高二数学双曲线复习学案
高三数学第十二章 圆锥曲线—双曲线2 复习教案
第五节 双曲线————热点考点题型探析一、复习目标：1、了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质；2、 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换二、重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程(一）、热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义[例 1 ] (2006·广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．[解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-b ya x 上，依题意得a=680, c=1020，用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.【反思归纳】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 题型2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组[解析] 解法一：设双曲线方程为22ax －22by =1.由题意易求c=25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.【反思归纳】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围 [例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决 [解析]由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a=，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．【反思归纳】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化； （2）点P 在变化过程中，||||21PF PF 的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键题型2 与渐近线有关的问题 [例4] (07·宁夏海南)若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==a b a c e ,所以5=e【反思归纳】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 （二）、强化巩固训练1、焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B2、（08江苏6）设P为双曲线11222=-y x 上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF②由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
《圆锥曲线：双曲线》导学案(复习版)
《圆锥曲线（5）：双曲线》导学案（复习版）一．知识全解（一）概念1.知识：1）文字描述：平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值等于常数2a （|1F 2F |）的点P 的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的，两焦点的距离叫做双曲线的，一般用表示。
2）集合描述：。
2.全解：1）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （0a ＞）的点P 的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。
2）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差等于常数2a （0a ＞），且2a ＜|F 1F 2|的点P 的轨迹是双曲线，对吗？说明理由。
3）平面内到两定点1F 、2F 的距离之差等于0的点P 的轨迹存在吗？若存在，是什么？若不存在，说明理由。
4）判断下列点的轨迹是否存在，若存在，是什么？若是双曲线，写出2a c 、2的值。
（1）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为0，则动点的轨迹。
（2）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为6，则动点的轨迹。
（3）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差的绝对值为6，则动点的轨迹。
（4）平面内两定点的距离为6，一动点到两定的距离之差为8，则动点的轨迹。
（5）平面内两定点的距离为8，一动点到两定的距离之差为6，则动点的轨迹。
（6）平面内两定点的距离为8，一动点到两定的距离之差的绝对值为6，则动点的轨迹。
(二)方程1.知识：1）标准方程：（1）焦点在x 轴：（2）焦点在y 轴：（3）统一方程：。
2）一般方程：。
3）共焦点方程：（1）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程可设为： （2）与双曲线22221y x a b-=共焦点的双曲线系方程可设为： 4）参数：（标准方程中的双曲线参数）（1）意义：a 、b 、c 分别是、、（“半实轴”或“半虚轴”或“半焦距”）（2）关系：。
2.全解：1）知道双曲线的标准方程，如何判定a 、b ，及焦点的位置？2）什么情况下选择一般方程？如何根据一般方程判断焦点位置？3）画出下列双曲线的草图（1）12222=-by a x （2）221y x a b-= 4）判断下列方程是否表示双曲线，若是求出a b c 、、及焦点的坐标。
高二数学学案 3.2.2双曲线的方程和性质的应用
课前案问题引领一、与双曲线有关的其他几何性质(1)通径：过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1⎝⎛⎭⎫或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点作垂直于焦点所在对称轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫做通径，其长度为(2)焦点三角形：双曲线上的点P 与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积S ＝ .(3)距离：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上任意一点M 到左焦点的最小距离为 ，到右焦点的最小距离为 .二、直线与双曲线的位置关系直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？将y ＝kx ＋m 与x 2a 2－y 2b2＝1联立消去y 得一元方程(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2(m 2＋b 2)＝0.目标导航1、熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率、通径、焦点三角形面积等）。
2、会求与双曲线有关的轨迹问题。
3、会判断简单的直线与双曲线的交点个数。
路径导学例1：过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为 ．式练习：过点(0,2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．(2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程．思维导图课后案A组1.双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F（﹣3，0），M（0，4），点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A．32BC．2D．32.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3F PF PF PF∠=︒=，则C的离心率为（）ABCD3.若曲线224x y-=与直线()23y k x=-+有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______．4.已知A，B两点的坐标分别是()60-，，()60，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是29，则点M的轨迹方程为________________________。
双曲线教学设计(复习课)
练习1、(1)与圆A：和圆B:都外切的圆的圆心P的轨迹方程.
