi(a，b←R)可表示成点 Z 或向量O→Z形式，并且规 定，相等的向量表示_同__一__个___复数．其中 z＝a＋bi(a，b∈R)为代 数形式；点 Z(a，b)为几何形式；向量O→Z为向量形式．
栏目 导引
第3章 数系的扩充与复数的引入
3．复数的模(或绝对值) (1)向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记 作|z|或|a＋bi|. (2)如果 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则|z|＝|a＋bi|＝___a_2＋__b_2_____． (3)复数 z 的模的几何意义是|z|表示复平面内坐标原点 O 与复数 z 的对应点 Z 之间的_距__离___．
复数的几何意义(课件)-苏教版高一数学必修第二册
•数学应用
例2 已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．
解：由
m2 m2
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3， 2) (1，2)
•数学应用
表示复数的点所在 象限的问题
(几何问题)
转化 复数的实部与虚部所满足 的不等式组的问题
12.3 复数的几何意义
•情境问题
想 一 想 ？
在几何上，我 们用什么来表
示实数？
实数可以用数轴上 的点来表示．
实数 一示，可以用什 么来表示复数？
•情境问题
回 忆
复数的一 般形式？
…
Z＝a＋bi(a， b∈R)
实部!
虚部!
一个复数 由什么唯 一确定？
•数学应用
例4 设 z C ，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1) z 2 (2)2 z 3
•小结
1．复数的几何意义． 2．复数加减法的几何意义． 3．数形结合的思想方法．
谢谢！
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
•数学建构
复数z＝a＋bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a，b)
一一对应
平面向量 OZ
z＝a＋bi Z(a，b)
一一对应 y
b
a
o
x
•数学建构
想 一 想 ？
实数绝对值的几何意义 是什么？
能否类比定义复数 的绝对值？
•数学建构复数的绝对值(复数的模)的几何意义：
对应平面向量OZ的模|OZ |，即复数z＝a＋bi在复平 面上对应的点Z(a，b)到原点的距离．
2024版年度数学312《复数的几何意义》优质课课件
数学312《复数的几何意义》优质课课件•复数基本概念回顾•复平面与向量表示•复数运算几何意义•几何意义在实际问题中应用目录•知识点总结与归纳•课堂互动环节01复数基本概念回顾复数定义及表示方法复数定义复数是实数和虚数的和，形如$z=a+bi$（$a,b$为实数，$i$为虚数单位）的数称为复数。
表示方法复数通常用字母$z$表示，可以表示为$z=a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
实部与虚部概念实部复数$z=a+bi$中的实数部分$a$称为复数的实部。
虚部复数$z=a+bi$中的实数部分$b$称为复数的虚部。
虚部与实部共同构成了复数的完整形式。
复数相等条件•两个复数相等的条件是它们的实部相等且虚部相等。
即如果$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，那么$z_1=z_2$的充要条件是$a=c$且$b=d$。
共轭复数概念及性质共轭复数定义若$z=a+bi$是一个复数，那么它的共轭复数是$z'=a-bi$。
共轭复数是通过改变虚部的符号得到的。
性质共轭复数具有一些重要的性质，如$|z|=|z'|$（模相等），$z+z'=2a$（实部相加），$z-z'=2bi$（虚部相减）等。
这些性质在复数运算和几何意义中具有重要的应用。
02复平面与向量表示复平面概念及坐标轴意义复平面定义复平面是一个二维平面，用于表示复数及其运算。
坐标轴意义在复平面中，实部用x轴表示，虚部用y轴表示，共同构成复数的坐标。
与实数平面的区别复平面扩展了实数平面的概念，引入了虚数单位i，使得平面内的点可以表示形式为a+bi的复数。
1 2 3在复平面中，一个复数可以表示为一个从原点出发的向量，向量的终点对应复数的坐标。
向量表示复数的加法和减法可以通过向量的合成和分解来实现，乘法和除法则涉及到向量的旋转和伸缩。
向量运算复平面中的向量与实数平面中的向量在表示方法上相似，但复数的乘法和除法运算引入了向量的旋转和伸缩概念。
高中数学 3.3 复数的几何意义同步备课课件 苏教版选修
SJ·数学 选修 2-2
教
易
学
错
教 法 分
3．3 复数的几何意义
易 误
辨
析
析
教
教师用书独具演示
当
学
堂
方
双
案
基
设
达
计
标
课
●三维目标
前 自 主 导 学
1．知识与技能
课 时
作
掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系， 业
课 会求复数的模，理解复数加减法的几何意义．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
当 堂
方
双
案 设
念来引导学生掌握复数的模的概念．
基 达
计
标
3．关于复数加、减法的几何意义的教学
课
前 自 主 导 学
教学时，建议教师在明确复数的几何意义基础上，进而 将复数的加、减运算转化成对应向量的加、减运算．注重方
课 时 作 业
课 法介绍，难度不宜过大．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
教
●教学流程设计
课
前 自 主 导 学
的关系，沟通知识间的横向联系，重视几何直观，作出复数 课 时 作
所对应的几何图形，通过数形结合，使问题变得直观、简捷、 业
课 易解．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
教
法
分
教
易
学
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教 法 分
3．3 复数的几何意义
易 误
辨
析
析
教
教师用书独具演示
当
学
堂
方
双
案
基
设
达
计
标
课
●三维目标
前 自 主 导 学
1．知识与技能
课 时
作
掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系， 业
课 会求复数的模，理解复数加减法的几何意义．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
当 堂
方
双
案 设