(2)设P是双曲线 上的一点，F1,F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=( )
A.4 B.16 C.4或者16
D.以上答案均不对
例2、求以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两条直线为渐近线，且过椭圆4x2+y2=4Fra bibliotek焦点的双曲线方程.
练习2：已知双曲线 的两条渐近线均和圆C : x2+ y2- 6x +5= 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程是_______。
与老师共同分析,积极思考，共同总结；学生口答或板演、评价，教师辅助；归纳总结，老师补充
口答可以多给学生主动研究和回答问题的机会，提高学习数学的
主动性；板演可以规范学生的解题步骤，培养学生独立解决问题的能力，通过学生的评价、教师辅助，既能提升学生的评价能力，又能体现学生的主体地位和老师的主导作用；练习培养学生数学思维的深刻性，学会从联系的角度认识问题；归纳总结可以培养学生做完题就归纳总结的习惯和能力，加深对知识点理解与记忆，从而提高对解题思路、方法的落实
何性质；
2．投影课前小测试的答案，指出易错点。
看自己填的知识表格是否全对；看自己的小测试做对了没有。
回顾基本知识有利于加强学生对知识点的整体把握；通过课前小测试有利于培养学生的自学能力和归纳能力；只展示答案可以提醒学生，任何问题都马虎不得；也可以给学生自己研究的空间。
例题讲解
例1、在三角形ABC中，BC固定，顶点A
师生合作讨论
让学生感受双曲线在高考中的地位和难度
高中数学选修1-1学案：2 2(第三课时)双曲线复习学案
《双曲线复习》学案
一．复习：
（1）双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常
数(小于| F 1F 2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（2） 双曲线的图象及方程：
12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0). 122
22=-b x a y (a ＞0，b ＞0).
（3）双曲线的性质
12||||||2,(22)
MF MF a a c -=<即
二．例题：
练习：
求适合下列条件下的双曲线的标准方程： （1）顶点在x 轴上，两顶点间距离为8，e=5
4
, （2）焦点为（0，6），（0，-6），且经过点（2，-5）
()()12121.
5,0,5,0,8F F P F F -例已知双曲线两个焦点的坐标为双曲线上的一点到，的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程。
例2、双曲线上两点P1、P2的坐标分别为
，求双曲线的标准方
程。
(9 3,,,5
4
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
练习：
求中心在原点，且经过点((
)3,,P Q -- 的双曲线方程。
练习：
22
.(1)1,2).
164(2),16x y -=22
例3与双曲线公共焦点且过点的双曲线方程x y 与双曲线-=1有共同的渐近线且经过点的双曲线方程
9
3
(10,5
y x P =±-以为渐近线且过点的双曲线方程
三.课时小结
1. 双曲线的定义及性质的灵活运用；
2. 求双曲线的标准方程的方法：定义法，待定系数法等。
高三数学教案：双曲线复习教案
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本文题目：高三数学教案：双曲线复习教案【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。
【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。
2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。
4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。
5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。
2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。
【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。
2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。
3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。
则这样的直线一共有条。
【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。
3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 .6. 已知圆。
以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为。
高考数学一轮复习 专题 双曲线学案 新人教版 学案
双曲线一、考纲要求中心在坐标原点双曲线的标准方程与几何性质A 级 二、复习目标1．理解双曲线的定义；2．会求双曲线的标准方程 3．掌握双曲线的性质 三、重点难点双曲线的标准方程与几何性质 四、要点梳理五、基础自测1、双曲线221916y x -=的 轴在x 轴上， 轴在y 轴上，实轴长= ，虚轴长= ， 焦距= ，顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，渐近线方程是 ，离心率是 ，若点P 00(,)x y 是双曲线上的点，则0x ∈ ，0y ∈2、已知方程22121x y k k +=--表示双曲线，则k 的取值范围是 3、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________． 4、设12,F F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF =则12PF PF +＝________.5、在ABC ∆中，(6,0),(6,0)B C -,直线AB,AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为 六、例题解析例1、求适合下列条件的双曲线方程（1224936x y +=有公共焦点的双曲线方程；（2）实半轴长为221164x y -=有公共焦点的双曲线方程；（3）经过点P （3，，Q （-，7）的双曲线方程；（4）已知的两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为2，求双曲线方程； （5）过点M （10，83）且两条渐近线13y x =±和双曲线方程。
例2、已知椭圆具有性质，若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为K PM 、K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值，试对双曲线2222':1x y C a b-=写出具有类似特性的性质，并加以证明。
例3、如图，已知双曲线2221(0)x C y a a-=>的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a x x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值例4、 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一， 四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公 共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
高二数学 双曲线的标准方程导学案导学案 文
高二数学双曲线的标准方程导学案导学案文1、理解双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线的定义及标准方程[重点难点]重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：用坐标法推导椭圆的标准方程[学习过程]一、预习导航1、双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的______等于常数（）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线，这两个定点叫做______叫做______2、（1）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（2）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（3）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（4）的关系是_____________________________、3、双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程_______________________（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程_______________________二、牛刀小试1、平面内到两定点（-2，0）（2，0）的距离之差的绝对值是2 的点M的轨迹方程是( )A、B、C、D、2、平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A、双曲线B、线段C、射线D、以上都不对3、双曲线焦点坐标是___________三、展示自我1、（1）已知双曲线两焦点的坐标为（-5，0）（5，0），双曲线上一点P到的距离差的绝对值为6，求双曲线的方程。
（2）已知（-4，0）（4，0），曲线上一动点P到的距离差为6，求曲线的方程。
2、点P在双曲线上，为该双曲线的两个焦点，若，求3、根据下列条件求双曲线的标准方程（1） a=3，b=4，焦点在x轴上（2） a=5，c=8（3）焦点在x轴上，经过点P（4，-2）和点Q（）（4）两焦点坐标分别为（0，-6），（0，6），且过点（-5，8）4、双曲线的焦距为6，求m的值四、小组讨论、合作学习已知定点A(3,0)和定圆C：，动圆P 和动圆C相外切，并且经过点A,求动圆圆心P的轨迹方程。
高考苏教版数学《双曲线》一轮复习导学案教师版
双 曲 线【知识梳理】 1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质1．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为________解析： ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________解析：依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23＝233. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________解析：由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意a 2＋1a＝1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，得a ＝33，故渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x . 5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.说明：1.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)；当b >a >0时，e > 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．【考点探究】考点一 双曲线的定义及标准方程[例1] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________(2)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[解] (1)∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.故C 的方程为x 220－y 25＝1.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 【由题悟法】1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法：(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．【以题试法】1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17. 考点二 双曲线的几何性质[例2] 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是________[解] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵B (0，b )，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，－x c ＋yb＝1，得Q ⎝⎛⎭⎫ac c －a ，bc c －a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ba x ，－x c ＋yb＝1，得P ⎝⎛⎭⎫－ac a ＋c ，bca ＋c ，∴PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c c 2－a 2，bc2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .直线F 1B 的斜率为k ＝b c ，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b⎝⎛⎭⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2c b 2＋c ，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M |＝a 2c b2.由|MF 2|＝|F 1F 2|得a 2c b 2＝a 2c c 2－a2＝2c ，即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62. 【一题多变】若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2.即离心率的取值范围为( 2，2)．【由题悟法】1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．【以题试法】2．(1)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________解析：由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为________解析：设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎨⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .考点三 直线与双曲线的位置关系[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值． [解] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， 双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k2. 