念来引导学生掌握复数的模的概念．
基 达
计
标
3．关于复数加、减法的几何意义的教学
课
前 自 主 导 学
教学时，建议教师在明确复数的几何意义基础上，进而 将复数的加、减运算转化成对应向量的加、减运算．注重方
课 时 作 业
课 法介绍，难度不宜过大．
教
堂
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互
备
动
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探
资
究
源
菜单
教
学
教
●教学流程设计
课
前 自 主 导 学
的关系，沟通知识间的横向联系，重视几何直观，作出复数 课 时 作
所对应的几何图形，通过数形结合，使问题变得直观、简捷、 业
课 易解．
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
教
法
分
苏教版高中数学选修(2-2)课件3.3复数的几何意义(1)
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
满足3<|z|<5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样
的图形？
–5 –3
设z=x+yi(x,y∈R)
y 5
3
35
O5
x
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心,半径3至5的圆环内
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
y 建立了平面直角坐标
系来表示复数的平面
b
------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
D 例1.(1)下列命题中的假命题是（）
(A)在复平面内，对应于实数的点都 在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点 都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应 的复数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应 的复数都是纯虚数。
(5)z5=4a-3ai(a<0) (－5a)
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构成 怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
高中数学 3.3 复数的几何意义配套教学课件 苏教版选修22
第六页，共13页。
例2 已知复数z＝(m2＋m－6) ＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应 的点位于第二象限(xiàngxiàn)，求实数m允许的取值范围．
解：由
m m
2＋m－6＜0 2＋m－2＞0
得
－3＜m＜2 m＜－2或 m＞1
∴ m ∈ (－3，－2)∪(1，2)
表示(biǎoshì)复数的 转化 点所在象限的问题
z＝a＋bi Z (a，b)
y
O
x
│z│＝│OZ │＝ a2＋b2，z，z，│ z│三者有何关系？
第十页，共13页。
例3 已知复数(fzù1＝s3h＋ù)4 i，z2＝－1＋5 i， 试比较(bǐjiào)它们模的大小．
思考(sīkǎo) 任意两个复数都可以比较大小吗？
第十一页，共13页。
例4 设z∈C ，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）│Z│＝2，
第五页，共13页。
思考 1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个(liǎnɡ ɡè) 点具有怎样的位置关系? 2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那 么它们的实部和虚部分别满足什么关系？
3．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)是纯虚数(xūshù)” 的__________条件．
4．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)所对应(duìyìng)的点在 虚轴上”的____________条件．
高中数学 选修(xuǎnxiū)2-2
3. 3 复数的几何意义(yìyì)
第一页，共13页。
问题(wèntí)情境 在几何(jǐ hé)
上，我们用什 么来表示实数
实数可以用数轴
上的点来表示．
?
一一对应实数数轴上的点 Nhomakorabea（数）
例2 已知复数z＝(m2＋m－6) ＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应 的点位于第二象限(xiàngxiàn)，求实数m允许的取值范围．
解：由
m m
2＋m－6＜0 2＋m－2＞0
得
－3＜m＜2 m＜－2或 m＞1
∴ m ∈ (－3，－2)∪(1，2)
表示(biǎoshì)复数的 转化 点所在象限的问题
z＝a＋bi Z (a，b)
y
O
x
│z│＝│OZ │＝ a2＋b2，z，z，│ z│三者有何关系？
第十页，共13页。
例3 已知复数(fzù1＝s3h＋ù)4 i，z2＝－1＋5 i， 试比较(bǐjiào)它们模的大小．
思考(sīkǎo) 任意两个复数都可以比较大小吗？
第十一页，共13页。
例4 设z∈C ，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）│Z│＝2，
第五页，共13页。
思考 1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个(liǎnɡ ɡè) 点具有怎样的位置关系? 2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那 么它们的实部和虚部分别满足什么关系？
3．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)是纯虚数(xūshù)” 的__________条件．
4．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)所对应(duìyìng)的点在 虚轴上”的____________条件．
高中数学 选修(xuǎnxiū)2-2
3. 3 复数的几何意义(yìyì)
第一页，共13页。
问题(wèntí)情境 在几何(jǐ hé)
上，我们用什 么来表示实数
实数可以用数轴
上的点来表示．
?