则OQ 的方程为y ＝－1k x ， 同理有|OQ |2＝12()1＋1k 23－1k2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 【由题悟法】1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系． 【以题试法】3．F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－a c ，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .【巩固练习】1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为______解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，c ＝4，即⎩⎨⎧b a＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为________解析：∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 5.故离心率为32或 53.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________解析：设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝ca ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.4．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________解析： 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.5．平面内一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为________解析：依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32.6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF ·2MF ＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴1MF ·2MF ＝0.。
双曲线辅导教案(高考数学一轮复习)
(1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线
平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
122＝1
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.32 D.6
2
(2)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等 思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或。
双曲线复习教案
双曲线复习教案重点、难点： 1. 双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a （a>0且2a<|F 1F 2|）的动点的轨迹，叫做双曲线，其中F 1，F 2叫做双曲线的焦点，|F 1F 2|的长称为双曲线的焦距。
注：（1）该定义的叙述方式与椭圆的定义有许多相似之处，但不同的是椭圆定义中“到两个定点F 1，F 2的距离之和”而此处为“到两个定点F 1，F 2的距离之差”，而且是“距离之差的绝对值”，为什么要这样来定义呢？因为若去掉“绝对值”，则按定义只能画出（得到）双曲线的一支，就不能称为双曲线。
（2）条件“2a<|F 1F 2|”的作用是什么？若2a ＝|F 1F 2|，则动点轨迹将是与F 1F 2共线，以F 1，F 2为端点的，线段F 1F 2之外的两条射线，已不再是双曲线；若2a>|F 1F 2|，则平面内这样的点不存在，此时无轨迹。
2. 双曲线的标准方程：（）焦点在轴上：112222x x a y b -=（）焦点在轴上：212222y y a x b-=注：（1）双曲线方程与椭圆方程有相似之处（两个平方项，常数1），又有不同之处（椭圆方程中为两个平方项之和，双曲线方程中为两个平方项之差）。
（2）焦点位置与方程形式之间的关系：焦点总是在平方项中正项相关的轴上，如方程x a y b x a x y a x b222222222211-=-=的正的平方项为，则它表示焦点在轴上的双曲线；同理则表示焦点在y 轴上的双曲线；另外，a 2总是与x 2，y 2的正项相随，即总是与焦点所在的轴相随。
3. 双曲线的几何性质：x ay b22221-=（1）图形的范围：该双曲线在直线x ＝－a 的左侧，以及直线x ＝a 的右侧（这是因为x a y bx a x a x a x a 22222211=+≥≥≥≤-≥，，，即或。
）|| （2）图形的对称性：双曲线关于x 轴、y 轴、原点对称（原点称为该双曲线的中心） （）焦点与顶点坐标：，，，；，，，300001212F c F c A a A a ()()()()--A AB b B b 121200称为双曲线的实轴，而把端点为（，），，-()的线段称为双曲线的虚轴，显然实轴长为2a ，虚轴长为2b 。
双曲线的简单几何性质+导学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案课时目标：1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线的渐近线及渐近线的求法；2理解离心率的几何意义.活动一、复习回顾1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的______________ 等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做_________ .这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______ .2. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a, b, c 的关系活动二：类比探究1.思考：我们前面在学习椭圆的几何性质时，主要从哪几方面学习了椭圆的几何性质？2.类比探究双曲线的几何性质 （1焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)性质范围对称性顶点轴及轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线（2）重、难点突破：双曲线的渐近线渐近线方程：____________________ 渐近线方程：____________________（3）思考归纳：结合双曲线的离心率与渐近线斜率的关系总结出离心率的几何意义.活动三：练习巩固例. 求双曲线 229-16=144y x 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.活动四：课堂小结1.知识清单：双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线及离心率；结论1：渐近线方程为：y =±ba x (焦点在x 轴上)或y =±ab x （焦点在y 轴上）. 结论2：离心率越大，双曲线开口越___ ；离心率越小，开口越___.2.数学思想方法归纳： 类比、数形结合等.3.常见误区：忽略焦点位置致错.活动五：作业布置课后思考：设双曲线方程为22(0)x y k k R k -=∈≠且，求该双曲线的渐近线方程与离心率，并观察该双曲线有什么特点？。
江苏省淮安中学高二数学《双曲线》学案二