一一对应实数数轴上的点 Nhomakorabea（数）
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2 2 k －5k－6＝－k －3k－4， ∴ 2 k －3k－4＞0，
解得 k＝5.
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二 复数的模 【例 2】 已知复数 z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ， (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设 z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图形？ [思路探索] 属于复数模的求法及几何意义问题． 解 (1)|z1|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1. ∴|z1|＞|z2|.
课前探究学习
课堂讲练互动
试一试：试证明|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 提示 → → 如图，向量OZ1、OZ2分别对应复数 z1、z2，由向量的平
→ → → → 行四边形法则知：z1＋z2 对应的向量为OZ，且|OZ|≤|OZ1|＋|OZ2 → → |即|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|成立，当且仅当OZ1与OZ2同向时等号成立．
课前探究学习
课堂讲练互动
(1)若对应点位于 x 轴正半轴上，
2 k －3k－4＞0 则 2 k －5k－6＝0，
解得 k＝6.
(2)若对应点位于 y 轴负半轴上，
2 k －3k－4＝0， 则 2 k －5k－6＜0，
解得 k＝4.
(3)若对应点位于第四象限角平分线上，又第四象限角平分线的方 程为 y＝－x(x＞0)，
课堂讲练互动
自学导引 1．复平面 (1)定义：建立了直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴： x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示 实数 ．
(3)虚轴： y 叫做虚轴，虚轴上(除原点外)的点都表示 纯虚数．
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2．复数的两种几何意义 在平面直角坐标系内，以每个复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部a
3.3 《复数的几何意义》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．理解复平面 及相关概念和复数与复平面内的点、向量的对应 关系． 2．掌握复数加减法的几何意义及应用．
3．掌握复数模的概念及几何意义．
【核心扫描】 1．复数的模、复数的几何意义 .(重点) 2．模及复数几何意义的应用．(难点)
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得 1≤|z|≤2. 因为|z|≥1 表示圆|z|＝1 外部及圆上所有点组成的集合， |z|≤2 表示 圆|z|＝2 内部及圆上所有点组成的集合， 故符合题设条件的点的集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的圆所夹的圆环，包括边界． 规律方法 复数模的几何意义可以延伸为|z－z1|表示复数 z 对应的
和虚部b组成坐标(a，b)，在平面上可以画出唯一的一个点P(a，
b) ，同时也决定唯一一个向量 ，这个向量的坐标也是 (a ，
b)．如果将复数a＋bi用平面上这个向量＝(a，b)表示，则全体 复数与平面上全体向量的集合建立了一一对应关系．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．复数的模 对任意复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应 的向量的模 a2＋b2称为复数 z 的模， 也称为 z 的绝对值， 记作 |z|，即|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R)．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 复平面内复数与点的对应关系 【例 1】 当实数 m 为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于实轴的负半轴 上． [思路探索] 由题目可获取以下主要信息： ①m∈R；②复数与点的对应关系．解答本题只需把点的对应 关系转化为实部与虚部应满足的条件求解．
课前探究学习
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想一想：复数与向量一一对应的前提条件是什么？ → 提示 复数与起点在原点的向量是一一对应的．因为与向量OZ 相等的向量有无数个．
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名师点睛 1．复数与复平面 复平面上点 的横坐标表示复数的实部，纵坐标表示复数的虚 b)一一对应．
部．即复数 z ＝ a ＋ bi ， (a ， b∈R) 与复平面上的有序实数对 (a ，
2 m －8m＋15＜0 需 2 m ＋3m－28＝0
① ②
由②得 m＝－7 或 m＝4. 代入①，m＝－7 不适合，m＝4 适合，∴m＝4.
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与点 Z(a，b)一一对应，这 种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问 题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数 形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (2)确定复数对应的点在复平面内的位置，关键是理解好复数与该 点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是 该点的纵坐标，从而可以列出不等式组求解．
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【训练 1】 实数 k 为何值时，复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点位于： (1)x 轴正半轴上； (2)y 轴负半轴上； (3)第四象限角平分线上． 解 ∵k 为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6 为实数， ∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点 Z(k2－3k－4，k2 －5k－6)．
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2．复数的模 → (1)根据复数与平面向量OZ一一对应知，复数模的几何意义是 复数 z＝a＋bi 所对应的点 Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z|是表 → 示复数 z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量 OZ的模，|z| → ＝|OZ|. (3)设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2，则 |PQ|＝|z2－z1|.
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解 (1)要使复数 m2－8m＋15＋(m2＋3m－28)i 在复平面中对应的 点在第四象限．
2 m －8m＋15＞0， 需 2 m ＋3m－28＜0，
m＜3或m＞5， ∴ －7＜m＜4，
∴－7＜m＜3.