江苏省淮安中学高二数学学案教学目标：掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程.能处理简单的直线与双曲线的位置关系. 教学重点：双曲线标准方程、直线与双曲线的位置关系. 教学难点：直线与双曲线的位置关系.教学过程： 一、课前检测1、若一动点P 到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值是一个常数，则动点P 的轨迹是A 、双曲线B 、双曲线的一支C 、直线D 、以上都不对2、椭圆221259x y +=与曲线221(259)259x y k k k k+=<≠--且始终有 . A 、相同离心率 B 、相同焦点 C 、相同渐近线 D 、相同焦距3、一动圆过点A （－4，0），且与定圆22(4)16x y -+=相外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 4、与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(3,23)A -的双曲线标准方程为 .5、焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点（4,10-）的双曲线的标准方程为 .二、例题讲解例1、设双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a,0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 距离之和S ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围。
例2、经过双曲线221x y -=的右焦点F 2作倾斜角为060的直线，与双曲线交于A 、B 两点.（1）求|A B|； (2)求1F AB ∆的周长（F 1为左焦点）.例3、已知双曲线2212y x -=，过点P （1，1）能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使P 为线段AB 的中点？总第57页（第15课时第1页）三、课堂总结 作业 班级 学号 姓名 等第1、双曲线221412x y -=上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点有 个. 2、P 是双曲线22221x y a b-=上的一动点，F 是其一个焦点，则以PF 为直径的圆与圆222x y a +=的位置关系为A 、内切B 、外切C 、外切或内切D 、无公共点或相交3、椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同焦点，则实数n = 4、求顶点在x 轴上，焦距为10，离心率54e =的双曲线标准方程.5、一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，现要求制造一个最小半径为8m ，下口半径为15m ，下口到最小半径圆面的距离为24m ，高为27m 的双曲线冷却塔，试计算上口的半径。
双曲线复习学案上传.doc
编制人： 备课组长签字： 使用时间： 班级： 姓名： 学案编号：1314. . . . 学 . . . . . 案 . . . . . 装 . . . . . 订 . . . . . 线 . . .《双曲线及其标准方程》学案学习目标：1、熟练掌握双曲线的定义和几何性质，并能利用定义和几何性质解题；2、会求双曲线的标准方程；3、熟记双曲线的标准方程及其简单几何性质，能熟练地进行基本量a 、b 、c 、e 间的互求。
考点集结1、双曲线的定义： 平面内到两个定点F 1，F 2的距离之 等于常数 ( )的点的集合叫作双曲线，这两个定点F 1，F 2叫作双曲线的 ，焦点F 1，F 2间的距离叫做双曲线的 ．2.双曲线的标准方程及其几何意义图形方程 顶点 范围 对称性离心率渐近线【典型例题】题型一：双曲线的标准方程例1、（1）顶点间距离为6，渐近线方程为,23x y ±=求此双曲线方程。
（2）求与双曲线141622=-yx共焦点，且过)2,23(的双曲线方程；小结：题型二：双曲线的几何性质例2、（1）已知F 1、F 2分别是双曲线 x 2a 2 － y 2b2 =1（a >0,b >0）的左、右两焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在第一象限交双曲线于点P ，若∠PF 1F 2=30°，求双曲线的渐近线方程．（2）已知双曲线的渐近线方程为xy 43±=，求双曲线的离心率。
小结：题型三：双曲线中的焦点三角形 例3、设21,F F 是双曲线116922=-yx的两个焦点，点P 在双曲线上，且6021=∠PF F ，求∆21PF F 的面积。
. . . .学. . . . . 案. . . . . 装. . . . . 订. . . . . 线. . . 小结：【巩固训练】1、双曲线x y22491-=的渐近线方程是（）A. y x=±32B. y x=±23C. y x=±94D. y x=±492、（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是（）Ａ.22124x y-=Ｂ.22142x y-=Ｃ.22146x y-=Ｄ.221410x y-=3、(2008海南、宁夏文)双曲线221102x y-=的焦距为（）A. 32B. 42C. 33D. 43基础作业:4、设P为双曲线22112yx-=上的一点，12F F，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF=，则12PF F△的面积为（）A ．63B．12C ．123D．245、已知双曲线22112x yn n-=-的离心率是3。
高二 下 圆锥曲线——双曲线 学案
双曲线【基础知识】【双曲线的定义】平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B 异号）。
【双曲线焦点位置的判断】（首先化成标准方程，然后再判断）：由x 2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；在双曲线中，c 最大，222c a b =+。
即：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
【双曲线的渐近线】①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；【等轴双曲线】 222t y x =-2【双曲线几何性质】（以22221x y a b-=（0,0a b >>）为例）： ①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠ 【常用结论】（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ【典型例题】例1（1）已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ） Ａ．K ＜１ Ｂ．K ＞２ Ｃ．K ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２ （2）经过点)38,10(M ，渐近线方程为x y 31±=的双曲线的方程为 ． 例2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设|BC|=m ，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC －sinB|=12 sinA 时，求顶点的轨迹方程．例3 已知双曲线C :12222=-by a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足OA OB OF ||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ．（1）求证：FP PA OP PA ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求ac的取值范围．例4 已知动点P 与双曲线x 2－y 2=1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－31。
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致远中学高二数学期末复习学案（ ）双 曲 线班级： 姓名：一选择题1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 22－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 28－y 224＝12．若双曲线过点(m ，n )(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上3．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32或 52 B.32 C.5 D.32或 5 4.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C.3 D. 25．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．平面内有一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为( )A ．3B ．2 C.32 D ．1二填空题7．若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝________.8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．三解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF ·2MF ＝0.11．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．选做题1．设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|1PF ＋2PF |＝|12F F |，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( ) A.22B ．2 C. 2D ．12．设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1，F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．3B ．2 3C ．3 2D ．2 63．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．致远中学高二数学期末复习学案（ ）双 曲 线 答 案1．选A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上． 3．选D ∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝ca ＝a 2－b 2a＝32.当m ＝－4时，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5. 4．选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6．选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32. 7．解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188．解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2. 答案：1 29．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 答案：10210．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 10．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0.11．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得 x 29－y 216＝1， 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知 ||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，则∠F 1PF 2＝90°.12．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3， ∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴[3(y 1＋y 2)]2＋⎣⎡⎦⎤33(x 1＋x 2)2＝10，∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1. 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．B 级1．选A 依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n .则由|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|得|1PF ,＋2PF ,|＝|2PF ,－1PF ,|＝|1PF ,－2PF ,|，即|1PF ,＋2PF ,|2＝|1PF ,－2PF ,|2，所以1PF ,·2PF ,＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2c m ＋n ，e 2＝2c m －n ，所以1e 21＋1e 22＝2(m 2＋n 2)4c 2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22. 2．选A 由椭圆与双曲线共焦点可知m －2＝4，即m ＝6，即椭圆方程为y 26＋x 22＝1，由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1＝26，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2a 2＝23，将两式两侧分别平方相减可得4|PF 1|·|PF 2|＝12，解得|PF 1|·|PF 2|＝3.3．解：(1)依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4＝2a <|F 1F 2|＝25＝2c ，所以圆心C 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为4，焦距为25的双曲线，因此a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1，故C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)过点M ，F 的直线l 的方程为 y ＝－2(x －5)， 将其代入x 24－y 2＝1中，解得：x 1＝655，x 2＝14515，故直线l 与L 的交点为T 1⎝⎛⎭⎫655，－255，T 2⎝⎛⎭⎫14515，2515， 因为T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 上， 故||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2， ||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2，若点P 不在MF 上，则||MP |－|FP ||<|MF |＝2， 综上所述，||MP |－|FP ||只在点T 1处取得最大值． 即||MP |－|FP ||的最大值为2， 此时点P 的坐标为(655，－255)．。