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(2)要使复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面中对应的点 位于实轴的负半轴上，
解得 k＝5.
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题型二 复数的模 【例 2】 已知复数 z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ， (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设 z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图形？ [思路探索] 属于复数模的求法及几何意义问题． 解 (1)|z1|＝ 32＋－12＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1. ∴|z1|＞|z2|.
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试一试：试证明|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. 提示 → → 如图，向量OZ1、OZ2分别对应复数 z1、z2，由向量的平
→ → → → 行四边形法则知：z1＋z2 对应的向量为OZ，且|OZ|≤|OZ1|＋|OZ2 → → |即|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|成立，当且仅当OZ1与OZ2同向时等号成立．
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(1)若对应点位于 x 轴正半轴上，
2 k －3k－4＞0 则 2 k －5k－6＝0，
解得 k＝6.
(2)若对应点位于 y 轴负半轴上，
2 k －3k－4＝0， 则 2 k －5k－6＜0，
解得 k＝4.
(3)若对应点位于第四象限角平分线上，又第四象限角平分线的方 程为 y＝－x(x＞0)，
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自学导引 1．复平面 (1)定义：建立了直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴： x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示 实数 ．
(3)虚轴： y 叫做虚轴，虚轴上(除原点外)的点都表示 纯虚数．
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2．复数的两种几何意义 在平面直角坐标系内，以每个复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部a
3.3 《复数的几何意义》课件
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【课标要求】 1．理解复平面 及相关概念和复数与复平面内的点、向量的对应 关系． 2．掌握复数加减法的几何意义及应用．
3．掌握复数模的概念及几何意义．
【核心扫描】 1．复数的模、复数的几何意义 .(重点) 2．模及复数几何意义的应用．(难点)
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(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得 1≤|z|≤2. 因为|z|≥1 表示圆|z|＝1 外部及圆上所有点组成的集合， |z|≤2 表示 圆|z|＝2 内部及圆上所有点组成的集合， 故符合题设条件的点的集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的圆所夹的圆环，包括边界． 规律方法 复数模的几何意义可以延伸为|z－z1|表示复数 z 对应的
和虚部b组成坐标(a，b)，在平面上可以画出唯一的一个点P(a，
b) ，同时也决定唯一一个向量 ，这个向量的坐标也是 (a ，
b)．如果将复数a＋bi用平面上这个向量＝(a，b)表示，则全体 复数与平面上全体向量的集合建立了一一对应关系．
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3．复数的模 对任意复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应 的向量的模 a2＋b2称为复数 z 的模， 也称为 z 的绝对值， 记作 |z|，即|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R)．
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题型一 复平面内复数与点的对应关系 【例 1】 当实数 m 为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于实轴的负半轴 上． [思路探索] 由题目可获取以下主要信息： ①m∈R；②复数与点的对应关系．解答本题只需把点的对应 关系转化为实部与虚部应满足的条件求解．
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想一想：复数与向量一一对应的前提条件是什么？ → 提示 复数与起点在原点的向量是一一对应的．因为与向量OZ 相等的向量有无数个．
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名师点睛 1．复数与复平面 复平面上点 的横坐标表示复数的实部，纵坐标表示复数的虚 b)一一对应．
部．即复数 z ＝ a ＋ bi ， (a ， b∈R) 与复平面上的有序实数对 (a ，
2 m －8m＋15＜0 需 2 m ＋3m－28＝0
① ②
由②得 m＝－7 或 m＝4. 代入①，m＝－7 不适合，m＝4 适合，∴m＝4.
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课堂讲练互动
规律方法 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与点 Z(a，b)一一对应，这 种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问 题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数 形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (2)确定复数对应的点在复平面内的位置，关键是理解好复数与该 点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是 该点的纵坐标，从而可以列出不等式组求解．
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【训练 1】 实数 k 为何值时，复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点位于： (1)x 轴正半轴上； (2)y 轴负半轴上； (3)第四象限角平分线上． 解 ∵k 为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6 为实数， ∴复数 z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i 对应的点 Z(k2－3k－4，k2 －5k－6)．
课前探究学习
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2．复数的模 → (1)根据复数与平面向量OZ一一对应知，复数模的几何意义是 复数 z＝a＋bi 所对应的点 Z(a，b)到原点(0,0)的距离． (2)我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离．那么在复数集中，类似地，|z|是表 → 示复数 z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量 OZ的模，|z| → ＝|OZ|. (3)设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2，则 |PQ|＝|z2－z1|.
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)要使复数 m2－8m＋15＋(m2＋3m－28)i 在复平面中对应的 点在第四象限．
2 m －8m＋15＞0， 需 2 m ＋3m－28＜0，
m＜3或m＞5， ∴ －7＜m＜4，
∴－7＜m＜3.
课前探究学习
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(2)要使复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面中对应的点 位于实轴的负半轴上，